P2 1 2009 mecatronica

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Pucminas – Engenharia Mecatrônica 
Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 30 Pontos – 24/04/2009 – Prof. FabianoA 
 
Nome: ________________________________________________________________ 
 
 
1) Considere as seguintes transformações lineares: 
 ��: �� � �� , rotação de �� radianos no sentido anti-horário; 
��: �� � �� , tal que �� 	
�� 
 � 
 � 2�7
 � 4��; 
��: �� � �� , tal que �� 	
�� 
 �
 � 3�
 � 3��. 
 
a) Determine a matriz de cada transformação linear (3 pontos) 
b) Determine a matriz da transformação composta �� � �� � ���������� (3 pontos) 
c) A transformação composta do item anterior é invertível? Explique. (2 pontos) 
 
 
2) Define-se o núcleo de uma transformação linear �: �� � �� como o conjunto de 
todos os vetores �� � �� tais que ����� 
 0�� � ��, isto é, o núcleo de uma 
transformação linear é o subconjunto do domínio formado por todos os vetores que 
têm imagem nula. Determine o núcleo da transformação linear (8 pontos) 
 
�: �� � �� , tal que � !
�"# 
 $
 � 2� � "
 � � � 3"3
 � 3� � 5"& 
 
 
3) Considere a reta ' que passa pelos pontos (0,0,0) e (1,1,1). Determine a matriz da 
transformação linear �: �� � �� que projeta ortogonalmente um vetor do �� sobre '. (8 pontos) 
 
 
4) A transformação linear �: �� � �� , tal que � !
�"# 
 $
 � 2� � "
 � 3� � 3"
 � 2� � 5"& é invertível? 
Caso seja, determine sua inversa. (6 pontos) 
 
 
Pucminas – Engenharia Mecatrônica 
Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 30 Pontos – 24/04/2009 – Prof. FabianoB. 
 
Nome: ________________________________________________________________ 
 
 
1) Considere as seguintes transformações lineares: 
 
��: �� � �� , tal que �� 	
�� 
 � 2
 � �4
 � 7��; ��: �� � �� , rotação de �( radianos no sentido horário; 
��: �� � �� , tal que �� 	
�� 
 �3
 � �3
 � ��. 
 
a) Determine a matriz de cada transformação linear (3 pontos) 
b) Determine a matriz da transformação composta �� � �� � ���������� (3 pontos) 
c) A transformação composta do item anterior é invertível? Explique. (2 pontos) 
 
 
2) Define-se o núcleo de uma transformação linear �: �� � �� como o conjunto de 
todos os vetores �� � �� tais que ����� 
 0�� � ��, isto é, o núcleo de uma 
transformação linear é o subconjunto do domínio formado por todos os vetores que 
têm imagem nula. Determine o núcleo da transformação linear (8 pontos) 
 
�: �� � �� , tal que � !
�"# 
 $
 � 2� � "2
 � � � 3"3
 � � � 4"& 
 
 
3) Considere a reta ' que passa pelos pontos (1,1,1) e (2,2,2). Determine a matriz da 
transformação linear �: �� � �� que projeta ortogonalmente um vetor do �� sobre '. (8 pontos) 
 
4) A transformação linear �: �� � �� , tal que � !
�"# 
 $
 � 2� � "2
 � 5� � 3"
 � 2� � 5" & é invertível? 
Caso seja, determine sua inversa. (6 pontos) 
 
 
Pucminas – Engenharia Mecatrônica 
Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 30 Pontos – 24/04/2009 – Prof. FabianoC. 
 
Nome: ________________________________________________________________ 
 
 
1) Considere as seguintes transformações lineares: 
 
��: �� � �� , tal que �� 	
�� 
 	
 � �
 � ��; 
��: �� � �� , tal que �� 	
�� 
 �3
 � 2�3
 � 2��. ��: �� � �� , rotação de �� radianos no sentido horário; 
 
a) Determine a matriz de cada transformação linear (3 pontos) 
b) Determine a matriz da transformação composta �� � �� � ���������� (3 pontos) 
c) A transformação composta do item anterior é invertível? Explique. (2 pontos) 
 
 
2) Define-se o núcleo de uma transformação linear �: �� � �� como o conjunto de 
todos os vetores �� � �� tais que ����� 
 0�� � ��, isto é, o núcleo de uma 
transformação linear é o subconjunto do domínio formado por todos os vetores que 
têm imagem nula. Determine o núcleo da transformação linear (8 pontos) 
 
�: �� � �� , tal que � !
�"# 
 $
 � 2� � "2
 � 3� � 3"5
 � 9� � 6"& 
 
 
3) Considere a reta ' que passa pelos pontos (0,0,0) e (-1,-1,-1). Determine a matriz da 
transformação linear �: �� � �� que projeta ortogonalmente um vetor do �� sobre '. (8 pontos) 
 
4) A transformação linear �: �� � �� , tal que � !
�"# 
 $
 � 2� � "2
 � 5� � 3"3
 � 5� � 5"& é invertível? 
Caso seja, determine sua inversa. (6 pontos) 
 
 
Pucminas – Engenharia Mecatrônica 
Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 30 Pontos – 24/04/2009 – Prof. FabianoD. 
 
Nome: ________________________________________________________________ 
 
 
1) Considere as seguintes transformações lineares: 
 
��: �� � �� , tal que �� 	
�� 
 �2
 � �2
 � ��; 
��: �� � �� , tal que �� 	
�� 
 �
 � 2�
 � 2��. ��: �� � �� , rotação de ��� radianos no sentido anti-horário; 
 
a) Determine a matriz de cada transformação linear (3 pontos) 
b) Determine a matriz da transformação composta �� � �� � ���������� (3 pontos) 
c) A transformação composta do item anterior é invertível? Explique. (2 pontos) 
 
 
2) Define-se o núcleo de uma transformação linear �: �� � �� como o conjunto de 
todos os vetores �� � �� tais que ����� 
 0�� � ��, isto é, o núcleo de uma 
transformação linear é o subconjunto do domínio formado por todos os vetores que 
têm imagem nula. Determine o núcleo da transformação linear (8 pontos) 
 
�: �� � �� , tal que � !
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 � 2� � "
 � 3� � 3"4
 � 10� � 8"& 
 
 
3) Considere a reta ' que passa pelos pontos (-2,-2,-2) e (-1,-1,-1). Determine a matriz da 
transformação linear �: �� � �� que projeta ortogonalmente um vetor do �� sobre '. (8 pontos) 
 
4) A transformação linear �: �� � �� , tal que � !
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 � 2� � "
 � 3� � 3"3
 � 7� � 5"& é invertível? 
Caso seja, determine sua inversa. (6 pontos)