P2 1 2011 mecatronica

Prévia do material em texto

Pucminas – Engenharia Mecatrônica – Turno Manhã 
Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 40 Pontos – 10/06/11 – Prof. Fabiano 
 
Nome: _______________________________________________________________________ 
 
1) Verifique se o conjunto dado de funções é Linearmente Independente. 
 
a) �4����, 3����	 (3 pontos) 
b) �4�
�, 3�����	 (3 pontos) 
c) �2�
�cos �4��,3�
�����4��	 (4 pontos) 
 
 
2) Determine a matriz � � 3 � 3 sabendo-se que seus autovalores são �� � �2, �� � 3 e �
 � 3, e as 
respectivas direções de autovetores são: (10 pontos) 
 
��� � � 22�1 , ��� � �
131 e ��
 � �
�112 
 
3) Considere as seguintes transformações lineares: 
 !�: #� $ #� , rotação de %& radianos no sentido horário; 
 !�: #� $ #� , tal que !� '()* � +2( , 2)( , ) -; 
 !
: #� $ #� , tal que !� '()* � '( � )( , )*. 
 
a) Determine a matriz de cada transformação linear (1 ponto) 
b) Determine a matriz da transformação composta !
 . !� . !����////� (1 ponto) 
c) A transformação composta do item anterior é invertível? Caso positivo, determine a transformação 
inversa da composta. (2 pontos) 
 
4) Uma matriz quadrada é dita circulante se em cada diagonal descendente (da esquerda para a direita) os 
coeficientes são todos iguais. Uma matriz circulante de ordem 4 � 4 tem a forma geral: 
 
01 2� 1 3 42 34 �3 4 1 2� 15 
 
a) Seja V o espaço vetorial das matrizes de ordem 4 � 4 (com as operações usuais de adição e multiplicação 
por escalar). Seja W o conjunto de todas as matrizes circulantes de ordem 4 � 4. Mostre que W é um 
subespaço de V. (6 pontos) 
b) Determine uma base para W. (2 pontos) 
c) Qual a dimensão de W? (2 pontos)