P2 1 2013 eletronica

Prévia do material em texto

Pucminas – Engenharia Eletrônica 
Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 40 Pontos – 10/06/2013 – Prof. Fabiano 
 
Nome: ___________________________________________________________________________ 
 
1) A transformação do espaço de cores ��� (Red-Green-Blue) para o sistema ��� (Hue, Saturation, Brigthness) é 
realizada em duas etapas. Inicialmente a cor no sistema ��� é convertida para um sistema intermediário ����	 
(não visível) por meio da seguinte transformação linear 
: �
 � �
 
 
� ����	� � �
���
�√33 √33 √330 √22 � √22√63 � √66 � √66 �
���
� ����� 
 
Logo após, a cor no sistema ����	 é convertida para o sistema ��� por meio das equações 
 
����� � �
arctan %V	 V�⁄ ()��	 * �		� + 
 
a) A transformação 
 é invertível? (5 pontos) 
b) Seja , � 3 - 3 a matriz de 
. Verifique se , satisfaz à seguinte propriedade: ,.� � ,/. (5 pontos) 
 
2) Pelas leis de Kirchoff, o circuito elétrico mostrado na figura pode ser descrito matematicamente por um sistema 
de equações lineares. Se �� � �	 � �
 � 2 Ω, determine todos os autovalores e um autoespaço da matriz de 
coeficientes deste sistema linear (10 pontos) 
 
 
3) Sejam 0�, 0	 e 1 constantes reais quaisquer. Qual a condição (se existir) para que as funções 2�%3( � 456748%13( 
e 2	%3( � 459:;7%13( sejam linearmente independentes. (10 pontos) 
 
4) Considere as transformações lineares: 
 <�: �	 = �	: rotação de 30> no sentido anti-horário. <	: �	 = �	: projeção sobre o eixo y. 
 
a) Determine a matriz canônica de <� e a matriz canônica de <	. (4 pontos) 
b) Podemos afirmar que <� ? <	 � <	 ? <�? (6 pontos). 
R
1
R
3
R
2
E
1
E
2
i
2i1
i
3