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Pucminas – Engenharia Mecatrônica Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 40 Pontos – 19/11/10 – Prof. Fabiano Nome: ________________________________________________________________ 1) Determine os autovalores e autovetores associados da matriz �1 2 21 2 10 0 1� (8 pontos) 2) Determine a transformação linear �: � � sabendo-se que os autovalores são �� 2, �� �2 e � 3, e as respectivas direções de autovetores são: (8 pontos) ��� � 10�1�, ��� � 101� e �� � 010� 3) Considere a chapa quadrada mostrada na figura abaixo, na qual foi construída a uma malha com 16 nós e as temperaturas nos nós de contorno são exibidas. a) Usando o método discutido no trabalho extraclasse, determine as temperaturas ��, ��, � e ��. (8 pontos) b) Determine a temperatura no centro da placa. (2 pontos) 4) Mostre que as funções cos �3�� e ����3�� são linearmente independentes. (6 pontos) 5) Uma matriz quadrada é dita circulante se em cada diagonal descendente (da esquerda para a direita) os coeficientes são todos iguais. Uma matriz circulante de ordem 4 4 tem a forma geral: !" #� " $ %# $% �$ % " #� "& a) Seja V o espaço vetorial das matrizes de ordem 4 4 (com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar). Seja W o conjunto de todas as matrizes circulantes de ordem 4 4. Mostre que W é um subespaço de V. (4 pontos) b) Determine uma base para W. (2 pontos) c) Qual a dimensão de W? (2 pontos) 16 16 16 16 12 12 8 8 4 4 4 4 T T T T 1 2 3 4
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