P2 2 2010 mecatronica

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Pucminas – Engenharia Mecatrônica 
Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 40 Pontos – 19/11/10 – Prof. Fabiano 
 
Nome: ________________________________________________________________ 
 
1) Determine os autovalores e autovetores associados da matriz �1 2 21 2 10 0 1� (8 pontos) 
 
2) Determine a transformação linear �: �	 
 �	 sabendo-se que os autovalores são �� 
 2, �� 
 �2 e �	 
 3, e as 
respectivas direções de autovetores são: (8 pontos) 
 
��� 
 � 10�1�, ��� 
 �
101� e ��	 
 �
010� 
 
3) Considere a chapa quadrada mostrada na figura abaixo, na qual foi construída a uma malha com 16 nós e as 
temperaturas nos nós de contorno são exibidas. 
 
 
a) Usando o método discutido no trabalho extraclasse, determine as temperaturas ��, ��, �	 e ��. (8 pontos) 
b) Determine a temperatura no centro da placa. (2 pontos) 
 
4) Mostre que as funções cos �3�� e ����3�� são linearmente independentes. (6 pontos) 
 
5) Uma matriz quadrada é dita circulante se em cada diagonal descendente (da esquerda para a direita) os coeficientes 
são todos iguais. Uma matriz circulante de ordem 4 4 tem a forma geral: 
 
!" #� " $ %# $% �$ % " #� "& 
 
a) Seja V o espaço vetorial das matrizes de ordem 4 4 (com as operações usuais de adição e multiplicação por 
escalar). Seja W o conjunto de todas as matrizes circulantes de ordem 4 4. Mostre que W é um subespaço de V. 
(4 pontos) 
b) Determine uma base para W. (2 pontos) 
c) Qual a dimensão de W? (2 pontos) 
 
16 16 16 16
12
12
8
8
4 4 4 4
T T
T T
1 2
3 4