P3 1 2010 mecatronica

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Pucminas – Engenharia Mecatrônica 
Prova 03 – Álgebra Linear - Valor 30 Pontos – 07/05/2010 – Prof. Fabiano 
 
Nome: ________________________________________________________________ 
 
 
1) Considere as seguintes transformações lineares: 
 
 ��: �� � �� , rotação de �� radianos no sentido anti-horário; 
 
 ��: �� � �� , reflexão em torno do eixo vertical; e 
 
 ��: �� � �� , projeção no eixo horizontal. 
 
a) Determine a matriz de cada transformação linear (3 pontos) 
b) Determine a matriz da transformação composta �� 	 �� 	 ����
����� (3 pontos) 
c) A transformação composta do item anterior é inversível? Explique. (2 pontos) 
 
 
2) Uma matriz quadrada é dita circulante se em cada diagonal descendente (da esquerda para a 
direita) os coeficientes são todos iguais. Uma matriz circulante de ordem 4 � 4 tem a forma geral: 
�� �� � � �� �� �� � � �� �� 
 
a) Seja V o espaço vetorial das matrizes de ordem 4 � 4 (com as operações usuais de adição e 
multiplicação por escalar). Seja W o conjunto de todas as matrizes circulantes de ordem 4 � 4. Mostre que W é um subespaço de V. (6 pontos) 
 
b) Determine uma base para W. (6 pontos) 
 
c) Qual a dimensão de W? (2 pontos) 
 
 
3) Determine se a transformação linear �: �� � �� , tal que � ����� � �
� 2� �� " � 3�3� 3� 4�$, é 
inversível. Caso seja, determine a transformação inversa. 
 
 
 
4) Considere a reta % que passa pelos pontos (0,0,0) e (1,1,1). Determine a matriz da transformação 
linear �: �� � �� que projeta ortogonalmente um vetor do �� sobre %. (8 pontos)