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Capítulo 12 Equilíbrio e Elasticidade Neste capítulo vamos abordar os seguintes tópicos: 1.Equilíbrio 2.Condições para o equilíbrio 3.O Centro de Gravidade 4.Alguns exemplos de Equilíbrio Estático 5.Estruturas Indeterminadas 6.Elasticidade (12-1) A figura ao lado mostra uma pedra em equilíbrio estático. (fonte: Fundamentos de Física II, Halliday) (12-2) 1- Equilíbrio Considere os seguintes objetos: (1) Um livro em repouso sobre uma mesa; (2) um disco de metal deslizando com uma velocidade constante em uma superfície sem atrito;(3) as pás de ventilador de teto girando e (4) a roda de uma bicicleta que se move em uma estrada retilínea com velocidade constante. Para cada um desses objetos: 1.O momento linear P de seu centro de massa é constante. 2.O momento angular L em relação ao centro de massa, ou em relação a qualquer outro ponto, também é constante. Dizemos que os objetos acima estão em equilíbrio. Os dois requisitos para o equilíbrio são: 𝑃 = constante 𝐿 = constante Nosso interesse no capítulo: Equilíbrio Estático. Portanto, nosso foco principal é estudar objetos que não se movam, nem em translação e nem em rotação. OBS: Dos objetos acima, apenas o livro em repouso sobre a mesa, está em equilíbrio estático. Equilíbrio Estático Estável: Se um corpo retorna ao mesmo estado de equilíbrio estático após ter sido deslocado pela ação de uma força. Equilíbrio estático instável: Quando o corpo não retorna ao mesmo estado de equilíbrio, isto é, a força é suficiente para deslocar o corpo de forma permanente. A fig (a) é um exemplo de uma situação de equilíbrio estático instável. Neste caso, equilibramos uma peça de dominó com o centro de massa na vertical em relação a uma aresta de apoio. O torque em relação à aresta de apoio devido à força gravitacional Fg passa pela aresta. Operário em pé sobre uma viga está em equilíbrio estático, mas sua posição é mais estável na direção paralela à viga que na direção perpendicular. A análise do equilíbrio estático é muito importante para os engenheiros. Um engenheiro projetista deve identificar todas as forças e torques externos a que uma estrutura pode ser submetida. (12-3) 2- Condições para o Equilíbrio O movimento de translação de um corpo é descrito pela segunda lei de Newton para translações: Se o corpo está em equilíbrio para translações, ou seja, se P é uma constante, temos que: O movimento de rotação de um corpo é descrito pela segunda lei de Newton para rotações: 𝜏 ݎ݁ݏ = 𝑑𝐿 ݀ݐ Se o corpo está em equilíbrio para rotações, ou seja, se L é constante, temos: 𝑑𝐿 ݀ݐ = 0 𝜏 ݎ݁ݏ = 0 Equilíbrio de forças Equilíbrio de torques 𝑑𝑃 ݀ݐ = 0 (12-4) 1.A soma vetorial de todas as forças externas que agem sobre o corpo deve ser nula. 2.A soma vetorial de todas os torques externos que agem sobre o corpo, medidos em relação a qualquer ponto, deve ser nula. Para que o equilíbrio seja estático: 3. Momento linear P do corpo deve ser nulo. 𝑃 = 0 Teste 1 3- Centro de Gravidade A força gravitacional Fg age efetivamente sobre um único ponto de um corpo, o chamado centro de gravidade (CG) do corpo. Se (g) é a mesma para todos os elementos de um corpo, o centro de gravidade (CG) do corpo coincide com seu centro de massa. (12-5) 4 – Alguns exemplos de equilíbrio estático Exemplo 12-1: Na figura (12-5a), uma viga uniforme, de comprimento L e massa m=1,8Kg, está em repouso sobre duas balanças. Um bloco uniforme, de massa M=2,7kg, está em repouso sobre uma viga, com o centro a uma distância (L/4) da extremidade esquerda da viga. Quais são as leituras das balanças? Exemplo 12-2: Na fig. (12-6a) uma escada de comprimento L = 12 m e massa m = 45 kg está encostada em um muro liso (sem atrito). A extremidade superior da escada está a uma altura h=9,3m acima do piso onde a extremidade inferior está apoiada (existe atrito entre a escada e o piso). O centro de massa da escada está a uma distância (L/3) da extremidade inferior. Um bombeiro de massa M=72kg sobe na escada até que seu centro de massa esteja a uma distância L/2 da extremidade inferior. Quais são, neste momento, os módulos das forças exercidas pelo muro e pelo piso sobre a escada? Exemplo 12-3: A fig. (12-7a) mostra um cofre, de massa M=430kg, pendurado por uma corda presa a uma lança de guindaste de dimensões a=1,9m e b=2,5m. A lança é composta por uma viga articulada e um cabo horizontal. A viga, feita de material uniforme, tem uma massa m de 85 kg; as massas do cabo e da corda são desprezíveis. (a) Qual é a tensão Tcabo do cabo? Em outras palavras, qual é o módulo da força Tcabo exercida pelo cabo sobre a viga? (12-11) Estruturas Indeterminadas Para resolver os problemas anteriores, temos apenas três equações independentes à nossa disposição, em geral duas equações de equilíbrio de forças e uma equação de equilíbrio de torques em relação a um certo eixo de rotação. Portanto, se um problema tiver mais de três incógnitas não podemos resolvê-lo. Um exemplo: Considere um carro assimetricamente carregado. Quais são as forças, todas diferentes, que agem sobre os quatro pneus? Este problema não pode ser resolvido, pois temos apenas três equações independentes para trabalhar. Problemas como esse, nos quais existem mais incógnitas do que equações, são chamados de indeterminados. Para resolver esses problemas de equilíbrio estático indeterminado precisamos suplementar as equações de equilíbrio com conhecimentos de elasticidade. Elasticidade Todos os corpos “rígidos” reais são na verdade ligeiramente elásticos. Tensão = (Módulo de Elasticidade) x Deformação Tensão hidrostática Tensão Trativa Tensão Cisalhamento Rede cristalina tridimensional: arranjo repetitivo no qual cada átomo está a uma distância de equilíbrio bem definida dos vizinhos mais próximos. Os átomos são mantidos unidos por forças interatômicas, representadas por molas. Deformação: Tração e Compressão Módulo de Young: E – dimensao de tensão. 𝐹 𝐴 =ܧ ߂ܮ 𝐿 Δ𝐿 𝐿 = 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 − 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜𝑓𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑎𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎. (12-8) Cisalhamento 𝐹 𝐴 =ܩ ߂ݔ 𝐿 Tensão Hidrostática =ܤ ߂ܸ 𝑉 Exemplo 12-5: Uma extremidade de uma barra de aço de raio R=9,5 mm e comprimento L=81cm é presa a um torno, e uma força de módulo F=62 kN é aplicada perpendicularmente à outra extremidade (uniformemente ao longo da seção reta). Quais são: a tensão, o alongamento (ΔL) e a deformação da barra? Dados: E = 2,0 x 1011 N/m2.
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