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Euilibrio_Notas_de_Aula

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Capítulo 12 
 Equilíbrio e Elasticidade 
Neste capítulo vamos abordar os seguintes 
tópicos: 
1.Equilíbrio 
2.Condições para o equilíbrio 
3.O Centro de Gravidade 
4.Alguns exemplos de Equilíbrio Estático 
5.Estruturas Indeterminadas 
6.Elasticidade 
(12-1) 
A figura ao lado mostra 
uma pedra em equilíbrio 
estático. 
 (fonte: Fundamentos de Física II, 
Halliday) 
(12-2) 
1- Equilíbrio 
Considere os seguintes objetos: (1) Um livro em repouso sobre uma mesa; (2) um 
disco de metal deslizando com uma velocidade constante em uma superfície sem 
atrito;(3) as pás de ventilador de teto girando e (4) a roda de uma bicicleta que se 
move em uma estrada retilínea com velocidade constante. Para cada um desses 
objetos: 
1.O momento linear P de seu centro de massa é constante. 
2.O momento angular L em relação ao centro de massa, ou em relação a 
qualquer outro ponto, também é constante. 
Dizemos que os objetos acima estão em equilíbrio. Os dois requisitos 
para o equilíbrio são: 
𝑃 = constante
𝐿 = constante
 
Nosso interesse no capítulo: Equilíbrio Estático. 
Portanto, nosso foco principal é estudar objetos que não se movam, nem em 
translação e nem em rotação. 
OBS: Dos objetos acima, apenas o livro em repouso sobre a mesa, está em equilíbrio estático. 
Equilíbrio Estático Estável: Se um corpo retorna ao mesmo estado de equilíbrio 
estático após ter sido deslocado pela ação de uma força. 
Equilíbrio estático instável: Quando o corpo não retorna ao mesmo estado de 
equilíbrio, isto é, a força é suficiente para deslocar o corpo de forma permanente. 
A fig (a) é um exemplo de uma 
situação de equilíbrio estático instável. 
Neste caso, equilibramos uma peça de 
dominó com o centro de massa na 
vertical em relação a uma aresta de 
apoio. O torque em relação à aresta de 
apoio devido à força gravitacional Fg 
passa pela aresta. 
Operário em pé sobre uma 
viga está em equilíbrio 
estático, mas sua posição é 
mais estável na direção 
paralela à viga que na direção 
perpendicular. 
A análise do equilíbrio 
estático é muito 
importante para os 
engenheiros. Um 
engenheiro projetista 
deve identificar todas as 
forças e torques 
externos a que uma 
estrutura pode ser 
submetida. 
(12-3) 
2- Condições para o Equilíbrio 
O movimento de translação de um corpo é descrito pela segunda 
lei de Newton para translações: 
Se o corpo está em equilíbrio para translações, ou seja, se P é 
uma constante, temos que: 
O movimento de rotação de um corpo é descrito pela segunda lei de Newton para 
rotações: 
𝜏 ݎ݁ݏ =
𝑑𝐿
݀ݐ
 
Se o corpo está em equilíbrio para rotações, ou seja, se L é constante, 
temos: 𝑑𝐿
݀ݐ
= 0
𝜏 ݎ݁ݏ = 0
 
Equilíbrio de forças 
Equilíbrio de torques 
𝑑𝑃
݀ݐ
= 0 
(12-4) 
1.A soma vetorial de todas as forças externas que agem sobre o corpo deve ser 
nula. 
2.A soma vetorial de todas os torques externos que agem sobre o corpo, medidos 
em relação a qualquer ponto, deve ser nula. 
Para que o equilíbrio seja estático: 
3. Momento linear P do corpo deve ser nulo. 
 𝑃 = 0 
Teste 1 
3- Centro de Gravidade 
A força gravitacional Fg age efetivamente sobre um único ponto 
de um corpo, o chamado centro de gravidade (CG) do corpo. 
Se (g) é a mesma para todos os elementos de um corpo, o centro 
de gravidade (CG) do corpo coincide com seu centro de massa. 
(12-5) 
4 – Alguns exemplos de equilíbrio estático 
Exemplo 12-1: 
Na figura (12-5a), uma viga uniforme, de 
comprimento L e massa m=1,8Kg, está em 
repouso sobre duas balanças. Um bloco uniforme, 
de massa M=2,7kg, está em repouso sobre uma 
viga, com o centro a uma distância (L/4) da 
extremidade esquerda da viga. Quais são as 
leituras das balanças? 
Exemplo 12-2: 
 
Na fig. (12-6a) uma escada de 
comprimento L = 12 m e 
massa m = 45 kg está 
encostada em um muro liso 
(sem atrito). A extremidade 
superior da escada está a uma 
altura h=9,3m acima do piso 
onde a extremidade inferior 
está apoiada (existe atrito entre 
a escada e o piso). O centro de 
massa da escada está a uma 
distância (L/3) da extremidade 
inferior. Um bombeiro de 
massa M=72kg sobe na escada 
até que seu centro de massa 
esteja a uma distância L/2 da 
extremidade inferior. Quais 
são, neste momento, os 
módulos das forças exercidas 
pelo muro e pelo piso sobre a 
escada? 
Exemplo 12-3: 
A fig. (12-7a) mostra um cofre, de massa 
M=430kg, pendurado por uma corda presa 
a uma lança de guindaste de dimensões 
a=1,9m e b=2,5m. A lança é composta por 
uma viga articulada e um cabo horizontal. 
A viga, feita de material uniforme, tem uma 
massa m de 85 kg; as massas do cabo e da 
corda são desprezíveis. (a) Qual é a tensão 
Tcabo do cabo? Em outras palavras, qual é o 
módulo da força Tcabo exercida pelo cabo 
sobre a viga? 
(12-11) 
Estruturas Indeterminadas 
Para resolver os problemas anteriores, temos apenas três 
equações independentes à nossa disposição, em geral duas 
equações de equilíbrio de forças e uma equação de equilíbrio de 
torques em relação a um certo eixo de rotação. Portanto, se um 
problema tiver mais de três incógnitas não podemos resolvê-lo. 
Um exemplo: Considere um carro assimetricamente carregado. 
Quais são as forças, todas diferentes, que agem sobre os quatro 
pneus? 
Este problema não pode ser resolvido, pois temos apenas três 
equações independentes para trabalhar. Problemas como esse, 
nos quais existem mais incógnitas do que equações, são 
chamados de indeterminados. 
Para resolver esses problemas de equilíbrio 
estático indeterminado precisamos suplementar 
as equações de equilíbrio com conhecimentos 
de elasticidade. 
Elasticidade 
Todos os corpos “rígidos” reais são na 
verdade ligeiramente elásticos. 
Tensão = (Módulo de Elasticidade) x Deformação 
Tensão hidrostática 
Tensão Trativa 
Tensão Cisalhamento 
Rede cristalina tridimensional: arranjo 
repetitivo no qual cada átomo está a uma 
distância de equilíbrio bem definida dos 
vizinhos mais próximos. Os átomos são 
mantidos unidos por forças 
interatômicas, representadas por molas. 
Deformação: 
Tração e Compressão 
Módulo de Young: E – 
dimensao de tensão. 
𝐹
𝐴
=ܧ
߂ܮ
𝐿
 
Δ𝐿
𝐿
= 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 − 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎
𝑎𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜𝑓𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑎𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎.
 
(12-8) 
Cisalhamento 
𝐹
𝐴
=ܩ
߂ݔ
𝐿
 
Tensão Hidrostática 
݌=ܤ
߂ܸ
𝑉
 
Exemplo 12-5: 
Uma extremidade de uma barra de aço de raio R=9,5 mm e comprimento L=81cm 
é presa a um torno, e uma força de módulo F=62 kN é aplicada 
perpendicularmente à outra extremidade (uniformemente ao longo da seção reta). 
Quais são: a tensão, o alongamento (ΔL) e a deformação da barra? 
Dados: E = 2,0 x 1011 N/m2.

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