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Cálculo diferencial e Integral II
Integrais Impróprias
Profa. Rosana Marques da Silva
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
Maio - 2014
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 1 / 66
Sumário
1 Integrais definidas e áreas
2 Integrais Impróprias
Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
Teste da Comparação
Integrais com integrando infinito
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 2 / 66
Sumário
1 Integrais definidas e áreas
2 Integrais Impróprias
Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
Teste da Comparação
Integrais com integrando infinito
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 3 / 66
Integral definida
Seja f uma função continua no intervalo fechado
[a,b]⊂ R. ∫ b
a
f (x)dx = F (b)−F (a),
onde F é uma primitiva de f , ou seja,
F ′(x) = f (x).
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 4 / 66
Integral definida e área
A integral
∫ b
a
f (x)dx e a área da região R.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 5 / 66
Integral definida e área
A área da região R é determinada por:∫ 9
1
1
x2
dx =−1
x
∣∣∣9
1
=−1
9
+1 =
8
9
u.a.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 6 / 66
Integral definida e área
Àrea da região R = Área de R1 + Área de R2
=
∫ c
a
f (x)dx −
∫ b
c
f (x)dx .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 7 / 66
Integrais e áreas infinitas
Problema 1: Calcular a área da região R
determinada pelo gráfico de y =
1
x2
, x ≥ 1 e o eixo
OX .
A região R é ilimitada.
É possível determinar a área de uma região
ilimitada?
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 8 / 66
Integrais e áreas infinitas
Problema 1: Calcular a área da região R
determinada pelo gráfico de y =
1
x2
, x ≥ 1 e o eixo
OX .
A região R é ilimitada.
É possível determinar a área de uma região
ilimitada?
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 8 / 66
Integrais e áreas infinitas
Problema 1: Calcular a área da região R
determinada pelo gráfico de y =
1
x2
, x ≥ 1 e o eixo
OX .
A região R é ilimitada.
É possível determinar a área de uma região
ilimitada?
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 8 / 66
Integrais e áreas infinitas
Problema 1: Calcular a área da região Rb
determinada pelo gráfico de y =
1
x2
, 1≤ x ≤ b e o
eixo OX .
Área de Rb =
∫ b
1
1
x2
dx =−1
x
∣∣∣b
1
= (−1
b
+1) = 1− 1
b
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 9 / 66
Integrais e áreas infinitas
Problema 1: Calcular a área da região Rb
determinada pelo gráfico de y =
1
x2
, 1≤ x ≤ b e o
eixo OX .
Área de Rb =
∫ b
1
1
x2
dx =−1
x
∣∣∣b
1
= (−1
b
+1) = 1− 1
b
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 9 / 66
Integrais e áreas infinitas
Área de Rb = (1−
1
b
) ≈ Área de R.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 10 / 66
Integrais e áreas infinitas
Isto nos induz a escrever:
A(R) = lim
b→∞
A(Rb)
= lim
b→∞
∫ b
1
1
x2
dx = lim
b→∞
(− 1
x
∣∣∣b
1
)
= lim
b→∞
(−1
b
+1) = 1.
Esta integral é um exemplo de integral imprópria
com limite de integração infinito.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 11 / 66
Integrais e áreas infinitas
Isto nos induz a escrever:
A(R) = lim
b→∞
A(Rb)
= lim
b→∞
∫ b
1
1
x2
dx = lim
b→∞
(− 1
x
∣∣∣b
1
)
= lim
b→∞
(−1
b
+1) = 1.
Esta integral é um exemplo de integral imprópria
com limite de integração infinito.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 11 / 66
Integrais e áreas infinitas
Problema 2: Calcular a área da região R
determinada pelo gráfico de y =
1√
x
, 0 < x ≤ 9 e o
eixo OX .
A função f não está definida no ponto x = 0.
A região R é ilimitada.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 12 / 66
Integrais e áreas infinitas
Problema 2: Calcular a área da região R
determinada pelo gráfico de y =
1√
x
, 0 < x ≤ 9 e o
eixo OX .
A função f não está definida no ponto x = 0.
A região R é ilimitada.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 12 / 66
Integrais e áreas infinitas
Problema 2: Calcular a área da região R
determinada pelo gráfico de y =
1√
x
, 0 < x ≤ 9 e o
eixo OX .
A função f não está definida no ponto x = 0.
A região R é ilimitada.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 12 / 66
Integrais e áreas infinitas
A região Rε é uma região determinada pelo gráfico
de y =
1√
x
, ε ≤ x ≤ 9, ε > 0 (ε pequeno) e o eixo OX .
A área de Rε =
∫ 9
ε
1√
x
= 2
√
x
∣∣∣9
ε
= 6−2√ε.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 13 / 66
Integrais e áreas infinitas
Área de Rε = (6−2
√
ε) ≈ Área de R = A(R).
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 14 / 66
Integrais e áreas infinitas
Isto nos leva a escrever:
A(R) = lim
ε→0+
(6−2√ε) = 6 u.a
A integral
∫ 9
ε
1√
x
dx é um exemplo de integral
imprópria com integrando ilimitado.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 15 / 66
Sumário
1 Integrais definidas e áreas
2 Integrais Impróprias
Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
Teste da Comparação
Integrais com integrando infinito
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 16 / 66
Integral Imprópria
Consideremos os seguintes casos:
Tipo I. Funções definidas em intervalos do tipo
[a,+∞), (−∞,b] ou (−∞,+∞),
e as integrais∫ ∞
a
f (x)dx ,
∫ b
−∞
f (x)dx ou
∫ ∞
−∞
f (x)dx .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 17 / 66
Integral Imprópria
Consideremos os seguintes casos:
Tipo 2. Funções definidas em intervalos do tipo
[a,c)∪ (c,b],
, com assíntota em x = c e a integral∫ b
a
f (x)dx , c ∈ [a,b].
As integrais (Tipo I e Tipo II) são chamadas de
integrais improprias.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 18 / 66
Integral Imprópria
Consideremos os seguintes casos:
Tipo 2. Funções definidas em intervalos do tipo
[a,c)∪ (c,b],
, com assíntota em x = c e a integral∫ b
a
f (x)dx , c ∈ [a,b].
As integrais (Tipo I e Tipo II) são chamadas de
integrais improprias.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 18 / 66
Sumário
1 Integrais definidas e áreas
2 Integrais Impróprias
Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
Teste da Comparação
Integrais com integrando infinito
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 19 / 66
Integral Imprópria do tipo I
Definição: Integrais com limites de integração
infinitos são denominadas de integrais improprias
do tipo I.
Caso 1. Se f (x) é continua em [a,∞), então∫ ∞
a
f (x)dx = lim
b→∞
∫ b
a
f (x)dx .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 20 / 66
Integral Imprópria do tipo I
Definição: Integrais com limites de integração
infinitos são denominadas de integrais improprias
do tipo I.
Caso 2. Se f (x) é continua em (−∞,b], então∫ b
−∞
f (x)dx = lim
a→−∞
∫ b
a
f (x)dx .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 21 / 66
Integral Imprópria do tipo I
Definição: Integrais com limites de integraçãoinfinitos são denominadas de integrais improprias
do tipo I.
Caso 3. Se f (x) é continua em (−∞,∞), então∫ ∞
−∞
f (x)dx =
∫ c
−∞
f (x)dx +
∫ ∞
c
f (x)dx , c ∈ R.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 22 / 66
Integral Imprópria do tipo I
Integrais com limites de integração infinitos (Tipo I).
Em todos os casos, se o resultado do limite (da
integral definida) existe (é um número real),
dizemos que a integral imprópria converge e o
valor da integral imprópria é igual ao limite
encontrado.
Caso contrário, dizemos que a integral imprópria
diverge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 23 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 1.
∫ ∞
0
dx
1+x2
.
∫ ∞
0
dx
1+x2
= lim
b→∞
∫ b
0
dx
1+x2
= lim
b→∞
arctan(x)
∣∣∣b
0
= lim
b→∞
arctan(b) =
pi
2
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 24 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 1.
∫ ∞
0
dx
1+x2
.
∫ ∞
0
dx
1+x2
= lim
b→∞
∫ b
0
dx
1+x2
= lim
b→∞
arctan(x)
∣∣∣b
0
= lim
b→∞
arctan(b) =
pi
2
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 24 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 2.
∫ ∞
0
e−x dx .
∫ ∞
0
e−x dx = lim
b→∞
∫ b
0
e−x dx
= lim
b→∞
(−e−x
∣∣∣b
0
) = lim
b→∞
(−e−b+1) = 1.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 25 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 2.
∫ ∞
0
e−x dx .
∫ ∞
0
e−x dx = lim
b→∞
∫ b
0
e−x dx
= lim
b→∞
(−e−x
∣∣∣b
0
) = lim
b→∞
(−e−b+1) = 1.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 25 / 66
Integral Imprópria do tipo I
Observações:
No caso 3, o termo a direita da igualdade∫ ∞
−∞
f (x)dx =
∫ c
−∞
f (x)dx +
∫ ∞
c
f (x)dx , c ∈ R,
é constituído pela soma de dois limites e não pelo
limite de uma soma.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 26 / 66
Integral Imprópria do tipo I
Observações:∫ ∞
−∞
f (x)dx =
∫ c
−∞
f (x)dx +
∫ ∞
c
f (x)dx , c ∈ R.
Se o resultado de cada um dos limites for um
número real, a integral converge e, caso contrário,
ela diverge.
A integral será divergente se uma das duas
integrais do termo a direita for divergente.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 27 / 66
Integral Imprópria do tipo I
Observações:∫ ∞
−∞
f (x)dx =
∫ c
−∞
f (x)dx +
∫ ∞
c
f (x)dx , c ∈ R.
Se o resultado de cada um dos limites for um
número real, a integral converge e, caso contrário,
ela diverge.
A integral será divergente se uma das duas
integrais do termo a direita for divergente.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 27 / 66
Integral Imprópria do tipo I
∫ ∞
−∞
f (x)dx 6= lim
b→∞
∫ b
−b
f (x)dx .
Calcular
∫ ∞
0
2x
x2+1
dx .
A integral
∫ ∞
0
2x
x2+1
dx diverge.
Logo, por definição, a integral
∫ ∞
−∞
2x
x2+1
dx
diverge.
Verificar que lim
b→∞
∫ b
−b
2x
x2+1
dx = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 28 / 66
Integral Imprópria do tipo I
∫ ∞
−∞
f (x)dx 6= lim
b→∞
∫ b
−b
f (x)dx .
Calcular
∫ ∞
0
2x
x2+1
dx .
A integral
∫ ∞
0
2x
x2+1
dx diverge.
Logo, por definição, a integral
∫ ∞
−∞
2x
x2+1
dx
diverge.
Verificar que lim
b→∞
∫ b
−b
2x
x2+1
dx = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 28 / 66
Integral Imprópria do tipo I
∫ ∞
−∞
f (x)dx 6= lim
b→∞
∫ b
−b
f (x)dx .
Calcular
∫ ∞
0
2x
x2+1
dx .
A integral
∫ ∞
0
2x
x2+1
dx diverge.
Logo, por definição, a integral
∫ ∞
−∞
2x
x2+1
dx
diverge.
Verificar que lim
b→∞
∫ b
−b
2x
x2+1
dx = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 28 / 66
Integral Imprópria do tipo I
∫ ∞
−∞
f (x)dx 6= lim
b→∞
∫ b
−b
f (x)dx .
Calcular
∫ ∞
0
2x
x2+1
dx .
A integral
∫ ∞
0
2x
x2+1
dx diverge.
Logo, por definição, a integral
∫ ∞
−∞
2x
x2+1
dx
diverge.
Verificar que lim
b→∞
∫ b
−b
2x
x2+1
dx = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 28 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 3.
∫ ∞
−∞
e−x dx .
∫ ∞
−∞
e−x dx =
∫ 0
−∞
e−x dx +
∫ ∞
0
e−x dx .
∫ ∞
0
e−x dx = 1. Converge (Exemplo 2) e
∫ 0
−∞
e−x dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
e−x dx = lim
a→−∞(−e
−x
∣∣∣0
a
)
= lim
a→−∞(−1+ e
−a) = ∞. Diverge.
Logo, a integral dada diverge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 29 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 3.
∫ ∞
−∞
e−x dx .
∫ ∞
−∞
e−x dx =
∫ 0
−∞
e−x dx +
∫ ∞
0
e−x dx .
∫ ∞
0
e−x dx = 1. Converge (Exemplo 2) e
∫ 0
−∞
e−x dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
e−x dx = lim
a→−∞(−e
−x
∣∣∣0
a
)
= lim
a→−∞(−1+ e
−a) = ∞. Diverge.
Logo, a integral dada diverge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 29 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 3.
∫ ∞
−∞
e−x dx .
∫ ∞
−∞
e−x dx =
∫ 0
−∞
e−x dx +
∫ ∞
0
e−x dx .
∫ ∞
0
e−x dx = 1. Converge (Exemplo 2) e
∫ 0
−∞
e−x dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
e−x dx = lim
a→−∞(−e
−x
∣∣∣0
a
)
= lim
a→−∞(−1+ e
−a) = ∞. Diverge.
Logo, a integral dada diverge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 29 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 3.
∫ ∞
−∞
e−x dx .
∫ ∞
−∞
e−x dx =
∫ 0
−∞
e−x dx +
∫ ∞
0
e−x dx .
∫ ∞
0
e−x dx = 1. Converge (Exemplo 2) e
∫ 0
−∞
e−x dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
e−x dx = lim
a→−∞(−e
−x
∣∣∣0
a
)
= lim
a→−∞(−1+ e
−a) = ∞. Diverge.
Logo, a integral dada diverge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 29 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 4.
∫ ∞
−∞
x
(1+x2)2
dx .
∫ ∞
−∞
x
(1+x2)2
dx =
∫ 0
−∞
x
(1+x2)2
dx +
∫ ∞
0
x
(1+x2)2
dx .
Calculado a integral indefinida
∫ x
(1+x2)2
dx .
Fazendo u = 1+x2, du = 2x dx , temos∫ x
(1+x2)2
dx =
1
2
∫ du
(u)2
=− 1
2u
+C=− 1
2(1+x2)
+C.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 30 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 4.
∫ ∞
−∞
x
(1+x2)2
dx .
∫ ∞
−∞
x
(1+x2)2
dx =
∫ 0
−∞
x
(1+x2)2
dx +
∫ ∞
0
x
(1+x2)2
dx .
Calculado a integral indefinida
∫ x
(1+x2)2
dx .
Fazendo u = 1+x2, du = 2x dx , temos∫ x
(1+x2)2
dx =
1
2
∫ du
(u)2
=− 1
2u
+C=− 1
2(1+x2)
+C.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 30 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 4.
∫ ∞
−∞
x
(1+x2)2
dx .
∫ ∞
−∞
x
(1+x2)2
dx =
∫ 0
−∞
x
(1+x2)2
dx +
∫ ∞
0
x
(1+x2)2
dx .
Calculado a integral indefinida
∫ x
(1+x2)2
dx .
Fazendo u = 1+x2, du = 2x dx , temos∫ x
(1+x2)2
dx =
1
2
∫ du
(u)2
=− 1
2u
+C=− 1
2(1+x2)
+C.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 30 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
∫ 0
−∞
x
(1+x2)2
dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
x
(1+x2)2
dx
= lim
a→−∞(−
1
2(1+x2)
∣∣∣0
a
) =−1
2
e
∫ ∞
0
x
(1+x2)2
dx = lim
b→∞
∫ b
0
x
(1+x2)2
dx =
1
2
.
Logo,
∫ ∞
∞
x
(1+x2)2
dx = 0.
A integral imprópria converge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 31 / 66
Integral Imprópria - Exemplos∫ 0
−∞
x
(1+x2)2
dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
x
(1+x2)2
dx
= lim
a→−∞(−
1
2(1+x2)
∣∣∣0
a
) =−1
2
e
∫ ∞
0
x
(1+x2)2
dx = lim
b→∞
∫ b
0
x
(1+x2)2
dx =
1
2
.
Logo,
∫ ∞
∞
x
(1+x2)2
dx = 0.
A integral imprópria converge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 31 / 66
Integral Imprópria - Exercícios
Verificar a convergência das integrais.
1.
∫ ∞
1
ln z
z
dz
2.
∫ 0
−∞
x e3x dx
3.
∫ +∞
−∞
dx
4x2+9
4.
∫ +∞
1
3x −1
4x3−x2 dx
5.
∫ +∞
1
dx
(x +1)(x2+1)
6.
∫ +∞
1
e−x
2
dx
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 32 / 66
Integral Imprópria - Teste da Comparação
Teste da Comparação permite avaliar se uma
integral imprópria é convergente ou divergente,
comparando-a com outra cuja convergência ou
divergência seja conhecida.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 33 / 66
Integral Imprópria - Teste da Comparação
Proposição: Teste da comparação direta.
Sejam f e g funções integráveis em [a,+∞) tais que
0 < f (x)≤ g(x) para todo x ≥ a.
1
∫ ∞
a
f (x)dx converge, se
∫ ∞
a
g(x)dx converge;
2
∫ ∞
a
g(x)dx diverge, se
∫ ∞
a
f (x)dx diverge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 34 / 66
Integral Imprópria - Teste da comparação
Seja f (x)≥ 0, para todo x ≥ a.
Para mostrar a convergência da integral de f , é
preciso que f seja menor que uma função cuja
integral imprópria seja convergente.
Para mostrar a divergência da integral de f, é
preciso que f seja maior que uma função cuja
integral imprópria seja divergente.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 35 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Análise da convergência - teste da comparação.
Exemplo 1.
∫ ∞
1
e−x
2
dx .
Observemos que e−x2 ≤ e−x, para x ≥ 1,
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 36 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Análise da convergência - teste da comparação.
Exemplo 1.
∫ ∞
1
e−x
2
dx .
Observemos que e−x2 ≤ e−x, para x ≥ 1 e a
integral,∫ ∞
1
e−x dx = lim
b→∞
∫ b
1
e−x dx = lim
b→∞
(
1
e
− 1
eb
) =
1
e
,
converge.
Logo, pelo teste da comparação, a integral
dada converge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 37 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Análise da convergência - teste da comparação.
Exemplo 1.
∫ ∞
1
e−x
2
dx .
Observemos que e−x2 ≤ e−x, para x ≥ 1 e a
integral,∫ ∞
1
e−x dx = lim
b→∞
∫ b
1
e−x dx = lim
b→∞
(
1
e
− 1
eb
) =
1
e
,
converge. Logo, pelo teste da comparação, a integral
dada converge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 37 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 2.
∫ ∞
1
sen(x)+2√
x
dx .
Sabemos que −1 ≤ sen(x) ≤ 1, logo
1√
x
=
−1+2√
x
≤ sen(x)+2√
x
≤ 1+2√
x
=
3√
x
,
e ∫ ∞
1
1√
x
dx = lim
b→∞
∫ b
1
1√
x
dx = lim
b→∞
(2
√
b−2) = ∞.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 38 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 2.
∫ ∞
1
sen(x)+2√
x
dx .
Sabemos que −1 ≤ sen(x) ≤ 1,
logo
1√
x
=
−1+2√
x
≤ sen(x)+2√
x
≤ 1+2√
x
=
3√
x
,
e ∫ ∞
1
1√
x
dx = lim
b→∞
∫ b
1
1√
x
dx = lim
b→∞
(2
√
b−2) = ∞.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 38 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 2.
∫ ∞
1
sen(x)+2√
x
dx .
Sabemos que −1 ≤ sen(x) ≤ 1, logo
1√
x
=
−1+2√
x
≤ sen(x)+2√
x
≤ 1+2√
x
=
3√
x
,
e ∫ ∞
1
1√
x
dx = lim
b→∞
∫ b
1
1√
x
dx = lim
b→∞
(2
√
b−2) = ∞.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 38 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 2.
∫ ∞
1
sen(x)+2√
x
dx .
Sabemos que −1 ≤ sen(x) ≤ 1, logo
1√
x
=
−1+2√
x
≤ sen(x)+2√
x
≤ 1+2√
x
=
3√
x
,
e ∫ ∞
1
1√
x
dx = lim
b→∞
∫ b
1
1√
x
dx = lim
b→∞
(2
√
b−2) = ∞.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 38 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 2.
∫ ∞
1
sen(x)+2√
x
dx .
Como
1√
x
≤ sen(x)+2√
x
e a integral ∫ ∞
1
1√
x
dx
diverge, pelo teste da comparação, a integral dada
também diverge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 39 / 66
Integral Imprópria - - Teste da comparação
Preposição: Teste da comparação no limite.
Sejam f e g funções integráveis e positivas em
[a,+∞).
Se
lim
x→∞
f (x)
g(x)
= L, 0 < L< ∞,
então ∫ ∞
a
f (x)dx e
∫ ∞
a
g(x)dx ,
são ambas convergentes ou ambas divergentes.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 40 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo:
∫ ∞
0
dx
e−x + ex
.
Sabemos que
∫ ∞
0
dx
ex
converge e
lim
x→∞
1
e−x+ex
1
ex
= 1.
Logo, pelo teste da comparação no limite, a integral
dada converge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 41 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo:
∫ ∞
0
dx
e−x + ex
.
Sabemos que
∫ ∞
0
dx
ex
converge e
lim
x→∞
1
e−x+ex
1
ex
= 1.
Logo, pelo teste da comparação no limite, a integral
dada converge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 41 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo:
∫ ∞
0
dx
e−x + ex
.
Sabemos que
∫ ∞
0
dx
ex
converge e
lim
x→∞
1
e−x+ex
1
ex
= 1.
Logo, pelo teste da comparação no limite, a integral
dada converge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 41 / 66
Integral Imprópria - Teste da comparação
Atenção:
Para aplicar o teste da Comparação (direta ou no
limite) devemos ter o cuidado de verificar se as
funções envolvidas são positivas em todo
intervalo de integração.
Para aplicar o teste da Comparação (direta ou no
limite) devemos ter um "banco" de integrais
impróprias com comportamento conhecido.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 42 / 66
Integral Imprópria - Exercícios
Determine os valores de p, p real, onde as integrais
abaixo são convergentes.
1.
∫ ∞
1
dx
xp
2.
∫ 1
0
dx
xp
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 43 / 66
Integral Imprópria - Exercícios
Os valores de p, p real, onde as integrais
∫ ∞
1
dx
xp
são
convergentes ou divergentes.
1. Se p < 1, a integral
∫ ∞
1
dx
xp
diverge.
2. Se p > 1, a integral
∫ ∞
1
dx
xp
=
−1
1−p =
1
p−1,
ou seja, converge.
3. Se p = 1, a integral
∫ ∞
1
dx
xp
diverge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 44 / 66
Integral Imprópria - Exercícios
Determine os valores de p, p real, onde as integrais
abaixo são convergentes.
1.
∫ ∞
1
dx
xp
2.
∫ 1
0
dx
xp
Observemos que, neste caso, f tende ao
infinito quando x → 0, ou seja, temos uma
integral imprópria do tipo 2.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 45 / 66
Integral Imprópria - Exercícios
Determine os valores de p, p real, onde as integrais
abaixo são convergentes.
1.
∫ ∞
1
dx
xp
2.
∫ 1
0
dx
xp
Observemos que, neste caso, f tende ao
infinito quando x → 0, ou seja, temos uma
integral imprópria do tipo 2.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 45 / 66
Sumário
1 Integrais definidas e áreas
2 IntegraisImpróprias
Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
Teste da Comparação
Integrais com integrando infinito
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 46 / 66
Integral Imprópria do tipo II
Definição: Integrais de funções que se tornam
infinitas em um ponto dentro do intervalo de
integração são chamadas de integrais impróprias
do tipo II.
Caso 1. Se f (x) é continua em (a,b] e se torna
infinita em a, então∫ b
a
f (x)dx = lim
c→a+
∫ b
c
f (x)dx .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 47 / 66
Integral Imprópria do tipo II
Definição: Integrais de funções que se tornam
infinitas em um ponto dentro do intervalo de
integração são chamadas de integrais impróprias
do tipo II.
Caso 2. Se f (x) é continua em [a,b) e se torna
infinita em b, então∫ b
a
f (x)dx = lim
c→b−
∫ c
a
f (x)dx .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 48 / 66
Integral Imprópria do tipo II
Definição: Integrais de funções que se tornam
infinitas em um ponto dentro do intervalo de
integração são chamadas de integrais impróprias
do tipo II.
Caso 3. Se f (x) se torna infinita em c, onde
a< c < b, e continua em [a,c)∪ (c,b], então∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 49 / 66
Integral Imprópria do tipo II
Em todos os casos, se o limite for finito, dizemos
que a integral imprópria converge e que o limite é
o valor da integral imprópria.
Caso contrário, dizemos que a integral imprópria
diverge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 50 / 66
Integral Imprópria do tipo II
Observações:
No caso 3, o termo a direita da igualdade∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx , c ∈ [a,b],
é constituído pela soma de dois limites e não pelo
limite de uma soma.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 51 / 66
Integral Imprópria do tipo II
Observações:∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx . c ∈ [a,b].
Se o resultado de cada um dos limites for um
número real a integral converge, caso contrário,
ela diverge.
A integral será divergente se uma das duas
integrais do termo a direita for divergente.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 52 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 1. Calcule
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx .
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx = lim
c→0+
∫ pi
2
c
cos x√
senx
dx .
Fazendo u = senx , temos∫ cos x)√
senx
dx =
∫ du√
u
= 2
√
u+C = 2
√
senx +C.
Assim,
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx = lim
c→0+
(2
√
senx)
∣∣∣pi2
c
= 2.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 53 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 1. Calcule
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx .
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx = lim
c→0+
∫ pi
2
c
cos x√
senx
dx .
Fazendo u = senx , temos∫ cos x)√
senx
dx =
∫ du√
u
= 2
√
u+C = 2
√
senx +C.
Assim,
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx = lim
c→0+
(2
√
senx)
∣∣∣pi2
c
= 2.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 53 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 1. Calcule
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx .
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx = lim
c→0+
∫ pi
2
c
cos x√
senx
dx .
Fazendo u = senx , temos∫ cos x)√
senx
dx =
∫ du√
u
= 2
√
u+C = 2
√
senx +C.
Assim,
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx = lim
c→0+
(2
√
senx)
∣∣∣pi2
c
= 2.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 53 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 1. Calcule
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx .
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx = lim
c→0+
∫ pi
2
c
cos x√
senx
dx .
Fazendo u = senx , temos∫ cos x)√
senx
dx =
∫ du√
u
= 2
√
u+C = 2
√
senx +C.
Assim,
∫ pi
2
0
cos x√
senx
dx = lim
c→0+
(2
√
senx)
∣∣∣pi2
c
= 2.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 53 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 2.
∫ 2
0
dx√
4−x2
.
∫ 2
0
dx√
4−x2
= lim
c→2−
∫ c
0
dx√
4−x2
= lim
c→2−
(arcsen
x
2
∣∣∣c
0
) =
pi
2
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 54 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 2.
∫ 2
0
dx√
4−x2
.
∫ 2
0
dx√
4−x2
= lim
c→2−
∫ c
0
dx√
4−x2
= lim
c→2−
(arcsen
x
2
∣∣∣c
0
) =
pi
2
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 54 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 2.
∫ 2
0
dx√
4−x2
.
∫ 2
0
dx√
4−x2
= lim
c→2−
∫ c
0
dx√
4−x2
= lim
c→2−
(arcsen
x
2
∣∣∣c
0
) =
pi
2
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 54 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 3.
∫ 1
−4
dx
3
√
x +2
.
∫ 1
−4
dx
3
√
x +2
=
∫ −2
−4
dx
3
√
x +2
+
∫ 1
−2
dx
3
√
x +2
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 55 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 3.
∫ 1
−4
dx
3
√
x +2
.
∫ 1
−4
dx
3
√
x +2
=
∫ −2
−4
dx
3
√
x +2
+
∫ 1
−2
dx
3
√
x +2
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 55 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
∫ −2
−4
dx
3
√
x +2
= lim
c→(−2)−
∫ c
−4
dx
3
√
x +2
= lim
c→(−2)−
[
3
2
(x +2)
2
3
∣∣∣c−4]
=
3
2
lim
c→(−2)−
[ 3
√
(c+2)2− 3
√
4] =−3
2
3
√
4.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 56 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
∫ −2
−4
dx
3
√
x +2
= lim
c→(−2)−
∫ c
−4
dx
3
√
x +2
= lim
c→(−2)−
[
3
2
(x +2)
2
3
∣∣∣c−4]
=
3
2
lim
c→(−2)−
[ 3
√
(c+2)2− 3
√
4] =−3
2
3
√
4.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 56 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
∫ 1
−2
dx
3
√
x +2
= lim
c→(−2)+
∫ 1
c
dx
3
√
x +2
= lim
c→(−2)+
( 3
√
(x +2)2
∣∣∣1
c
)
=
3
2
lim
c→(−2)+
[ 3
√
(3)2− 3
√
(c+2)2] =
3
2
(
3
√
9).
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 57 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo 3.
∫ 1
−4
dx
3
√
x +2
.
∫ 1
−4
dx
3
√
x +2
=
∫ −2
−4
dx
3
√
x +2
+
∫ 1
−2
dx
3
√
x +2
.
As integrais,∫ −2
−4
dx
3
√
x +2
=−3
3
√
4
2
e
∫ 1
−2
dx
3
√
x +2
=
3 3
√
9
2
,
são convergentes.
Portanto,
∫ 1
−4
dx
3
√
x +2
=−3
3
√
4
2
+
3 3
√
9
2
=
3
2
(
3
√
9− 3
√
4).
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 58 / 66
Integral Imprópria - Tipo I e II
Observação:
Seja f continua em (a,∞) e se torna infinita em x = a,
então∫ ∞
a
f (x)dx = lim
m→a+
∫ c
m
f (x)dx + lim
b→∞
∫ b
c
f (x)dx ,
onde a< c;
Os demais casos são resolvidos de forma análoga.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 59 / 66
Integral Imprópria - Tipo I e II
Observação:
Seja f continua em (a,∞) e se torna infinita em x = a,
então∫ ∞
a
f (x)dx = lim
m→a+
∫ c
m
f (x)dx + lim
b→∞
∫ b
c
f (x)dx ,
onde a< c;
Os demais casos são resolvidos de forma análoga.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 59 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo:
∫ ∞
2
dx
x
√
x2−4
.
∫ ∞
2
dxx
√
x2−4
=
∫ 3
2
dx
x
√
x2−4
+
∫ ∞
3
dx
x
√
x2−4
.
∫ 3
2
dx
x
√
x2−4
= lim
c→2+
∫ 3
c
dx
x
√
x2−4
=
1
2
lim
c→2+
(arcsec
x
2
∣∣∣3
c
)
=
1
2
(arcsec
3
2
) e
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 60 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
Exemplo:
∫ ∞
2
dx
x
√
x2−4
.∫ ∞
2
dx
x
√
x2−4
=
∫ 3
2
dx
x
√
x2−4
+
∫ ∞
3
dx
x
√
x2−4
.
∫ 3
2
dx
x
√
x2−4
= lim
c→2+
∫ 3
c
dx
x
√
x2−4
=
1
2
lim
c→2+
(arcsec
x
2
∣∣∣3
c
)
=
1
2
(arcsec
3
2
) e
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 60 / 66
Integral Imprópria - Exemplos
∫ ∞
3
dx
x
√
x2−4
= lim
b→∞
∫ b
3
dx
x
√
x2−4
=
1
2
lim
b→∞
(arcsec
x
2
∣∣∣b
3
)
=
1
2
(
pi
2
−arcsec 3
2
).
Assim,
∫ ∞
2
dx
x
√
x2−4
=
pi
4
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 61 / 66
Integral Imprópria - Exercícios
Determine os valores de p, p real, onde as integrais
abaixo são convergentes.
1.
∫ ∞
1
dx
xp
2.
∫ 1
0
dx
xp
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 62 / 66
Integral Imprópria - Exercícios
Os valores de p, p real, onde a integral
∫ ∞
1
dx
xp
é
convergentes ou divergente.
1. Se p < 1, a integral
∫ ∞
1
dx
xp
diverge.
2. Se p > 1, a integral
∫ ∞
1
dx
xp
=
−1
1−p =
1
p−1,
ou seja, converge.
3. Se p = 1, a integral
∫ ∞
1
dx
xp
diverge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 63 / 66
Integral Imprópria - Exercícios
Os valores de p, p real, onde a integral
∫ 1
0
dx
xp
é
convergentes ou divergente.
1. Se p < 1, a integral
∫ 1
0
dx
xp
=
1
1−p , ou seja,
converge.
2. Se p > 1, a integral
∫ 1
0
dx
xp
diverge.
3. Se p = 1, a integral
∫ 1
0
dx
xp
diverge.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 64 / 66
Integral Imprópria - Exercícios
Verifique a convergência, em caso afirmativo, se
possível, determine o valor da integral imprópria.
1. ∫ 1
0
(− ln x)dx .
2.
∫ 2
0
dx√|x −1|.
3.
∫ ∞
1
dx
1+ ex
.
4.
∫ 1
0
dx√
1−x2
.
5.
∫ ∞
1
dx
x2−1.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 65 / 66
Integral Imprópria - Exercícios
Livro Texto
Exercícios 8.7 - 1 até 65 - 12a Edição (página 493)
(ou Exercícios 7.7 - 10a Edição (página 573)
ou Exercícios 8.8 - 11a Edição (página 623)).
FIM.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 66 / 66
Integral Imprópria - Exercícios
Livro Texto
Exercícios 8.7 - 1 até 65 - 12a Edição (página 493)
(ou Exercícios 7.7 - 10a Edição (página 573)
ou Exercícios 8.8 - 11a Edição (página 623)).
FIM.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Maio - 2014 66 / 66
	Integrais definidas e áreas
	Integrais Impróprias
	Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
	Integrais com integrando infinito