Aula 7 Professor Gastão

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Cap. 7: Estimação de Parâmetros
Conceitos a serem introduzidos neste capítulo:
Estimador pontual
Viés de um estimador, Estimador não tendencioso
Erro Quadrático Médio
Conceito amostral x Conceito populacionalConceito amostral x Conceito populacional
Erro absoluto e erro relativo de uma estimativa pontual
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança
Inferência Estatística
Figura 3.1 As etapas típicas do tratamento estatístico de um problema 
real
Conhecimentos Factuais
Poder de Abstração Modelo Probabilístico Teórico
RespostasDados Reais
Conhecimento de Técnicas de 
Inferência Estatística
Paramétricos
Não Paramétricos
Pontual
Por Intervalo
Estimação de Parâmetros
Testes de Hipótese
Grandes Temas da
Inferência Estatística
Estimação Pontual de Parâmetros
Dado um modelo que pretende descrever
probabilisticamente uma dada realidade, como estimar os
valores de determinados parâmetros a partir de um conjunto
de dados?
Exemplos:
(a) Estimar a proporção p de pessoas que sofrem de
uma determinada doença em dada população.uma determinada doença em dada população.
Modelo: Bernoulli(p)
(b) Estimar o valor médio µ e o desvio padrão σ dos
logaritmos dos depósitos em conta corrente em uma agência
bancária.
Modelo: Normal( µ, σ )
(Por que tomar logaritmos?)
Conceitos Básicos
Suponha que a variável aleatória que descreve o
comportamento do fenômeno em exame tem densidade f ,
que depende do parâmetro θ (desconhecido).
Como estimar o valor do parâmetro θ a partir de n 
observações (dados, medições) independentes 
x1, x2, x3, ..., xn dessa variável?
Admitiremos que cada valor observado xi corresponde
a uma variável aleatória Xi, i=1, 2, ..., n.
Conceitos Básicos(Cont.)
Temos então n variáveis aleatórias iid X1, X2, X3, ...,
Xn, ou seja,
- elas são independentes entre si;
- todas obedecem ao mesmo modelo probabilístico f, que
depende de θ (parâmetro a ser estimado) .
Um estimador pontual, de θ é, portanto, uma
função das variáveis aleatórias X1, X2, X3, ..., Xn, cujo valor,
espera-se, está perto do verdadeiro valor de θ.
Obs.: Como é função de X1, X2, X3, ..., Xn, ele é também
uma variável aleatória e portanto podemos falar em E( ),
Var( ), etc.
ɵθ
ɵθ
ɵθ
ɵθ
No exemplo anterior (a), uma vez coletada uma amostra
aleatória com n pessoas da população, temos n variáveis aleatórias
X1, X2, X3, ..., Xn, onde :
Xi = 1, se a pessoa sofre da doença considerada e
Xi = 0, caso contrário, i = 1, 2, ..., n
Além disso, p = P[X = 1], ∀ i
Exemplos
X
n
∑Além disso, p = P[Xi = 1], ∀ i
Neste caso, um estimador natural de p seria ( ou
seja, é a proporção de pessoas na amostra que sofrem daquela
doença).
Como Y = é uma Binomial com parâmetros n e p, E(Y) = np
e Var(Y) = np(1-p). Logo, E( ) = p e Var( ) = (usando
propriedades da esperança e da variância).
ɵp
X
n
i
i 1= =
∑
X i
i 1
n
=
∑
ɵp ɵp p(1 p)
n
−
No exemplo anterior (b), uma vez coletada uma amostra
aleatória com n clientes daquela agência bancária, sejam X1, X2,
X3, ..., Xn os valores dos logaritmos na base 10 de seus depósitos
em conta corrente.
Xi ∼ Normal (µ, σ), ∀i = 1, 2 ..., n
Exemplos(Cont.)
∑X
n
Um estimador natural para µ seria: 
Já vimos anteriormente que 
E( ) = µ e Var( ) = σ2/n . 
Um estimador natural para σ2 seria:
Por que?
ɵ
(X X)
n
i
2
i 1
n
σ1
2 =
−
=
∑
X X
ɵµ = ==
∑X
n
X
i
i 1
É comum preferir-se, como estimador de σ2,
porque E( ) = σ2, enquanto que E(S2) = σ2.
Define-se o viés do estimador como sendo B( ) = E ( ) - θ.
Diz-se que o estimador do parâmetro θ é não tendencioso se 
Observações
ɵ
(X X)
n
i
2
i 1
n
σ2
2 2
1
=
−
−
==
∑
S
ɵσ1
2 n
n
−
⋅
1
ɵθ ɵθ ɵθ
ɵθDiz-se que o estimador do parâmetro θ é não tendencioso se 
E( ) = θ, para todo valor possível de θ.
Se é não tendencioso para θ, B( ) = 0.
Exemplos:
- é estimador não tendencioso de µ no exemplo (a).
- é estimador não tendencioso de p no exemplo (b).
- S2 é estimador não tendencioso de σ2 no exemplo (b).Mas 
não o é. Na realidade, B( ) = − σ2/n 
ɵθ
ɵθ
ɵθ ɵθ
ɵp
ɵµ
ɵσ1
2
ɵσ1
2
Um bom estimador deveria gerar estimativas que
estivessem próximas do verdadeiro valor de θ. Uma medida muito
usada do grau de precisão de como estimador de θ é o seu erro
quadrático médio , definido por
EQM( ) = E[( − θ)2]
Assim, quanto menor for EQM( ), mais preciso será o estimador.
Pode-se provar que:
Observações
ɵθ
ɵθ ɵθ
ɵθ
ɵEQM( ) = Var( ) + [B( )]2
ou seja, tanto uma variância grande quanto um viés grande
podem prejudicar a precisão do estimador.
Observe que:
-Var( ) é uma medida da variabilidade de em torno do
seu valor esperado E( );
Enquanto que,
-[B( )]2 é uma medida do afastamento entre a sua
esperança E( ) e o valor real θ do parâmetro.
ɵθ ɵθ ɵθ
ɵθɵθ
ɵθ
ɵθ
ɵθ
Vários dos conceitos que foram estudados, anteriormente, sobre
Análise Exploratória são na verdade estimadores pontuais dos seus
correspondentes conceitos sobre o Cálculo de Probabilidades:
� a média amostral é um estimador natural da média populacional E(X);
� a mediana amostral é um estimador natural da mediana populacional
med(X);
O elo entre a versão amostral e a versão 
populacional de diversos conceitos
X
~x
� a variância amostral S2 é um estimador natural da variância populacional
var(X);
� o desvio padrão amostral S é um estimador natural do desvio padrão
populacional DP(X)
� o intervalo interquartil amostral IIQ é um estimador natural do intervalo
interquartil populacional IIQ(X);
� o coeficiente de correlação amostral r é um estimador natural do
coeficiente de correlação populacional ρ(X,Y);
� a covariância amostral C é um estimador natural da covariância
populacional cov(X,Y).
Digamos que, em uma dada situação, se pretende usar a
média amostral como estimativa da média populacional de uma
certa variável.
Qual deveria ser o tamanho n da amostra a ser utilizada
para que se possa garantir uma boa precisão na estimativa?
Dimensionamento de Amostra
dµX <−
Suponha que µ e σ são respectivamente a média e o desvio
padrão populacionais.
Admita também que, nesse processo de estimação, o erro
absoluto máximo considerado tolerável com uma probabilidade
pré-fixada 1 − α, é igual a d, ou seja:
[ ]P X d− < = −µ α1 .
dµX <−
Como Var( ) = , admitindo que n é suficientemente
grande para que o Teorema Central do Limite seja aplicável, temos
Dimensionamento de Amostra(Cont.)
X
σ2
n
P
X
n
d
n
−
<










= −
µ
σ σ
α1
Então, se Z = , esta v.a. tem distribuição
aproximadamente Normal(0;1), e a igualdade acima implica que
onde é o quantil 1 - α/2 da Normal(0,1)(*)
n n 
X
n
− µ
σ
z
d
n
1
2
−
=α σ
z
1
2
−
α
Figura 3.2 - O quantil z1-αααα/2 da Normal(0,1)
1−−−− αααα /2
Logo n =
z1 −−−− αααα / 2
1−−−− αααα /2
2
0 




 ⋅
d
z σ
Z0=
Já vimos que se é um estimador pontual do parâmetro ,
é uma variável aleatória e por isso há uma certa dose de incerteza
inerente a esse processo de estimação.
O objetivo aqui é obter, com base nos dados, um intervalo de
valores ao qual o valor correto do parâmetro deve ter grande
Estimação por Intervalo
θˆ θ
chance de pertencer.
� Fixado uma tolerância d, do parâmetro distar de sua estimativa;
� Fixado uma probabilidade 1- αααα;
� Achar um LS e um LI (limites superiores e inferiores)
dµX <− [ ]P X d− < = −µ α1 .I.C. Para µ : 
Esquema do Conceito de Intervalo de Confiança
População
X( µ, σ2 ) 
x1 σ 1,96 x
n
±
n
 
xσ 1,96µ − xσ 1,96µ +
µ
95%
x2 σ 1,96 x ±
xk σ 1,96 x
n
±
.
.
.
Aproximadamente 95% 
dos intervalos comtém µ
1x
2x
kx
µ