PRE CALCULO AULA 2

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Conversa inicial 
Olá! Estamos iniciando a nossa segunda aula de Pré-Cálculo. Nessa 
aula veremos o que são polinômios e como é possível realizar 
operações envolvendo polinômios. Iremos aprender que é possível 
fatorar polinômios e, com isso, simplificarmos expressões sempre que 
possível. Estudaremos também expressões fracionárias e também 
equações e inequações. 
No material on-line, podemos assistir ao vídeo do professor Ricardo no 
qual ele nos apresentará os conteúdos dessa aula. 
Contextualizando 
Quando pensamos em polinômios, pensamos em expressões 
algébricas que contém somas de constantes e variáveis. Essas 
constantes multiplicam as variáveis que podem estar elevadas a 
números naturais quaisquer, incluindo o zero. Veremos isso com mais 
detalhes no decorrer da aula. Os polinômios são utilizados para que 
seja feita a modelagem matemática de certas curvas. Logo, os 
polinômios têm aplicações práticas nas mais diversas áreas. Por 
exemplo: 
Podemos utilizar polinômios para obtermos a descrição do 
comportamento dos custos industriais em relação aos níveis de 
produção, por exemplo. Conhecendo esse comportamento, é possível 
fazer adequações para que possamos reduzir custos. 
NÍVEL Graduação 
CURSO Engenharia de Produção 
DISCIPLINA Pré-Cálculo 
MÓDULO A1 2016 
AULA 2 
PROFESSOR Prof. Me. Ricardo Zanardini 
 
 
Também é possível utilizarmos polinômios para relacionarmos a 
variação do lucro em função do preço de venda de um determinado 
produto. Desse modo é fácil saber qual é o preço ideal que deve ser 
praticado para que o lucro referente a esse produto seja o maior 
possível. Fazendo isso, também é possível visualizar o intervalo de 
possíveis preços onde a empresa tem lucro e os preços que geram 
prejuízo caso sejam colocados em prática. 
A trajetória de uma bola de basquete descreve uma curva imaginária 
muito próxima de uma parábola e, por isso, pode ser aproximada por 
um polinômio do segundo grau. 
 
 
Polinômios 
A partir de agora, vamos estudar diversos problemas matemáticos 
relacionados à álgebra. No entanto, o que é álgebra? A álgebra é um 
ramo da matemática que estuda a resolução de equações e de 
inequações, polinômios, e estruturas algébricas. Em geral, a álgebra 
estuda problemas que envolvem quantidades conhecidas e 
quantidades desconhecidas. Quando pensamos em álgebra, estamos 
nos referindo a problemas envolvendo não só números, mas também 
quantidades desconhecidas conhecidas como variáveis ou incógnitas. 
Vamos assistir ao vídeo a seguir onde é possível entendermos um 
pouco o que é chamado de raciocínio algébrico. 
https://www.youtube.com/watch?v=ZJjl18kyU-
U&list=UUWhuro_dMp3wVDloVCbapDQ 
 A álgebra está presente em muitos problemas do cotidiano. O vídeo a 
seguir nos mostra isso. 
https://www.youtube.com/watch?v=9cOTjH8di5w&list=UUWhuro_dMp
3wVDloVCbapDQ 
 
Agora que já vimos o que é álgebra, vamos falar na nossa aula sobre 
esses problemas. Inicialmente, vamos falar sobre polinômios. Para 
que possamos compreender o que são polinômios, como podemos 
realizar operações envolvendo polinômios, além de exemplos e 
aplicações, vamos continuar! 
 
Polinômios e Fatoração 
 
Muitas vezes os custos e os lucros de empresas ou expressões que 
descrevem a trajetória de objetos podem ser feitas através de 
polinômios. 
 
Para entendermos melhor, vamos imaginar que o proprietário de uma 
barraca de cachorro quente tem um custo de R$ 2,00 para preparar 
um cachorro quente tradicional, incluindo impostos, e que esse mesmo 
cachorro quente é vendido por R$ 3,50. 
 
Nesse caso, o lucro unitário é de R$ 3,50 menos R$ 2,00, o que 
resulta em R$ 1,50. Sendo assim, para cada cachorro quente vendido, 
o lucro é de R$ 1,50. Para simplificarmos nossos cálculos, vamos 
supor que todos os tipos de cachorros quentes vendidos têm um lucro 
de R$ 1,50 por unidade. 
 
 
Por exemplo, um determinado tipo de cachorro quente custa R$ 4,00 e 
é vendido por R$ 5,50. Supondo ainda que os custos mensais fixos 
tais como gás, energia elétrica, salário de um funcionário, encargos, 
entre outros corresponde a R$ 2.000,00, o lucro total para a venda de 
“x” cachorro quente pode ser escrito como: 
L=1,50.x-2000 
 
A partir dessa expressão podemos determinar, por exemplo, a venda 
mensal mínima para pagar os custos fixos. Podemos também prever o 
lucro total em função de uma estimativa mensal de vendas. Essa 
expressão que relaciona o lucro mensal com a quantidade de 
cachorros quentes vendidos é um exemplo de um polinômio de grau 1. 
 
Um outro exemplo do uso de polinômios envolve as fontes do tipo 
True Type. Essas fontes são geradas a partir de um polinômio que 
passa por um determinado conjunto de pontos previamente 
determinados. 
 
Veremos com mais detalhes essas e outras aplicações quando 
estudarmos as funções polinomiais. Nesse momento, precisamos 
saber o que é um polinômio, como podemos realizar operações 
envolvendo polinômios e como devemos proceder para fatorarmos 
expressões polinomiais. 
 
Mais situações envolvendo polinômios podem ser vistas no link a 
seguir: 
http://www.ehow.com.br/polinomios-diaadia-sobre_7902/ 
 
Um polinômio é uma expressão matemática sob a seguinte forma: 
  01
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxp
n
n
n
n 


 
Onde 
0121 ,,,...,, aaaaa nn 
 são números reais quaisquer e chamados de 
coeficientes. A única condição é que 
0na
 para que possamos 
garantir que temos um polinômio de grau n. 
 
A seguir, alguns exemplos de polinômios: 
a) 
  93  xxp
 é um polinômio de grau 1 
b) 
  152 2  xxxq
 é um polinômio de grau 2 
c) 
  62214 23  xxxxr
 é um polinômio de grau 3 
d) 
  468  xxxs
 é um polinômio de grau 8 
 
O grau de um polinômio é o maior expoente da variável desse 
polinômio. 
 
Agora, veja alguns exemplos de polinômios e seus respectivos graus: 
 p(x) = 3x + 9 é um polinômio de grau 1 
 q(x) = 2x2 + 5x - 1 é um polinômio de grau 2 
 r(x) = x3 + 14x2 - 22x + 6 é um polinômio de grau 3 
 s(x) = x8 - x6 + 4 é um polinômio de grau 8 
 
Veja, a seguir, mais situações em que ocorre o emprego de 
polinômios! 
http://www.ehow.com.br/polinomios-diaadia-sobre_7902/ 
 
Indique qual é o grau de cada um dos seguintes polinômios. 
a) p(x) = 5x4 + 7x3 - 2x3 + 5x - 11 
b) q(x) = -2x3 + 15x7 - 8x + 6 
c) r(x) = x + 1 
d) q(x) = x3 + x2 + x - 1 
 
Respostas: 
a) O termo de maior expoente é 5x4. Logo, o grau do polinômio é 4. 
b) O termo de maior expoente é 15x7. Logo, o grau do polinômio é 7. 
 
 
c) O termo de maior expoente é x. Logo, o grau do polinômio é 1. 
d) O termo de maior expoente é x3. Logo, o grau do polinômio é 3. 
 
No material on-line, você encontrará o vídeo do professor Ricardo no 
qual ele irá conversar conosco sobre polinômios e suas aplicações. 
 
Operações Polinomiais 
Muitas vezes precisamos realizar operações envolvendo polinômios, 
tais como adição, subtração, multiplicação e divisão. As operações 
envolvendo polinômios podem ser feitas facilmente seguindo os 
procedimentos utilizados para realizarmos operações com números 
reais e que já são conhecidos. 
 
A adição de polinômios é feita através da soma dos termos 
semelhantes, ou seja, dos termos de mesmo grau. Podemos somar 
termos em x2 com x2 e termos em x3 com x3, mas não é possível 
somarmos termos em x2 com termos em x3, por exemplo. 
 
Sendo assim, a soma 3x + 4x resulta em 7x, pois 3+4=7. Da mesma 
forma que 3x2+6x2=9x2. Basta somarmos 3 e 6, o que resulta em 
nove. No entanto, não é possível somarmos 3x3 com 2x4,pois 3x3 e 
2x4 e não são termos semelhantes. 
 
Exemplos: 
a) 
444 862 xxx 
 
b) 
    67454313 222  xxxxxx
 
c) 
    244224262 23223  xxxxxxx
 
 
A subtração de polinômios é feita de maneira análoga à adição de 
polinômios. Basta subtrairmos os termos semelhantes. É importante 
prestarmos atenção aos sinais envolvidos. 
 
Exemplos: 
a) 
333 235 xxx 
 
b) 
    4102532174 222  xxxxxx
 
c) 
    9939732 2323  xxxxxxx
 
 
Para saber mais sobre soma e subtração de polinômios, clique no link 
a seguir: 
 
http://www.alunosonline.com.br/matematica/adicao-subtracao-
polinomios.html 
 
Em relação à multiplicação de polinômios, utilizaremos a propriedade 
distributiva. Também é importante nos lembrarmos das propriedades 
das potências, pois elas também serão utilizadas. Se multiplicarmos 
apenas as variáveis, utilizaremos a regra da multiplicação de 
potências de mesma base. 
 
Relembrando essa propriedade, a multiplicação de x2 por x3, por 
exemplo, resulta em x5 (na multiplicação de potências de mesma 
base, repetimos a base e somamos os expoentes). Se tivermos 
coeficientes a serem multiplicados, basta multiplicarmos os 
coeficientes e também multiplicarmos as variáveis. 
 
Por exemplo, 2x3 vezes 4x4 resulta em 8x7. Nesse caso, multiplicamos 
2 por 4 e multiplicamos x3 por x4, mantendo a base “x” e somando os 
expoentes. 
 
Exemplos: 
a) 
725. xxx 
 
b) 
532 102.5 xxx 
 
c) 
   844 63.2 xxx 
 
d) 
   3532 22. xxxxx 
 
 
 
Em especial, algumas multiplicações entre polinômios são especiais. 
Por esse motivo recebem o nome de produtos notáveis. 
Os produtos notáveis mais conhecidos e utilizados são: 
  222 2 bababa 
 
  222 2 bababa 
 
   22 bababa 
 
  32233 33 babbaaba 
 
  32233 33 babbaaba 
 
 
Cada um deles pode ser facilmente obtido através da multiplicação de 
dois polinômios. Como exemplo, 
     222 2.... bababbabbaaabababa 
. 
 
Os demais produtos são obtidos da mesma maneira. 
 
Esses produtos notáveis também têm sua interpretação geométrica. 
 
O produto 
 2ba 
 é igual à área de um quadrado de lados iguais a 
 ba 
. Como a área de um quadrado de lado a é igual a a2, a área de 
um quadrado de lado a+b é igual a 
 2ba 
, que corresponde a 
22 2 baba 
, ou seja, é igual à área de um quadrado de lado “a” mais 
a área de um quadrado de lado “b” mais a área de dois retângulos de 
lados “a” e “b” cada. 
 
O vídeo a seguir ilustra de uma maneira interessante o que são 
produtos notáveis: 
http://www.youtube.com/watch?v=rgPryoSZntc 
Para dividirmos um polinômio por outro, o procedimento é bem 
simples e é muito semelhante com o algoritmo da divisão de um 
número pelo outro. 
O texto a seguir nos mostra como é possível realizar a divisão de 
polinômios. 
http://www.brasilescola.com/matematica/divisao-de-polinomios.htm 
Para entendermos melhor, vamos assistir a um vídeo sobre divisão de 
polinômios. 
https://www.youtube.com/watch?v=U6HhdDGsk0M 
Saiba Mais 
1. Vamos realizar operações de adição, subtração e produto entre os 
polinômios abaixo? 
x2 + 2.x + 3 
3.x + 4 
Resolução: 
A adição de polinômios é realizada considerando os termos de mesmo 
expoente na variável. No primeiro polinômio 𝑥2 + 2𝑥 + 3 há termos em 
𝑥2, em x e com constante. No segundo polinômio há termos 
envolvendo x e constante. Agrupando 𝑥2 𝑐𝑜𝑚 𝑥2, 𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑥, 𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
𝑐𝑜𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 tem-se: 
(𝑥2 + 0.𝑥2) + (2.𝑥 + 3.𝑥) + (3 + 4) = 𝑥2 + 5.𝑥 + 7 
Para a subtração o processo é análogo, e tem-se: 
(𝑥2 − 0𝑥2) + (2𝑥 − 3𝑥) + (3 − 4) = 𝑥2 − 𝑥 – 1 
 
 
Para o produto entre os polinômios, pode ser feito mediante o 
emprego da propriedade distributiva, resultando: 
(𝑥2 + 2𝑥 + 3). (3𝑥 + 4) = 𝑥2 . (3𝑥 + 4) + 2𝑥. (3𝑥 + 4) + 3. (3𝑥 + 4) 
Realizando as multiplicações: 
𝑥2.(3𝑥 + 4) + 2𝑥.(3𝑥 + 4) + 3.(3𝑥 + 4) = 3𝑥3 + 4𝑥2 + 6𝑥2 + 8𝑥 + 9𝑥 + 12 
Agrupando os termos de iguais potências de x, tem-se: 
3𝑥3 + 10𝑥2 + 17𝑥 + 12 
Sendo este o resultado para a multiplicação dos dois polinômios. 
2. Utilizando produtos notáveis, escreva os resultados equivalentes 
para as equações abaixo: 
 
a. (x + 3)2 
b. (2 - x)2 
c. (x + 3)(x - 3) 
d. (2x - 3)2 
e. (4 + 3x)2 
f. (y - x)2 
g. (2x + 3y).(2x - 3y) 
h. (x + 3)3 
i. (2a - 3b)3 
Verifique o resultado a seguir: 
 
a) Para este exercício utiliza-se a fórmula para o quadrado da soma 
de dois termos (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2 que é o quadrado do 
primeiro termo, mais o duplo produto do primeiro termo multiplicado 
pelo segundo termo, e mais o quadrado do segundo termo: (𝑥 + 3)2 = 
(𝑥)2 + 2. 𝑥. 3 + (3)2 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
 
b) Aqui utiliza-se o quadrado da subtração (ou diferença) de dois 
termos (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎 2 − 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2, que resulta no quadrado do 
primeiro, menos duas vezes o primeiro termo multiplicado pelo 
segundo termo, e mais o quadrado do segundo termo, obtendo-se: (2 
− 𝑥)2 = (2)2 − 2 . 2 . 𝑥 + (𝑥)2 = 4 − 4𝑥 + 𝑥2 
 
c) Aqui ocorre o produto da soma pela diferença de dois termos (𝑎 − 
𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 cujo resultado é o quadrado do primeiro termo, 
subtraindo o quadrado do segundo termo, obtendo-se: 
(𝑥 − 3). (𝑥 + 3) = 𝑥2 − 32 = 𝑥2 – 9 
 
d) Para (2𝑥 − 3)2 tem-se o caso de quadrado para a diferença de dois 
termos (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2, resultando: (2𝑥 − 3)2 = (2𝑥)2 − 2. 2𝑥. 
3 + (3)2 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 
 
e) Neste exercício ocorre o quadrado aplicado a uma soma de fatores 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2, resultando: (4 + 3𝑥)2 = (4)2 + 2. 3𝑥 .4 + (3𝑥)2 
= 16 + 24𝑥 + 9𝑥2 
 
f) Neste caso tem-se o quadrado de uma diferença de dois termos (𝑎 − 
𝑏)2 = 𝑎2 − 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2, resultando: (𝑦 − 𝑥)2 = (𝑦)2 − 2. 𝑦. 𝑥 + (𝑥)2 = 𝑦2 − 
2𝑥𝑦 + 𝑥2 
 
g) A solução para (2𝑥 + 3𝑦) . (2𝑥 − 3𝑦) é obtida pelo produto da soma 
pela diferença de dois termos (𝑎 − 𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 com o resultado 
a seguir: (2𝑥 + 3𝑦). (2𝑥 − 3𝑦) = (2𝑥)2 − (3𝑦)2 = 4𝑥2 − 9𝑦2 
h) Para esta situação deve-se considerar o cubo de uma soma de 
termos que é dado por (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3. 𝑎2 . 𝑏 + 3. 𝑎. 𝑏2 + 𝑏3 sendo o 
cubo do primeiro termo, somando 3 vezes o produto do quadrado do 
primeiro termo multiplicando o segundo termo, somando 3 vezes o 
produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo, e 
 
 
somando o cubo do segundo termo, resultando: (𝑥 + 3)3 = (𝑥)3 + 3. (𝑥)2 
. 3 + 3. 𝑥. (3)2 + (3)3 = 𝑥3 + 9𝑥2 + 27𝑥 + 27 
i) Neste exemplo tem-se o cubo de uma subtração de termos (𝑎 − 𝑏)3 
= 𝑎3 − 3. 𝑎2 . 𝑏 + 3. 𝑎. 𝑏2 − 𝑏3 resultando: (2𝑎 − 3𝑏)3 = (2𝑎)3 − 3. (2𝑎)2. 
3𝑏 + 3. (2𝑎). (3𝑏)2 − (3𝑏)3 = 8𝑎3 − 36𝑎2 . 𝑏 + 54𝑎𝑏2 − 27𝑏3 
3. Nos polinômios abaixo, reescreva utilizando produtos notáveis 
quando for possível. 
a. x2 - 16 
b. x2 + 6x + 9 
c. x2 - 10x + 25 
d. x2 - 8x - 16 
e. 36 - y2 
f. x2y2 - 49 
g. y2 + 16 
h. y4 - 4x2 
 
Verifique o resultado a seguir: 
 
a) Para o binômio 𝑥2 − 16 tem-se um termo elevado ao quadrado 
subtraindo um outro termo também elevado ao quadrado, o que 
caracteriza o produto da soma pela diferença de dois termos, sendo: 
𝑥2 − 16 = (𝑥 + 4). (𝑥 − 4) 
b) Para o trinômio 𝑥2 + 6𝑥 + 9 pode-se reescrever como sendo 𝑥2 + 6𝑥 
+ 9 = 𝑥2 + 2. 𝑥. 3 + 32 que leva a forma de apresentação da soma de 
dois termos elevados ao quadrado, resultando: 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3)2 
c) Para o trinômio 𝑥2 − 10𝑥 + 25vem-se dois termos com quadráticos, 
ou seja o 𝑥2 e o 25. Basta verificar o termo central como duplo produto 
entre x e 5. O sinal negativo leva a considerar a diferença entre dois 
termos, tal que: 𝑥 2 − 10𝑥 + 25 = (𝑥)2 − 2. 𝑥. 5 + (5)2 = (𝑥 − 5)2. 
d) Para o trinômio 𝑥2 − 8𝑥 − 16 não é possível reescrever como 
produto notável devido ao sinal negativo do 16. Os termos quadráticos 
no produto notável (quadrado de diferença de termos) são sempre 
positivos. Tem-se um trinômio irredutível. 
e) Para o binômio 36 − 𝑦2 tem-se a diferença de dois valores 
quadráticos, resultando então: 36 − 𝑦2 = (6)2 − (𝑦)2 = (6 + 𝑦). (6 − 𝑦). f) 
Para o binômio 𝑥2 . 𝑦2 − 49 observa-se todos os termos quadráticos, e 
o binômio pode ser reescrito como (𝑥𝑦)2 − (7)2 que é o produto da 
soma pela diferença de dois termos. Tem-se: (𝑥𝑦)2 − (7)2 = (𝑥𝑦 + 7). 
(𝑥𝑦 − 7). 
g) Para o binômio 𝑦2 + 16 não é possível reescreve-lo como produto 
notável devido ao sinal antes do 16 ser positivo. Neste caso tem-se 
um binômio irredutível. 
h) Para 𝑦4 − 4𝑥2 tem-se a diferença de dois valores quadráticos 𝑦4 − 
4𝑥2 = (𝑦2)2 − (2𝑥)2 = (𝑦2 + 2𝑥). (𝑦2 − 2𝑥) que é o produto da soma pela 
diferença de dois termos. 
Para que possamos entender melhor as operações envolvendo 
polinômios, vamos assistir ao do professor Ricardo no material on-line! 
 
Fatoração de Polinômios 
Agora que já sabemos o que são polinômios e como é possível 
realizar operações polinomiais, vamos aprender o que é fatoração e 
como essa técnica pode ser muito útil na simplificação de diversas 
expressões. 
Podemos dizer que fatorar um determinado polinômio é escrever esse 
polinômio como sendo o produto de dois ou mais polinômios de modo 
que a forma fatorada seja equivalente ao polinômio original. Caso um 
polinômio não possa ser fatorado, dizemos que esse polinômio está 
na sua forma irredutível. 
 
 
A seguir, alguns exemplos de polinômios escritos na forma fatorada. 
O primeiro exemplo consiste em colocarmos o fator comum em 
evidência: 
 552  xxxx
 
Note que nesse caso o fator x foi colocado em evidência, pois é um 
termo comum, tanto para 
2x
 quanto para 
x5
. O mesmo caso ocorre 
para o próximo exemplo: 
 ababbaab 212 3423 
 
O fator comum aos dois termos é 
3ab
, que foi colocado em evidência. 
O outro fator corresponde a 
ab21
. Observe que se multiplicarmos 
3ab
 por 
ab21
, teremos como resultado a expressão 
423 2 baab 
. 
Um outro caso bastante comum é a fatoração da diferença de dois 
quadrados. Esse tipo de fatoração pode ser feito de maneira bem 
simples através do uso de um produto notável do tipo 
  bababa  22
 
Para entendermos melhor, vamos ver alguns exemplos: 
a) 
  2224 222  xxxx
 
b) 
  55525 222  xxxx
 
c) 
    727272494 222  xxxx
 
No próximo exemplo, vamos fatorar um trinômio, ou seja, um 
polinômio com três termos. Nesse exemplo, iremos considerar o 
coeficiente principal igual a 1. 
Veremos mais adiante que é possível utilizarmos as raízes de um 
polinômio para obtermos a sua forma fatorada. Por enquanto vamos 
utilizar outras técnicas que também são muito úteis. Como exemplo, 
vamos considerar o trinômio. 
652  xx
 
Que poderá ser escrito sob a forma: 
  bxaxxx  652
 
Onde a e b são dois números que irão resultar no termo independente 
do trinômio. No nosso exemplo, o produto a.b deve ser igual a 6. 
Para fatorarmos um trinômio cujo coeficiente principal é igual a 1, nós 
precisamos pensar quais são os pares de números que resultam no 
termo independente. Como nesse exemplo o termo independente é 
igual a 6, os possíveis pares que resultam em 6 são 1 e 6 ou 2 e 3 
pois 1X6=6 e 2X3=6. 
Precisamos lembrar também que esses números podem ser 
negativos, ou seja, (-1)X(-6)=6 e (-2)X(-3)=6. Nesse caso, temos 
quatro possibilidades de fatoração: 
  61  xx
 
  61  xx
 
  32  xx
 
  32  xx
 
Utilizando essa técnica de fatoração, basta gerar todas as possíveis 
combinações e, em seguida, determinar qual delas de fato representa 
a forma fatorada do polinômio. 
Nesse caso, basta fazer a propriedade distributiva para cada opção 
gerada e em seguida determinar qual delas é a correta: 
   6761661 22  xxxxxxx
 
   6761661 22  xxxxxxx
 
   6562332 22  xxxxxxx
 
 
 
   6562332 22  xxxxxxx
 
Nesse caso, a forma fatorada do trinômio 
652  xx
 corresponde a 
  32  xx
, ou seja, 
  32652  xxxx
 
Essa é uma forma intuitiva, mas eficiente de determinarmos a forma 
fatorada de um trinômio. 
Para saber mais sobre fatoração de polinômios, temos um link bem 
interessante: 
http://www.alunosonline.com.br/matematica/fatoracao-de-
polinomios.html 
O vídeo a seguir também é interessante e nos mostra como é possível 
realizar a fatoração. 
http://youtu.be/VRFOiz6u-uw 
Para os polinômios a seguir, faça a fatoração completa (quando 
possível), usando fatores polinomiais, produtos notáveis, e polinômios 
irredutíveis (se for o caso). 
a. 25x - 15 
b. 4x3 - 16x 
c. z2 - 81 
d. 6x3 + 4x2 - 3x - 2 
e. z2 - 8z - 20 
f. x6 + 3x4 + 2x2 + 6 
g. 2.m.n + 6.m.k - l.n - 3.l.k 
h. 3x3 - 9x2 + 6x 
i. u.w + 4.u.z - 2.v.w - 8.v.z 
j. z3 + 16z 
 
Confira os resultados a seguir: 
 
a) Para o binômio 25. 𝑥 − 15 observa-se constantes múltiplas de 5, 
portanto o que pode ser evidenciado é o 5, de forma a obter: 5. (5. 𝑥 − 
3). 
b) Para o binômio 4. 𝑥3 − 16. 𝑥 observando as constantes nota-se que 
são múltiplos de 4, e observando as potências de x, a menor delas é 
sempre a que será evidenciada, resultando: 4. 𝑥3 − 16. 𝑥 = 4. 𝑥. (𝑥2 − 
4). O segundo fator obtido apresenta a forma de um produto notável, 
podendo ser fatorado novamente, resultando: 4. 𝑥3 − 16. 𝑥 = 4. 𝑥. (𝑥2 − 
4) = 4. 𝑥. (𝑥 + 2). (𝑥 − 2). 
c) Para o binômio 𝑧2 − 81 tem-se dois termos quadráticos sendo 
subtraídos, que é um produto notável, resultando: 𝑧2 − 81 = (𝑧 + 9). (𝑧 
− 9). 
d) Para o polinômio 6. 𝑥3 + 4. 𝑥2 − 3. 𝑥 − 3 é possível fazer 
agrupamento com os dois primeiros termos e com os dois últimos 
termos, de forma que: 6. 𝑥3 + 4. 𝑥2 − 3. 𝑥 − 2 = 2. 𝑥2 . (3. 𝑥 + 2) − 1 (3. 
𝑥 + 2). É possível observar que surgiu um termo comum (3. 𝑥 + 2) 
multiplicando os fatores 2. 𝑥2 e -1. Evidenciando este termo comum 
tem-se: 2. 𝑥2 . (3. 𝑥 + 2) − 1 (3. 𝑥 + 2) = (2. 𝑥2 − 1). (3. 𝑥 + 2). 
e) Para este trinômio 𝐳𝟐 − 𝟖𝐳 − 𝟐𝟎 pode-se buscar dois valores 
numéricos que somados resultem -8 e quando em produto resultem -
20. Os valores obtidos são: -10 e +2, que serão utilizados para a 
fatoração, resultando: 𝑧2 − 8𝑧 − 20 = (𝑧 − 10). (𝑧 + 2). 
f) Para a fatoração de 𝑥6 + 3. 𝑥4 + 2. 𝑥2 + 6 pode-se agrupar os dois 
primeiros termos e os dois últimos de maneira a obter: 𝑥6 + 3. 𝑥4 + 2. 
𝑥2 + 6 = x4 . (𝑥2 + 3) + 2. (𝑥2 + 3) = (𝑥4 + 2). (𝑥2 + 3). Os binômios que 
surgiram em produtos não apresentam possibilidade de nova 
fatoração, sendo irredutíveis. 
g) Para esta situação pode ser visto que nos dois primeiros termos, 
temos multiplicidade para a constante 2, e a letra “m” aparece em 
ambos os termos, logo pode ser evidenciada. Para os dois últimos 
 
 
termos, observa-se ambos com sinal negativo e a letra “l” aparecendo 
em ambos os termos, logo pode ser evidenciada. 2. 𝑚. 𝑛 + 6. 𝑚. 𝑘 − 𝑙. 
𝑛 − 3.𝑙. 𝑘 = 2. 𝑚. (𝑛 + 3𝑘) − 𝑙. (𝑛 + 3𝑘) = (2. 𝑚 − 𝑙). (𝑛 + 3𝑘). 
h) Neste caso, nota-se que no trinômio todos os termos têm potências 
de x, que leva a evidenciar a menor delas,e que as constantes são 
múltiplas de 3, o que faz evidenciar o 3, resultando 3. 𝑥3 − 9. 𝑥2 + 6. 𝑥 
= 3. 𝑥. (𝑥2 − 3. 𝑥 + 2). Para o trinômio entre parênteses, busca-se dois 
valores que em produto fazem +2, e cuja soma seja -3. Os valores são 
-2 e -1. A fatoração fica então: 3. 𝑥. (𝑥2 − 3. 𝑥 + 2 ) = 3. 𝑥. (𝑥 − 2). (𝑥 − 
1). 
i) Para o polinômio 𝑢. 𝑤 + 4. 𝑢. 𝑧 − 2. 𝑣. 𝑤 − 8. 𝑣. 𝑧 pode-se verificar 
que os dois primeiros termos têm “u” comum a ambos, e os dois 
últimos termos têm “-2v” comum a ambos. Evidenciando e 
reagrupando vem 𝑢. 𝑤 + 4. 𝑢. 𝑧 − 2. 𝑣. 𝑤 − 8. 𝑣. 𝑧 = 𝑢. (𝑤 + 4𝑧) − 2𝑣. (𝑤 
+ 4𝑧) = (𝑢 − 2𝑣). (𝑤 + 4𝑧). 
j) No binômio 𝑧3 + 16𝑧 somente “z” pode ser evidenciado, resultando 𝑧3 
+ 16. 𝑧 = 𝑧. (𝑧2 + 16). O binômio entre parênteses é irredutível, ou seja, 
não pode ser transformado em produto de monômios. 
No material on-line, o professor Ricardo irá nos mostrar como 
podemos fatorar diversos tipos de polinômios. Não deixe de acessar! 
 
Expressões Fracionárias 
Agora que já tratamos de polinômios e de fatoração, vamos falar sobre 
expressões fracionárias. O que é uma expressão fracionária e como 
podemos resolver problemas relacionados a essas expressões? É o 
que veremos a seguir. 
Já sabemos que uma expressão algébrica é uma expressão 
matemática envolvendo constantes e variáveis. 
Toda expressão algébrica que envolve um quociente entre dois 
polinômios é uma expressão fracionária. Uma expressão fracionária 
também é conhecida como expressão racional, pois temos uma razão 
(divisão) entre dois polinômios. Como sabemos que não é possível 
realizar divisões onde o denominador é igual a zero, temos que 
prestar atenção ao domínio das expressões racionais. 
Por exemplo, 
2
652


x
xx
 é uma expressão racional, pois temos uma 
divisão entre duas expressões polinomiais. Nesse exemplo, o domínio 
consiste em todos os números reais, exceto o 2. Isso ocorre por que 
se “x” for igual a 2, o denominador 
2x
 fica igual a zero. 
Matematicamente, podemos escrever então 
 2/  xRxD
. 
Isso significa que o domínio da expressão 
2
652


x
xx
 consiste em 
todos os números reais, exceto o 2. 
Podemos utilizar os conhecimentos sobre fatoração e, sempre que 
possível, simplificarmos expressões fracionárias. 
A simplificação da expressão 
2
652


x
xx
 resulta em 
  
2
32


x
xx
 
donde 
3
2
652



x
x
xx
 após a simplificação dos termos 
2x
 que 
aparecem no numerador e no denominador. 
É importante lembrarmos que mesmo após a simplificação, o domínio 
dessa expressão continua sendo 
 2/  xRxD
. 
Mesmo que na expressão 
3x
 não haja restrição em relação aos 
valores de x, essa expressão é o resultado da simplificação da 
expressão original 
2
652


x
xx
 que possui uma restrição em relação ao 
seu domínio. 
 
 
1. Determine o domínio das expressões algébricas. 
a. x3 + 2x + 5 
b. 
c. 
d. 
 
Confira os resultados a seguir: 
 
a) O domínio para polinômios é o conjunto dos números reais, sem 
exceção. 
b) Para esta situação, deve ser considerado que em se tratando de 
raízes de índice par, é necessário que o radicando seja maior ou igual 
a zero. Tem-se: 𝑥 − 4 ≥ 0. 
Para resolver esta inequação, deve-se operar com o -4, levando-o ao 
lado direito da igualdade com sinal invertido, ou seja, 𝑥 ≥ 4. Esta 
desigualdade pode ser escrita na forma de intervalo representado por 
[4; +∞). 
c) Nesse caso, deve ser considerado que não é possível fazer divisão 
por zero, ou seja, deve ser excluído do conjunto de números reais, o 
valor que venha zerar o denominador. 
Tem-se 3. 𝑥 − 6 ≠ 0 , que pode ser solucionado passando o valor -6 
para o lado direito da igualdade com inversão de sinal, obtendo 3. 𝑥 ≠ 
6. O valor de x pode ser calculado operando sobre o número 3 que 
está no lado esquerdo da igualdade em multiplicação pelo x, 
passando-o para o lado direito, em divisão. Tem-se 𝑥 ≠ 6/3 , e fazendo 
a divisão, 𝑥 ≠ 2. Para o domínio são aceitos todos os reais com 
exceção de 2, e tem-se: (−∞; 2) ∪ (2; +∞) ou ]−∞; 2[ ∪ ]2; +∞[ . 
d) Nessa expressão algébrica há dois termos, e cada um deve ser 
analisado separadamente. Em relação ao primeiro ocorre uma divisão 
fazendo com que o denominador não possa assumir o valor nulo, ou 
seja, 𝑥 ≠ 0 . Para o segundo termo, tem-se uma raiz de índice ímpar, 
que pode ter no radicando qualquer valor (positivo, negativo ou nulo), 
ou seja, neste caso não há exceções. O domínio será então 𝑥 ≠ 0 ou 
escrito na forma de intervalo tem-se (−∞; 0) ∪ (0; +∞) ou ]−∞; 0[ ∪ ]0; 
+∞[ . 
No material on-line, o professor Ricardo explicará onde poderemos 
entender mais sobre a simplificação de expressões fracionárias. No 
vídeo, ele também irá nos mostrar um exemplo de uma aplicação 
relacionada às expressões fracionárias. Não deixe de acessar! 
 
Equações 
Vamos agora tratar de dois temas muito úteis em nossas vidas: as 
equações e as inequações. Quando falamos em equações, nos 
referimos a expressões matemáticas que envolvem constantes, 
variáveis e uma igualdade e quando falamos em inequações, estamos 
tratando de expressões matemáticas que além das constantes e das 
variáveis, apresentam também desigualdades. O que são equações, 
inequações e quais são as respectivas aplicações é o que 
estudaremos a partir de agora. 
Quando nos referimos a equações, estamos tratando de expressões 
matemáticas onde figura a igualdade entre duas expressões 
algébricas. Um exemplo bem simples, mas muito importante para 
entendermos o que é uma equação é o que veremos a seguir. 
Uma pessoa foi a uma lanchonete e comprou dois X-Saladas. Ao fazer 
o pedido, essa pessoa não observou o preço de cada X-Salada, mas 
ao efetuar o pagamento da compra, o total pago foi igual a R$ 10,00. 
Com base nessas informações, quanto custou cada X-Salada? 
Para que possamos resolver esse problema, o primeiro passo é 
escrevermos a expressão matemática associada a essa situação. 
Como não sabemos o preço de cada X-Salada, vamos denotá-lo por 
 
 
x. Como foram comprados 2 X-Salada, o preço pago pode ser escrito 
como 2x. Como sabemos que o total pago corresponde a R$ 10,00, 
temos a seguinte equação que descreve o problema apresentado: 
102 x
. 
Para resolvermos essa equação, basta dividirmos os dois membros 
dessa igualdade pelo mesmo valor. No caso, vamos dividir os dois 
membros por 2, que é o coeficiente de “x” no primeiro membro: 
2
10
2
2

x
. 
Essa divisão é possível e não altera o valor da igualdade. Dividindo 2 
por 2 e também 10 por 2, temos 
5x
. 
Logo, cada X-Salada custou R$ 5,00. 
A expressão 
102 x
 se refere a uma equação linear. Essa equação é 
dita linear, pois o grau da variável “x” é igual a 1. A forma geral de uma 
equação linear é 
0bax
 
Onde a e b são números reais e 
0a
. 
Para resolvermos uma equação linear com uma variável, precisamos 
isolar a variável do problema. Para isso, utilizaremos operações 
elementares. 
O exemplo a seguir ilustra a resolução de uma equação linear. 
Resolva a equação 
0205 x
. 
Para resolvermos esse problema, o primeiro passo é subtrairmos 20 
dos dois membros: 
20020205 x
. 
Fazendo isso, 20-20=0 e 0-20=-20: 
2005 x
. 
Como 5x+0=5x, temos: 
205 x
. 
O próximo passo é dividirmos ambos os membros por 5 para que 
possamos, finalmente, encontrar o valor da variável x: 
5
20
5
5 

x
 
Dividindo 5 por 5, e -20 por 5, temos: 
41 x
 
Como 1x=x, o resultadoobtido é: 
4x
. 
Portanto, a solução do problema corresponde a 
4x
. 
Graficamente, a solução de uma equação linear corresponde ao ponto 
onde a reta corta o eixo das abcissas. Estudaremos melhor a 
construção de gráficos quando abordarmos as funções lineares. 
 
 
 
Vamos agora assistir a um vídeo sobre a resolução de exemplos 
relacionados a equações lineares. 
https://www.youtube.com/watch?v=KA7nqVLqupQ 
Em relação às equações do segundo grau, também conhecidas como 
equações quadráticas, a solução, caso exista, é dada pela fórmula 
quadrática, também conhecida no Brasil como fórmula de Bháskara. 
Antes de falarmos sobre equações quadráticas, vamos assistir ao 
seguinte vídeo: 
https://www.youtube.com/watch?v=BmuWuMJZlQs&list=PLf4asln_6hS
eN868g8mXhAAQfQV6L1nsc&index=61 
A forma geral de uma equação quadrática é: 
02  cbxax 
Onde a, b e c são números reais, denominados de coeficientes, sendo 
que 
0a
. 
Essa equação é chamada de equação do segundo grau, pois nela 
figura um termo de grau 2 que corresponde ao maior expoente de x. 
A seguir alguns exemplos de equações do segundo grau: 
3 5 6 02x x  
 é uma equação do 2º grau com a = 3, b = -5 e c = 6. 
x x2 4 5 0  
 é uma equação do 2º grau com a = 1, b = 4 e c = -5. 
2 8 02x x 
 é uma equação do 2º grau com a = 2, b = 8 e c = 0. 
  x2 12 0
 é uma equação do 2º grau com a = -1, b = 0 e c = 12. 
Toda a equação do segundo grau possui duas soluções, que são 
chamadas de raízes da equação. 
Para resolvermos uma equação do 2º grau, basta efetuarmos os 
seguintes passos: 
1) Determinar os coeficientes da equação: 








?
?
?
c
b
a
 
2) Determinar o valor de  (delta): 
cab ..42 
 (discriminante). 
 
3) Determinar os valores de x1 e x2 utilizando a fórmula quadrática: 
a
b
x
.2


 
Onde: 
a
b
x
.2
1


 e 
a
b
x
.2
2


. 
O conjunto-solução de uma equação do 2º grau apresenta três 
possibilidades diferentes de soluções: 
Se > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes; 
Se = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais; 
Se < 0, a equação possui duas raízes imaginárias. 
Veja como é fácil resolver uma equação quadrática! Observe o 
exemplo a seguir. 
Determine as raízes da equação 
02082  xx
: 
Para encontrar os dois valores de x que satisfazem a equação, 
precisamos determinar os coeficientes da equação e o valor do 
discriminante ( ). Em seguida, basta aplicarmos a fórmula quadrática 
para finalmente obtermos as raízes procuradas: 
 
 
1) Coeficientes da equação: 








20
8
1
c
b
a
 
 
2) Cálculo do discriminante (): 
144
8064
)80(64
)20).(1.(4)8(
..4
2
2




 cab
 
Como > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. 
3) Cálculo das raízes: 
a
b
x
.2


 
1.2
144)8( 
x
 

















2
2
4
2
128
10
2
20
2
128
2
128
222
111
xxx
xxx
x
 
Solução: x1 = 10 e x2 = -2. 
Graficamente, as raízes de uma equação quadrática consistem nas 
intersecções da parábola com o eixo das abcissas. 
 
1. Vamos verificar se os valores dados são soluções (raízes) da 
equação? 
a. 3x - 6 = 0, com raiz x = 2 
b. x2 + 5x - 6 = 0, com raiz x = 1. 
c. x2 + 5x + 6 = 0, com raiz x = 2. 
 
 
 
Verifique os resultados a seguir: 
 
Para verificar se um valor numérico é solução de uma equação, deve-
se substituir este valor numérico na posição da variável ou incógnita 
em toda a equação, e verificar se a igualdade é mantida, ou seja, o 
valor obtido do lado direito deve ser igual ao do lado esquerdo da 
igualdade. a) Substituindo o valor 𝑥 = 2 na equação 3𝑥 − 6 = 0 tem-se: 
3 . 2 − 6 = 0. Realizando o produto obtém-se 6 − 6 = 0, e fazendo a 
subtração, 0 = 0. Como verificou-se a igualdade então 𝑥 = 2 é solução 
da equação proposta. 
b) Fazendo a substituição de x pelo valor 1 na equação 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 = 
𝟎 tem-se: (1)2 + 5.(1) − 6 = 0 e realizando a potenciação e 
 
 
multiplicação obtém-se 1 + 5 − 6 = 0. Resulta 0 = 0 de forma que a 
raiz testada é solução da equação. 
c) Na equação 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 substituindo x por 2 obtém-se: 22 + 5.2 
+ 6 = 0 Realizando as operações do lado esquerdo da igualdade tem-
se 4 + 10 + 6 = 0 ou 20 = 0 que é uma situação FALSA, ou seja, esta 
igualdade não é verdadeira. Isto equivale dizer que o valor 𝑥 = 2 não é 
raiz da equação. 
d) Para verificar se 𝑥 = 1 é raiz da equação 𝑥/2 + / 6 = 4𝑥/3 substitui-se 
o valor de x por 1 e busca-se verificar a igualdade. 1/2 + 5/6 = 4.1/3 
Tem-se operações com frações, e utilizando m.m.c. entre os 
denominadores, cujo valor é 6, obtém-se: 3.1/3.2 + 5/6 = 2.4.1/2.3 ou 
3/6 + 5/6 = 8/6 . Adicionando as duas frações do lado esquerdo da 
igualdade, tem-se: (3+5)/6 = 8/6 A igualdade entre os lados esquerdo 
e direito foi verificada, de forma que o valor 𝑥 = 1 é solução (raiz) da 
equação. 
e) Para a equação fazendo a substituição de x por 3 
obtém-se: . Realizando multiplicação do radicando, 
no lado esquerdo, vem: . Subtraindo os valores 
numéricos no radicando tem-se √9 − 5 = √4 que apresenta o resultado 
. No lado esquerdo extraindo a raiz de 4 cujo resultado é 
2 e somando a 3, resulta o valor 5. No lado direito da igualdade deve-
se simplificar o valor 3 que aparece simultaneamente no numerador e 
no denominador, que resulta 5. A igualdade foi verificada, ou seja 5 = 
5 significando que o valor 𝑥 = 3 é raiz da equação. 
2. Nas equações a seguir, verifique quais são lineares, e em caso 
positivo, determine a raiz. 
a. 4 - 3x = 0 
b. 
c. 4.t - 10 = 14 
d. x - 5 = x2 
 
 
g. 3.(y - 2) = 2y + 1 
 
Verifique os resultados a seguir: 
 
a) A equação é linear. A solução é obtida passando o termo −3𝑥 que 
está no lado esquerdo da igualdade, para o lado direito da igualdade 
com inversão de sinal, o que resulta 4 = 3𝑥 . Para determinar o valor 
de x, pode-se passar o valor 3 que está multiplicando a incógnita x, 
para o lado esquerdo da igualdade resultando 4/3 = 𝑥 . 
b) A equação 3√𝑥 − 20 = 7 não é linear pois ocorre um termo com √𝑥 
cujo equivalente é 𝑥1/2. 
c) A equação 4 𝑡 − 10 = 14 é linear e pode ter a raiz determinada 
passando o valor −10 para o lado direito da igualdade, resultando 4 𝑡 = 
14 + 10 ou 4 𝑡 = 24. Isolando o valor de t vem 𝑡 = 24/4 e realizando a 
divisão no lado direito da igualdade, resulta 𝑡 = 6 como solução da 
equação linear. 
d) A equação 𝒙 − 𝟓 = 𝐱𝟐 não é linear devido ao termo 𝑥2. 
e) A equação 𝐱 + 𝟐/𝐱 = 𝟒 não é linear devido ao segundo termo 2/𝑥 
onde ocorre a incógnita no denominador. 
f) A equação 𝐱 + 𝐱/𝟐 = 𝟑 é linear e pode ser resolvida usando 
inicialmente m.m.c. dos denominadores, cujo valor é 2. Fazendo 
operação com frações, vem 2.𝑥/2 + 𝑥/2 = 3.2/2 . Os denominadores 
são iguais e pode-se considerar apenas os numeradores, resultando 
2. 𝑥 + 𝑥 = 6. Agrupando os termos em x, tem-se: 3𝑥 = 6 e isolando o 
valor de x, resulta 𝑥 = 2, como solução (raiz) da equação linear. 
 
 
g) A equação 3. (𝑦 − 2) = 2𝑦 + 1 é linear. Usando a propriedade 
distributiva no lado esquerdo 3. 𝑦 − 6 = 2𝑦 + 1 e agrupando em um 
lado da igualdade os termos com y, e no outro lado da igualdade os 
termos com constantes, vem 3. 𝑦 − 2. 𝑦 = 6 + 1. Realizando a 
subtração no lado esquerdo e a adição no lado direito da igualdade, 
tem-se: 𝑦 = 7 comosolução da equação linear. 
No material on-line, podemos assistir ao vídeo do professor Ricardo 
onde ele irá nos mostrar como podemos resolver equações lineares e 
quadráticas! 
 
Inequações 
O vídeo a seguir apresenta diversos problemas que podem ser 
resolvidos com o uso de equações do segundo grau. 
https://www.youtube.com/watch?v=snTxJVRJ5DY&list=UUWhuro_dM
p3wVDloVCbapDQ 
Além das equações lineares e quadráticas, podemos resolver 
problemas envolvendo desigualdades. Nesse caso, temos as 
inequações. Inicialmente vamos estudar as inequações lineares. 
Depois estudaremos as inequações quadráticas. O texto a seguir irá 
explicar melhor o que são inequações e como podemos resolvê-las. 
Uma inequação linear pode ter uma das seguintes formas: 
0bax
 
0bax
 
0bax
 
0bax
 
Onde a e b são números reais com 
0a
. 
A resolução de uma inequação linear segue os mesmos passos da 
resolução de uma equação linear. 
Como exemplo, vamos resolver a inequação 
0153 x
. 
Para resolvermos essa inequação vamos somar 15 aos dois membros: 
15015153 x
 
Que resulta em: 
1503 x
. 
Como 3x+0=3x, temos: 
153 x
. 
O próximo passo é dividir ambos os membros por 3: 
3
15
3
3

x
 
Dividindo 3 por 3, e 15 por 3, temos: 
5x
. 
Portanto, a solução do problema corresponde a 
5x
. Nesse caso, a 
solução da inequação corresponde a todos os valores de x maiores ou 
iguais a 5. Graficamente, temos: 
 
O vídeo a seguir nos mostra como é possível resolvermos inequações 
lineares. 
https://www.youtube.com/watch?v=Pl9IXxn4pF8 
 
 
Em relação às inequações quadráticas, o primeiro passo é 
determinarmos as raízes utilizando a fórmula quadrática. Depois basta 
determinarmos quais são os valores da variável que satisfazem a 
desigualdade. 
Vamos considerar, como exemplo, a resolução da inequação 
02082  xx
. Sabemos que as raízes dessa equação 
correspondem a x1 = 10 e x2 = -2. 
Podemos perceber que os valores que satisfazem a inequação 
02082  xx
 são os valores de “x” menores do que -2 ou os valores 
de x maiores do que 10; Matematicamente podemos escrever x < -2 
ou x > 10. 
 
Se o objetivo for resolver a inequação 
02082  xx
, a solução 
corresponde aos valores de x entre -2 e 10, ou seja, 
102  x
. 
Graficamente, a representação fica assim: 
 
 
Assista agora ao vídeo a seguir que nos mostra como é possível 
resolvermos inequações quadráticas. 
https://www.youtube.com/watch?v=a-qbD1hRYvI 
Resolva as inequações lineares e depois confira o resultado, clicando 
no ícone abaixo. 
a. 4x - 3 > 3x - 1 
b. 5x - 8 ≥ 2x + 4 
c. 3x - 5 > 6 - 4x 
d. 4 - 6x ≥ 7 - 2x 
e. 2x - 9 < 4-3x 
f. 8x + 1 ≤ 3 - 10x 
 
Verifique os resultados a seguir: 
 
Resolução: 
a) A inequação 4𝑥 − 3 > 3𝑥 − 1 é resolvida por: 
Somando 3: 4𝑥 > 3𝑥 + 2 
Subtraindo 3x: 𝑥 > 2 
A solução 𝑥 > 2 pode ser representada na forma de intervalo (2; +∞) 
ou ]2;+∞[ 
 
b) A inequação 5𝑥 − 8 ≥ 2𝑥 + 4 é resolvida por: 
Somando 8: 5𝑥 ≥ 2𝑥 + 12 
Subtraindo 2x: 3𝑥 ≥ 12 
Dividindo por 3: 𝑥 ≥ 4 
A solução 𝑥 ≥ 4 pode ser representada na forma de intervalo [4:+∞) ou 
[4: +∞[ 
 
 
c) A inequação 3𝑥 − 5 > 6 − 4𝑥 é resolvida por: 
Somando 5: 3𝑥 > 11 − 4𝑥 
Somando 4x: 7𝑥 > 11 
Dividindo por 7: 𝑥 > 11/7 
A solução 𝑥 > 11/7 pode ser representada na forma de intervalo ] 11/7 
; +∞[ ou ( 11/7 ; +∞) 
 
d) A inequação 4 − 6𝑥 ≥ 7 − 2𝑥 é resolvida por: 
Somando 6x: 4 ≥ 7 + 4𝑥 
Subtraindo 7: −3 ≥ 4𝑥 
Dividindo por 4: −3/4 ≥ 𝑥 ou 𝑥 ≤ −3/4 
A solução 𝑥 ≤ −3/4 pode ser representada na forma de intervalo ]−∞; 
−3/4] ou (−∞; −3/4] 
 
e) A inequação 2𝑥 − 9 < 4 − 3𝑥 é resolvida por: 
Somando 3x: 5𝑥 − 9 < 4 
Somando 9: 5𝑥 < 13 
Dividindo por 5: 𝑥 < 13/5 
A solução 𝑥 < 13/5 pode ser representada na forma de intervalo ]−∞; 
13/5[ ou (−∞; 13/5) 
 
f) A inequação 8𝑥 + 1 ≤ 3 − 10𝑥 é resolvida por: 
Somando 10x: 18𝑥 + 1 ≤ 3 
Subtraindo 1: 18𝑥 ≤ 2 
Dividindo por 18: 𝑥 ≤ 2/18 ou 𝑥 ≤ 1/9 
A solução 𝑥 ≤ 1/9 pode ser representada na forma de intervalo ]−∞; 
1/9] ou (−∞; 1/9] 
No material on-line, o professor Ricardo irá nos mostrar a resolução de 
problemas envolvendo inequações lineares e quadráticas. 
Na prática 
Há algumas formas de obtermos um polinômio de grau dois a partir de 
problemas reais. Uma delas é conhecermos três pontos quaisquer 
relacionados a esse problema e, a partir da resolução de um sistema 
linear, encontrarmos o polinômio desejado. 
 
Como exemplo, podemos considerar uma empresa que comercializa 
um certo produto e deseja aumentar seus lucros fazendo uma 
alteração no preço. Mensalmente os custos fixos correspondem a R$ 
1.200,00. Quando esse produto era comercializado por R$ 20,00, o 
lucro mensal referente a ele era de R$ 600,00. Após um aumento de 
R$ 2,00 no preço de venda, o lucro mensal passou a ser de R$ 
648,00. Encontre o polinômio que relaciona o lucro “y” com o preço de 
venda “x”. 
 
Resolução 
 
Como os custos fixos associados a esse produto totalizam R$ 
1.200,00 nesse caso, para x=0, temos y=-1200 e o nosso primeiro 
ponto é (0, -1200). Precisaremos de mais dois pontos e para isso é 
importante termos mais informações. Sabe-se que se o preço é de R$ 
20,00, o lucro é de R$ 600,00 e se o preço é de R$ 22,00, o lucro é de 
R$ 648,00. 
 
Na prática, essas informações têm origem a partir da observação dos 
fatos relacionados a uma empresa. 
 
 
Com mais essas duas informações, temos os seguintes pares 
ordenados: (20, 600) e (22, 648). Logo, vamos substituir cada um 
desses pontos na expressão y=ax2+bx+c para encontrarmos os 
coeficientes a, b e c. 
 
Para o ponto (0, -1200), temos: 
y=ax2+bx+c 
-1200=a(0)2+b(0)+c 
-1200=0+0+c 
-1200=c 
c=-1200 
 
Para o ponto (20, 600), temos: 
y=ax2+bx+c 
600=a(20)2+b(20)+(-1200) 
600=400a+20b-1200 
600+1200=400a+20b 
1800=400a+20b 
400a+20b=1800 
 
Para o ponto (22, 648), temos: 
y=ax2+bx+c 
648=a(22)2+b(22)+(-1200) 
648=484a+22b-1200 
648+1200=484a+22b 
1848=484a+22b 
484a+22b=1848 
 
Precisamos resolver agora o sistema de equações para obtermos os 
valores de a e b: 
400a+20b=1800 
484a+22b=1848 
 
 
 
Para simplificarmos, podemos dividir a primeira equação por 20 e a 
segunda equação por 22, o que resulta em: 
20a+b=90 
22a+b=84 
 
Multiplicando a segunda equação por -1, temos: 
20a+b=90 
-22a-b=-84 
 
Somando termo a termo, temos: 
-2a=6 
a=6/(-2) 
a=-3 
 
Vamos substituir o valor de “a” na equação 20a+b=90 para 
calcularmos o valor de “b”: 
20a+b=90 
20(-3)+b=90 
-60+b=90 
b=90+60 
b=150 
 
Logo: a=-3, b=150 e c=-1200 
 
Portanto, o polinômio quadrático que relaciona o lucro com o preço é: 
y=-3x2+150x-1200 
 
Essa técnica pode ser utilizada para a obtenção de qualquer polinômio 
quadrático ou função quadrática associada a um problema real. 
 
 
 
 
Síntese 
Chegamos ao final da aula! 
Após os estudos, você deve ser capaz de diferenciar os polinômios, 
realizar operações polinomiais tais como adição, subtração, 
multiplicação e divisão. Aprendemos nessa aula como é possível 
fatorar polinômios, estudamos as expressões fracionárias e como 
podemos resolver problemas relacionados a essas expressões, 
equações e inequações. 
Para saber mais sobre os assuntos abordados, a sugestão é a leitura 
dos capítulos 3, 4, 5 e 6 da obra Pré-Cálculo dos autores Franklin D. 
Demana, Bert K. Waits, Gregory D. Foley e Daniel Kennedy, 2a edição, 
editora Pearson, encontradona biblioteca virtual. 
Até a próxima! 
 
Referências 
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pré-
Cálculo. 2a Ed, São Paulo, Pearson, 2013.