Engenharia Econômica

Prévia do material em texto

Engenharia Econômica 
1. Capitalização 
 
1.1 Juros Simples 
𝐽 = 
𝐶 . 𝑖 . 𝑛
100
 
Em que: J = Juros; C = capital; i = taxa; n = tempo 
 
1.2 Juros Compostos 
 = 𝐶 . 1 𝑖 
Em que: M = montante; C = capital; i = taxa; n = tempo 
 
 = . 1 𝑖 
 
Em que: Vf = valor final; V0 = valor inicial; i = taxa; n = tempo 
 
 
1.3 Fluxo de Caixa 
Diagrama de Fluxo de Caixa 
 
 
 Vp 
 Vf 
 
1.3.1 Valor Presente 
Cálculo do valor presente, ou inicial: 
 = 
 
 1 𝑖 
 
Em que: Vp = valor presente; Vf = valor futuro; i = taxa; n = período 
Exemplo: Quanto deve ser aplicado hoje em uma conta de poupança, com taxa de juros de 0,5% a. 
m., para se obter R$ 1.000,00 daqui a um ano? 
Resolução: 
i = 0,5% a. m. 
Vf = R$ 1.000,00 
n = 12 meses 
 = 
1.000
 1 0,005 
 
Vp = 941,90 
Resposta: Devem ser aplicados R$ 941,90. 
 
 
1.3.2 Capitalização Composta 
Neste caso, é feito um investimento por meio de parcelas constantes, sobre as quais incide a 
mesma taxa. Suponha que uma pessoa coloque em um banco, de forma programada, seis prestações 
mensais de R$ 100,00, sobre as quais incidirá juro constante de 1% ao mês. O cálculo do montante 
final, ou Valor Futuro, é dado por: 
 ? 
 
 
 n = 0 1 2 3 4 5 6 
 
 100 100 100 100 100 100 
 
 
n 
Primeira 
parcela 
Segunda 
parcela 
Terceira 
parcela 
Quarta 
parcela 
Quinta 
Parcela 
Sexta 
Parcela 
1 100 
2 100.(1+0,01) 100 
3 100.(1+0,01)
2 
100.(1+0,01) 100 
4 100.(1+0,01)
3 
100.(1+0,01)
2 
100.(1+0,01) 100 
5 100.(1+0,01)
4 
100.(1+0,01)
3
 100.(1+0,01)
2 
100.(1+0,01) 100 
6 100.(1+0,01)
5 
100.(1+0,01)
4
 100.(1+0,01)
3
 100.(1+0,01)
2
 100.(1+0,01) 100 
 
 Logo, o valor futuro (montante) será: 
M = 100.(1+0,01)
5
 + 100.(1+0,01)
4 
+ 100.(1+0,01)
3
 + 100.(1+0,01)
2
 + 100.(1+0,01)
1
 + 100 
M= 615,20 
Ou, pela equação: 
 = 𝐶. 
 1 𝑖 1
𝑖
 
Então: 
 = 100. 
 1 0,01 1
0,01
 
M = 615, 20 
Assim, o montante é de R$ 615,20. 
Exemplo: Uma empresa transportadora pretende investir, mensalmente, R$10.000,00, a partir do 
próximo mês, e durante 5 anos, para a compra de novos caminhões para sua frota nos próximos 
anos. Sabendo-se que os juros mensais são de 1%, quanto a empresa resgatará para a compra dos 
veículos, após o último depósito? 
C = 10.000 
i = 1% (0,01) 
n = 60 
 = 10.000. 
 1 0,01 1
0,01
 
M = 816.697 
Resposta: A empresa terá R$ 816.697,00, aproximadamente, daqui a 5 anos. 
Exercício: Uma empresa de logística pretende adquirir, daqui a um ano, novos equipamentos para a 
operação de carga e descarga de produtos no depósito. Sabendo-se que o valor a ser investido será 
de R$100.000,00, e que a taxa de juros máxima do mercado é de 2% a. m., quanto a empresa deverá 
poupar mensalmente? 
𝐶 = 
 
 1 𝑖 1
𝑖
 
M = 100.000 
I = 2% (0,02) 
n = 12 
𝐶 = 
100.000
 1 0,0 1
0,0 
 
C = 7.456 
Resposta: A empresa deverá investir R$ 7.456,00 ao mês 
2. Amortização 
Considere aqui o caso de empréstimos financiados em prestações mensais, com vencimentos a 
partir do primeiro mês. Como exemplo, tem-se o valor de R$ 100,00, a ser pago em cinco parcelas 
iguais, sobre as quais haverá juro de 1% ao mês. O valor de cada prestação é encontrado da 
seguinte forma: 
 C C C C C 
 
 
 n = 0 1 2 3 4 5 
 
 100 
 
n 
Primeira 
parcela 
Segunda 
parcela 
Terceira 
parcela 
Quarta 
parcela 
Quinta 
Parcela 
1 C 
2 C.(1+0,01) C 
3 C.(1+0,01)
2 
C.(1+0,01) C 
4 C.(1+0,01)
3 
C.(1+0,01)
2 
C.(1+0,01) C 
5 C.(1+0,01)
4 
C.(1+0,01)
3
 C.(1+0,01)
2 
C.(1+0,01) C 
 
C.(1+0,01)
4 
+ C.(1+0,01)
3
 + C.(1+0,01)
2
 + C.(1+0,01)
1
 + C = 100.(1+0,01)
5
 
C = 20,60 
Ou, pela equação: 
 = 𝐶 . 
 1 𝑖 1
𝑖. 1 𝑖 
 
100 = 𝐶 . 
 1 0,01 1
0,01. 1 0,01 
 
C = 20,60 
Assim, cada parcela será de R$ 20,60, aproximadamente. 
Exemplo: Uma empresa de transporte rodoviária adquiriu, por R$500.000,00, um novo modelo 
para sua frota. Sabendo-se que ela pagará com amortizações mensais, durante 6 anos, com uma 
taxa de juros de 2,5% a. m., qual será o preço da prestação mensal? 
M = 500.000; n = 72 meses; i = 2,5% (0,025). 
500.000 = 𝐶 . 
 1 0,0 5 1
0,0 5. 1 0,0 5 
 
C = 15.042,08 
Resposta: A empresa desembolsará, todo mês, R$15.042,08. 
Exercício: Uma empresa de infraestrutura de transportes adquiriu, por R$1.000.000, maquinários 
para sua modernização, visando uma maior competitividade no mercado. Tal valor será pago 
durante 10 anos, em prestações iguais e mensais, aproveitando-se dos baixos juros ao mês de 1%, 
oferecido por uma instituição bancária em estímulo ao desenvolvimento do país. Calcule o valor 
mensal a ser pago pela empresa. 
M = 1.000.000 
n = 120 meses 
i = 1,0% (0,01) 
1.000.000 = 𝐶 . 
 1 0,01 1
0,01. 1 0,01 
 
C = 14.347,10 
Resposta: A empresa deverá pagar, mensalmente, R$ 14.347,10. 
 
3. Valor Presente a partir de uma série uniforme 
Para se obter o valor presente a partir de prestações anuais iguais, com juros constante, usamos a 
equação: 
 = .
 
 . 
, 
Na qual, 
Vp = valor presente; 
A = valor das parcelas anuais; 
i = taxa; 
n = período. 
 
Exemplo: Um fornecedor de mercadorias deseja fazer uma aplicação, a juros de 12% a.a., para 
obter receitas anuais de R$ 25.000,00 nos próximos 5 anos. Qual o valor a ser aplicado? 
 
 25.000 25.000 25.000 25.000 25.000 
 
 
 n = 0 1 2 3 4 5 
 
 
 Vp 
A = 25.000; 
I = 12% a. a. (0,12); 
n = 5. 
 = 5.000.
 1 0,1 1
0,1 . 1 0,1 
 
Vp = 90.119,41 
Resposta: Deve ser aplicado R$ 90.119,41. 
 
5.1 Análise da viabilidade econômica 
 
5.1.1 Taxa interna de retorno 
 
A taxa interna de retorno mede a rentabilidade econômica do capital aplicado no projeto, e 
corresponde à taxa de juros que torna o valor presente dos benefícios igual ao valor presente dos 
custos. 
Se a taxa interna de retorno for maior com a taxa de oportunidade de capital, o projeto é viável, se 
menor o projeto é inviável. 
 
Em termos matemáticos, a taxa interna de retorno, i, é tal que: 
 
 VPB = VPC 
 
5.1.2 Método do Valor presente Líquido 
 
O valor presente líquido corresponde à diferença entre o valor presente dos benefícios e o valor 
presente dos custos. O projeto é viável se o resultado for positivo, e economicamenteinviável se 
negativo. 
Assim, 
Se VPL > 0, o projeto é viável; 
Se VPL ≤ 0, o projeto é inviável. 
As transações de caixa, neste método, são transformadas em valores presentes, no tempo zero, e o 
valor presente líquido é calculado para cada opção i, como mostra a equação: 
VPLi = P(Ri) – [P(Ci) + Ki] 
Em que: 
P(Ri) = valor presente correspondente à receita anual R do projeto i; 
P(Ci) = valor presente correspondente aos custos anuais C do projeto i; e 
Ki = investimento de capital do projeto i. 
 
Exemplo: Supondo-se que o investimento em tacógrafos para ônibus urbanos custe R$100.000, que 
proporciona uma economia anual de R$ 60.000 em combustível. A manutenção dos equipamentos 
custa R$25.000 anuais. Se a vida útil dos tacógrafos for de 5 anos e a taxa de juros de 12% a.a., qual 
o VPL do projeto? 
 25.000 25.000 25.000 25.000 25.000 
 
 
 n = 0 1 2 3 4 5 
 
 
 100.000 
 
P(R) = 60.000; C(R) = 25.000; n = 5; i = 12% (0,12). 
 
 = 0.000 5.000 .
 1 0,1 1
0,1 . 1 0,1 
 100.000 
VPL = 26.167,17 
Resposta: O valor presente líquido do projeto é R$ 26.167,17. 
5.1.3 Valor Anual Líquido 
O valor anual líquido (VAL) é igual à parcela anual correspondente à distribuição do valor presente 
líquido ao longo da vida útil do projeto. Matematicamente, tem-se: 
 = .
𝑖. 1 𝑖 
 1 𝑖 1
 
Na qual, 
VAL = valor anual líquido; 
VPL = valor presente líquido; 
i = taxa de oportunidade de capital; 
n = período. 
 
Se positivo, o projeto é viável; se negativo ou nulo, o projeto é inviável. 
Assim, 
se VAL > 0, o projeto é viável; 
se VAL ≤ 0, o projeto é inviável. 
As transações de caixa, neste método, são transformadas em séries anuais uniformes equivalentes 
no decorrer da vida do projeto. O valor anual líquido também pode ser calculado pela equação: 
VAL = Ri – [Ci + A(Ki)] 
Em que: 
Ri = valor correspondente à receita anual R do projeto i; 
Ci = valor correspondente aos custos anuais C do projeto i; 
A(Ki) = investimento de capital do projeto i. 
Exemplo: Supondo-se que o investimento em tacógrafos para ônibus urbanos custe R$100.000, que 
proporciona uma economia anual de R$ 60.000 em combustível. A manutenção dos equipamentos 
custa R$25.000 anuais. Se a vida útil dos tacógrafos for de 5 anos e a taxa de juros de 12% a.a., qual 
o VAL do projeto? 
R = 60.000; C = 25.000; n = 5 anos; i = 12% (0,12). 
 = 0.000 5.000 (100.000.
0,1 . 1 0,1 
 1 0,1 1
) 
VAL = 7.259,03 
Resposta: O valor anual líquido do projeto é R$ 7.259,03.