cinemática dos Sólidos

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Classificação dos movimentos 
 Classificação quanto a trajetória. 

Conforme a trajetória, os movimentos podem ser: 
 1- Movimento retilíneo: é quando a trajetória consiste em uma reta. 

 

A equação desta trajetória em um plano cartesiano é a seguinte: 
y = ax + b, sendo a e b duas constantes. 
Vejamos um exemplo: 
 2- Movimento parabólico: é quando a trajetória consiste em uma parábola. Neste 
caso a equação da trajetória é a seguinte: 
y = ax² + bx + c, sendo a, b e c três constantes e a ≠ 0. 
Vejamos um exemplo: 

 3- Movimento circular: é quando a trajetória consiste em uma circunferência. 
Neste caso, a equação da trajetória é a seguinte: 
(x – a)² + (y – b)² = c², sendo a,b e c três constantes, a e b as duas coordenadas do centro 
da circunferência e c ≠ 0, sendo o raio da circunferência. 
Vejamos um exemplo: 
De acordo com o gráfico ao lado, um corpo 
qualquer tem uma massa de 2 kg, em 
movimento retilíneo, e sua velocidade vai 
variando no tempo.
!
Neste caso as parábolas ficam em forma de U, 
com a concavidade voltada para cima.
!
4- Existem outras formas que a trajetória pode apresentar, como por exemplo, 
trajetória elíptica, trajetória hiperbólica, etc. 
 Classificação quanto a função horária dos espaços: s = f(t) 
 Quando dizemos que a função horária dos espaços é polinomial, podemos 
afirmar que de acordo com o seu grau de movimento, ela pode ser classificada em: 
– Movimento Uniforme (MUV): sua função horária do primeiro grau é representada 
por: s = f (t), esta é uma função do tipo: s = at + b, sendo a e b duas constantes e a ≠ 0. 
Movimento Uniformemente Variado (MUV): sua função horária do segundo grau é 
representada por: s = at² + bt + c, sendo a, b e c três constantes e a ≠ 0. 
Classificação quanto ao sinal da velocidade escalar instantânea 
 Através do sinal da velocidade escalar instantânea, podemos classificar os 
movimentos em: 
a) Movimento Uniforme Progressivo – O sentido do movimento do corpo coincide com 
o sentido fixado como positivo para a trajetória; a velocidade do móvel é positiva; os 
espaços aumentam em relação à origem. 
b) Movimento Uniforme Retrógrado (ou regressivo) – O móvel anda contra a orientação 
da trajetória; a velocidade é negativa; os espaços diminuem algebricamente em relação 
à origem. 
Vejamos um exemplo destes dois movimentos: 
A figura ao lado mostra um objeto que está 
em movimento uniforme em uma trajetória 
circular.
!
Em um brinquedo que apresenta uma queda 
livre vertical, a partir do seu repouso, sua 
trajetória será para baixo, realizando assim um 
MUV (movimento retilíneo variado).
!


VA > 0 ⇒ o movimento de A é progressivo. 
VB < 0 ⇒ o movimento de B é retrógrado. 
Classificação quanto ao valor absoluto da velocidade escalar instantânea 
 Através do valor absoluto da velocidade escalar instantânea, podemos classificar 
os movimentos em: 
a) Movimento acelerado: é o movimento variado, onde o valor total da velocidade 
aumenta conforme o tempo. 
 O movimento será progressivo e acelerado, quando V > 0 e y > 0. 
 Já o movimento será retrógrado e acelerado, quando V < 0 e y < 0. 
b) Movimento retardado: é o movimento variado, onde o valor total da velocidade 
diminui conforme o tempo. 
 O movimento será progressivo e retardado, quando V > 0 e y < 0. 
 Já o movimento será retrógrado e retardado, quando V < 0 e y > 0. 
Esquematicamente temos: 
 
Movimento de Translação 
 O planeta Terra não permanece paralisado, pelo contrário, realiza diversos 
movimentos no espaço, e um dos mais importantes é o de translação. 



 Translação é um movimento que a Terra executa em torno do Sol de forma 
elíptica. Durante108 mil quilômetros por hora. 

 Para a conclusão do movimento de translação, são necessários - segundo os 
astrônomos - 365 dias e 6 horas (um ano). Portanto, tal movimento é responsável pela 
sucessão dos anos, além de influenciar diretamente na composição das estações do ano 
(primavera, verão, outono e inverno), pois em alguns períodos do movimento, a Terra 
modifica sua posição em relação ao Sol, alterando a intensidade de luz e calor que 
incide no planeta. 

 Voltando para o deslocamento desse movimento, a Terra viaja a uma velocidade 
de cerca de a sucessão dos anos, o movimento em questão permitiu que a humanidade 
se organizasse a partir das referências estipuladas pelos astrônomos e construísse 
calendários que favoreceram a padronização do tempo, facilitando o desenvolvimento 
das atividades humanas. 

 Existem anos com uma duração diferenciada, que são conhecidos de anos 
bissextos, compostos por 366 dias. Como um ano possui 365 dias e 6 horas, o homem 
passou a acumular as horas que restaram, a cada quatro anos soma-se 24 horas (tendo 
em vista que 6.4 = 24) ou 1 dia. 

Vale ressaltar que esse dia extra é acrescentado no mês de fevereiro. 
Aceleração e Velocidade vetorial 
Vetor Posição 
 Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem 
O. 
Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar o 
móvel nesta trajetória por meio de um vetor. 
O vetor é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido. 
 
 =P-O 
Velocidade Vetorial 
 Vetor Velocidade Média: Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do 
gráfico acima, ocupando posições e nos instantes e , respectivamente. 
Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo 
intervalo de tempo: 
 # 
 
Observação: 
 O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor deslocamento, 
pois é obtido quando multiplicamos um número positivo 
pelo vetor . 
 Vetor Velocidade Instantânea: Análogo à velocidade escalar instantânea, quando 
o intervalo de tempo tender a zero ( ), a velocidade calculada será a velocidade 
instantânea. 
então: 
Aceleração Vetorial 
 Vetor Aceleração Média: Considerando um móvel que percorre uma trajetória 
qualquer com velocidade em um instante e velocidade em um instante 
posterior , sua aceleração média será dada por: 
 
 
 
Observação: 
 Assim como para o vetor velocidade, o vetor aceleração terá o mesmo sentido e 
mesma direção do vetor velocidade, pois é resultado do produto deste vetor ( ) por 
um número escalar positivo, . 
 Vetor Aceleração Instantânea: A aceleração vetorial instantânea será dada 
quando o intervalo de tempo tender a zero ( ). 
 
 Sabendo esses conceitos, podemos definir as funções de velocidade em função 
do tempo, deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para notação 
vetorial: 
 
 Rotação com Eixo Fixo 
De acordo com a Segunda Lei de Newton, quando aplicamos uma força sobre um objeto 
que contém massa, este adquire aceleração. Para um corpo em movimento circular, isto 
é, para um corpo em rotação, podemos determinar sua posição e velocidade em função 
de variáveis como o ângulo e a velocidade angular, além do raio da trajetória. 
 Vejamos a figura acima, nela temos um corpo de massa m que está preso a um 
eixo central, que gira em uma trajetória circular cujo raio vale R. Vamos analisar esse 
movimento. Ainda com relação à figura acima, suponhamos que uma força de 
intensidade F atue sempre na direção da velocidade tangencial v do corpo de massa m. 
Podemos escrever a Segunda Lei de Newton para os módulos das grandezas:Como a velocidade linear de um movimento circular é dada por v = ω.R, 
podemos escrever a equação acima da seguinte forma: 
 
 Multiplicando ambos os lados por R, teremos: 
 
 Sabendo que o quociente entre a velocidade angular e o tempo nos fornece a 
aceleração angular, temos: 
 F.R=m.R2.α 
Lembrando que a força é perpendicular ao raio da trajetória, vemos que F.R = M é o 
módulo do torque exercido pela força F em relação ao centro do movimento circular. 
Temos como resultado: 
M = m.R2.α ⟹ M = I.α 
Onde I = m.R2. 
 A equação M = I.α relaciona o módulo do torque M com a aceleração 
angular α e com a quantidade I que representa a inércia rotacional do objeto. A 
quantidade I é conhecida como o momento de inércia do corpo e a sua unidade no SI 
é kg.m2. 
 Nesse exemplo, chegamos à conclusão de que o momento de inércia relaciona-se 
tanto com a massa, como também com o raio da trajetória circular. A equação do 
momento de inércia permite calcular o momento de qualquer corpo, sendo assim, 
podemos dizer que a equação do momento de inércia (M = I.α) é equivalente a Segunda 
Lei de Newton para objetos sujeitos a torque. 
Em geral uma função é uma regra que associa a cada elemento de seu domínio um 
único elemento de sua imagem. 
Repare que, nos exemplos estudados nas seções desse capítulo, para cada valor do 
parâmetro t, existe um único vetor posição (t) que determina a posição da partícula 
em cada instante. Desse modo, podemos entender essa correspondência como uma 
função cujo domínio é um conjunto de números reais (os valores permitidos para t) e 
cuja imagem é um conjunto de vetores. Uma função deste tipo é dita uma função 
vetorial ou uma função de valor vetorial . 
O conceito de função vetorial pode ser empregado para estudarmos movimentos de 
partículas no espaço. Como sabemos, para determinar a posição de um ponto no espaço, 
precisamos de um terno ordenado de números reais (x, y, z) que são as suas 
coordenadas. Da mesma forma, a posição de uma partícula que se desloca no espaço 
será determinada por três funções coordenadas x = f(t) , y = g(t) e z = h(t) que definem a 
posição da partícula em cada instante de tempo t. Chamando de i , j , k os vetores 
unitários nas direções dos respectivos eixos coordenados x , y e z , isto é, i = < 1, 0, 0 
>, j = < 0, 1, 0 > e k = < 0, 0, 1 >, o vetor posição é determinado pela equação 
vetorial (t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k. 
Se uma partícula se desloca no 
espaço com trajetória descrita por 
este vetor, então o caminho 
percorrido por ela durante o seu 
movimento define uma curva no 
espaço ou uma curva espacial cuja 
parametr ização é dada pe la 
equação anterior. Se considerarmos 
a função vetorial ! (t) = < f(t), g(t), 
h(t) > , então ! (t) é um vetor de 
posição do ponto P(f(t), g(t), h(t)) 
sobre uma curva C. Assim, qualquer 
função vetorial ! define uma curva 
espacial C que é traçada pela ponta 
do vetor ! (t) em movimento, como 
é ilustrado na figura ao lado.
!
Equação Vetorial da Reta 
No plano, uma reta pode ser determinada sendo conhecidos um de seus pontos e a sua 
inclinação (direção). A equação da reta pode então ser escrita utilizando-se a forma 
ponto-inclinação. 
Da mesma maneira, uma reta no espaço fica determinada quando conhecemos um de 
seus pontos e a sua direção. O problema nesse caso é como determinar a direção da reta. 
Esse problema é facilmente resolvido usando-se o que aprendemos sobre vetores: a 
direção de uma reta, em duas ou três dimensões, pode ser descrita de uma forma muito 
conveniente por um vetor, como faremos a seguir. 
Considere uma reta L, um ponto # ( # ) pertencente a L e um vetor v , 
paralelo a L. Determinar a equação da reta L é equivalente a determinar as coordenadas 
de um ponto arbitrário P de coordenadas ( x , y , z ) em L. Para isso, vamos considerar 
os vetores ro e r , como os vetores posição de # e de P , respectivamente. Isto é, se 
O é a origem do sistema de coordenadas tridimensionais considerado, ro = # e r 
= # 
MOVIMENTO PLANO EM GERAL 
O movimento plano geral pode ser decomposto em dois movimentos, sendo um de 
translação e outro de rotação. Vamos tomar o ponto A como referência e seja B outro 
ponto qualquer do corpo rígido. A relação entre as posições rA e rB desses dois pontos 
do corpo rígido é dada por 
 # 
A figura mostra estes vetores, o referencial fixo xy e o móvel x’y’, preso em A 
mantendo-se em qualquer instante paralelo ao referencial fixo. 
 # 
Figura 5.6 - Vetores posição dos pontos A e B 
Derivando podemos relacionar as velocidades entre os pontos A e B 
 # 
onde # corresponde velocidade relativa de B em relação a A. Aqui vale 
também a observação feita anteriormente, uma vez que a velocidade vB/A é de fato a 
velocidade de B em relação ao referencial móvel x´y´. Vamos analisar a derivada do 
vetor posição relativa. Seja 
 # 
O movimento de B neste referencial x´y´ é circular. Conforme mostrado no item 
anterior, resulta igual a: 
 
 # 
Portanto, a relação entre as velocidades de A e B dada é igual a 
 # 
Lembrando que os eixos dos referenciais são sempre paralelos, todos os vetores podem 
ser escritos no referencial fixo xy. Para se obter a relação entre as acelerações dos 
pontos A e B, derivamos a equação. 
 # 
A partir dos resultados obtidos no item anterior, podemos escrever 
# onde 
 # 
Assim, é possível obter a posição, a velocidade e a aceleração de um ponto B qualquer 
de um corpo rígido a partir dos correspondentes vetores de um ponto A, cujo 
movimento seja dado. As equações expressam estas relações para um movimento plano 
qualquer. Podem ser aplicadas, é óbvio, para os casos particulares de translação, onde os 
vetores velocidade angular e aceleração angular são nulos, e de rotação em torno de um 
eixo fixo que passe por A, onde os vetores velocidade e aceleração deste ponto são 
nulos. 
EQUAÇÕES VETORIAIS DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO 
Vetor Posição 
Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem O. 
Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar o 
móvel nesta trajetória por meio de um vetor. 
O vetor # é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido 
 # 
Vetor Velocidade Média: Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do gráfico 
acima, ocupando posições # e # nos instantes # e # , respectivamente. 
Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo 
intervalo de tempo: 
 # 
Vetor Velocidade Instantânea: Análogo à velocidade escalar instantânea, quando o 
intervalo de tempo tender a zero ( # ), a velocidade calculada será a velocidade 
instantânea. Então: 
 # 
Aceleração Vetorial 
Vetor Aceleração Média: Considerando um móvel que percorre uma trajetória qualquer 
com velocidade # em um instante # e velocidade # em um instante posterior # , sua 
aceleração média será dada por: 
 # 
 # 
Vetor Aceleração Instantânea: A aceleração vetorial instantânea será dada quando o 
intervalo de tempo tender a zero ( # ).# 
Sabendo esses conceitos, podemos definir as funções de velocidade em função do 
tempo, deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para notação 
vetorial: 
 # 
Aceleração e Velocidade Vetoriais 
Vetor Posição 
Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem O. 
Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar 
o móvel nesta trajetória por meio de um vetor. 
O vetor ! é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido. 
 ! 
 ! =P-O 
 
Velocidade Vetorial 
Vetor Velocidade Média: Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do gráfico 
acima, ocupando posições ! e ! nos instantes ! e ! , respectivamente. 
Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo 
intervalo de tempo: 
 ! 
 ! 
Observação: 
O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor deslocamento, 
pois é obtido quando multiplicamos um número positivo ! 
pelo vetor ! . 
O EIXO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO (EI) se constitui em um importante conceito 
aplicável à Mecânica das Rotações. Este conceito se origina em considerações 
estritamente cinemáticas como explicarei a seguir. 
A figura abaixo representa um sistema de referência SR que gira em torno da sua 
origem e simultaneamente se traslada em relação ao sistema de referência SR'. 
 # 
Então pontos solidários ao sistema SR possuem simultaneamente, em relação ao sistema 
SR', duas velocidades lineares. Em alguns pontos estão representas as duas velocidades: 
por setas verdes, com a mesma orientação e intensidade, as velocidades devida à 
translação de SR; por setas vermelhas estão representadas as velocidades devidas à 
rotação em torno da origem. As setas vermelhas possuem intensidades proporcionais à 
distância que o ponto considerado se encontra da origem do sistema SR (por onde passa 
o eixo de rotação) e estão cruzadas (são perpendiculares) com o raio vetor que vai da 
origem de SR até o ponto considerado. 


 # 
A velocidade que um particular ponto solidário a SR possui em relação a SR' é a 
composição das duas velocidades (soma vetorial) representadas em verde e vermelho. 
Esta composição resulta em um campo de velocidades em relação a SR' representado 
em cada ponto por um seta laranja na figura abaixo. Este campo de velocidades mostra 
(e isto é possível de se provar rigorosamente) que o sistema SR está, neste instante 
representado, apenas girando em torno de um eixo indicado na figura por EI. Este eixo, 
em torno do qual neste instante (instantaneamente) o sistema SR apenas gira é 
denominado EIXO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO (EI). 


 # 
Se tivermos um corpo RÌGIDO se trasladando em relação a um determinado sistema de 
referência enquanto gira em torno de um eixo que é trasladado junto com o corpo então 
decorre do que acima foi exposto que sempre é possível se encontrar um eixo em torno 
do qual, instantaneamente (em um particular instante), o corpo APENAS gira. Nem 
sempre é simples localizar tal eixo. 
O caso particular, onipresente nos textos de Física Geral que tratam da Dinâmica do 
Corpo Rígido, é o do corpo que rola sem deslizar (esfera, cilindro, disco, ...) sobre uma 
superfície rígida. Neste caso o EIXO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO passa pela 
região de contato do corpo com a superfície de rolamento. 
Entretanto o conceito de EI pode ser aplicado a qualquer movimento que se constitua 
em uma translação superposta a uma rotação e esta abordagem simplificará os cálculos 
que envolvem as ações exercidas sobre o corpo (forças e torques) e suas relações com as 
grandezas cinemáticas de interesse. 
Alguns exemplos adicionais de corpos em rotação que se trasladam e o seu respectivo 
EI: 
- Um corpo que apenas execute translação tem o seu EI no infinito. 
- A roda de um automóvel (modelada como um corpo rígido) que patina em uma 
arrancada violenta tem o seu EI entre o eixo da roda e a pista de rolamento. 
- A roda de um automóvel (modelada como um corpo rígido) que em uma frenagem 
(sem freio ABS) desliza sobre a pista sem ser bloqueada completamente tem o seu EI 
abaixo da pista de rolamento. 
MOVIMENTO GERAL 
O movimento geral de um corpo rígido no espaço pode ser decomposto em movimentos 
simples elementares independentes constituídos por movimentos de rotação e 
translação. 
O movimento de um corpo rígido pode ser caraterizado por um dos seguintes 
movimentos-tipo: 
-Movimento plano: Todas as partículas se deslocam em planos paralelos. 
-Movimento em torno de um ponto fixo: O corpo efectua a designada precessão em 
torno de um ponto fixo (por exemplo, o pião a girar em torno de um ponto de contacto 
com o solo). 
-Movimento de rotação e deslizamento (movimento roto-translatório): Os pontos do 
eixo de rotação deslocam-se sobre ele, permanecendo sobre essa direcção (exemplo: 
movimento de um parafuso ou movimento helicoidal). 
Sejam A e B duas partículas de um corpo rígido. O vector posição pode ser obtido da 
seguinte maneira: 
 # 
# 
Portanto, a velocidade num ponto qualquer, B, de um corpo rígido com um movimento 
geral é dado por: 
# 
Portanto, a aceleração num ponto qualquer, B, de um corpo rígido em movimento 
(geral) é dado por: 
# 
AS equações de velocidade e de aceleração de um corpo rígido em movimento geral 
mostra que esse movimento é equivalente, num dado instante, à soma de uma 
translação, na qual todas as partículas do corpo têm a mesma velocidade e a mesma 
aceleração que a partícula de referência A, e um movimento (de rotação) no qual a 
partícula A se considera fixa.