Licenciatura em Matemática Álgebra Linear I

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Álgebra 
Linear I
Clício Freire da Silva
Disney Douglas de Lima Oliveira
Domingos Anselmo Moura da Silva
Manaus 2007
FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Planejamento e Administração 
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Projeto Gráfico
Mário Lima
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico-gramatical
João Batista Gomes
Silva, Clício Ferreira da.
S586a Álgebra linear / Clício Ferreira da Silva, Disney Douglas de
Lima Oliveira, Domingos Anselmo Moura da Silva. - Manaus/AM:
UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período)
111 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia.
1. Álgebra linear - Estudo e ensino. I. Oliveira, Disney
Douglas de Lima. II. Silva, Domingos Anselmo Moura da. III.
Série. IV. Título.
CDU (1997): 512.64 
CDD (19.ed.): 512.5
SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – Matrizes - Definições e classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
TEMA 02 – Matrizes - Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
UNIDADE II – Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
TEMA 03 – Determinantes - Definição e cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
TEMA 04 – Determinantes - Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 
UNIDADE III – Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TEMA 05 – Sistemas lineares- Definição e resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
TEMA 06 – Estudo de sistemas lineares homogêneos e heterogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 
UNIDADE IV – Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
TEMA 07 – Vetores - Definição e operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TEMA 08 – Vetores - Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
TEMA 09 – Vetores - Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
TEMA 10 – Vetores - Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
TEMA 11 – Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
TEMA 12 – Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
UNIDADE V – Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 13 – Equação da reta e do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
TEMA 14 – Posições relativas entre retas, planos, retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
TEMA 15 – Distância entre dois pontos, ponto e reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
TEMA 16 – Distância entre retas, ponto e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
TEMA 17 – Distância entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
TEMA 18 – Ângulo entre retas, entre planos e entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
UNIDADE VI – Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
TEMA 19 – Cônicas - Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
TEMA 20 – Cônicas - Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
TEMA 21 – Cônicas - Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Clício Freire da Silva
Licenciado em Matemática – UFAM
Bacharel em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF
Disney Douglas de Lima Oliveira
Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM
Mestre em Matemática - UFAM 
Doutorando em Computação Gráfica - UFRJ
Domingos Anselmo Moura da Silva
Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM
Mestre em Matemática - UFAM 
PERFIL DOS AUTORES
PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada
à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do
Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-
der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em
dinamismo técnico−científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-
cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-
tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−
lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.
Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história
da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-
tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-
no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios
que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE I
Matrizes
TEMA 01
MATRIZES – DEFINIÇÕES E 
CLASSIFICAÇÃO
1.1 Fique por dentro
Surgimento da Teoria das matrizes
• Curiosidades em torno do nome matriz 
Foi só há pouco mais de 150 anos que as ma-
trizes tiveram sua importância detectada e saí-
ram da sombra dos determinantes. O primeiro
a dar a elas um nome parece ter sido Cauchy,
em 1826: tableau (= tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph
Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua
famosa Memoir on the Theory of Matrices,
1858, divulgou esse nome e começou a de-
monstrar sua utilidade.
Por que Sylvester deu o nome matriz às
matrizes?
Usou o significado coloquial da palavra matriz:
local onde algo se gera ou se cria. Com efeito,
via-as como “...um bloco retangular de ter-
mos... o que não representa um determinante,
mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da
qual podemos formar varios sistemas de deter-
minantes, ao fixar um número p e escolhar à
vontade p linhas e p colunas...” (artigo publicado
na Philosophical Magazine de 1850, pag. 363-370 )
Observe que Sylvester ainda via as matrizes
como mero ingrediente dos determinantes. É
só com Cayley que elas passam a ter vida
própria e, gradativamente, começam a suplan-
tar os determinantes em importância.
• Surgimento dos primeiros resultados da 
Teoria das Matrizes 
Costuma-se dizer que um primeiro curso de
Teoria das Matrizes – ou de sua versão mais
abstrata, a Algebra Linear – deve ir, no mínimo,
até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teore-
ma e toda uma série de resultados auxiliares já
eram conhecidos antes de Cayley começar a
estudar as matrizes como uma classe notável
de objetos matemáticos.
Como se explica isso? Esses resultados, bem
como a maioria dos resultados básicos da Teo-
ria da Matrizes, foram descobertos quando os
matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram
a investigar a Teoria das Formas Quadráticas.
Hoje, consideramos imprescindível estudar es-
sas formas por meio da notacão e da metodo-
logia matricial, mas naquela época elas eram
tratadas escalarmente. Mostremos aqui a re-
presentação de uma forma quadrática de duas
variáveis, tanto via notação escalar, como com
a mais moderna notação matricial:
O primeiro uso implícito da noção de matriz
ocorreu quando Lagrange (1790) reduziu a ca-
racterização dos máximos e mínimos, de uma
função real de várias variáveis, ao estudo do
sinal da forma quadrática associada à matriz
das segundas derivadas dessa função. Sempre
trabalhando escalarmente, ele chegou a uma
conclusão que hoje expressamos em termos
de matriz positiva definida. Após Lagrange, já
no século XIX, a Teoria das Formas Quadrá-
ticas chegou a ser um dos assuntos mais impor-
tantes em termos de pesquisas, principalmente
no que toca ao estudo de seus invariantes. Es-
sas investigações tiveram como subproduto a
descoberta de uma grande quantidade de resul-
tados e conceitos básicos de matrizes.
Assim, podemos dizer que a Teoria das Matri-
zes teve como mãe a Teoria das Formas Quadrá-
ticas, pois seus métodos e resultados básicos
foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das
formas quadráticas é um mero capítulo da Teo-
ria das Matrizes. (Fonte de pesquisa:
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3)
1.2 Elementos básicos para matrizes
Aqui, tomaremos o conjunto N dos números na-
turais, como: N = {1,2,3,4,5,6,7,...}.
O produto cartesiano N×N indicará o conjunto
de todos os pares ordenados da forma (a, b),
em que a e b são números naturais, isto é:
N × N={(a, b): a e b são números naturais}
Uma relação importante em N×N é:
Smn={(i,j): 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
11
Álgebra Linear I – Matrizes
1.3 Definição de matriz
Considere um conjunto A de elementos aij, dis-
postos em uma tabela com m linhas e n colu-
nas, tais que A = (aij)m×n, onde:
1.4 Definições básicas sobre matrizes
• Ordem – Se a matriz A tem m linhas e n colu-
nas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
• Posição de um elemento – Na tabela acima,
a posição de cada elemento aij = a(i,j) é
indicada pelo par ordenado (i,j).
• Notação para a matriz – Indicamos uma
matriz A pelos seus elementos, na forma: 
A = (aij)m×n ∀ . (i,j) ∈ Smn
• Matriz quadrada – É a matriz que tem o
número de linhas igual ao número de colu-
nas, isto é, m = n.
Exemplo: Matriz 4 x 4 de números reais.
• Diagonal principal – A diagonal principal
da matriz é indicada pelos elementos da
forma a(i,j) onde i = j.
• A diagonal secundária de uma matriz qua-
drada de ordem n é indicada pelos n ele-
mentos:
• Matriz diagonal – É a que tem elementos
nulos fora da diagonal principal.
Exemplo: Matriz diagonal com quatro linhas
e quatro colunas:
• Matriz real – É aquela que tem números
reais como elementos.
• Matriz complexa – É aquela que tem nú-
meros complexos como elementos.
Exemplo: Matriz 4 x 4 de números comple-
xos.
• Matriz nula – É aquela que possui todos os
elementos iguais a zero.
• Matriz identidade – Tem os elementos da
diagonal principal iguais a 1 e zero fora da
diagonal principal.
Exemplo: Matriz identidade de ordem 3.
I3 =
1.5 Matrizes iguais
Duas matrizes A = (ai,j)m×n e B = (bi,j)m×n, de
mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus
correspondentes elementos são iguais, isto é
ai,j = bi,j para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Determinar os valores de x e y para que sejam
iguais as matrizes abaixo, isto é:
Solução:
x – 1 = 1 x = 2
y – 1 = 2 y = 3
12
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 02
MATRIZES – OPERAÇÕES
2.1 Soma de matrizes
A soma (adição) de duas matrizes A = [ai,j] e 
B = [bi,j] de mesma ordem m × n é uma outra
matriz C = [ci,j], definida por:
ci,j = ai,j + bi,j, para todo par ordenado (i,j) em
Smn.
Exemplo: A soma das matrizes A e B é a ter-
ceira matriz indicada abaixo.
2.1.1 Propriedades
a) Associativa – Para quaisquer matrizes A, B
e C, de mesma ordem m×n, vale a igual-
dade:
(A + B) + C = A + (B + C)
b) Comutativa – Para quaisquer matrizes A e
B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
A + B = B + A
c) Elemento neutro – Existe uma matriz nula 0
que somada com qualquer outra matriz A,
de mesma ordem, fornecerá a própria ma-
triz A, isto é: 
0 + A = A
d) Elemento oposto – Para cada matriz A,
existe uma matriz -A, denominada a oposta
de A, cuja soma entre ambas fornecerá a
matriz nula de mesma ordem, isto é:
A + (–A) = 0
2.2 Multiplicação de escalar por uma matriz
Seja k∈IR um escalar e A=(ai,j)mxn uma matriz.
Definimos a multiplicação do escalar k pela
matriz A, como uma outra matriz C = k.A,
definida por: ci,j = k. ai,j. Para todo par ordena-
do (i,j) em Smn.
Exemplo: A multiplicação do escalar –4 pela 
matriz , definida por:
2.2.1 Propriedades 
a) Multiplicação pelo escalar 1 – A multiplica-
ção do escalar 1 por qualquer matriz A, for-
necerá a própria matriz A, isto é: 1. A = A
b) Multiplicação pelo escalar zero – A multipli-
cação do escalar 0 por qualquer matriz A,
fornecerá a matriz nula, isto é:
0 . A = 0 (matriz nula de ordem m x n)
c) Distributividade das matrizes – Para quais-
quer matrizes A e B de mesma ordem e
para qualquer escalar k, tem-se:
k (A+B) = k A + k B
d) Distributividade dos escalares – Para qual-
quer matriz A e para quaisquer escalares p
e q, tem-se: 
(p + q) A = p A + q A
2.3 Multiplicação de matrizes
Dadas as matrizez A=(aij)mxn e B = (bij)pxq, dize-
nis que ∃ A.B ⇔ n = p, onde A . B = C(cij)mxn
Para obter o elemento da 2.a linha e da 3.a co-
luna da matriz produto C = A.B, isto é, o ele-
mento c(2,3), devemos:
• multiplicar os primeiros elementos da 2.a
linha e 3.a coluna;
• multiplicar os segundos elementosda 2.ali-
nha e 3.a coluna;
• multiplicar os terceiros elementos da 2.a
linha e 3.a coluna;
• multiplicar os quartos elementos da 2.a linha
e 3.a coluna;
• somar os quatro produtos obtidos anterior-
mente.
Assim: 
c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43
Observações
• Somente podemos multiplicar duas matrizes
se o número de colunas da primeira for igual
ao número de linhas da segunda.
• Note que em geral A. B ≠ BA. Porém existem
matrizes tais que A . B = B . A, por exemplo
I3 . A = A . I3, ∀ A3x3
13
Álgebra Linear I – Matrizes
2.3.1 Propriedades 
a) Distributividade da soma à direita:
A (B+C) = A B + A C ∀ A = (aij)mxp, B(bcj)pxn,
C(cij)pxn
b) Distributividade da soma à esquerda:
(A+B)C = A C + B C A(m,p), B(m,p), C(p,n) 
c) Associatividade: 
A (B C) = (A B) C A(m,p), B(p,k), C(k,n) 
d) Nulidade do produto – Pode acontecer
que o produto de duas matrizes seja a ma-
triz nula, isto é: AB = 0, embora nem A nem
B sejam matrizes nulas, como é o caso do
produto:
2.4 Matrizes com propriedades especiais
a) Uma matriz A é nilpotente de índice k natu-
ral se Ak = 0
b) Uma matriz A é periódica de índice k natu-
ral se Ak+1= A
c) Uma matriz A é idempotente se A2 = A
d) As matrizes A e B são anticomutativas se
A.B = –B.A
e) A matriz identidade Id multiplicada por toda
matriz A, fornecerá a própria matriz A, quan-
do o produto fizer sentido, ou seja, Id A = A.
f) A matriz A será a inversa da matriz B, se 
A.B = Id e B.A = Id
g) Dada uma matriz A = (aij) de ordem m × n,
definimos a transposta da matriz A como a
matriz At = (aij)nxm.
2.4.1 Propriedades
a) A transposta da transposta da matriz é a
própria matriz (At)t = A
b) A transposta da multiplicação de um esca-
lar por uma matriz é igual ao próprio escalar
multiplicado pela transposta da matriz 
(kA)t = k (At)
c) A transposta da soma de duas matrizes é a
soma das transpostas dessas matrizes.
(A + B)t = At + Bt
d) A transposta do produto de duas matrizes é
igual ao produto das transpostas das matri-
zes na ordem trocada: 
(A B)t = Bt At
e) Uma matriz A é simétrica se é uma matriz
quadrada tal que At = A
f) Uma matriz A é anti-simétrica se é uma ma-
triz quadrada tal que At = –A
g) Se A é uma matriz simétrica de ordem n,
então para todo escalar k, a matriz k.A é
simétrica.
h) Se A é uma matriz quadrada de ordem n,
então a matriz B = A + At é simétrica.
i) Se A é uma matriz quadrada de ordem n,
então a matriz B = A – At é anti-simétrica.
2.5 Exemplos
1. Vamos escrever a matriz A = (aij)2 x 3 , sendo 
ai j = i + j. Uma matriz do tipo 2 x 3 pode ser
genericamente representada por 
Utilizando a regra de formação de seus ele-
mentos, encontramos:
a11 = 1 + 1 = 2 
a12 = 1 + 2 = 3
a13 = 1 + 3 = 4
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 + 2 = 4
a23 = 2 + 3 = 5
Assim, a matriz pedida é .
2. Vamos determinar os valores de a, b, c, d para
que se tenha:
Igualando os elementos de mesma posição,
segue que:
a = 4
b + 1 = –1 b = –2
c – 4 = 6 c = 10
d + 3 = 8 d = 5
3. Vamos resolver a equação X – A = B, sendo
14
UEA – Licenciatura em Matemática
. Vamos ver dois mo-
dos de resolução.
Modo 1:
A matriz procurada é . Temos:
Igualando os elementos correspondentes, vem:
p – 3 = 7 p = 10 
q – 1 = 10 q = 11
r – 4 = –1 r = 3
s + 2 = 5 s = 3
Modo 2:
Vamos “isolar” a matriz X na equação:
1. Somemos, aos dois membros, a matriz A:
(X – A) + A = B + A
2. Usando as propriedades II e III, temos:
3. Usando a propriedade IV, temos:
A seqüência acima mostra-nos que essa
equação matricial é resolvida do mesmo
modo que a equação x – a = b, sendo x, a,
e b números reais.
Assim, para adição e subtração de matri-
zes, é possível simplesmente fazer: 
X – A = B ⇒ X = B + A.
4. Vamos determinar X na equação
3. X – A = B, sendo .
Modo 1:
A matriz procurada é . Temos:
Daí:
Modo 2:
Vamos operar como se A, B e X fossem núme-
ros reais:
3X= A + B X = . (A + B),
isto é: 
5. Sejam as matrizes e
, vamos determinar a matriz A . B.
Vejamos se é possível fazer tal produto:
Façamos . Temos:
• C11: (linha 1 de A e coluna 1 de B)
c11 = 5 . 1 + 1 . (–4) + (-1) . 8 = –7
• C12: (linha 1 de A e coluna 2 de B)
c12 = 5 . 5 + 1 . 3 + (–1) . 1 = 27
• C21: (linha 2 de A e coluna 1 de B)
c21 = 3 . 1 + 2 . (–4) + 7 . 8 = 51
• C22: (linha 2 de A e coluna 2 de B)
c22 = 3 . 5 + 2 . 3 + 7 . 1 = 28
Assim,
15
Álgebra Linear I – Matrizes
16
UEA – Licenciatura em Matemática
6. Considerando as matrizes e 
, vamos determinar a matriz C,
produto de A por B.
Temos:
Seguindo o mesmo esquema do exemplo an-
terior, temos:
c11 = 1 . 2 + 2 . 0 = 2 
c12 = 1 . 1 + 2 . 3 = 7 
c13 = 1 . (–1) + 2 . (-2) = –5
c21 = 5 . 2 + 3 . 0 = 10 
c22 = 5 . 1 + 3 . 3 = 14 
c23 = 5 . (–1) + 3 . (–2) = -11
c31 = 9 . 2 + (–4) . 0 = 18 
c32 = 9 . 1 + (–4) . 3 = -3 
c33 = 9 . (–1) + (–4) . (–2) = –1
c41 = 0 . 2 + 7 . 0 = 0 
c42 = 0 . 1 + 7 . 3 = 21 
c43 = 0 . (–1) + 7 . (-2) = –14
Logo:
7. Vamos encontrar, se existir, a inversa da matriz 
Devemos determinar tal que
A . A–1 = I2. Temos:
Igualando os elementos correspondentes, se-
guem os sistemas:
Logo:
Note que:
1. Construa a matriz A = (ai j)3x3, em que 
, identificando os elemen-
tos que pertencem às diagonais principal e
secundária de A.
2. Diz-se que uma matriz quadrada é simétrica se
ela for igual à sua matriz transposta. Determine
x e y a fim de que a matriz 
seja simétrica.
3. Determine os valores de p e q que satisfazem 
a igualdade: .
4. Determine x e y reais de modo que 
.
5. Resolva o sistema matricial: 
6. Efetue: 
7. Sabendo que , determine a
matriz 2 . X.
8. Resolva o sistema .
9. Sejam A = (ai j)4x3 e B = (bi j)3x4 duas matrizes
definidas por ai j = i + j e bi j = 2i + j, respecti-
vamente. Se A . B = C, então qual é o elemen-
to c32 da matriz C?
10. Determine x e y a fim de que as matrizes 
comutem.
11. Considere . Determine: 
Xt + (X–1)t.
12. Supondo sen θ ≠ 0 e cos θ ≠ 0, encontre a inver-
sa da matriz T = .
17
Álgebra Linear I – Matrizes
UNIDADE II
Determinantes
TEMA 03
DETERMINANTES – DEFINIÇÃO E 
CÁLCULO DE DETERMINANTES
3.1 Fique por dentro
Origem dos Sistemas Lineares e
Determinantes
Na matemática ocidental antiga, são poucas as
aparições de sistemas de equações lineares. No
Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção
bem maior. Com seu gosto especial por diagra-
mas, os chineses representavam os sistemas
lineares por meio de seus coeficientes escritos
com barras de bambu sobre os quadrados de
um tabuleiro. Assim, acabaram descobrindo o
método de resolução por eliminação – que con-
siste em anular coeficientes por meio de opera-
ções elementares. Exemplos desse procedimen-
to encontram-se nos Nove capítulos sobre a ar-
te da matemática, um texto que data provavel-
mente do século 111 a.C.
Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês
Seki Kowa, que a idéia de determinante (como
polinômio que se associa a um quadrado de nú-
meros) veio à luz. Kowa, considerado o maior
matemático japonês do século XVII, chegou a
essa noção por meio do estudo de sistemas li-
neares, sistematizando o velho procedimento
chinês (para o caso de duas equações apenas).
O uso de determinantes no Ocidente começou
dez anos depois, num trabalho de Leibniz, liga-
do também a sistemas lineares. Em resumo,
Leibniz estabeleceu a condição de compatibili-
dade de um sistema de três equações a duas
incógnitas em termos do determinante de or-
dem3 formado pelos coeficientes e pelos ter-
mos independentes (este determinante deve
ser nulo). Para tanto, criou até uma notação com
índices para os coeficientes; o que hoje, por
exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indi-
cava por 12.
A conhecida regra de Cramer para resolver sis-
temas de n equações a n incógnitas, por meio
de determinantes, é na verdade uma desco-
berta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746),
datando provavelmente de 1729, embora só
publicada postumamente em 1748, no seu
Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Ga-
briel Cramer (1704-1752) não aparece nesse
episódio de maneira totalmente gratuita. Cra-
mer também chegou à regra (independente-
mente), mas depois, na sua Introdução à aná-
lise das curvas planas (1750), em conexão com
o problema de determinar os coeficientes da
cônica geral A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0.
O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor
de textos matemáticos de sucesso em seu
tempo, sistematizou, em 1764, o processo de es-
tabelecimento dos sinais dos termos de um de-
terminante. E coube a outro francês, Alexandre
Vandermonde (1735-1796), em 1771, empre-
ender a primeira abordagem da teoria dos de-
terminantes independente do estudo dos sis-
temas lineares – embora também os usasse na
resolução destes sistemas. O importante teore-
ma de Laplace, que permite a expansão de um
determinante por meio dos menores de r filas
escolhidas e seus respectivos complementos
algébricos, foi demonstrado, no ano seguinte,
pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar
pelo título, nada tinha a ver com o assunto:
Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema
do mundo.
O termo determinante, com o sentido atual,
surgiu em 1812, num trabalho de Cauchy so-
bre o assunto. Neste artigo, apresentado à Aca-
demia de Ciências, Cauchy sumariou e simpli-
ficou o que era conhecido até então sobre
determinantes, melhorou a notação (mas a atu-
al com duas barras verticais ladeando o qua-
drado de números só surgiria em 1841, com
Arthur Cayley) e deu uma demonstração do
teorema da multiplicação de determinantes –
meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a
primeira demonstração desse teorema, mas a
de Cauchy era superior.
Além de Cauchy, quem mais contribuiu para
consolidar a teoria dos determinantes foi o
alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cogno-
minado às vezes “o grande algorista”. Deve-se
a ele a forma simples como essa teoria se
apresenta hoje. Como algorista, Jacobi era um
entusiasta da notação de determinante, com
suas potencialidades. Assim, o importante con-
ceito jacobiano de uma função, salientando um
dos pontos mais característicos de sua obra, é
uma homenagem das mais justas. (HYGINO H.
DOMINGUES)
21
Álgebra Linear I – Determinantes
22
UEA – Licenciatura em Matemática
3.2 Introdução
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o
mesmo número de linhas e de colunas (ou seja,
é do tipo n x n).
A toda matriz quadrada está associado um nú-
mero ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes
na Matemática, temos:
• resolução de alguns tipos de sistemas de
equações lineares; 
• cálculo da área de um triângulo situado no
plano cartesiano, quando são conhecidas
as coordenadas dos seus vértices.
3.3 Determinante de 1.a ordem
Dada uma matriz quadrada de 1.a ordem
M=[a11], o seu determinante é o número real
a11: det M =Ia11I = a11
Observação:
Representamos o determinante de uma matriz
entre duas barras verticais, que não têm o sig-
nificado de módulo.
Por exemplo:
M= [5] ⇒ det M = 5 ou |5| = 5
M = [–3] ⇒ det M = –3 ou |–3| = –3
3.4. Determinante de 2.a ordem
Dada a matriz , de ordem 2, por
definição o determinante associado a M, deter-
minante de 2.a ordem, é dado por:
detM = = a11a22 – a12a22
Portanto o determinante de uma matriz de or-
dem 2 é dado pela diferença entre o produto
dos elementos da diagonal principal e o produ-
to dos elementos da diagonal secundária. Veja
o exemplo a seguir.
Sendo , temos:
detM = = 2.5 – 4.3 = 10 – 12 ⇒ detM = –2
3.5 Menor complementar
Chamamos de menor complementar relativo
a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e
de ordem n > 1, o determinante MCij, de
ordem n – 1, associado à matriz obtida de M
quando suprimimos a linha e a coluna que pas-
sam por aij.
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a
seguir:
a) Dada a matriz , de ordem 2,
para determinar o menor complementar re-
lativo ao elemento a11(MC11), retiramos a
linha 1 e a coluna 1:
⇒ MC11 = |a22| = a22
Da mesma forma, o menor complementar
relativo ao elemento a12 é:
⇒ MC12 = |a21| = a21
b) Sendo , de ordem 3,
temos:
3.6 Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algé-
brico relativo a um elemento aij de uma matriz
quadrada de ordem n o número Aij tal que
Aij = (–1)i+j . MCij .
Veja:
23
Álgebra Linear I – Determinantes
a) Dada , os cofatores relativos
aos elementos a11 e a12 da matriz M são:
b) Sendo , vamos calcular
os cofatores A22, A23 e A31:
3.7 Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada
M = [aij]mxn, m = 2, pode ser obtido pela soma
dos produtos dos elementos de uma fila qual-
quer (linha ou coluna) da matriz M pelos res-
pectivos cofatores.
Assim, fixando j ∈ N; 1 = j = m, temos:
em que é o somatório de
todos os termos de índice i, variando de 1 até
m, m ∈ N.
3.8 Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3.a ordem pode
ser feito por meio de um dispositivo prático,
denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para 
.
1.o passo – Repetimos as duas primeiras colu-
nas ao lado da terceira:
2.o passo – Encontramos a soma do produto
dos elementos da diagonal principal com os
dois produtos obtidos pela multiplicação dos
elementos das paralelas a essa diagonal (a
soma deve ser precedida do sinal positivo):
3.o passo – Encontramos a soma do produto
dos elementos da diagonal secundária com os
dois produtos obtidos pela multiplicação dos
elementos das paralelas a essa diagonal (a
soma deve ser precedida do sinal negativo):
Assim:
= –(a13a22a31+a11a23a22+a12a21a33)+(a11a22a33+a11a23a31+a13a21a32)
Observação:
Se desenvolvermos esse determinante de 3.a
ordem aplicando o Teorema de Laplace,
encontraremos o mesmo número real.
24
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 04
DETERMINANTES – PROPRIEDADES DOS
DETERMINANTES
4.1 Nulidade
a) Quando todos os elementos de uma fila
(linha ou coluna) são nulos, o determinante
dessa matriz é nulo.
Exemplo:
a)
b)
b) Se duas filas de uma matriz são iguais,
então seu determinante é nulo.
Exemplo:
c) Se duas filas paralelas de uma matriz são
proporcionais, então seu determinante é
nulo.
Exemplo:
d) Se os elementos de uma fila de uma matriz
são combinações lineares dos elementos
correspondentes de filas paralelas, então
seu determinante é nulo.
Exemplos:
a) b)
4.2 Teorema de Jacobi
Teorema de Jacobi – O determinante de uma
matriz não se altera quando somamos aos ele-
mentos de uma fila uma combinação linear dos
elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
Substituindo a 1.a coluna pela soma dessa
mesma coluna com o dobro da 2.a, temos:
4.3 Matriz transposta
O determinante de uma matriz e o de sua trans-
posta são iguais.
Exemplo:
4.4 Alteração de um determinante
a) Multiplicando por um número real todos os
elementos de uma fila em uma matriz, o
determinante dessa matriz fica multiplicado
por esse número.
Exemplos:
a)
multiplicando 
b)
multiplicando 
= 1/5 . (–145) = –29
25
Álgebra Linear I – Determinantes
b) Quando trocamos as posições de duas filas
paralelas, o determinante de uma matriz mu-
da de sinal.
Exemplo:
Trocando- se as posições de L1 e L2:
c) Se k ∈ R, então det(k.A) = kn.detA 
Exemplo:
4.5 Matriz triangular
a) Quando, emuma matriz, os elementos aci-
ma ou abaixo da diagonal principal são
todos nulos, o determinante é igual ao pro-
duto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
a) b)
b) Quando, em uma matriz, os elementos
acima ou abaixo da diagonal secundária
são todos nulos, o determinante é igual ao
produto dos elementos dessa diagonal mul-
tiplicado por .
Exemplos:
a) b)
4.6 Teorema de Binet
Para A e B matrizes quadradas de mesma or-
dem n, det (AB) = det A . det B
A sendo inversível: 
Exemplo:
Se , e , então:
1. Vamos calcular o valor do determinante da 
matriz .
–42 0 –8 –4 –35 0
Assim:
det M = –42 + 0 – 8 – 4 – 35 + 0 = –89.
2. Vamos determinar o valor de x em 
.
Aplicando a regra de Sarrus no primeiro mem-
bro, vem:
0 +6 –x2 0 –12x 4x
Daí:
–x2 – 8x + 6 = –3 x2 + 8x – 9 = 0
x = –9 ou x = 1
3. Sendo , então, eliminando-se
a 1.a linha e a 3.a coluna, obtemos:
é o cofator do
elemento a13 .
4. Sendo e eliminando-se
a 3.a linha e a 2.a coluna, obtemos:
é o cofa-
tor do elemento b32 .
5. Vamos calcular .
Escolhemos a linha 3 de D pelo teorema de
Laplace vem:
D = 7 . A31 + 4 . A32 + (–5) . A33 + 0 . A34(*)
Temos:
Observe que não é necessário calcular A34.
Daí, em (*), temos:
D = 7 . 9 + 4 . 20 + (–5) . 7 = 108
6. Qual é o valor de .
Embora a escolha seja arbitrária, devemos
optar pela fila com maior número de zeros, a
fim de simplificar os cálculos. Escolhemos,
dessa forma, desenvolver pelos elementos da
2.a coluna. Temos:
Assim, basta calcular A22.
Como , se-
gue que D = (–2) . (–183) = 366.
7. Seja a matriz quadrada , onde
observamos que todos os elementos da 1.a e
da 2.a coluna são iguais. Vamos calcular o
determinante da matriz:
Det A = 
8. Considere as matrizes e sua
transposta
.
Os seus determinantes valem:
∴ det A = det At
O determinante de uma matriz quadrada A é 
igual ao determinante de sua transposta At.
9. Resolver a equação .
26
UEA – Licenciatura em Matemática
27
Álgebra Linear I – Determinantes
Resolução: 
Resposta: S = {2, 3}
10. Calcular o determinante:
Observe que o determinante não possui ele-
mento igual a 1, mas podemos obtê-lo colo-
cando 2 em evidência na 3.a linha
Vamos fixar o elemento a31 e aplicar o teorema
de Jacobi. Daí, temos:
• Multiplicando-se, respectivamente, por 2, 3
e –4 os elementos da 3.a linha e adicionan-
do-os, respectivamente, aos elementos da
1.a, 2.a e 4.a linhas, vem:
Aplicando o teorema de Laplace aos ele-
mentos da 1.a coluna, temos:
Utilizando a regra de Sarrus, obtemos:
D = –184
Resposta: –184
1. Seja a matriz . Sabendo se que
At = A, calcule o determinante da matriz
, sendo I3 a matriz identidade de
ordem 3.
a) –34 b) –67
c) –56 d) –76
2. Se , qual é o valor
de 2x?
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
3. Calcule: .
a) 50 b) –45
c) 45 d) –50
4. Dadas as matrizes e , o
determinante da matriz A . B é:
a) –1 b) 6
c) 10 d) 12
e) 14
5. Calcule x e y de sorte que:
.
a) x = 1, y = 3 b) x = 3, y = 2
c) x = 4, y = 4 d) x = 4, y = 3
6. Considere as matrizes:
e
Sabe-se que B = C, o determinante da matriz
A será:
a) 42 b) 21
c) 24 d) 12
e) 15
7. O valor do determinante abaixo é:
a) 3abcd b) 2abcd
c) 3abc d) –3abc
e) –2abd
8. Dadas as matrizes, calcule o determinante da
matriz A2 + B2.
e
a) 13 b) 14
c) 16 d) 18
e) 19
9. Seja S = (Si j) a matriz quadrada de ordem 3, 
onde . Calcule o valor do
determinante de S.
a) 36 b) 48
c) 56 d) 24
e) 34
11. Se 0 ≤ x ≤ 2, determine o menor valor de x, tal 
que .
a) 0 b) 1
c) 2 d) 3
e) 4
10. Calcule o determinante da matriz M = (AB) . C,
sendo :
e .
a) 3 b) 2
c) 4
d) 1
e) 0
13. Calcule: .
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
14. Calcule o determinante:
.
a) 19
b) 12
c) 15
d) 13
e) 16
15. Ache o valor do determinante: 
.
a) 256
b) 345
c) –365
d) –65
e) –353
28
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE III
Sistemas Lineares
31
Álgebra Linear I – Sistemas Lineares
TEMA 05
SISTEMAS LINEARES – DEFINIÇÃO E 
RESOLUÇÃO
5.1 Equação linear
Entenderemos por equação linear nas variá-
veis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo
a equação da forma: 
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, em que
a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou com-
plexos. 
a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes,
e b, termo independente.
Exemplos de equações lineares:
4x1 + 2x2 = 9
3x + 4y = 5
–2x + 3y +5z = 12
–x – 3y – 7z + 3w = 17
5.2 A solução de uma equação linear
Chamamos de solução de uma equação linear
aos valores que, ao serem substituídos nas
incógnitas, cheguem à uma igualdade ver-
dadeira. Por exemplo: a equação x + y + z = 5
apresenta como solução os valores x = 1,
y = 4 e z = 0, uma vez que 1 + 4 + 0 = 5. Os
valores x = 3, y = 7 e z = –5 também são
soluções da equação, uma vez que 3 + 7 – 5 = 5.
Podemos, então, afirmar que existem infinitas
soluções (um número infinito de ternos orde-
nados) que satisfazem à equação dada.
5.3 Sistema linear
De foma geral, podemos dizer que um sistema
de equações lineares ou sistema linear é um con-
junto composto por duas ou mais equações line-
ares.
Um sistema linear pode ser representado da
seguinte forma:
onde:
x1, x2,...,xn são as incógnitas;
a11, a12,...,amn são os coeficientes;
b1, b2,...,bm são os termos indepentes.
Resolver o sistema significa encontrar os va-
lores das incógnitas que resolvem, simultanea-
mente, todas as suas equações.
Por exemplo: dado o sistema de equações:
Podemos afirmar que a sua solução será a tri-
pla x = 1, y = 2 e z = 0, pois:
2.1 + 2 – 0 = 4
1 – 2 + 3.0 = –1
3.1 – 5.2 + 7.0 = –7
5.4 Resolução de sistemas lineares.
Para resolver um sistema linear pelo método
de Cramer, é necessário que o mesmo seja
possível determinado, com det(mp) = 0, como
veremos a seguir.
Vamos resolver o sistema proposto inicialmente:
Para resolver um sistema, devemos, inicialmente,
encontrar a sua Matriz Principal, que é dada
pelos coeficientes das incógnitas. Dessa forma,
a matriz principal do sistema acima será:
Calculamos, então, o seu determinante. Para
indicar o determinante de uma matriz X, escre-
veremos det(X), então det (Mp) = 20.
A seguir, calculamos os determinantes das in-
cógnitas, que são conseguidas quando substi-
tuímos, na matriz principal, a coluna de uma
das incógnitas, pela coluna dos termos inde-
pendentes. Temos, deste modo, as matrizes
chamadas de Mx, My e Mz, das quais também
devemos calcular os determinantes.
32
UEA – Licenciatura em Matemática
det (Mx) = 20
det (My) = 40
det (Mz) = 0
Após calculados os determinantes da matriz
principal e das matrizes das incógnitas, chega-
mos aos valores de x, y, z, efetuando as se-
guintes divisões:
Chegamos, então, aos valores de x = 1; y = 2;
z = 0.
Observação: Quando dois ou mais sistemas
apresentam a mesma solução, são chamados
de Sistemas Equivalentes.
5.5 Sistemas escalonados
Dizemos que um sistema, em que existe pelo
menos um coeficiente não-nulo em cada equa-
ção, está escalonado, se o número de coefi-
cientes nulos antes do primeiro coeficiente não-
nulo aumenta de equação para equação.
Para escalonar um sistema, adotamos o se-
guinte procedimento:
a) Fixamos como 1.a equação uma das que
possuem o coeficiente da 1.a incógnita dife-
rente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equi-
valentes, anulamos todos os coeficientes da
1.a incógnita das demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incóg-
nitas, até que o sistema se torne escalonado.
Vamos, então, aplicar a técnica do escalona-
mento, considerando dois tipos de sistema:
I. O número de equações é igual ao número
de incógnitas (m =n)
Exemplo: Vamos resolver o sistema abaixo:
1.o passo – Anulamos todos os coeficientes da
1.a incógnita a partir da 2.a equação, aplicando
as propriedades dos sistemas equivalentes:
Trocamos de posição a 1.a equação com a 2.a
equação, de modo que o 1.o coeficiente de x
seja igual a 1:
Trocamos a 2.a equação pela soma da 1.a equa-
ção, multiplicada por –2, com a 2.a equação:
Trocamos a 3.a equação pela soma da 1.a equa-
ção, multiplicada por –3, com a 3.a equação: 
2.o passo – Anulamos os coeficientes da 2.a
incógnita a partir da 3.a equação:
Trocamos a 3.a equação pela soma da 2.a equa-
ção, multiplicada por –1, com a 3.a equação: 
Agora, o sistema está escalonado, e podemos
resolvê–lo.
–2z = –6 ⇒ z = 3
Substituindo z=3 em (II):
–7y – 3(3) = –2 ⇒ –7y – 9 = –2 y = –1
Substituindo z = 3 e y = –1 em (I):
x + 2(–1) + 3= 3 ⇒ x = 2
Então, x = 2, y = –1 e z = 3
33
Álgebra Linear I – Sistemas Lineares
TEMA 06
ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES
HOMOGÊNEOS E HETEROGÊNEOS
6.1 Discussão de Sistemas Lineares
Um sistema linear pode apresentar três possi-
bilidades diferentes de solução:
• O sistema pode ter uma única solução (nes-
se caso, será chamado de sistema possível
e determinado – SPD)
• O sistema pode ter infinitas soluções (nesse
caso, será chamado de sistema possível e
indeterminado – SPI)
• O sistema pode não apresentar solução
(nesse caso, será chamado de sistema im-
possível – SI)
Observações:
1. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma
equação do tipo 0x1 + 0x2 + ........+ 0xn = 0
esta deverá ser suprimida do sistema.
Exemplo: Escalonar o sistema
Observe que o sistema é possível indeterminado.
2. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma
equação do tipo 0x1 + 0x2 + ........+ 0xn =
b(com b0) o sistema será, evidentemente,
impossível.
Exemplo: Escalonar o sistema .
6.1.1 Sistema com uma única solução.
As equações lineares abaixo representam duas
retas no plano cartesiano que têm o ponto
(3,–2) como interseção.
6.1.2 Sistema com infinitas soluções
As equações lineares representam retas parale-
las sobrepostas no plano cartesiano, logo exis-
tem infinitos pontos que satisfazem a ambas as
equações (pertencem a ambas as retas).
6.1.3 Sistema que não tem solução
As equações lineares representam retas para-
lelas no plano cartesiano, logo, não existem pon-
tos que pertençam às duas retas.
No caso de sistemas com três ou mais incóg-
nitas, vale a mesma classificação. 
Por exemplo:
O sistema é um sistema possível e determina-
do (SPD), pois apresenta apenas a solução
x = 1; y = 2; z = 3.
34
UEA – Licenciatura em Matemática
O sistema é um sistema possível e indetermi-
nado (SPI), pois apresenta infinitas soluções.
Entre as soluções, estão x = 0; y = –3; z = 1 e
x = 1; y = –2; z = 3.
O sistema é um sistema impossível (SI), pois
não apresenta solução.
Podemos afirmar que um sistema linear S de n
equações, com incógnitas x1, x2, ..., xn, será
SPD, SPI ou SI
6.2 Sistemas Lineares Homogêneos
Um sistema linear é chamado de homogêneo
quando os termos independentes de todas as
equações são nulos. Todo sistema linear ho-
mogêneo admite pelo menos a solução conhe-
cida como trivial, que é a solução identica-
mente nula (x = 0; y = 0; z = 0, xi = 0). 
Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. 
Exemplos:
O sistema é determinado, pois possui apenas
a solução x = 0; y = 0; z = 0.
O sistema é indeterminado, pois admite infini-
tas soluções, entre elas x = 0; 
y = 0; z = 0 e x = 2; y = 0; z = 1.
6.3 Exemplos
1. Considere , cuja solução é (3, –1).
Multiplicando–se a 1.a equação de S por 5, por
exemplo, obtemos:
cuja solução também é (3, –1).
2. Calcular m e n, de modo que sejam equiva-
lentes os sistemas:
e
Resolução:
Cálculo de x e y.
x – y = 1 x (–2) e somamos abaixo 
2x + y = 5
3y = 3, então y = 1
x – y = 1, então x = 2
Substituindo–se x e y no segundo sistema, vem:
2m – n = –1 x (2) e somamos abaixo 
m + 2n = 2 
5m = 0, então m = 0
2m – n = –1, então n = 1
Resposta: m = 0 e n = 1
3. Seja , cuja solução é (5, 3).
Substituindo a 2.a equação pela soma dela
com a 1.a:
← (2ª eq.) + (1ª eq.)
O par (5, 3) é também solução de S’, pois a
segunda equação também é verificada:
x – 2y = 5 – 2 . 3 = 5 – 6 = – 1
4. Vamos escalonar e depois resolver o sistema: 
Em primeiro lugar, precisamos anular os coefi-
cientes de x na 2.a e na 3.a equação.
Substituímos a 2.a equação pela soma dela
com a 1.a, multiplicada por 2 
35
Álgebra Linear I – Sistemas Lineares
Substituímos a 3.a equação pela soma dela
com a 1.a, multiplicada por (–2)
Deixando de lado a 1.a equação, vamos repetir
o processo para a 2.a e a 3.a equação. Convém,
entretanto, dividir os coeficientes da 2.a equação
por 3, a fim de facilitar o escalonamento:
que é equivalente a:
Substituímos a 3.a equação pela soma dela
com a 2.a, multiplicada por 4:
4y – 4z =–16
–4y + 5z = 19 
z = 3
O sistema obtido está escalonado e é do 1.o
tipo (SPD).
Resolvendo-o, obtemos como solução: 
(2, –1, 3).
5. Escalonando o sistema vem:
Dividimos os coeficientes da 3.a equação por 2,
notamos que ela ficará igual à 2.a equação e,
portanto, poderá ser retirada do sistema.
Assim, o sistema se reduz à forma escalonada 
e é do 2.o tipo (SPI).
Resolvendo-o, vem y = –3z e x = 4z. Se 
z = α, α ∈ IR, segue a solução geral 
(4α, –3α, α).
Vejamos algumas de suas soluções:
• α = 0 → (0, 0, 0): solução nula ou trivial.
• α = 1 → (4, –3, 1)
• α = –2 → (–8, 6, – 2): soluções próprias ou
diferentes da trivial.
6. Resolver o Sistema 
Logo:
O sistema é possível e determinado,
7. Resolver o sistema 
Resolução – Dividindo–se a 2.a equação por 2
e trocando-a de posição com a 1.a equação
para fazer o coeficiente de x igual a 1, vem:
Para eliminar a incógnita x, multiplica-se a 1.a
equação por (–4) e soma-se com a 2.a equação:
Da 2.a equação, vem:
–11y = –22 y = 2
Substituindo y = 2 na 2.a equação, temos:
x + 4 = 5 x = 1
Observação: 
Podemos resolver este sistema utilizando so-
mente os coeficientes, isto é, a matriz comple-
ta associada ao sistema da seguinte forma:
36
UEA – Licenciatura em Matemática
Da 2.a equação, vem:
–11y = – 22 y = 2
Substituindo na 1.a equação, temos:
x + 2y = 5 x + 4 = 5 x = 1
S = {(1, 2)}
8. Resolver o sistema 
Resolução – Utilizando a matriz completa, temos:
Da 3.a equação, temos:
0a + 0b + 0c = –5 (impossível) 
S = ∅
9. Determinar K, de modo que o sistema 
admita solução única.
Quando o número de equações é igual ao nú-
mero de incógnitas, também podemos consi-
derar o determinante da matriz incompleta.
Para que o sistema dado admita solução única,
devemos ter: 
Resposta: 
10. Calcular o valor de m para que o sistema 
tenha somente a solução trivial.
Resolução – Para que o sistema tenha somen-
te a solução trivial, isto é, seja determinado, é
necessário que det A ≠ 0.
Então:
Resposta: {m∈ IR|m ≠ 1}
1. O sistema , é:
a) indeterminado com uma variável livre;
b) indeterminado com duas variáveis livres; 
c) homogêneo;
d) impossível;
e) determinado.
2. O sistema é: 
a) impossível;
b) indeterminado;
c) determinado;
d) par (10, 5) é solução do sistema;
e) par (15, 0) é solução do sistema.
3. Considere o sistema . Pode-
mos afirmar corretamente que:
a) sistema é incompatível;
b) sistema é compatível determinado; 
c) S = {(4, 1, 2)} é solução do sistema; 
d) sistema possui exatamente três soluções; 
e) sistema é compatível indeterminado.
4. (UEL – PR ) Se os sistemas e 
são equivalentes, então a2 + b2 é
igual a:
a) 1 
b) 4 
c) 5 
d) 9 
e) 10 
37
Álgebra Linear I – SistemasLineares
5. (FGV – SP) Resolvendo o sistema de equações 
, temos que:
a) x = 1 e y = 0; 
b) é impossível;
c) é indeterminado; 
d) x = 3 e y = –1; 
e) é indeterminado.
6. (PUC – SP) Estudando-se o seguinte sistema 
obtém-se:
a) sistema é possível, determinado e admite
uma única solução x = 1, y = 0 e z = 0; 
b) sistema é impossível; 
c) sistema é possível, porém indeterminado
com uma incógnita arbitrária;
d) sistema é possível, porém indeterminado
com duas incógnita arbitrária 
e) sistema é indeterminado com uma incógni-
ta arbitrária, sendo (0, 1, 3) uma solução
7. (CESGRANRIO) O número de soluções do sis-
tema é:
a) maior do que 3; b) 3; 
c) 2; d) 1. 
e) 0; 
8. (UFScar–SP) O sistema linear
admite uma infinidade de soluções. Seja
z = α(α ≠ 0) um valor arbitrário. Então, a
solução (x,y,z) do sistema acima é:
a) (2, 2 – α, α) b) (1, α – 3, α) 
c) (1, 3 – α, α) d) (2, α – 2, α) 
e) (3, α, α) 
9. (UEL–PR) O sistema equivalente
ao sistema definido pela equação matricial 
se os valores de k e t são
respectivamente:
a) 1 e 2 b) –1 e 3 
c) 2 e –1 d) –1 e –2 
e) 3 e –1
10. (FGV–SP) Seja ( a, b, c, d ) a solução do sis-
tema linear então o produto
a . b . c vale:
a) 0 b) 12 
c) –12 d) 24 
e) –24 
11. (ALFENAS – MG) O sistema de equações 
terá uma única solução se:
a) a = 5b;
b) 5 . a . b = 0;
c) a + 5b = 0;
d) a – 5b = 0; 
e) 5 . a . b = 0.
12. O sistema de equações terá infini-
tas soluções se:
a) a = 5 e b = –1; 
b) a + b = 6; 
c) a . b = 6; 
d) 5 . a . b = 10; 
e) b = 5a.
13. (FMU–SP) O sistema linear tem
solução única para:
a) todo a ≠ 0 e b ≠ 0 
b) b ≠ 2a 
c) b ≠ a 
d) toda a ∈ IR e b ∈ IR 
e) todo a > 0 e b > 0
14. (FGV–SP) Determinando os valores de a e b, 
a fim de que o sistema seja inde-
terminado, o produto a . b é:
a) 12 b) 24 
c) 18 d) 6 
e) 36
38
UEA – Licenciatura em Matemática
15. (PUC–RS) Para que o sistema 
seja impossível, o valor de k deve ser:
a) 1/5 b) 1/4 
c) 1/3 d) 4/5 
e) 5/4 
16. (PUC–SP) O valor de k tal que o sistema 
admite solução única é:
a) k ≠1 e k ≠ –4 b) k ≠ 1 e k≠ 3 
c) k ≠ –1 e k≠ 4 d) k ≠ 1 e k≠ –2 
e) k ≠ 1 e k ≠ –3 
17. (FUVEST– SP) O sistema linear 
não admite solução se a for igual a:
a) 0 b) 1 
c) –1 d) 2 
e) –2 
18. (UEL–PR) O sistema é possível
e
determinado se, e somente se, k for igual a:
a) 3 b) 2 
c) 1 d) –1 
e) –2
19. (UEL–PR) O sistema 
a) admite infinitas soluções, se m ≠ 1; 
b) é indeterminado, para todo m ≠ IR; 
c) não admite soluções; 
d) é possível e determinado, se m ≠ 7; 
e) tem solução única, se m = –7. 
20. (PUC–SP) Os valores reais de a e b, para que 
o sistema seja compatível e
indeterminado, são:
a) a = –2 e b ≠ 5 
b) a ≠ –2 e b = 5 
c) a ≠ –2 e b ∈ IR 
d) a ∈ IR e b ≠ 5 
e) a = –2 e b = 5 
21. (FATEC–SP) Para que o sistema 
seja compatível, a deve ser igual a:
a) –5 b) 5 
c) –6 d) 6 
e) –7
22. (FGV – SP) Para que o sistema 
onde k é um número real, uma das afirmações
seguintes é correta:
a) se k = 0, o sistema é indeterminado; 
b) se k = 1 ou k = 15, o sistema é impossível; 
c) se k ≠ 0, o sistema é indeterminado; 
d) se k ≠ 0, sistema é impossível; 
e) se k = 1 ou k = 15, o sistema é determinado.
23. (UNESP–SP) Para que os valores reais de p e
q o sistema não admite solução?
a) p = –2 e q = 5 
b) p > –2 e q ≠ 4 
c) p = q = 1 
d) p = –2 e q ≠ 5 
e) p = 2 e q = 5
24. (UNIUBE) O sistema linear de equações incóg-
nitas x e y não admite solução se:
a) a ≠ 6 e k ≠ 5 b) a ≠ 6 e k ≠ –5 
c) a ≠ 6 e k ≠ –5 d) a = 6 e k = 5 
e) a 6 e k ≠ 5 
25. (CEFET – PR) O sistema de incóg-
nitas x e y é:
a) impossível, para todo k real diferente de –21;
b) possível e indeterminado, para todo k real
diferente de –63; 
c) possível e determinado, para todo k difer-
ente e –21; 
d) possível e indeterminado, para todo k real
diferente de –3; 
e) possível e determinado, para todo k real
diferente de –1 e –63.
UNIDADE IV
Vetores
41
Álgebra Linear I – Vetores
TEMA 07
VETORES – DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES
7.1 Introdução
Em nosso quotidiano, estamos acostumados a
usar grandezas chamadas escalares, que são
caracterizadas por um número (e sua respectiva
unidade de medida): 5kg de massa, 1m2 de
área, 10cm de comprimento, 4l de volume, etc.
No entanto existem outras grandezas que pre-
cisam de mais informações. Um exemplo disso
são grandezas como força e velocidade, para
as quais precisam ser fornecidos uma direção,
uma intensidade e um sentido. Essas grande-
zas são denominadas vetoriais.
Na Figura acima, as flechas dão idéia da di-
reção do comprimento e do sentido das gran-
dezas mensionadas. No entanto cada fecha é
apenas um representante de um vetor. A se-
guir, definiremos de forma mais precisa do que
vem a ser um vetor.
7.2 Segmento orientado 
Um segmento orientado é determinado por um
par ordenado de pontos, o primeiro chamado
origem do segmento, o segundo chamado ex-
tremidade. 
O segmento orientado de origem A e extremi-
dade B erá representado por AB e, geome-
tricamente, indicado por uma seta que carac-
teriza visualmente o sentido do segmento (con-
forme figura abaixo) .
7.2.1 Segmento nulo 
Segmento nulo é aquele cuja extremidade
coincide com a origem. 
7.2.2 Segmentos opostos 
Se AB é um segmento orientado, o segmento
orientado BA é oposto de AB. 
7.2.3 Medida de um segmento 
Fixada uma unidade de comprimento, a cada
segmento orientado pode-se associar um nú-
mero real, não negativo, que é a medida do seg-
mento em relação àquela unidade. A medida
do segmento orientado é o seu comprimento
ou seu módulo. O comprimento do segmento
AB é indicado por |AB|
Assim, o comprimento do segmento AB repre-
sentado na figura abaixo é de 3 unidades de
comprimento: 
Retas suportes paralelas
|AB| = 3 u.c.
Observações: 
a) Os segmentos nulos têm comprimento igual
a zero. 
b) |AB| = |BA|
7.2.4 Direção e sentido 
Segmentos orientados não nulos AB e CD têm
a mesma direção se as retas suportes desses
segmentos são paralelas ou coincidentes:
42
UEA – Licenciatura em Matemática
Observações:
a) Só se pode comparar os sentidos de dois
segmentos orientados se eles têm mesma
direção. 
b) Dois segmentos orientados opostos têm sen-
tidos contrários. 
7.2.5 Segmentos equipolentes 
Dois segmentos orientados AB e CD são equi-
polentes quando têm a mesma direção, o mes-
mo sentido e o mesmo comprimento (ver figu-
ra a seguir). 
Se os segmentos orientados AB e CD não per-
tencem à mesma reta, como na figura anterior,
para que AB seja equipolente a CD é neces-
sário que AB//CD e AC//BD, isto é, ABCD deve
ser um paralelogramo. 
Observações:
a) Dois segmentos nulos são sempre equipo-
lentes. 
b) Representaremos a equipolência entre os
segmentos AB e CD por AB ~ CD
7.2.6 Propriedades da equipolência
i) AB ~ AB (reflexiva).
ii) AB ~ CD ⇒ CD ~ AB (simétrica).
iii) AB ~ CD e CD ~ EF ⇒ AB ~ EF (Transitiva).
Observação – Uma relação que goza das pro-
priedades i) ii) e iii) chama-se relação de equi-
valência.
7.3 Vetor
Dado um segmento de reta orientado, defini-
mos como sendo um vetor ao conjunto de to-
dos os segmentos orientados equipolentes ao
segmento orientado dado. 
Um vetor poder ser representado por vários
segmentos orientados. Esse fato é análogo ao
que ocorre com os números racionais e as
frações. Duas frações representam o mesmo
número racional se o numerador e o denomi-
nador de cada uma delas estiverem na mesma 
proporção. Por exemplo, as frações 
representam o mesmo número racional. De
forma análoga, dizemos que dois segmentos
orientados representam o mesmo vetor se pos-
suem o mesmo comprimento, a mesma dire-
ção e o mesmo sentido. A definição de igual-
dade de vetores também é análogaà igual-
dade de números racionais. Dois números 
racionais sao iguais, quando ad = cb.
Analogamente, dizemos que dois vetores são
iguais se eles possuem o mesmo comprimen-
to, a mesma direção e o mesmo sentido.
O comprimento de um vetor v
→
, também cha-
mado de módulo ou norma de v
→
, será indicado
por ||v
→ 
||.
7.3.1 Vetores iguais
Na figura abaixo, temos 6 segmentos orienta-
dos, com origens em pontos diferentes, que
representam o mesmo vetor, ou seja, são con-
siderados como vetores iguais, pois possuem
a mesma direcão, mesmo sentido e o mesmo
comprimento. Portanto tanto os segmento ori-
entado AB quanto o segmento orientado CD
representam o mesmo vetor v
→
.
Se o ponto inicial de um representante de um
vetor v
→
e A e o ponto final é B, então escreve-
mos v
→
= . Portanto dois vetores e
são iguais se, e somente se, AB ~ CD.
7.3.2 Vetor nulo
Os segmentos nulos, por serem equipolentes
entre si, determinam um único vetor, chamando
vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por0
→
.
7.3.3 Vetores opostos
Dado um vetor v
→ 
= , o vetor é o opos-
to de e indicamos por – ou por –v
→
.
7.3.4 Vetor unitário
Um vetor é unitário se ||v
→ 
||= 1.
7.3.5 Versor 
Versor de um vetor v
→
é o vetor unitário de mesma
direção e mesmo sentido de v
→
.
Na figura acima, u
→
1 e u
→
2
são vetores unitários,
visto que ambos têm norma igual a 1. Por outro
lado apenas o vetor u
→
1
tem a mesma direção e
sentido do vetor v
→
. Portanto u
→
1 é um versor de v
→
.
7.4 Operações com vetores
7.4.1 Soma de vetores
A soma (u
→
+ v
→
) de dois vetores u
→
e v
→
é deter-
minada da seguinte forma:
Tome um segmento orientado que representa u
→;
tome um segmento orientado que representa
v
→
, com origem na extremidade de u
→
; o vetor
u
→
+ v
→
é representado pelo segmento orientado
que vai da origem de u
→ 
até a extremidade de v
→.
7.4.2 Propriedades da soma
i) u
→
+ v
→ = v
→ 
+ u
→ (Comutativa). 
ii) (u
→
+ v
→) + w
→
= u
→ + (v
→
+ w
→) (Associativa).
iii) Existe um único vetor nulo 0
→
tal que para
todo vetor v
→
se tem v
→
+ 0
→
= 0
→
+ v
→
= v
→
(Elemento neutro).
iv) Qualquer que seja o vetor v
→
, existe um
único vetor –v
→
(vetor oposto de v
→
) tal que
v
→ 
+ (–v
→
) = –v
→ 
+ v
→ 
= 0
→
Comutatividade da soma
Associativa da soma
7.4.3 Diferença de vetores
Definimos a diferença v
→
menos w
→
, por v
→ 
+(–w
→
).
7.4.4 Multiplicação por um número Real
A multiplicação de um vetor v
→
por um escalar
α, α v
→
, é determinada pelo vetor que possui as
seguintes características:
i) é o vetor nulo, se α = 0 ou v
→ 
= 0
→
.
ii) caso contrário:
a) tem comprimento |α| vezes o comprimen-
to de v
→
;
b) a direção é a mesma de v
→
(neste caso,
dizemos que eles são paralelos);
c) tem o mesmo sentido de v
→
, se α > 0 e tem
o sentido contrário ao de v
→
, se α < 0.
Observações:
Se w
→ 
= α v
→
, dizemos que w
→ 
é um múltiplo
escalar de v
→
. 
Dois vetores não-nulos são paralelos (ou coli-
neares) se, e somente se, um é um múltiplo
escalar do outro.
43
Álgebra Linear I – Vetores
44
UEA – Licenciatura em Matemática
O versor de um vetor não nulo v
→
é o vetor unitário 
. Note que ,
logo , ou seja, v
→
é produto de sua nor-
ma pelo vetor unitário de mesma direção e
sentido de v
→
.
7.4.4 Propriedades do produto por escalar
Sejam u
→
e v
→
vetores quaisquer, e a e b núme-
ros reais. Então temos:
i) a(bv
→
) = (ab)v
→
(associativa).
ii) (a + b)v
→
= av
→
+ bv
→ 
(distributiva na adição
por escalares).
iii) a(u
→
+ v
→
) = au
→
+ av
→ 
(distributiva na adição
por vetores).
iv) 1v
→
= v
→
(identidade).
TEMA 08
VETORES – DEPENDÊNCIA E
INDEPENDÊNCIA LINEAR
8.1 Definições
Dois vetores u
→
e v
→
são colineares se tiverem
a mesma direção.
Isso acontece se, e somente se, existe um nú-
mero real k tal que u
→ 
= kv
→
ou v
→
= ku
→
. Diremos,
então, que um vetor é escrito como combina-
ção linear do outro, e nesse caso, os vetores u
→
e v
→
são ditos linearmente dependentes (veja a
figura acima). 
Quando tomamos dois vetores nos quais não é
possível escrever um vetor como combinação
linear do outro, dizemos que os vetores são li-
nearmente independentes. Nesse caso, os dois
vetores não são colineares, mas são coplana-
res, isto é, possuem representantes pertencen-
tes a um mesmo plano α.
Se u
→
e v
→
são linearmente independentes, en-
tão, todos os vetores da forma ku
→
+ tv
→
podem
ser representados sobre um mesmo plano α. 
Reciprocamente, todo vetor w
→
que possua re-
presentante no plano α pode ser escrito como
uma combinação linear dos vetores u
→
e v
→
;
além disso, toda combinação linear dos
vetores u
→
e v
→
pode ser representada sobre o
plano α. Por essa razão, se os vetores u
→
e v
→
são linearmente independentes, diremos que
eles geram um plano. 
45
Álgebra Linear I – Vetores
Agora, se um vetor w
→
se escreve como uma com-
binação linear ku
→
+ tv
→
, diremos que os vetores ku
→
e tv
→
são componentes do vetor w
→ 
na direção dos
vetores u
→
e v
→
, respectivamente. Os escalares k e t
são as coordenadas de w
→ 
em termos aos vetores
u
→
e v
→
. Observe que, se u
→
e v
→ 
são linearmente in-
dependentes, então cada vetor w
→
que possua rep-
resentante em α se escreve de maneira única
como uma combinação linear dos vetores u
→
e v
→
. 
Se os vetores u
→
, v
→
e w
→
possuem representan-
tes pertencentes em um mesmo plano α, dize-
mos que eles são coplanares.
Observações:
Dois vetores quaisquer u
→
e v
→
são sempre
coplanares, pois sempre podemos tomar um
ponto do espaço e, com origem nele, imaginar
os dois representantes de u
→
e v
→
pertencendo
a um plano α que passa por esse ponto.
Três vetores podem ser ou não complanares
(ver figuras a seguir).
u
→
, v
→
e w
→
não são coplanares
u
→
, v
→
e w
→
e são coplanares
Se três vetores u
→
, v
→
e w
→
são colineares ou co-
planares, ou seja, possuem representante em
uma mesma reta ou em um mesmo plano res-
pectivamente, os vetores são linearmente
dependentes. 
Se os vetores u
→
, v
→
e w
→
são colineares, com re-
presentantes em uma reta r, então os vetores
geram a reta r, ou seja, qualquer vetor com re-
presentante nesta reta pode ser escrito como
combinação linear de u
→
, v
→
e w
→
. Da mesma forma,
se u
→
, v
→
e w
→ 
não são colineares que possuem re-
presentantes em um mesmo plano α, então eles
geram o plano α, isto é, qualquer vetor que pos-
sua um representante no plano α pode ser
escrito como combinação linear de u
→
, v
→
e w
→
.
Também pode ser mostrado que, se u
→
, v
→
e w
→
são linearmente independentes, então eles ge-
ram o espaço, isto é, se x
→ 
é um vetor qualquer,
então existe um (único) terno ordenado (a,b,c)
de escalares tais que x
→ 
= au
→ 
+ bv
→
+ cw
→
. 
Chamaremos os vetores au
→
, bv
→
e cw
→
de compo-
nentes do vetor x
→ 
na direção dos vetores u
→
, v
→
e
w
→
(os números a, b e c são as coordenadas de
x
→ 
em termos dos vetores u
→
, v
→
e w
→
). Um conjun-
to três vetores linearmente independentes
chama-se uma base para o espaço dos vetores.
A base que consiste dos vetores u
→
, v
→
e w
→
, por
exemplo, nessa ordem,será indicada por {u
→
, v
→
,
w
→
}. Se escolhermos uma base {u
→
, v
→
, w
→
}, então a
cada vetor x
→
corresponde um único terno ordena-
do (a,b,c) de escalares, a saber, as coordenadas
dex
→
em em termos dessa base. Reciprocamente,
a cada terno ordenado (a,b,c) de números reais
corresponde o vetor x
→ 
= au
→ 
+ bv
→
+ cw
→
.
8.2 Exemplos
1. Sejam ABC um triângulo, e sejam M e N os
pontos médios de 
⎯
AC e 
⎯
BC respectivamente.
Prove que 
⎯
MN é paralelo a 
⎯
AB e que MN é a
metade de AB. 
Solução:
Devemos mostrar que = 
46
UEA – Licenciatura em Matemática
Observando a figura acima, verificamos que 
= + 
= + = ( + ) = 
Como M é ponto médio de 
⎯
AC e N é ponto
médio de 
⎯
BC, temos:
= e = 
Portanto, temos que:
= + = ( + ) = 
como queríamos mostrar.
2. Mostre que as diagonais de um paralelogramo
se cortam ao meio.
Solução:
Considere o paralelogramo ABCD da figura
abaixo:
Suponha = = . Queremos mostrar
que = = .
Temos que . Como
= – e = temos = + 
= + = , ou seja, = .
Agora = + = + = 2 .
Portanto = como queríamos mostrar.
8.3 Vetores em sistema de coordenadas 
A introdução de um sistema de coordenadas
retangulares muitas vezes simplifica problemas
envolvendo vetores. Por enquanto, vamos res-
tringir nossa discussão a vetores no espaço
bidimensional (o plano). Seja v
→
qualquer vetor
no plano e suponha, como na figura a seguir,
que v
→
tenha sido posicionado com seu ponto
inicial na origem de um sistema de coordena-
das retangulares. As coordenadas (v1, v2) do
ponto final de v
→
são chamadas componentes
de v
→
, e escrevemos v
→
= (v1, v2).
Se vetores equivalentes v
→
e w
→
são colocados
com seus pontos iniciais na origem, então é
óbvio que seus pontos finais coincidem (pois
os vetores têm o mesmo comprimento, a mes-
ma direção e mesmo sentido); logo, os vetores
possuem os mesmos componentes. Recipro-
camente, vetores com os mesmos componen-
tes são equivalentes, pois têm iguais o compri-
mento, adireção e o sentido. Em resumo, dois
vetores v
→
= (v1, v2) e w
→
= (w1, w2) são equiva-
lentes se, e somente se, v1 = w1 e v2 = w2.
As operações vetoriais de adição e multipli-
cação por escalar são facilmente executáveis
em termos de componentes. Como é ilustrado
na figura abaixo, se 
v
→
= (v1, v2) e w
→
= (w1, w2) então
v
→
+ w
→
= (v1 + w1, v2 + w2).
Se v
→
= (v1, v2) e k é um escalar qualquer, então
pode ser mostrado, usando um argumento geo-
métrico envolvendo triângulos semelhantes,
que kv
→
= (kv1, kv2) (conforme figura a seguir).
47
Álgebra Linear I – Vetores
Se tomarmos por exemplo v
→
= (3, –2) e w
→
=
(–1, 7), temos que v
→
+ w
→ 
= (3 +(–1), –2 + 7) =
(2, 5) e 3 v
→
= (3.3, 3.(–2)) = (9, –6).
Note que, como v
→ 
– w
→
= v
→ 
+(–w
→
)
Concluímos que v
→ 
– w
→
= (v1 – w1, v2 – w2).
8.4 Vetores no espaço tridimensional
Assim como os vetores no plano podem ser
descritos por pares de números reais, os veto-
res no espaço podem ser descritos por ternos
de números reais, utilizando um sistema de
coordenadas retangulares. Para construir um
tal sistema de coordenadas, selecionamos um
ponto O, denominado a origem, e escolhemos
três retas mutuamente perpendiculares passan-
do pela origem, denominadas eixos coordena-
dos. Designando estes eixos x, y e z e selecio-
nando um sentido positivo para cada eixo co-
ordenado, podemos estabelescer uma unida-
de de comprimento para medir tamanhos (veja
figuras abaixo ). 
Se um vetor v
→
no espaço tridimensional for
posicionado com seu ponto inicial na origem
de um sistema de coordenadas retangulares,
como na figura abaixo, então as coordenadas
do ponto final são chamadas os componentes
de v
→
e escrevemos v
→ 
= (v1, v2, v3).
Se v
→
= (v1, v2, v3) e w
→
= (w
1
, w
2
, w
3
) são dois
vetores no espaço tridimensional, então os se-
guintes resultados podem ser estabelecidos,
usando argumentos similares aos utilizados pa-
ra vetores no plano.
i) v
→
e w
→
são equivalentes se, e somente se,
v1 = w1, v2 = w2 e v3 = w3.
ii) kv
→
= (kv1, kv2, kv3) onde k é um escalar qual-
quer.
iii) v
→
+ w
→
= (v1+ w1, v2+ w2, v3+ w3).
Se tomamos por exemplo v
→
= (2, 5, 3) e
w
→
= (–5, 0, –1) então v
→ 
+ w
→
= (–3, 5, 2),
4w
→
=(–20, 0, –4), v
→
– w
→
= (7,5,4) e –w
→
= (5,0,1).
Geralmente um vetor não está posicionado com
seu ponto inicial na origem. Se o vetor tem
o ponto inicial P0(x0, y0, z0) e ponto final
P1(x1, y1, z1), então = (x1 – x0, y1 – y0 , z1 – z0),
ou seja, os componentes do vetor são obti-
48
UEA – Licenciatura em Matemática
dos subtraindo as coordenadas do ponto final
das coordenadas do ponto inicial. A figura
abaixo ilustra o vetor obtido apartir de
P0(x0, y0, z0) e P1(x1, y1, z1).
Se tomarmos, por exemplo, P1(3, –2, 1) e
P0(1,–1, 3), então o vetor 
= (3 – 1, –2 – (–1), 1 – 3 ) = (2, – 1, 2).
O mesmo ocorre no espaço bidimensional, isto
é, se o vetor tem o ponto inicial P0(x0, y0) e
ponto final P1(x1, y1), então = (x1 – x0, y1 – y0).
1. Mostre, usando vetores, que o ponto médio de
um segmento que une os pontos 
P0 = (x0, y0, z0) e P1 = (x1, y1, z1) é o ponto 
M = .
2. Mostre que o segmento que une os pontos
médios dos lados não paralelos de um trapézio
é paralelo às bases, e sua médida é a média
aritmética das medidas das bases. (Sugestão: 
mostre que = ( + ). E conclua que
é um múltiplo escalar de ).
3. Esboce os seguintes vetores com ponto inicial
na origem:
a) v
→
1= (3, 6) f) v
→
6 = (0, –7)
b) v
→
2 = (–4, –8) g) v
→
7 = (3,4,5)
c) v
→
3 = (–4, –3) h) v
→
8 = (3, 3, 0)
d) v
→
4 = (5, –4) i) v
→
9 = (0, 0, –3)
e) v
→
5 = (3, 0) j) v
→
10 = (–3, 5, 2)
4. Encontre um vetor não-nulo u
→
com ponto ini-
cial P (–1, 3, –5) tal que:
a) u
→
tem a mesma direção e sentido que
v
→
= (6, 7, –3) 
b) u
→
tem a mesma direção mas sentido opos-
to ao de v
→ 
= (6, 7, –3) .
5. Sejam u
→
= (–3, 1, 2), v
→
= (4, 0, –8) e w
→
= (6,–1,
–4). Encontre os componentes de:
a) v
→
– w
→
b) 6u
→
+ 2v
→
c) –v
→
+ u
→
d) 5(v
→
– 4u
→
)
6. Seja ABC um triângulo qualquer com medi-
anas 
⎯
AD, 
⎯
BE e 
⎯
CF. Mostre que o vetor
.
49
Álgebra Linear I – Vetores
TEMA 09
VETORES – PRODUTO INTERNO
Motivados pela expressão do trabalho em me-
cânica, vamos definir o produto interno de dois
vetores. Essa operação associa a cada par a
→
,
b
→ 
de vetores um número real, que será indica-
do por a
→ 
. b
→
.
9.1 Ângulo entre Vetores
A fim de definirmos o produto interno, necessi-
tamos do conceito de ângulo entre dois vetores.
O ângulo entre os vetores não nulos a
→
e b
→
, que
indicaremos por (a
→
, b
→
), é definido como sendo o
ângulo entre seus representantes. Mais precisa-
mente, se a
→
= e b
→
= , então o ângulo
entre a
→
e b
→ 
é, por definição, o ângulo entre os
segmentos orientados AB e AC. Para que essa
definição faça sentido, devemos mostrar que
(a
→
, b
→
) não depende da escolha dos represen-
tantes AB e AC. Mais precisamente, se A’B’ e
A’C’ são também representantes dos vetores a
→
e b
→
, respectivamente, então (veja a figura
abaixo) o ângulo entre os segmentos orienta-
dos AB e AC é igual ao ângulo entre os seg-
mentos orientados A’B’ e A’C’.
Observemos que o ângulo (AB, AC) é o menor
ângulo segundo o qual AB deve girar para se
tornar colinear com AC. Esse ângulo é positivo
se a rotação for no sentido contrário ao dos
ponteirosde um relógio, e negativo em caso
contrário. Isso nos permite associar a cada ân-
gulo (a
→
,b
→
) seu ângulo negativo ou oposto (b
→
, a
→
).
Sejam a
→
eb
→
vetores não-nulos. O produto inter-
no do vetor a
→
pelo vetor b
→
, indicado por a
→ 
. b
→ 
,
é definido por a
→
. b
→
=||a
→ 
||||b
→
||cos(a
→
, b
→
).
Se um dos vetores a
→
ou b
→
for o vetor nulo,
definimos: a
→
. b
→
= 0. 
9.1.1 Propriedades do Produto Interno
Sejam a
→
,b
→
e c
→
vetores quaisquer e k um escalar.
O produto interno satisfaz às seguintes pro-
priedades: 
i) a
→ 
. b
→ 
= b
→ 
. a
→
(simetria)
ii) k(a
→ 
. b
→ 
) = (ka
→
).b
→
(homogeneidade)
iii) c
→ 
.(a
→ 
+ b
→
) = c
→ 
. a
→ 
+ c
→ 
. b
→
(distributividade)
Note que essas propriedades são verificadas
trivialmente se um dos vetores for o vetor nulo.
Na verdade, a
→
. 0
→ 
= 0
→ 
. a
→ 
= 0
→ 
é a única definição
com elas, pois, pela segunda propriedade
acima, temos 
0 = 0(a
→ 
.b
→
) = (0a
→
).b
→ 
= a
→ 
.(0b
→
) 
Portanto, 0
→ 
. b
→ 
= a
→ 
. 0
→ 
= 0, visto que 
0a
→ 
= 0b
→
= 0.
Passemos, agora, à demonstração das pro-
priedades do produto interno. 
i) Se a
→
e b
→ 
são vetores não-nulos, temos:
a
→
. b
→
=||a
→ 
||||b
→
||cos(a
→
, b
→
)
=||b
→
||||a
→ 
||cos(b
→
,a
→
)
= b
→ 
. a
→ 
ii) Se a
→
e b
→
são vetores não-nulos e k ≠ 0
temos :
k(a
→ 
. b
→ 
) = k||a
→ 
||||b
→
||cos(a
→
, b
→
)
= ||ka
→ 
||||b
→
||cos(ka
→ 
, b
→
)
= (ka
→
) . b
→
iii) Consideraremos primeiro o caso em que
c
→ 
= u
→
é unitário. Escolhamos um represen-
tante PQ para o vetor u
→
, e seja a reta r a reta
que contém o segmento. 
Escolhamos representantes AB e BC para os
vetores a
→
e b
→
, respectivamente. Consideremos
as projeções ortogonais A’ ,B' e C’ dos pontos
A, B e C, respectivamente, sobre a reta r.
Sejam x, y e z os escalares tais que
50
UEA – Licenciatura em Matemática
Observemos agora que
u
→
. a
→ 
=||a
→ 
||cos(u
→
. a
→
) = y – x e analogamente 
u
→ 
. b
→ 
= z – y, u
→ 
.(a
→
+ b
→
) = z – x. Portanto,
u
→ 
.(a
→
+ b
→
) = u
→ 
.a
→ 
+ u
→
. b
→
.
O caso geral reduz-se ao anterior. Se c
→
é um
vetor qualquer, não-nulo, usando a homoge-
neidade do produto interno e a distributividade
para vetores unitário, obtemos: 
= c
→ 
. a
→
+ c
→ 
. b
→
.
Note que a
→
. a
→ 
=||a
→ 
||2, pois, cos(a
→
,a
→
) = 1 e que,
se a
→
e b
→
são vetores não nulos, então
a
→ 
. b
→ 
= 0 se, e somente se, , onde
k é um número inteiro qualquer. Por essa razão,
diremos que o vetor a
→
é perpendicular (ou
ortogonal) ao vetor b
→
quando a
→ 
. b
→ 
= 0. Portanto,
de acordo com essa definição, o vetor 0
→
é per-
pendicular a todos os vetores do espaço. Na
verdade, 0
→
é o único vetor que possui essa pro-
priedade, isto é, se a
→
é um vetor tal que a
→ 
. b
→ 
=
0 qualquer que seja o vetor b
→
, então a
→
= 0
→
. Para
provar isso, basta tomar, em particular, a
→ 
= b
→
,
donde a
→
. a
→ 
=||a
→ 
||2= 0 que implica a
→
= 0
→
. 
9.1.2 Exemplo
Mostre que as diagonais de um losango são
perpendiculares.
Queremos mostrar que . = 0 Note que
. = ( + ).( + )
= . + . + . + .
= 0 
visto que e = – .
9.2 Bases Ortonormais 
Uma base {a
→
,b
→
,c
→
} chama-se ortogonal se os
seus vetores são mútuamente ortogonais, isto
é, se a
→ 
. b
→
= a
→ 
. c
→
= b
→ 
. c
→
= 0. Se, além disso,
os vetores são unitários, a base {a
→
,b
→
,c
→
} cha-
ma-se ortonormal. 
O uso de bases ortonormais é bastante conve-
niente, pois simplificam basatante os cálculos,
como veremos nos exemplos a seguir.
Exemplos
1. Se {a
→
,b
→
,c
→
} é uma base ortonormal e u
→ 
é um vetor
qualquer, então u
→ 
= (a
→
.u
→
)a
→
+ (b
→
.u
→
)b
→
+ (c
→
.u
→
)c
→
.
De fato, sabemos é que u
→ 
pode ser escrito de
maneira única como uma combinação linear
u
→ 
= αa
→ 
+ βb→ + γc→.
Calculando, então, o produto interno a
→ 
. u
→
,
obtemos: 
a
→ 
. u
→ 
= α(a
→ 
.a
→
) + β(a→ .b→ ) + γ(a→.c→) = α, pois
a
→
. a
→ 
=||a
→ 
||2= 1 e a
→
.b
→ 
= a
→
.c
→
= 0. Analogamente
demonstramos que β = b→ . u→ e γ = c→ . u→. 
Observemos que, se {a
→
,b
→
,c
→
} fosse uma base
qualquer, não necessariamente ortonormal, en-
tão as coordenadas α, β e γ do vetor u→ seriam
a solução do sistema 
2. Se {a
→
,b
→
,c
→
} é uma base ortonormal e 
u
→ 
= α1a
→ 
+ β1b→ + γ1c→, v→ = α2a→ + β2b→ + γ2c→ são
vetores quaisquer, então 
u
→ 
. v
→
= α1α2 + β1β2 + γ1γ2
De fato, 
u
→ 
. v
→
= (α1a
→ 
+ β1b→ + γ1c→). (α2a→ + β2b→ + γ2c→)
= (α1α2)a
→ 
. a
→ 
+ (α1β1)a→ . b→ + (α1γ2) a→ . c→
+ (β1α2)b→. a→ + (β1β2)b→ . b→ + (β1γ2)b→ . c→
+ (γ1α2)c
→
. a
→ 
+ (γ1β2)c→ . b→ + (γ1γ2)c→ . c→
Como {a
→
,b
→
,c
→
} é uma base ortonormal, seus
vetores satisfazem às relações 
a
→ 
. b
→
= a
→ 
. c
→ 
= b
→
.c
→ 
= 0; a
→ 
. a
→
= b
→
. b
→
= c
→ 
. c
→ 
= 1
o que reduz a expressão acima a
u
→
. v
→
= α1α2 + β1β2 + γ1γ2
9.3 Orientação do Espaço
Veremos agora que, após escolhida uma orien-
51
Álgebra Linear I – Vetores
tação para o espaço, será possível distinguir
duas classes de bases ortonormais: as positi-
vas e as negativas. Para a adição de vetores,
a multiplicação de vetores por escalares e o
produto interno, a orientação do espaço não
tem importância alguma, podendo ser dispen-
sada. A escolha de uma orientação para o es-
paço é, entretanto, indispensável para a intro-
dução do produto vetorial, que faremos na
próxima seção. 
Escolhamos um ponto O do espaço que cha-
maremos origem. Um triedro é um terno orde-
nado (OA, OE, OC) de segmentos orientados
OA, OE e OC não coplanares. Esses três seg-
mentos dão origem, permutando a ordem dos
segmentos, a seis ternos ordenados distintos.
Consideremos um qualquer desses ternos e o
observemos de uma posição tal que o terceiro
segmento orientado esteja dirigido para os
nossos olhos. A seguir, consideremos a rota-
ção (de menor ângulo) do primeiro segmento
até que ele fique colinear com o segundo seg-
mento (veja a figura abaixo). 
Diremos que o triedro é positivo se a rotação
for no sentido contrário ao dos ponteiros de
um relógio, e negativo, caso contrário. 
Por exemplo, o triedro (OA, OE, OC) da figura
anterior é positivo, enquanto (OE, OA, OC), é
negativo. 
Consideremos três vetores a
→ 
= , b
→
= e
c
→ 
= . Diremos que o terno ordenado (a
→
,b
→
,c
→
)
é positivo (ou negativo) se o triedro (OA, OE,
OC) for positivo (ou negativo). 
Uma base {a
→
,b
→
,c
→
} diz-se positiva (ou negativa)
se o terno (a
→
,b
→
,c
→
) é positiva (ou negativa).
Fixemos um triedro positivo (OA, OE, OC) de
segmentos orientados unitários e mutuamente
ortogonais (veja a figura abaixo). 
Sejam i
→ 
= , j
→
= e k
→ 
= . Assim, a
base {i
→
, j
→
, k
→
} é ortonormal e positiva. Portanto
os vetores i
→
, j
→
, k
→
, satisfazem às seguintes
relações: 
i
→
. j
→ 
= i
→
. k
→ 
= j
→ 
. k
→ 
= 0
i
→2 = j
→2 = k
→2 = 1
onde i
→2 = i
→ 
. i
→
etc. Além disso, o exemplo 1 da
seção anterior nos dizque, se a