Trabalho 2 - Controle Adaptativo

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DO SEGUNDO TRABALHO – 
Estimação de Parâmetros em Tempo Real 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Pereira Marchioro Bertelli, 2013079718 
 
 
 
 
 
Natal, 28 de maio de 2014.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
CONTROLE ADAPTATIVO 
 
1 
 
Guilherme Pereira Marchioro Bertelli 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DO SEGUNDO TRABALHO 
 Relatório referente ao desenvolvimento do segundo 
trabalho da disciplina Controle Adaptativo, 
correspondente à avaliação da 2ª unidade do 
semestre 2014.1, dos cursos de Engenharia da 
Computação, Engenharia Mecatrônica e Engenharia 
Elétrica da Universidade Federal do Rio Grande do 
Norte, sob orientação do Prof. Aldayr Dantas de 
Araújo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Natal, 28 de maio de 2014. 
2 
 
RESUMO 
 Neste relatório será explicado o desenvolvimento do segundo trabalho da 
disciplina, que consiste no projeto de algoritmos de identificação para estimar os 
parâmetros da planta utilizada na disciplina, tendo conhecimento apenas da entrada e da 
saída do sistema: gradiente baseado em uma função de custo instantânea com e sem 
projeção, gradiente baseado em uma função de custo integral, método dos mínimos 
quadrados puro e com fator de esquecimento. Os algoritmos e todas as simulações 
foram feitos utilizando o MATLAB. A fundamentação teórica necessária para o 
desenvolvimento do trabalho foi ministrada na disciplina “Controle Adaptativo”, pelo 
professor Aldayr Dantas de Araújo, do Departamento de Engenharia Elétrica, da 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 - Estimação de Parâmetros .............................................................................. 6 
Figura 2 - Planta utilizada para estudo ........................................................................... 6 
Figura 3 - Resposta filtrada e sua estimativa para entrada degrau (a) ............................. 9 
Figura 4 - Erro de estimação normalizado para entrada degrau (a) ................................. 9 
Figura 5 - Estimativa para a1 para uma entrada degrau (a) .......................................... 10 
Figura 6 - Estimativa para a2 para uma entrada degrau (a) .......................................... 10 
Figura 7 - Estimativa para a3 para uma entrada degrau (a) .......................................... 11 
Figura 8 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada senoidal (a) ................. 11 
Figura 9 - Erro de estimação normalizado para uma entrada senoidal (a) ..................... 12 
Figura 10 - Estimativa para a1 para uma entrada senoidal (a) ...................................... 12 
Figura 11 - Estimativa para a2 para uma entrada senoidal (a) ...................................... 13 
Figura 12 - Estimativa para a3 para uma entrada senoidal (a) ...................................... 13 
Figura 13 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada degrau (b) ................. 14 
Figura 14 - Erro de estimação normalizado para uma entrada degrau (b) ..................... 15 
Figura 15 - Estimativa de a1 para uma entrada degrau (b) ........................................... 15 
Figura 16 - Estimativa de a2 para uma entrada degrau (b) ........................................... 16 
Figura 17 - Estimativa de a3 para uma entrada degrau (b) ........................................... 16 
Figura 18 - Resposta filtrada e sua estimada para uma entrada senoidal (b) ................. 17 
Figura 19 - Erro de estimação normalizado para uma entrada senoidal (b) ................... 17 
Figura 20 - Estimativa para a1 para uma entrada senoidal (b) ...................................... 18 
Figura 21 - Estimativa para a2 para umam entrada senoidal (b) ................................... 18 
Figura 22 - Estimativa para a3 para uma entrada senoidal (b) ...................................... 19 
Figura 23 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada degrau (c) .................. 20 
Figura 24 - Erro de estimação normalizado para uma entrada degrau (c) ..................... 21 
Figura 25 - Estimativa para a1 para uma entrada degrau (c)......................................... 21 
Figura 26 - Estimativa para a2 para uma entrada degrau (c)......................................... 22 
Figura 27 - Estimativa para a3 para uma entrada degrau (c)......................................... 22 
Figura 28 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada senoidal (c) ............... 23 
Figura 29 - Erro de estimação normalizado para uma entrada senoidal (c) ................... 23 
Figura 30 - Estimativa para a1 para uma entrada senoidal (c) ...................................... 24 
Figura 31 - Estimativa para a2 para uma entrada senoidal (c) ...................................... 24 
Figura 32 - Estimativa para a3 para uma entrada senoidal (c) ...................................... 25 
Figura 33 - Resposta da planta e sua estimativa para uma entrada degrau (d)............... 27 
Figura 34 - Erro de estimação normalizado para uma entrada degrau (d) ..................... 27 
Figura 35 - Estimativa para a1 para uma entrada degrau (d) ........................................ 28 
Figura 36 - Estimativa para a2 para uma entrada degrau (d) ........................................ 28 
Figura 37 - Estimativa para a3 para uma entrada degrau (d) ........................................ 29 
Figura 38 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada senoidal (d) ............... 29 
Figura 39 - Erro de estimação normalizado para uma entrada senoidal (d) ................... 30 
Figura 40 - Estimativa para a1 para uma entrada senoidal (d) ...................................... 30 
Figura 41 - Estimativa para a2 para uma entrada senoidal (d) ...................................... 31 
Figura 42 - Estimativa para a3 para uma entrada senoidal (d) ...................................... 31 
Figura 43 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada degrau (e) .................. 32 
Figura 44 - Erro de estimação normalizado para uma entrada degrau (e) ..................... 32 
Figura 45 - Estimativa para a1 para uma entrada degrau (e)......................................... 33 
Figura 46 - Estimativa para a2 para uma entrada degrau (e)......................................... 33 
4 
 
Figura 47 - Estimativa para a3 para uma entrada degrau (e)......................................... 34 
Figura 48 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada senoidal (e) ............... 34 
Figura 49 - Erro de estimação normalizado para uma entrada senoidal (e) ................... 35 
Figura 50 - Estimativa para a1 para uma entrada senoidal (e) ...................................... 35 
Figura 51 - Estimativa para a2 para uma entrada senoidal (e) ...................................... 36 
Figura 52 - Estimativa para a3 para uma entrada senoidal (e) ...................................... 36 
 
5 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 6 
2 DESENVOLVIMENTO .................................................................................... 8 
 2.1 Gradiente baseado em uma função de custo instantânea sem projeção . 8 
 2.1.1 Entrada Tipo degrau unitário ....................................................... 9 
 2.1.2 Entrada Tipo Senóide ..................................................................11 
 2.2 Gradiente baseado em uma função de custo instantânea com projeção .. 13 
 2.2.1 Entrada Tipo degrau unitário ....................................................... 14 
 2.2.2 Entrada Tipo Senóide .................................................................. 17 
 2.3 Gradiente baseado em uma função de custo Integral ............................. 19 
 2.3.1 Entrada Tipo degrau unitário ...................................................... 20 
 2.3.2 Entrada Tipo Senóide ................................................................. 23 
 2.4 Mínimos Quadrados Puro......................................................................... 25 
 2.4.1 Entrada Tipo degrau unitário .................................................... 26 
 2.4.2 Entrada Tipo Senóide................................................................ 29 
 2.5 Mínimos Quadrados com Fator de Esquecimento.................................... 31 
 2.5.1 Entrada Tipo degrau unitário .................................................... 32 
 2.5.2 Entrada Tipo Senóide ................................................................ 34 
3 CONCLUSÕES ................................................................................................. 37 
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 38 
 
 
 
 
 
6 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 A estimação de parâmetros se mostra como uma ferramenta essencial na 
identificação de sistemas e é baseado em uma metodologia específica, na qual os 
parâmetros da estrutura selecionada são manejados de modo que o modelo espelhe o 
comportamento dinâmico do sistema expresso pelos dados. 
 Para este trabalho, serão mostradas simulações de alguns tipos de algoritmos 
baseados no método do gradiente e no método dos mínimos quadrados. Uma breve 
revisão dos métodos será demonstrada, direcionada as simulações realizadas, e em 
seguida os resultados serão comparados. Um controlador adaptativo só pode ser 
projetado de forma eficaz havendo uma estimação de parâmetros em tempo real. 
 A idéia essencial por trás da estimação de parâmetros em tempo real é a 
comparação da saída observada do sistema y(t) com a saída do modelo parametrizado 
 , cuja estrutura é a mesma que o modelo da planta. O vetor de parâmetros θ(t) é 
ajustado continuamente para que se aproxime de y(t) com o passar do tempo. 
 
 
Figura 1 - Estimação de Parâmetros 
 
 Dadas as condições de entrada, ser próximo de y(t) implica que θ(t) está 
próximo do vetor de parâmetros desconhecidos θ* do modelo da planta. O 
procedimento de estimação em tempo real tem basicamente 3 passos: 
 
 Modelo parametrizado para a planta; 
 Lei adaptativa; 
 Entrada aplicada a planta. 
 
 A identificação dos parâmetros será realizada na planta vista na Figura 1, que foi 
a planta selecionada para ser utilizada nos trabalhos da disciplina, cujos parâmetros 
constam na Tabela 01. 
 
Figura 2 - Planta utilizada para estudo 
7 
 
 
Parâmetro Valor Unidade Nome 
L 0.006 H Indutância da 
armadura 
R 0.6 Ω Resistência da 
armadura 
KB 0.02486 V/º/s Constante 
eletromotriz do 
motor 
JM 0.00844 Lbf-in-s Inércia polar do 
eixo do motor 
cM 0.00013 Lbf-in/º/s Constante de 
amortecimento do 
eixo do motor 
KT 8.375 Lbf-in/A Constante de torque 
n 200 Sem unidade Relação de 
engrenagens 
JL 1 Lbf-in-s² Inércia polar do 
eixo da carga 
cL 0.5 Lbf-in/º/s Constante de 
amortecimento do 
eixo da carga 
Tabela 01 – Parâmetros da Planta 
 
 Como visto no trabalho passado, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De onde podemos calcular: 
 
 √ 
 
 
 
Que nos dão as seguintes informações do desempenho do sistema: 
 tr = 0.061s (tempo de subida) 
 ts = 0.08s (tempo de acomodação) 
 Overshoot = 1,966% 
 
 
8 
 
2 DESENVOLVIMENTO 
 
 A utilização do método do gradiente envolve o desenvolvimento de uma 
equação algébrica para o erro de estimativa que conduz a seleção de uma função de 
custo adequada J(θ) que é convexa em relação a θ, sendo θ uma estimativa para θ* em 
cada instante de tempo t. A função J(θ) é então minimizada em relação a θ para cada 
tempo t, utilizando o método do gradiente. 
 No método dos mínimos quadrados a ideia básica é encontrar um modelo 
matemático para uma sequência de dados experimentais através da minimização da 
soma dos quadrados das diferenças entre os dados experimentais e os dados calculados 
pelo modelo. 
 À seguir serão mostrados os resultados das simulações dos algoritmos de 
identificação dos parâmetros, feitos no MATLAB, onde todas as EDOs foram 
resolvidas utilizando o método do Euler. 
 
2.2 Gradiente baseado em uma função de custo instantânea sem projeção 
 
A equação abaixo refere-se à equação da planta modificada. 
 
 
 
 
 
Definindo , pode-se reescrevê-la como: 
 
 
 
 
 
Então, é obtida a equação da estimativa de z ( ̂) : 
 
 ̂ 
 
 Onde θ é uma estimativa para θ*. 
 O erro de estimativa normalizado é obtido da seguinte forma. 
 
 
 
 ̂
 
 
 
 
 
 
 Onde 
 , sendo ns o sinal de normalização definido por 
 . 
 Logo a função de custo instantânea é obtida: 
 
 
 
 
 
 
 
 No método do gradiente a estimação dos parâmetros é realizada de acordo com a 
equação à seguir: 
 ̇ 
 
 
 Em que , e é denominada matriz de ganhos adaptativos. 
Realizando o cálculo do gradiente da função de custo, a partir de , obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Substituindo-se a equação acima na equação anterior, obtém-se, então, a equação 
principal do algoritmo do gradiente com função de custo instantânea sem projeção: 
 
 ̇ 
 
2.1.1 Entrada Tipo degrau unitário 
 
 Para a simulação, foi utilizado um tempo de simulação de 15 segundos, a um 
passo h = 0.01. A matriz de ganhos adaptativo teve como diagonal principal os ganhos 
10, 10 e 10, respectivamente. Os resultados estão à seguir: 
 
 
Figura 3 - Resposta filtrada e sua estimativa para entrada degrau (a) 
 
 
Figura 4 - Erro de estimação normalizado para entrada degrau (a) 
10 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - Estimativa para a1 para uma entrada degrau (a) 
 
 
 
 
 
Figura 6 - Estimativa para a2 para uma entrada degrau (a) 
 
11 
 
 
Figura 7 - Estimativa para a3 para uma entrada degrau (a) 
 
2.1.2 Entrada Tipo Senóide 
 
 Foi utilizado como entrada do sistema, a função r(t) = 5sen(t). O tempo de 
simulação foi de 15 segundos, a um passo de h = 0.01. A diagonal principal da matriz 
de ganhos adaptativos, assim como para a entrada tipo degrau, foi 10, 10 e 10, 
respectivamente. 
 
 
Figura 8 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada senoidal (a) 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 - Erro de estimação normalizado para uma entrada senoidal (a) 
 
 
 
 
 
Figura 10 - Estimativa para a1 para uma entrada senoidal (a) 
13Figura 11 - Estimativa para a2 para uma entrada senoidal (a) 
 
 
Figura 12 - Estimativa para a3 para uma entrada senoidal (a) 
 
2.2 Gradiente baseado em uma função de custo instantânea com Projeção 
 
A utilização de projeção nos algoritmos de estimação de parâmetros tem por 
objetivo o aumento na velocidade de convergência e a melhora no regime transiente. 
Isso se justifica em função de que em muitos problemas práticos tem-se algum 
conhecimento à priori sobre os parâmetros da planta física (q*) e, em geral, dispõe-se 
dos limitantes superior e inferior para q*, ou da região onde este parâmetro se encontra 
no . Então, pode-se restringir a pesquisa para estimativas de q* a uma região do , 
aumentando assim a rapidez com que o algoritmo encontrará o valor correto de θ*. 
14 
 
 A ideia deste método é minimizar a função de custo J(q) sujeito a q Î S, sendo S 
um conjunto convexo com fronteira “suave” definido por { | , 
onde g é uma função “suave”, ou seja, sem pontos de mudanças bruscas. 
 Assim, pode definir g(q) tal que , onde r é o raio de 
uma circunferência que engloba q*. Pode-se, então, redefinir a Equação 1.6 para obter o 
algoritmo do gradiente com projeção conforme a equação à seguir: 
 
 
 ̇ {
 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo , temos: 
 
 
 ̇ {
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em que S
0
 corresponde à região interna de S. 
 A projeção de um algoritmo retém todas as propriedades que são estabelecidas 
na ausência de projeção e, adicionalmente, garante que desde que 
 e 
 . 
 
2.2.1 Entrada Tipo degrau unitário 
 
 Para este simulação, foi utilizado um tempo de simulação de 20 segundos, com 
um passo h = 0.01. A diagonal principal da matriz de ganhos adaptativos teve os valores 
1.5, 20 e 8.5, respectivamente. Os resultados da simulação constam abaixo. 
 
 
Figura 13 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada degrau (b) 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 - Erro de estimação normalizado para uma entrada degrau (b) 
 
 
 
 
 
Figura 15 - Estimativa de a1 para uma entrada degrau (b) 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
Figura 16 - Estimativa de a2 para uma entrada degrau (b) 
 
 
 
 
 
Figura 17 - Estimativa de a3 para uma entrada degrau (b) 
 
 
 
 
 
17 
 
2.2.2 Entrada Tipo Senoide 
 
 Para a realização das simulações, foi utilizado como tempo de simulação 20 
segundos, com um intervalo h = 0.01. A entrada do sistema foi r(t) = 5sen(5t), e a 
matriz de ganhos adaptativos foi análoga a simulação com uma entrada degrau. Seguem 
os resultados: 
 
 
Figura 18 - Resposta filtrada e sua estimada para uma entrada senoidal (b) 
 
 
 
Figura 19 - Erro de estimação normalizado para uma entrada senoidal (b) 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 - Estimativa para a1 para uma entrada senoidal (b) 
 
 
 
 
 
 
Figura 21 - Estimativa para a2 para umam entrada senoidal (b) 
19 
 
 
Figura 22 - Estimativa para a3 para uma entrada senoidal (b) 
 
 
 
2.3 Gradiente baseado em uma função de custo Integral 
 
A função de custo integral é definida por: 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
onde > 0 é o fator de esquecimento. 
 O erro de estimação normalizado no instante t baseado na estimativa q(t) de q* 
no instante t ³ t é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, o efeito das informações quando t << t é exponencialmente menor do 
que o efeito das informações quando t é próximo de t (t < t), isto para cada instante t. 
Substituindo a equação de em e calculando o gradiente, obtém-se: 
 
 
 
 ∫ 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Agora, lembrando que ̇ , temos: 
 
 
 ̇ [∫ 
( )
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
] 
 
20 
 
 Pode-se, então, definir q(t) e r(t) da seguinte forma: 
 
 
 ∫ [ 
( )
 
] 
 
 
 
 
 
 
 ∫ [
 
 
] 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo as equações acima na equação de ̇, a lei de adaptação dos 
parâmetros toma a seguinte forma: 
 
 ̇ 
 
 Derivando as equações acima, supondo condições iniciais nulas, são obtidas, 
respectivamente: 
 
 
 ̇ 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 
 
 
2.3.1 Entrada Tipo degrau unitário 
 
 Seguem, à seguir, os resultados das simulações para um tempo de 20 segundos, 
com h = 0.01 e a diagonal principal da matriz de ganhos adaptativos com ganhos iguais 
a 2.5, 4 e 1.5, respectivamente. O fator de esquecimento β foi fixado em 0.2. 
 
 
Figura 23 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada degrau (c) 
21 
 
 
 
 
 
 
Figura 24 - Erro de estimação normalizado para uma entrada degrau (c) 
 
 
 
 
 
 
Figura 25 - Estimativa para a1 para uma entrada degrau (c) 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
Figura 26 - Estimativa para a2 para uma entrada degrau (c) 
 
 
 
 
 
 
Figura 27 - Estimativa para a3 para uma entrada degrau (c) 
 
 
 
 
23 
 
2.3.2 Entrada Tipo Senoide 
 
 As simulações para uma entrada senoide para o gradiente com função de custo 
integral foi análoga a com entrada degrau, mas com uma entrada r(t) = sen(5t). 
 
 
 
Figura 28 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada senoidal (c) 
 
 
 
Figura 29 - Erro de estimação normalizado para uma entrada senoidal (c) 
 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
Figura 30 - Estimativa para a1 para uma entrada senoidal (c) 
 
 
 
 
 
 
Figura 31 - Estimativa para a2 para uma entrada senoidal (c) 
 
25 
 
 
Figura 32 - Estimativa para a3 para uma entrada senoidal (c) 
 
2.4 Mínimos Quadrados Puro 
 
Entende-se por método dos mínimos quadrados a determinação dos parâmetros 
desconhecidos de um modelo matemático tais que a soma quadrática das diferenças 
entre os dados observados e calculados, multiplicada por fatores que meçam o grau de 
precisão, é mínima. 
 Este método utiliza na estimação os vetores de parâmetros e medidas, _ e f, 
respectivamente, onde Para simplificar a apresentação do método dos mínimos 
quadrados com reinicialização da matriz de covariância, é introduzida a seguinte 
notação vetorial: 
 
 
 
Onde, 
 [ ] 
 
 
 [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
 
 
 [ ]
 
 
 [ ] 
 
 
 
Os métodos de estimação não recursivos solicitam a existência prévia da matriz 
de dados. Como nos sistemas de controle adaptativo os dados tornam-se disponíveis de 
modo sequencial é desejável implementar um algoritmo de estimação recursivo de 
forma a reduzir o tempo computacional. Assim, a estimação dos parâmetros pode, em 
26 
 
termos práticos, ser executada em tempo real sendo os valores estimados na amostra (k -
1) usados para obter os parâmetros no instante de tempo atual (amostra k). 
A estimação recursiva com reinicialização da matriz de covariância rege-se pelas 
seguintes equações: 
 
 [ 
 ]̂ ̂ ̂ 
 
 
 
 
 ̂ [ ̂ ̂ ̂ 
 
 
 ̂ ̂ ̂ 
 
 
 ̂ 
 
 
Onde, 
 
 é o vetor de observação; 
 é a saída real; 
 K é o ganho do estimador; 
 é o vetor de parâmetro que se deseja estimar; 
 ̂ é uma estimativa para ; 
 P é a matriz de covariância dos parâmetros estimados; 
 ̂ é uma estimativa para 
 ̂ é uma estimativa para y ; 
 é o erro de estimação. 
 
2.4.1 Entrada Tipo degrau unitário 
 
Para a implementação do método dos mínimos quadrados com reinicialização da 
matriz de covariância no sistema escolhido, foi utilizado o método armazenador de 
ordem zero, com período de amostragem igual a 0,01 segundos e tempo de simulação 
de 20 segundos. Os resultados obtidos a partir dessa simulação podem ser vistos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 Figura 33 - Resposta da planta e sua estimativa para uma entrada degrau (d) 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 34 - Erro de estimação normalizado para uma entrada degrau (d) 
 
 
 
 
28 
 
 
 
 
 
Figura 35 - Estimativa para a1 para uma entrada degrau (d) 
 
 
 
 
 
 
Figura 36 - Estimativa para a2 para uma entrada degrau (d) 
 
29 
 
 
Figura 37 - Estimativa para a3 para uma entrada degrau (d) 
 
 
2.4.2 Entrada Tipo Senoide 
 
 Esta simulação foi análoga a simulação anterior para uma entrada degrau, mas 
com uma entrada r(t) = sen(5t). 
 
 
 
 
Figura 38 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada senoidal (d) 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
Figura 39 - Erro de estimação normalizado para uma entrada senoidal (d) 
 
 
 
 
 
 
Figura 40 - Estimativa para a1 para uma entrada senoidal (d) 
 
31 
 
 
Figura 41 - Estimativa para a2 para uma entrada senoidal (d) 
 
 
Figura 42 - Estimativa para a3 para uma entrada senoidal (d) 
 
2.5 Mínimos Quadrados com Fator de Esquecimento 
 
O algoritmo de mínimos quadrados é utilizado quando o sistema a ser 
identificado varia no tempo. Sendo necessário fazer uma capacidade de ponderação 
diferenciada para as observações, dando-se uma maior importância ás últimas medidas, 
pois elas contêm informações mais atualizadas e precisam ter maior influência na 
estimação dos parâmetros. 
O algoritmo dos mínimos quadrados puro minimiza o funcional J(q) ponderando 
cada erro de estimação igualmente. Assim, para ponderar mais as informações mais 
recentes o critério dos mínimos quadrados pode ser modificado para minimizar o 
32 
 
funcional modificado, de modo que o algoritmo atribua um peso maior a essas 
informações. 
A alteração no funcional implica que a matriz de covariância P pode ser 
calculado empiricamente pela equação apresentada abaixo: 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
2.5.1 Entrada Tipo degrau unitário 
 
 Para esta simulação, utilizou-se um tempo de simulação de 20 segundos com um 
passo h = 0.01. O fator de esquecimento utilizado foi de β = 0.1. 
 
 
Figura 43 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada degrau (e) 
 
 
Figura 44 - Erro de estimação normalizado para uma entrada degrau (e) 
33 
 
 
 
 
 
 
Figura 45 - Estimativa para a1 para uma entrada degrau (e) 
 
 
 
 
 
 
Figura 46 - Estimativa para a2 para uma entrada degrau (e) 
 
34 
 
 
Figura 47 - Estimativa para a3 para uma entrada degrau (e) 
 
2.5.2 Entrada Tipo Senoide 
 
 Por fim, utilizou-se como referência r(t) = 5sen(5t), para um tempo de 
simulação, passo e fator de esquecimento análogos a entrada degrau, para o método dos 
mínimos quadrados com fator de esquecimento. Seguem os resultados: 
 
 
Figura 48 - Resposta filtrada e sua estimativa para uma entrada senoidal (e) 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
Figura 49 - Erro de estimação normalizado para uma entrada senoidal (e) 
 
 
 
 
 
 
Figura 50 - Estimativa para a1 para uma entrada senoidal (e) 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
 
 
Figura 51 - Estimativa para a2 para uma entrada senoidal (e) 
 
 
 
 
 
 
Figura 52 - Estimativa para a3 para uma entrada senoidal (e) 
 
 
 
 
37 
 
3 CONCLUSÕES 
 
 Através da aplicação dos conhecimentos adquiridos em sala, foi possível com 
sucesso, realizar as estimação de parâmetros em tempo real da planta escolhida para 
desenvolvimento dos trabalhos da disciplina. 
 Os melhores resultados foram obtidos pelos métodos com fator de esquecimento, 
que conseguiram estimações bastante satisfatórias para a saída da planta. Para uma 
entrada degrau, o método dos mínimos quadrados com fator de esquecimento se 
mostrou mais eficiente, enquanto para uma entrada senoidal, esse mesmo método, junto 
com o método do gradiente com uma função de custo integral, mostraram resultados 
mais satisfatórios. 
 A análise dos resultados nos permite concluir que os métodos que não envolvem 
fator de esquecimento, apesar de serem mais fáceis de implementar, são geram 
resultados tão satisfatórios para uma planta de segunda ordem. 
 Por fim, vale salientar a importância do estudo realizado para o desenvolvimento 
deste trabalho, sendo possível ter compreendido, na prática (por simulações), como 
funciona a estimação de parâmetros em tempo real, que é essencial para o projeto de 
controladores adaptativos. Foi possível adquirir certa sensibilidade quanto aos valores 
dos ganhos adaptativos, bem como ter um contato mais aprofundado com a matemática 
por trás das leis adaptativas e estimação de parâmetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] P. A. Ioannou and J. Sun. “Robust Adaptive Control”, Prentice Hall, 1996. 
[2] Notas de aula do professor Aldayr Dantas de Araújo, da disciplina Controle 
Adaptativo, DEE, UFRN. 
[3] K. Ogata. “Engenharia de Controle Moderno”. Prentice Hall do Brasil, 1993. 
[4] Notas de aula do professor Antônio Augusto Rodrigues, da disciplina Identificação 
e Controle Adaptativo, DAS, UFSC.