Introdução à Probabilidade

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Matemática Daniela B. Belo 
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CAPÍTULO I
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1 CONCEITOS BÁSICOS
 OBJETIVOS
O objetivo deste conteúdo é fazer uma síntese da história da probabilidade; distinguir eventos favoráveis de eventos possíveis; calcular a probabilidade de um evento; dar exemplos onde se aplica a lei da soma e da multiplicação; discriminar as situações que envolvem probabilidades condicionais e construir uma árvore de probabilidades.
INTRODUÇÃO: Um pouco da história da probabilidade
No mundo dos negócios como na vida em geral, muito do que fazemos não tem resultado certo. Então quando formamos opiniões ou tomamos atitudes, precisamos de estimativas para medir nossa incerteza. Como alguns exemplos na vida cotidiana, podemos estar incertos se devemos ou não promover uma liquidação, se existe congestionamento no trânsito para o aeroporto, se pode ocorrer pane no carro, se nossa oferta de pagamento será aceita, se haverá corte de energia, se existe vírus no software que acabamos de receber. As leis de probabilidade ajudam a tomar decisões.
Foi no século XVII, com os chamados jogos de azar, que surgiram os primeiros estudos de probabilidade. O primeiro trabalho escrito de que se tem notícia e que envolve a noção de probabilidade data de 1477. Trata-se de um comentário feito à Divina Comédia (Dante), onde há referências às probabilidades associadas aos vários resultados decorrentes do jogo de 3 dados.
Grandes nomes da história da matemática são responsáveis pela teoria das probabilidades: Blaise Pascal (1623-1662); Pierre de Fermat (1601-1665); Huygens(1629-1695); Isaac Newton (1642-1727); Jacob Bernoulli (1654-1705); Laplace (1749-1827), Byes (1702-1761); Kolmogoroff (1903-??) entre outros.
A teoria de probabilidades começou a se desenvolver através de dois problemas formulados por um jogador compulsivo, aliás conta a história que fazia parte do lazer de soldados gregos e romanos, jogar astrágalos (Osso do Tarso, cuja forma é quase cúbica, lembrando um dado).
Ao longo dos últimos três séculos várias foram as teorias propostas: Experimentalista (Bernoulli), Clássica (Laplace), Frequencialista (Ellis, Veen) e Axiomática (Kolmogoroff).
Começamos examinando as seguintes afirmações: 
É provável que João vá ao teatro amanhã
É provável que Adão e Eva tenham existido
Em ambas estão presentes as idéias de:
	Incerteza
	Grau de confiança que depositamos naquilo que afirmamos
	
Note que a palavra “provável” também dá idéia de futuro mas na afirmação II, estamos falando de algo que deve ter ocorrido no passado. Isto porque na afirmação II a probabilidade não está ligada ao tempo mas sim à eventual veracidade da própria afirmação.
Para medir de modo racional o grau de confiança que depositamos em certas afirmações vamos propor a seguinte definição:
PROBABILIDADE =Número que resulta da divisão do número de 	casos favoráveis a um evento pelo número total de casos possíveis. 
A maneira mais comum de medirmos as incertezas relacionadas com eventos (Exs: eleição presidencial,
efeitos colaterais de um novo remédio etc) consiste em atribuir-lhes probabilidades ou chances de ocorrer cada evento.
É lógico que há poucas decisões onde uma decisão administrativa dependa do resultado da jogada de uma moeda ou de um dado mas o estudo da probabilidade associado à jogada de uma moeda propicia práticas valiosas para alguns conceitos de probabilidade mais complexos e portanto alguns exemplos serão desse enfoque.
CONCEITOS
Definições de Probabilidade
Clássica: Para esta definição os resultados tem que ser equiprováveis e a probabilidade é calculada como o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.
Aplicações: Quando se quer fazer escolhas aleatórias como cobaias que são escolhidas para um experimento, cada família de uma localidade tem a mesma chance de ser incluída, escritórios são destinados à pesquisadores por sorteio, etc.
São poucas situações em que os resultados são equiprováveis. Exemplo: Se choverá em certo dia ou não, resultado de uma eleição ou se o índice da bolsa de valores terá uma alta ou uma queda.
Frequentista: Podemos fazer e repetir um experimento grande número de vezes registrando as freqüências relativas. Pela lei dos Grandes Números se determinada situação é repetida um grande número de vezes, a proporção de sucessos tenderá para uma probabilidade.
Exemplo1: Se dissermos que há uma probabilidade de 0,78 de um jato chegar no horário tendo em vista o fato que tais vôos chegam no horário em 78% das vezes.
Exemplo 2: Serviço meteorológico prevê que há 40% de chance no mês de abril dado que esses registros foram observados em anos anteriores neste mesmo mês.
Exemplo 3: Suponha que na jogada de uma moeda que esteja interessada no número de caras e que tenha acontecido a seguinte situação:
5 jogadas	 3 caras 	= 	3/5 = 0.6
10 jogadas 	6 caras	=	6/10= 0.6 
15 jogadas	8 caras	=	8/15 = 0,53
20 jogadas	12 caras	=	12/20 = 0.6
25 jogadas	14 caras	= 	14/25 = 0,56
100 jogadas	51 caras	= 	51/100 = 0,5 ... ... ... 
A proporção de caras flutua mas vai estabilizando cada vez mais em torno de 0.5 que é a probabilidade de obtr cara na jogada da moeda.
Exemplo 4: É possível atribuir uma probabilidade ao evento da Sra Jones deixar o hospital 4 dias após ter sido submetida a uma cirurgia do apêndice. Poderíamos constatar registros
médicos e constatar que pacientes da idade de Sra Jones tiveram alta em 4 dias em aproximadamente 78%
dos casos e aplicar esse resultado.
Subjetiva: Grau de crença na ocorrência de um evento. É o ponto de vista pessoal de alguém sobre a probabilidade de ocorrer um evento.
Experimento Aleatório
É qualquer ação bem definida, ou seja , um fenômeno produzido pelo homem. 
Exemplos: lançamento de um dado, vida de um componente eletrônico.
Espaço Amostral (S)
É o conjunto de todos resultados possíveis do experimento.
Exemplo: No experimento lançar um dado S = { 1,2,3,4,5,6}
	 No experimento analisar a vida de um componente eletrônico S = { t ( R / t ( 0}
Evento (A)
É qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo: 
Seja na jogada de duas moedas S = { CC, CK, KC, KK} onde C = cara e K = coroa
Evento A saída de faces iguais = { CC , KK}
Seja em uma urna com 4 bolas sendo 2 brancas e 2 verdes S = { BB, BV, VB,VV}
Evento A saída de duas bolas com cores diferentes = { BV, VB}
Eventos Mutuamente Exclusivos
São eventos que não podem ocorrer simultaneamente, ou seja a intersecção é vazia.
Exemplo: Seja o espaço amostral jogar um dado e observar a face: {1,2,3,4,5,6}
	 Evento A : Ocorrer face par { 2,4,6}
	 Evento B: Ocorrer face ímpar {1,3,5}
	 A ( B = ( portanto A e B são mutuamente exclusivo
Eventos Equiprováveis
Todos os eventos tem a mesma probabilidade de ocorrer.
Exemplo: A: Obter cara na jogada de três moedas - P(A) = 0.5
	
Eventos Impossíveis
Exemplo: Obter face maior que 6 no lançamento de um dado
Evento Certo
Exemplo: Obter face menor a 7 no lançamento de um dado.
1.3.9
Seja S o conjuntos de todos os possíveis resultados de um experimento denominado espaço amostral e A um subconjunto do espaço amostral (S), denominado evento.
0 ( P(A) ( 1, para qualquer evento A
Regra prática para atribuição numérica de probabilidade: P(A) = 
, onde 	m = número de resultados favoráveis ao evento A
n = número de resultados possíveis, desde que igualmente prováveis
P(S) =1
P(() = 0
Regra do complementar: P (A) + P(Ac ) = 1
Regra da adição: P(A ( B) = P(A) + P(B) – P(A(B)
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer ao mesmo tempo.
Regra da adição para eventos mutuamente exclusivos: P(A ( B) = P(A) + P(B) se Ae B forem mutuamente exclusivos
Regra da Probabilidade Condicional: 
Regra da Multiplicação: 
 ou 
Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros.
Se dois eventos A e B são independentes, então: P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)
Se A e B independentes 
Teorema da probabilidade total: Sejam E1, E2 , ... , Em uma partição do espaço amostral e F um evento qualquer de S.
 Então , 
Teorema de Bayes - Nas mesmas condições do teorema anterior: 
, j = 1,2,..., n
Num período de um mês, 100 pacientes sofrendo de determinada doença foram internados em um hospital. Informações sobre o método de tratamento aplicado em cada paciente e o resultado final obtido estão no quadrado abaixo.
	
	A 
	B 
	Soma 
	Cura total
	24
	16
	40
	Cura parcial
	24
	16
	40
	Morte
	12
	8
	20
	Soma 
	60
	40
	100
Sorteando aleatoriamente um desses pacientes, determinar a probabilidade de o paciente escolhido:
A1) ter sido submetido ao tratamento A;
P(A) = 
A2) ter sido totalmente curado;
P(TC) = 
A3) ter sido submetido ao tratamento A e ter sido parcialmente curado?
A4) ter sido submetido ao tratamento A ou ter sido parcialmente curado
Os eventos “ morte “ e “ tratamento A “ são independentes? Justificar.
Logo os eventos mencionados são independentes.
Sorteando dois dos pacientes, qual a probabilidade de que:
C1) tenham recebido tratamentos diferentes?
P(tratamentos diferentes) = 
C2) pelo menos um deles tenha sido curado totalmente?
Z = curado totalmente
Se para uma pessoa em visita a Washington (Estados Unidos), as probabilidades de ela visitar o edifício do Congresso ou Smithsonian Institution, ou ambos são 0,92, 0,33 e 0,29 respectivamente. Qual a probabilidade de essa pessoa visitar ao menos uma daquelas instituições?
Note que se tivéssemos aplicado erroneamente a regra da adição para eventos mutuamente excludentes, teríamos chegado ao resultado impossível 0,92+0,33 = 1,25
Um certo programa pode ser usado com um entre duas sub-rotinas A e B, dependendo do problema. A experiência tem mostrado que a sub-rotina A é usada 40% das vezes e B é usada 60% das vezes. Se A é usada, existe 75% de chance de que o programa chegue a um resultado dentro do limite de tempo. Se B é usada, a chance é de 50%. Se o programa foi realizado dentro do limite de tempo, qual a probabilidade de que a sub-rotina A tenha sido escolhida?
 P(A) = 0,4 P(R/A) = 0,75 P(A 
B) = 0,3
 P(B) = 0,6 P(R/B) = 0,50 P(B 
R) = 0,3
Logo :
P(R) = 0,3 + 0,3 = 0,6
P(A/R) = 
Em certa escola elementar, a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente provir de um lar com ambos os pais é 0,75 e a probabilidade de ele provir de um lar com ambos os pais e ser um estudante fraco é 0,18. Qual a probabilidade de tal aluno ser fraco nos estudos, dado que ele provém de um lar com ambos os pais?
Denotando L = estudante fraco e T = estudante que provém de um lar com ambos os pais
P(T) = 0,75 e 
 
Probabilidade Condiconal
Em alguns casos existe o interesse de rever a probabilidade de um evento, quando existem informações adicionais que podem afetar o resultado.
A probabilidade condicional é a chance de ocorrer um evento A tendo acontecido o evento B. A informação de ocorrência do evento B faz com que o espaço amostral seja reduzido.
Regra da Multiplicação
ou
Eventos Independentes
Se a probabilidade de um evento não depende do conhecimento de outro evento ter acontecido, os eventos são definidos como independentes.
Ou
 
Se A e B são independentes então P(A) = P(A/B) e consequentemente P(A e B) = P(A) . P(B).
Conseqüências da regra do produto:
	Se dois eventos são mutuamente exclusivos então P(A e B) = 0 e P(A/ B) = 0
	Se dois eventos são mutuamente exclusivos então são dependentes necessariamente
	Para provar que dois eventos A e B são independentes deve-se verificar se P(A e B) = P(A). P(B) ou se P(A/ B) = P(A).
DEFINIÇÃO:
Ocorre freqüentemente em probabilidade que os eventos que estamos interessados envolvem a contagem ou a medida de algo, como por exemplo, o número de vezes em que aparece cara na jogada de uma moeda.Uma função X que associa a cada elemento do espaço amostral (S), um número real, é denominada variável aleatória.
Exemplo: No lançamento de duas moedas, seja X o número de caras obtidos nas 2 moedas.
	S = { CC,CK, KC, KK}
	X = 0 ( (KK)			
	X =1 ( ( CK ou KC)		
	X = 2 ( ( CC)			
Uma variável aleatória é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao acaso e que não estão sob o controle do observador.
Exemplos:
Um vendedor recebe 20 endereços para visitar a cada dia. Um morador de cada endereço manifestou por correspondência interesse de receber o vendedor e discutir o produto. Segundo a experiência do vendedor, é feita uma venda em cada 10 domicílios. Qual a probabilidade de que sejam feitas 5 vendas em determinado dia?
	 Variável Aleatória: Número de vendas por dia.
Dizemos que é uma variável aleatória pois o resultado das vendas em determinado dia é incerto e depende do acaso.
A vida média de uma marca de bateria para toca fitas é de 20 horas com desvio-padrão de 0,5 horas. Qual a probabilidade de que uma bateria não dure mais que 21 horas?
	 Variável Aleatória: vida da bateria
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
P(X = x) é a probabilidade de que a variável aleatória assuma um particular valor. Pode ser expressa por uma tabela ou um gráfico
Exemplo: No lançamento de 2 moedas, seja X o número de caras.
	X
	0
	1
	2
	P(X)
	1/4
	1/2
	¼
TIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS:
Dependendo dos valores numéricos, uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua.
Se o conjunto de valores da variável aleatória se referem a contagem então a variável é chamada discreta. Exemplo: Número de peças rejeitadas em um lote numa linha de produção
Se o conjunto de valores da variável aleatória podem assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números reais é chamada variável contínua. Exemplo: Lucro líquido mensal de uma empresa.
PROPRIEDADES:
	0 ( P(X) ( 1
	( P(X) = 1
	f(x) = P(X = x)
Mais Exemplos:
No lançamento de uma moeda 3 vezes seguidas, determinar a variável aleatória X que representa o número de caras obtidas
X = 0	(KKK)		P(X = 0) = 1/8
X =1	(CKK)(KKC)(KCK)		P(X =1) = 3/8
X = 2 	(CCK)(KCC)(CKC)	 P(X = 2) = 3/8
X = 3	(CCC)		P(X =3) = 1/8
Os analistas de uma corretora de valores definiram os possíveis cenários da rentabilidade do mercado de ações para os próximos 12 meses: Ruim , Regular , Bom e Excelente . Pelo consenso do grupo de analistas, as rentabilidades e suas probabilidades associadas para cada cenário estão registrados na tabela abaixo.
	
	Rentabilidade
	Probababilidade
	Ruim
	-10%
	10%
	Regular
	0%
	20%
	Bom
	+12%
	40%
	Excelente
	+25%
	30%
 ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
A partir do conhecimento de uma variável aleatória é possível obter seus valores de média, variância e desvio-padrão.
A esperança de X é uma média ponderada que pode ser dada pela fórmula:
E(X) = x1 P(x1) + x2P(x2) + ... ... + xnP(xn)
Exemplo:
1 Os analistas de uma corretora de valores definiram os possíveis cenários da rentabilidade do mercado de ações para os próximos 12 meses: Ruim , Regular , Bom e Excelente . Pelo consenso do grupo de analistas, as rentabilidades e suas probabilidades associadas para cada cenário estão registrados na tabela abaixo.
	
	Rentabilidade
	ProbababilidadeX . P(X)
	Ruim
	-10%
	10%
	-0.010
	Regular
	0%
	20%
	0
	Bom
	+12%
	40%
	0.048
	Excelente
	+25%
	30%
	0.075
	
	
	
	E(X) = 0.1130
Qual é o significado de 11,30%?
Se o experimento for repetido um número muito grande de vezes então a média de todos os resultados será 11,30%, por isso o valor esperado é denominado como média à longo prazo.
Suponha que o seguro de vida da seguradora Life para pessoas com menos de 40 anos é de $ 200.000,00. Para comprar esse seguro, a pessoa necessita pagar por ano $ 600,00. Se a probabilidade de morte de uma pessoa com menos de 40 anos é 0,1%. Pede-se determinar a expectativa anual da seguradora.
	X
	P(X)
	600
	99.9%
	-199400
	0.1%
Se a pessoa não morrer a seguradora ganha $ 600,00com probabilidade 99,9%
Se a pessoa morrer a seguradora perde $ 199.400 com probabilidade de 0,1%
E(X) = -199400 . (0.001) + 600 . (0.999) = 400,00
Se a companhia de seguros vender anualmente um número muito grande de seguros iguais ao do exemplo, então o lucro médio anual será de $ 400,00 por seguro vendido.
 Variância de uma variável aleatória discreta:
O fato de conhecermos a média de uma distribuição de probabilidade já nos ajuda bastante, porém não temos uma medida que nos dê o grau de dispersão de probabilidade em torno da média
Exemplo: Considere a distribuição de X e Y:
	X
	P(X)
	X. P(X)
	
	Y
	P(Y)
	Y. P(Y)
	0
	1/8
	0
	
	-2
	1/5
	-2/5
	1
	6/8
	6/8
	
	-1
	1/5
	-1/5
	2
	1/8
	2/8
	
	0
	1/5
	0
	
	
	E(x) =1
	
	3
	1/5
	3/5
	
	
	
	
	5
	1/5
	5/5
	
	
	
	
	
	
	E(y) = 1
�� EMBED Excel.Chart.8 \s 
Observamos:
Grande concentração de probabilidade em X com relação a média
Grande dispersão em y com relação a média
A variância de uma variável aleatória X pode ser dada pela fórmula:
V(X) = E(X2) – E(X)2 
Onde E(x2) = ( x2 P(x)
DESVIO – PADRÃO = RAIZ DA VARIÂNCIA
Para o exemplo
	X
	P(X)
	X. P(X)
	X2P(X)
	Y
	P(Y)
	Y. P(Y)
	Y2P(Y)
	0
	1/8
	0
	0
	-2
	1/5
	-2/5
	4/5
	1
	6/8
	6/8
	6/8
	-1
	1/5
	-1/5
	1/5
	2
	1/8
	2/8
	4/8
	0
	1/5
	0
	0
	Total
	1
	E(x) =1
	10/8
	3
	1/5
	3/5
	9/5
	
	
	
	
	5
	1/5
	5/5
	25/5
	
	
	
	
	Total
	1
	E(y) = 1
	39/5
V(X) = 10/8 – 12 = 0,25	DP = 0,5
V(Y) = 39/5 – 12 = 6,8	DP = 2,61
Conclusão: quanto menor a variância, menor o grau de dispersão de probabilidade em torno da média e vice-versa.
Exemplos:
Na tabela abaixo está registrado o número de caminhonetes solicitadas em uma agência de aluguel de carros durante um período de 50 dias.
	Demanda possível
	Nro de dias
	P(X)
	X. P(X)
	X2
	X2 P(X)
	3
	3
	0.06
	0.18
	9
	0.54
	4
	7
	0.14
	0.56
	16
	2.24
	5
	12
	0.24
	1.20
	25
	6.00
	6
	14
	0.28
	1.68
	36
	10.08
	7
	10
	0.20
	1.40
	49
	9.80
	8
	4
	0.08
	0.64
	64
	5.12
	
	
	
	5.66
	
	33.78
E(x) = 3. (0.06) + 4.(0.14) + 5.(0.24) +6.(0.28) + 7.(0.2) + 8.(0.08) = 5.66
V(x) = 33.78 – (5.66)2 = 1.74
DP(x) = 1.32
Espera-se solicitar aproximadamente 6 caminhonetes variando de aproximadamente 1 à 2 caminhonetes para mais ou para menos, por dia.
Observação: Se uma tabela de mortalidade diz que nos Estados Unidos uma mulher de 50 anos de idade pode esperar viver mais de 31 anos, isto não quer dizer que realmente esperemos que uma mulher de 50 anos viva até completar 81 anos e morra no dia seguinte. A esperança é a interpretação de uma média que junto com uma variabilidade conveniente interpretam os resultados.
 DEFINIÇÃO:
Ao conjunto da variável aleatória (X) e suas respectivas probabilidade (P(X)) denominamos distribuição de probabilidade.
Certas distribuições de probabilidades tem algumas características e portanto levaram um nome. Todo problema de probabilidade que apresentar características semelhantes pode ser resolvido através dessas distribuições conhecidas. Inicialmente veremos as distribuições discretas principais que são chamadas de Distribuição Binomial e Distribuição de Poisson.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL:
Quando Aplicar:
	O Experimento é repetido certo número de vezes
	Há dois resultados possíveis em cada experimento: sucesso e fracasso
	A probabilidade de sucesso = p e a probabilidade de fracasso = 1 – p
	As repetições do experimento são independentes
Exemplos dessas situações:
Nascimentos: o nascimento de uma criança do sexo feminino e masculino
Processos de fabricação: produtos aceitáveis ou defeituosos
Medicina: nova droga podendo ser aceita ou não
Comércio: a venda ocorre ou não ocorre.
Número de defeitos por lote de 100 unidades de uma linha de produção
Número de ações que subiram ontem, comparadas com as 50 ações mais negociadas
Os valores numéricos da variável aleatória X fornecem o valor da probabilidade de obter X
sucessos em n experiências.
Fórmula:
onde 
 e n! = n(n-1)(n-2) ... 1
Mais Exemplos:
X é o número de caras no lançamento de 3 moedas. Qual a probabilidade de sair duas caras no lançamento de 3 moedas?
Experimento repetido 3 vezes (3 jogadas da moeda)
Dois resultados : sucesso (cara) ou fracasso (coroa)
Probabilidade de sucesso (cara) = ½
Probabilidade de fracasso (coroa) = 1 – ½ = ½
As repetições são independentes. Por exemplo , a probabilidade de sair cara no segundo lançamento não altera a probabilidade do segundo lançamento
Queremos obter dois sucessos (2 caras) em 3 lançamentos da moeda
É portanto uma distribuição Binomial
Espaço amostral: CCC, KKK , CCK , KCC , CKC , CKK , KKC, KCK
X = 2 caras: CCK, KCC, CKC (3 possíveis combinações)
P(X =2) = 3. (1/2)(1/2)(1/2) = 3/8
Utilizando a fórmula da Binomial:
Qual a probabilidade de uma pessoa acertar ao acaso 5 questões numa prova de 10 questões, sendo que cada questão tem cinco alternativas e o aluno sem estudo, chuta uma única opção?
Numa criação de coelhos, 40% são machos. 
Qual a probabilidade de que nasçam três coelhos machos num dia que nasceram 20 coelhos? 
Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos dois coelhos machos num dia que nasceram 20 coelhos? 
Durante um ano particular 70% das ações negociadas na Bolsa de Valores de Nova York tiveram aumentadas suas cotações enquanto que 30% tiveram diminuídas ou estáveis. No começo do ano, um serviço de assessoria financeira escolhe 10 ações, qual a probabilidade:
todas as ações tenham suas cotações aumentadas
ao menos 8 ações tenham suas cotações aumentadas
menos do que 4 ações tenham sua cotação aumentada.
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON:
Quando Aplicar:
	Em situações similares à Binomial com p muito pequeno e n muito grande
	Quando determinado tipo de evento ocorre ao longo do tempo e precisamos saber o número de ocorrências em um dado intervalo de tempo
	Utiliza apenas o número médio de eventos por unidade de tempo.
Exemplos de Aplicação: 
Número de carros que passam num cruzamento por minuto
Número de defeitos por peça fabricada
Número de mortes por ataque de coração
Problemas de fila de espera
Em muitos casos é conhecido o número de sucessos, porém o número de fracassos ou o total de provas não se conhece o que torna a aplicação da Distribuição Binomial impossível.
Exemplo: Automóveis que passam numa esquina. Pode-se num intervalo de tempo anotar o número de carros que passam porém o número de carros que não passam não pode ser determinado, assim como o total de carros que passam.
Fórmula:
Onde ( = número médio de ocorrências e 
 e = número de Neper = 2,7182818...
Exemplos:
A requisição de um item de estoque ocorre em média 4 vezes por dia. Qual a probabilidade de que sejam requisitados 6 itens em um só dia?
Em média 12 pessoas por hora consultam um especialista em decoração de uma fábrica. A probabilidade de que 3 ou mais pessoasconsultem o especialista durante um período de 10 minutos é:
Uma fotocopiadora tem em média uma parada a cada 2.000 cópias. Seja X o número de paradas a cada 2.000 cópias. Qual a probabilidade de X ser maior que 2 ?
AXIOMAS DE PROBABILIDADE
AXIOMAS DE PROBABILIDADE - EXEMPLOS
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
VARIÁVEL ALEATÓRIA
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
�PAGE �
_1396717508.unknown
_1397995965.unknown
_1397997336.unknown
_1397998245.unknown
_1397998749.unknown
_1460127893.unknown
_1397998720.unknown
_1397997608.unknown
_1397996496.unknown
_1397996662.unknown
_1397996899.unknown
_1397996035.unknown
_1397995088.unknown
_1397995114.unknown
_1397995197.unknown
_1396717686.unknown
_1113896511.xls
Gráf1
		1
		0.67
		0.6
		0.6
		0.56
		0.51
		0.54
		0.55
nro de jogadas
probabilidade
Plan1
		1		1
		3		0.67
		5		0.6
		20		0.6
		25		0.56
		100		0.51
		110		0.54
		200		0.55
Plan1
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
nro de jogadas
probabilidade
Plan2
		
Plan3
		
_1340895979.xls
Gráf1
		0.125
		0.375
		0.375
		0.125
X
P(X)
Plan1
		0		0.125
		1		0.375
		2		0.375
		3		0.125
Plan1
		
X
P(X)
Plan2
		
Plan3
		
_1341052972.unknown
_1396252455.unknown
_1341052965.unknown
_1340895655.xls
Gráf1
		0.25
		0.5
		0.25
X
P(X)
Plan1
		0		0.25
		1		0.5
		2		0.25
Plan1
		
X
P(X)
Plan2
		
Plan3
		
_1340895957.xls
Gráf1
		0.1
		0.2
		0.4
		0.3
Plan1
		-10%		10%
		0%		20%
		12%		40%
		25%		30%
Plan1
		
Plan2
		
Plan3
		
_1144066106.xls
Gráf1
		0.125
		0.75
		0.125
X
P(X)
Plan1
		0		* 0.125				-2		0.2
		1		0.75				-1		0.2
		2		0.125				0		0.2
								3		0.2
								5		0.2
Plan1
		
X
P(X)
Plan2
		
Plan3
		
_1144066243.xls
Gráf2
		0.2
		0.2
		0.2
		0.2
		0.2
Y
P(Y)
Plan1
		0		* 0.125				-2		0.2
		1		0.75				-1		0.2
		2		0.125				0		0.2
								3		0.2
								5		0.2
Plan1
		
X
P(X)
Plan2
		
Y
P(Y)
Plan3
		
		
_1111408089.unknown
_1112254706.unknown
_1112256107.unknown
_1112257891.unknown
_1111408127.unknown
_1111407369.unknown
_1111407663.unknown
_1111406835.unknown