Derformção elástica e plástica- Resistência dos Materiais II

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Faculdade Estácio de Sergipe 
 
 
 
FORÇA CORTANTE E MOMETO FLETOR 
E TENSÃO MÁXIMA DE FLEXÃO 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 
 
 
Mercia M. P. Gambarra 
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FLEXÃO 
Vigas e eixos são importantes elementos estruturais e mecânicos usados em 
projetas de engenharia . Neste unidade, determinaremos a tensão provocada 
nesses elementos por conta da flexão . 
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Força Cortante (V) 
 
Forças que tendem a produzir um efeito de corte, isto é, tendem a 
deslizar relativamente as partes do corpo numa direção paralela á 
superfície virtual de corte. 
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Momento Fletor (M) 
 
Ocorre uma deformação na direção perpendicular a da força atuante, 
ou seja, tende a girar relativamente as parte do corpo em torno de um 
eixo paralelo à superfície virtual de corte. 
Diagrama de força cortante e momento fletor 
Devido às cargas aplicadas, as vigas desenvolvem força 
cortante (cisalhante) interna e momento fletor que, em geral, 
variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga. A fim 
de projetar a viga adequadamente é necessário primeiro 
determinar o cisalhamento e o momento máximo na viga. Um 
modo de fazer isso é expressar V e M como funções de uma 
posição arbitrária x ao longo do eixo da viga. Essas funções 
e momentos são então aplicadas e representadas por 
gráficos denominados diagramas de força cortante e 
momento fletor. 
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Passos para a construção de diagramas de forças 
cortantes e momento fletor 
1) Passo 1 – Fazer o diagrama de corpo livre (DCL) 
2) Passo 2 – Cálculo das reações de apoio utilizando as 3 equações 
de equilíbrio. 
3) Passo 3 – definir as seções principais 
Definiremos as seções principais da seguinte forma: 
 
a) Inicio e término de uma carga distribuída; 
 
b) Onde houver a ocorrência de uma carga concentrada ou reação de apoio, 
afinal estas também são cargas concentradas. 
 
c) Se houvesse uma carga momento deveríamos definir neste ponto também 
uma seção para análise do momento fletor, visto que o que ocorre com a carga 
concentrada e seus efeitos no cortante, ocorre também em relação ao gráfico 
de momento fletor. No caso do exemplo analisado não há a presença de carga 
momento localizada. Assim temos, quatro seções principais a analisar: 
 
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4) Passo 4 – Posicionar a viga com DCL (DIAGRAMA DE CORPO 
LIVRE) e os eixos sobre os quais serão traçados os diagramas 
esforço cortante e momento fletor. 
5) Passo 5 – Calcular e Marcar os esforços de cortante e fletor 
(ordenadas) 
5.1) Ordenadas de cortante 
Obs: Se nós isolarmos uma 
seção de uma viga e a 
resultante das forças 
anteriores a essa seção 
for positiva, então o 
cortante será positivo. 
5.1.1) Cálculo dos 
cortantes nas seções (da 
esquerda para a direita 
da viga) 
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5.2) Ordenadas de Momento Fletor 
No caso do cálculo dos momentos fletores, o faremos considerando apenas as 
seções principais. Se na viga, houvesse uma carga momento aplicada, então 
também deveríamos analisar as seções infinitamente próximas à esquerda e à 
direita. 
Para o cálculo do momento fletor consideraremos como positivo aquele 
momento que traciona as fibras inferiores e negativo os que tracionam as 
fibras superiores. 
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No caso seguinte, a tração se dá nas fibras superiores. Perceba a diferença. 
5.2.1) Cálculo dos momentos fletores nas seções (da esquerda para a 
direita da viga) 
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No caso seguinte, a tração se dá nas fibras superiores. Perceba a diferença. 
5.2.1) Cálculo dos momentos fletores nas seções (da esquerda para a 
direita da viga) 
6) Passo 6 – Traçado dos diagramas de esforço cortante e momento 
fletor (Plotagem dos diagramas) 
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Exemplo: Seja dada a viga isostática abaixo. Traçar os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor. 
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Exemplo: Seja dada a viga isostática abaixo. Traçar os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor. 
Exemplo: Seja dada a viga isostática abaixo. Traçar os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor. 
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Deformação por flexão de um elemento reto 
 
•A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga 
se deforma por flexão. 
 
•Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão 
de compressão do outro lado. 
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1) O eixo longitudinal x, que se 
encontra no interior da superfície 
neutra (Figura a), não sofre qualquer 
mudança no comprimento. Mais 
exatamente, o momento tenderá a 
deformar a viga de modo que essa 
linha toma-se uma curva localizada 
no plano de simetria x-y (Figura b ). 
Premissas em relação ao modo como a tensão 
deforma o material 
2) Todas as seções transversais da 
viga permanecem planas e 
perpendiculares ao eixo longitudinal 
durante a deformação. 
3) Qualquer deformação da seção 
transversal dentro de seu próprio 
plano, como observamos na Figura b, 
será desprezada 
OBS: O eixo z, que se encontra no 
plano da seção transversal e em 
torno do qual a seção transversal 
gira, é denominado eixo neutro 
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Então, observando o elemento em destaque na figura; 
 A seção gira ao redor 
do eixo neutro 
Percebemos, que a deformação 
normal (ε) é função linear ao longo 
de y: 
 
Logo por semelhança; 
 
 
 
 
Ps:.As ctes c e εmax são tomados positivos, logo 
colocamos o sinal (-) pois nesta configuração Y>0 
causa ε<0 . 
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Formula da Flexão 
A variação linear da deformação vista anteriormente, 
 
 
 
 
 
é causada por uma variação linear na tensão normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ps:.c e σmax tb são cts tomados positivos, logo 
 colocamos o sinal (-) pois nesta configuração Y>0 causará σ<0. 
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Formula da Flexão 
Vamos obter a posição do eixo neutro ‘z’ (origem y=0) , que deve manter força 
resultante nula na área total da seção; 
 
Para isso consideramos um elemento Da sujeito à força dF=σdA e integramos 
em toda área: 
 
 (momento de 1º ordem da área deve ser nulo). Substituindo 
 
em (coordenada do centroide), temos , 
 
exigindo centroide e eixo neutro coincidindo em y=0. 
Formula da Flexão 
O elemento tb estará sujeito a um momento dM=ydF, (positivo pela 
regra da mão direita) o momento resultante interno na seção (M) é 
dado pela ntegração; 
 
 
 
 
 
 
 
 (a integral é o momento 2º ordem da seção em torno 
 
do eixo neutro (I) ). Finalmente escrevemos a fórmula da flexão: 
 
 ou considerando a variação linear da tensão acima: 
 
Ps:. Aqui não mantemos o sinal (-) pois fazemos aplicação de M>0(regra da mão direita polegar 
em z>0) 
Ps:O sinal de σmax deve 
ser avaliado. 
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EXEMPLO 1: viga tem seção transversal retangular e está sujeita à 
distribuição de tensão mostrada na Figura . Determine o momento interno M 
na seção provocado pela distribuição de tensão pela fórmula da flexão. 
EXEMPLO 2: A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal 
mostrada na figura abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na 
viga.