Cálculo 1 - Mauro Patrão

um ponto de f e xA sua coordenada horizontal (Sec¸a˜o 1.1). A Figura 1.8 ilustra o
domı´nio de f como a sombra que f projetaria no eixo 0x sob o sol de meio dia. De forma
ana´loga, a imagem da func¸a˜o f e´ a sua projec¸a˜o horizontal sobre o eixo 0y
im(f) = {yA : A ∈ f} ⊂ R,
onde yA e´ a coordenada vertical do ponto A (Sec¸a˜o 1.1). A Figura 1.8 descreve a imagem
de f como a sombra que f projetaria no eixo 0y sob o nascer do sol.
Figura 1.8. O domı´nio e imagem da func¸a˜o f .
Em geral, quando queremos enfatizar o domı´nio e a imagem de uma dada func¸a˜o f ,
denotamos a func¸a˜o por f : dom(f)→ im(f). Quando desconhecemos a imagem de f , mas
sabemos que a imagem esta´ contida num conjunto A, denominado um contra-domı´nio de f ,
denotamos isto por f : dom(f)→ A. Observamos que a reta R e´ sempre um contra domı´nio
para qualquer func¸a˜o real.
Figura 1.9. O valor de f em x.
Para cada x ∈ dom(f), definimos f(x) ∈ R, denominada o valor de f em x, como a
coordenada vertical do u´nico ponto comum a f e a reta vertical vx. A Figura 1.9 representa
o valor de f em x como a altura de f sobre o ponto x. Com esta definic¸a˜o, a func¸a˜o f pode
ser descrita por
f = {(x, f(x)) : x ∈ dom(f)}
1.2. FUNC¸O˜ES REAIS 15
e sua imagem pode ser descrita por
im(f) = {f(x) : x ∈ dom(f)}.
Se f e´ uma reta, ela satisfaz o teste da reta vertical se e so´ se ela na˜o e´ uma reta vertical.
Portanto se f e´ uma reta na˜o vertical ela e´ uma func¸a˜o real, denominada func¸a˜o afim. Se
f e´ uma func¸a˜o afim, enta˜o seu domı´nio e sua imagem coincidem com a reta R, como e´
mostrado pela Figura 1.10.
Figura 1.10. Exemplo de uma func¸a˜o afim.
Em geral, se os pontos A e B pertencem a` func¸a˜o afim f , utilizando semelhanc¸a de
triaˆngulos (§186 [1]), temos que
f(x)− yA
x− xA = a =
yB − yA
xB − xA
para todo x ∈ R, onde a e´ denominado coeficiente angular. Temos que o valor de f em x e´
dado enta˜o por
f(x) = ax+ b = yA + a(x− xA)
onde b = f(0) e´ denominado coeficiente constante. Esta expressa˜o de f(x) e´ denominada
alge´brica, pois e´ descrita atrave´s de x, utilizando-se as operac¸o˜es dos nu´meros reais. Se a
func¸a˜o afim f passa pela origem A = (0, 0), temos enta˜o que f(x) = ax.
No exemplo seguinte, vamos mostrar que uma para´bola e´ de fato uma func¸a˜o real. Uma
para´bola e´ o conjunto dos pontos p cuja distaˆncia e´ constante em relac¸a˜o a uma dada
reta horizontal hg, denominada reta geratriz, e a um dado ponto F fora dela, denominado
ponto focal, como ilustrado pela Figura 1.11. Se o ponto A = (x, y) pertence a p, enta˜o
d(A,F ) = d(A, hg). Pelo Teorema de Pita´goras (§198 [1]), a distaˆncia entre A e F , em
termos de suas coordenadas, satisfaz a equac¸a˜o
d(A,F )2 = (x− xF )2 + (y − yF )2 (1.3)
e, pela definic¸a˜o de distaˆncia de um ponto a uma reta (§89 [1]), temos que
d(A, hg)
2 = (y − g)2. (1.4)
Igualando os termos a` direita das equac¸o˜es (1.3) e (1.4), desenvolvendo os quadrados e
simplificando, obtemos que
2(yF − g)y = (x− xF )2 + y2F − g2.
16 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
Figura 1.11. A para´bola e´ uma func¸a˜o.
Como o ponto focal F na˜o esta´ sobre a geratriz hg, temos que yF − g 6= 0 e podemos
obter a seguinte expressa˜o para a coordenada vertical do ponto A
y =
1
2(yF − g)
(
(x− xF )2 + y2F − g2
)
, (1.5)
o que mostra claramente que A e´ o u´nico ponto de p que esta´ sobre a reta vertical que passa
por xA. Portanto p e´ de fato uma func¸a˜o real e A = (x, p(x)). Desenvolvendo a equac¸a˜o
(1.5), obtemos que
p(x) = ax2 + bx+ c
onde
a =
1
2(yF − g) ,
b
a
= −2xF e c
a
= x2F + y
2
F − g2.
Como a expressa˜o alge´brica de p(x) e´ um polinoˆmio em x, a para´bola p e´ denominada func¸a˜o
polinomial. Quando F = (0, 1
4
) e g = −1
4
, temos que a = 1 e b = c = 0. Neste caso,
p(x) = x2
e a para´bola p e´ chamada de poteˆncia.
Dado um polinoˆmio em x
p(x) = anx
n + · · ·+ a1x+ a0,
temos que o conjunto
p = {(x, p(x)) : x ∈ R}
e´ uma func¸a˜o, denominada func¸a˜o polinomial. E quando p(x) = xn tambe´m dizemos que p
e´ uma poteˆncia n-e´sima.
Em geral, dada uma expressa˜o alge´bica f(x) de x, definimos a func¸a˜o
f = {(x, f(x)) : x ∈ dom(f(x))} (1.6)
onde domf(x), denominado domı´nio natural de f(x), e´ o maior conjunto de nu´meros reais
onde a expressa˜o alge´bica f(x) esta´ definida. Este procedimento e´ uma das maneiras mais
1.2. FUNC¸O˜ES REAIS 17
utilizadas para se construir func¸o˜es reais. Frequentemente, por economia de notac¸a˜o, deno-
tamos a func¸a˜o f : dom(f(x))→ R definida pela equac¸a˜o (1.6) simplesmente pela expressa˜o
alge´bica f(x) utilizada em sua definic¸a˜o.
Por exemplo, se p(x) e q(x) sa˜o polinoˆmios em x, a func¸a˜o r(x) =
p(x)
q(x)
e´ o conjunto
r = {(x, r(x)) : q(x) 6= 0}
e e´ denominada func¸a˜o racional. O domı´nio de r(x) e´ o maior conjunto de nu´meros reais
onde a expressa˜o alge´bica r(x) esta´ definida, ou seja, todos os x tais que q(x) e´ diferente de
zero.
Em certas situac¸o˜es, e´ necessa´rio considerar func¸o˜es definidas por expresso˜es alge´bricas
em domı´nios que sa˜o distintos do seu domı´nio natural. Por exemplo, atrave´s de certos
princ´ıpios f´ısicos e dos instrumentos do Ca´lculo, sera´ demonstrado que a seguinte expressa˜o
polinomial
s(t) = s0 + v0t− g t
2
2
,
bem conhecida dos estudantes do ensino me´dio, fornece de fato a posic¸a˜o no instante t de
um corpo C arremessado verticalmente no instante inicial t0, com uma velocidade inicial v0
e a partir de uma posic¸a˜o inicial s0, onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade local e o atrito com
o ar e´ desconsiderado, como ilustrado pela Figura 1.12.
Figura 1.12. Posic¸a˜o de um corpo arremessado verticalmente na Lua.
O domı´nio natural de s(t) e´ a reta R, mas evidentemente esta expressa˜o descreve o
movimento do corpo C apenas enquanto o mesmo se move livremente no ar. Se tF e´ o
instante final do movimento livre do corpo C, o domı´nio de s(t) a ser considerado e´ o
intervalo fechado
[t0, tF ] = {t ∈ R : t0 6 t 6 tF}
e devemos denotar explicitamente a func¸a˜o movimento por s : [t0, tF ]→ R.
Em certos casos, e´ necessa´rio considerarmos func¸o˜es cuja expressa˜o alge´brica se altera de
uma parte para a outra do seu domı´nio. Tais func¸o˜es sa˜o denominadas definidas por partes.
Por exemplo, uma corrente estaciona´ria percorrendo um fio retil´ıneo F , de sec¸a˜o transversal
circular de raio r0, gera um campo magne´tico cuja intensidade, num dado ponto do espac¸o,
18 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
e´ uma func¸a˜o I(r) da distaˆncia r do ponto ao eixo do fio, cuja expressa˜o e´ dada por
I(r) =

r
r20
, se 0 6 r < r0
1
r
, se r > r0.
A func¸a˜o I : R+ → R e´ ilustrada pela Figura 1.13.
Figura 1.13. Campo magne´tico em func¸a˜o da distaˆncia a um fio retil´ıneo.
Concluiremos esta´ sec¸a˜o definindo as principais operac¸o˜es entre func¸o˜es reais. Sejam f e
g duas func¸o˜es reais. A func¸a˜o
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
e´ denominada soma de f mais g e seu domı´no natural e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios de f e g.
De forma ana´loga, definimos o produto de f vezes g por
(fg)(x) = f(x)g(x),
onde seu domı´no natural e´ tambe´m a intersec¸a˜o dos domı´nios de f e g. No caso do quociente
de f por g, definido por (
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
,
o domı´nio natural sa˜o os pontos comuns aos domı´nios de f e g, excluindo-se os pontos tais
que g(x) = 0. Finalmente, definimos a composic¸a˜o de f com g por
(f ◦ g)(x) = f(g(x)),
cujo domı´nio sa˜o os pontos x ∈ R que pertencem ao domı´nio de g tais que suas imagens
g(x) pertencem ao domı´nio de f . Enquanto a soma e o produto de func¸o˜es sa˜o operac¸o˜es
comutativas, o mesmo na˜o ocorre com o quociente e a composic¸a˜o de func¸o˜es.
1.2.1 Exerc´ıcios
1) Sejam f(x) = x2 e g(x) = x + 2.