Mecânica da Particula - Aula / Unip / 2°Semestre / Engenharia

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Cinemática 
A cinemática é a parte da física que descreve os movimentos dos corpos a partir de conceitos como posição, 
velocidade e aceleração. 
O que causa esse movimento é analisado pela Dinâmica, outra parte da física. 
Vamos definir alguns conceitos necessários para a compreensão da cinemática. 
 
Repouso e Movimento 
Consideramos um ponto material em repouso em relação a certo referencial quando as coordenadas deste 
ponto não variam no decorrer do tempo neste referencial. 
Ex: Uma pessoa sentada em um carro, sua posição em relação ao carro não muda, então a pessoa está em repouso em 
relação ao carro, independente de o carro estar ou não em movimento em relação à Terra. 
Consideramos um ponto material em movimento em relação a certo referencial quando as coordenadas deste 
ponto variam no decorrer do tempo neste referencial. 
Ex: Pense na mesma pessoa dentro do mesmo carro, mas agora vamos considerar o carro em movimento em relação à 
Terra, assim a pessoa que está em repouso em relação ao carro, estará em movimento em relação à Terra. 
 
Posição 
A determinação da posição de um ponto material (P) é feita em relação a um sistema de referencias que para 
nós será um sistema cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa posição é expressa através da distância entre a origem da trajetória e o ponto ocupado pelo ponto 
material. Entretanto se seguirmos esta definição podemos marcar dois pontos ao longo da mesma trajetória que estará 
à mesma distância da origem da trajetória, um no sentido positivo e outro no sentido negativo da trajetória. 
 
Desta forma, para que não tenhamos dúvidas na marcação devemos indicar a orientação da trajetória 
utilizando sinal de positivo (+) ou negativo (-). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
x 
z 
P( x,y,z) 
x 
y 
x 
y P( x,y) 
S = 0 
S = +1 
S = +2 
S = +3 
S = - 1 
S = - 2 
S = - 3 
Sentido positivo Sentido negativo 
y 
Trajetória 
 
Um ponto material ao se mover em relação a certo referencial ocupa sucessivamente várias posições, que 
unidas formam uma curva que recebe o nome de trajetória. 
Ex: Uma pessoa descendo de esqui na neve, o risco que ela deixa na neve é a sua trajetória. 
 
Percurso (Deslocamento) 
 
Percurso ou Deslocamento de um objeto é a diferença entre a posição inicial e a posição final do ponto 
material no movimento que está sendo estudado. 
∆� = ������	
 − ��������	
	 
Esse Deslocamento pode, ou não, coincidir com a distância percorrida pelo objeto. 
Ex: Uma criança andando de bicicleta em uma pista marca um X no chão da pista com um pedaço de tijolo e ali inicia 
seu passeio. A criança anda 200m para a frente retorna e volta os mesmos 200m parando no mesmo X que desenhou. 
A criança efetivamente andou 400m, ou seja, a distância percorrida foi de 400m. Entretanto, como a posição 
inicial e final do movimento são a mesma, o Percurso ou Deslocamento é ZERO! 
 
Função Posição 
 
A função posição é aquela onde a posição do ponto material é dada em função do tempo. 
S(t) = 5.t
2
 + 4.t – 3 
S(t) = – 4.t + 6 
S(t) = – 3.t
3
 + 2.t
2
 – 7 
Qualquer uma das funções acima representa uma função da posição em relação ao tempo. 
 Para saber a posição do móvel num dado instante basta substituir o instante dado na equação do movimento. 
 
Velocidade Média 
 
Sendo ∆� o deslocamento, ou percurso, do móvel entre os instantes de tempo �		�		� + ∆� . A velocidade 
média é dado por : 
�� =	
∆�
∆�
= 	
�����	 	− 	�������	 	
�����	 	− 		�������	
=
� − ��
� − ��
 
 
Relação entre unidades de Velocidade: 
 
�
�
		→ 		
��
�
				⇒		× 3,6																																													
��
�
	→ 	
�
�
			⇒	÷ 3,6	 
 
Velocidade Instantânea 
 
Para definirmos a Velocidade Instantânea devemos fazer o nosso intervalo de tempo cada vez menor 	∆� → 0, assim a 
velocidade instantânea será dada por : 
���
 = 	 lim
∆"→�
	�� =			 lim
∆"→�
		
∆�
∆�
= 	�#��
 							↔ 					���
 	= 	 �#��
	 
 
Aceleração Média 
 
Sendo ∆� a diferença entre as velocidades instantâneas V ( t +∆t ) e V ( t ) , ∆V = V ( t + ∆t ) – V ( t ) a 
aceleração média do ponto material é dada por: 
%� =	
∆�
∆�
= 	
�����	 	− 	�������	 	
�����	 	− 		�������	
=
� − ��
� − ��
 
 
Aceleração Instantânea 
 
Para definirmos a Aceleração Instantânea devemos fazer o nosso intervalo de tempo cada vez menor 	∆� → 0, assim a 
Aceleração instantânea será dada por : 
 %��
 = 	 lim∆"→� 	%� =			 lim
∆"→�
		
∆&
∆"
=	�#��
 							↔ 					%��
 	= 	�#��
 
 
Vamos resolver um exercício de exemplo (Exercício da página 17 da apostila) 
 
O movimento de um ponto material é dado pela equação horária: 
 
S(t) = 5t
3 
- 4t
2
 + 8t - 2 (SI) 
Pedem-se: 
a) A posição da partícula nos instantes de tempo 1s e 4s 
b) O percurso da partícula no intervalo de tempo de 1s a 4s 
c) A velocidade escalar média da partícula no intervalo de tempo de 1s a 4s 
d) A equação da velocidade em função do tempo 
e) A equação da aceleração em função do tempo 
f) A aceleração média no intervalo de tempo de 1s a 4s 
 
Resolução: 
 
a) A posição da partícula nos instantes de tempo 1s e 4s 
 
S(t) = 5t
3 
- 4t
2
 + 8t – 2 
 
Devemos, para determinar a posição da partícula, substituir o valor numérico do instante de interesse na 
equação da posição. 
 
S(1) = 5(1)
3 
– 4(1)
2
 + 8(1) – 2 
S(1) = 5.1 – 4.1 + 8 – 2 = 7m 
 
S(4) = 5(4)
3 
– 4(4)
2
 + 8(4) – 2 
S(4) = 5.64 – 4.16 + 8.4 – 2 
S(4) = 320 – 64 + 32 – 2 = 286m 
 
b) O percurso da partícula no intervalo de tempo de 1s a 4s 
O percurso ou deslocamento da partícula é determinado por ∆� = ������	
 − ��������	
	 
∆S = S – S0 = S(4) – S(1) = 286 – 7 = 279m 
 
c) A velocidade escalar média da partícula no intervalo de tempo de 1s a 4s 
Para definir a velocidade média devemos determinar as posições nos instantes inicial e final e substituir 
na fórmula 
�� =	
∆�
∆�
= 	
�����	 	− 	�������		
�����	 	− 		�������	
=
� − ��
� − ��
 
 
�� =	
289 − 7
4 − 1
=
279
3
= 93-// 
 
 
d) A equação da velocidade em função do tempo 
 
Para determinar a equação da velocidade em função do tempo devemos derivar a equação da posição em função 
do tempo 
 
 V(t) = S’(t) 
 
S(t) = 5t
3 
- 4t
2
 + 8t – 2 
S’(t) = 5.3t
3-1
 – 4.2t
2-1
 + 8.1t
1-1 
+ 0 
S’(t) = 15t
2
 – 8t
1
+8t
0
 → (t
0 
= 1) 
 
V(t) = 15t
2
 – 8t + 8 
 
e) A equação da aceleração em função do tempo 
 
Para determinar a equação da aceleração em função do tempo devemos derivar a equação da velocidade em 
função do tempo 
 
a(t) = V’(t) 
 
V(t) = 15t
2
 – 8t + 8 
V’(t) = 15.2t
2-1
 – 8.1t
1-1
 + 0 
V’(t) = 30t – 8t
0 
→ (t
0 
= 1) 
 
a(t) = 30t – 8 
 
f) A aceleração média no intervalo de tempo de 1s a 4s 
Para definir a aceleração média devemos determinar as velocidades nos instantes inicial e final e 
substituir na fórmula 
 
%� =	
∆�
∆�
= 	
�����	 	− 	�������		
�����	 	− 		�������	
=
� − ��
� − ��
 
 
Para determinar a velocidade da partícula num determinado instante devemos substituir o valor desejado 
na equação da velocidade V(t) 
 
V(t) = 15t
2
 – 8t + 8 
 
V(1) = 15(1)
2
 – 8(1) + 8 
V(1) = 15 – 8 + 8 = 15m/s 
 
V(4) = 15(4)
2
 – 8(4) + 8 
V(4) = 15.16 – 8.4 + 8 
V(4) = 240 – 32 + 8 = 216 m/s 
 
%� =
216− 15
4 − 1
=
201
3
= 67-//1 
 
Agora resolva os seguintes exercícios e anote as dúvidas se surgirem para serem trabalhadas na próxima 
aula. 
 
1) Um ponto material se desloca seguindo a equação horária do espaço: 
 
S(t) = 2+ 4t – 2t
2
 + 3t
3
 (SI) 
Determine: 
a) A posição da partícula nos instantes de tempo 0s e 5s 
b) O percurso da partícula no intervalo de tempo de 0s a 5s 
c) A velocidade escalar média da partícula no intervalo de tempo de 0s a 5s 
d) A equação da velocidade em função do tempo 
e) A equação da aceleração em função do tempo 
f) A aceleração média no intervalo de tempo de 0s a 5s 
 
 
2) Uma partícula se movimenta seguindo a equação horária do espaço: 
 
S(t) = 5 + 4t +3t
3
 (SI) 
Determine: 
a) A equação da aceleração em função do tempo 
b) A aceleração média no intervalo de tempo de 2s a 5s 
 
 
3) Uma partícula se movimenta seguindo a equação horária do espaço: 
 
S(t) = 8 + 5t +2t
3
 (SI) 
Pedem-se: 
a) A equação da aceleração em função do tempo 
b) A aceleração média no intervalo de tempo de 1s a 5s 
c) A aceleração do móvel no instante t = 4s 
 
4) Uma partícula se movimenta seguindo a equação horária da velocidade: 
 
V(t) = 4t
3
 – 2t + 5 (SI) 
Pedem-se: 
a) A equação da aceleração em função do tempo 
b) A aceleração média no intervalo de tempo de 0s a 4s 
c) A aceleração do móvel no instante t = 5s 
 
Respostas: 
 
Exercício 1 
a) S(0) = 2 m S(5) = 347 m 
b) ∆S = 345 m 
c) Vm = 69 m/s 
d) V(t) = 4 – 4t+9t
2
 
e) a(t) = – 4 + 18t 
f) am = 41 m/s
2
 
 
Exercício 2 
a) a(t) = 18t 
b) am = 63 m/s
2
 
Exercício 3 
a) a(t) = 12t 
b) am = 36 m/s
2
 
c) a(4) = 48m/s
2
 
 
Exercício 4 
a) a(t) = 12t
2
 – 2 
b) am = 62 m/s
2
 
c) a(5) = 298 m/s
2