Mecânica da Particula - Aula / Unip / 2°Semestre / Engenharia

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Antes de iniciarmos nosso estudo vamos definir alguns conceitos importantes. 
 
� Corpo Rígido 
Um corpo rígido pode ser considerado o 
conjunto de partículas agrupadas de forma 
que a distância entre as partes que 
constituem o corpo ou o sistema não sofram 
mudança, ou seja, essas partículas não se 
alteram para um referencial fixado no 
próprio corpo. 
Quando o transatlântico está manobrando 
no porto ele é considerado um corpo rígido, 
pois as partículas agrupadas que formam o 
navio não sofrem mudança, ou seja, essas 
partículas não se alteram para um 
referencial fixado no próprio navio. 
O corpo rígido executa os movimentos de rotação, 
translação ou os dois de forma combinada. 
 
� Ponto Material 
Um ponto material possui massa, mas suas dimensões 
(comprimento, altura e largura) podem ser desprezadas. 
 
Quando o transatlântico está em alto mar ele é considerado 
um ponto material. 
 
 
 
� Grandeza Escalar: 
 
É aquela grandeza que quando indicamos apenas o valor numérico e a unidade de sua medida temos 
informação suficiente para o entendimento da mesma. 
Ex.: Tempo; se dissermos: “Nos encontraremos em 5 minutos” todos compreendem perfeitamente a 
informação. 
Mais alguns exemplos: Massa, Temperatura, Pressão, Trabalho. 
 
� Grandeza Vetorial 
 
É aquela grandeza que para se ter a informação completa precisamos dizer mais que o valor numérico e a 
unidade da grandeza física. 
Se dissermos: “Para chegar ao seu destino é só seguir 10km” essa informação não esta completa, pois a pessoa 
não saberá em que direção deve seguir os 10km, nem em que sentido. Imagine que você esta a beira de uma 
rodovia e pergunta para alguém e o informante diz: “Para chegar ao seu destino é só seguir 10km na rodovia” 
Certo, mas ainda falta alguma coisa!!! O que é?!?! O sentido! Em que sentido da rodovia você deve seguir 
10km? Então a informação completa deve ser do tipo: “Para chegar ao seu destino é só seguir 10km na 
rodovia sentido Norte” . Agora sim... você pode seguir viagem. 
Ex.: Deslocamento, Velocidade, Aceleração, Força. 
 
Para representarmos as grandezas vetoriais utilizamos um vetor que é um segmento de reta orientado. 
 
 
 
Falaremos muito sobre força no nosso curso, então vamos defini-la também. 
 
� Força 
Uma Força é o resultado da interação entre corpos. Ela pode produzir equilíbrio, variação de velocidade ou 
deformação. É puxão ou empurrão. 
A Força é uma grandeza vetorial, através da qual se quantifica a interação entre esses dois corpos. 
As unidades de medida de força são: 
 
No SI →	N	�newton
	 	 	 	 As	relações	entre	essas	medidas	são:	No	CGS			 →	dyn	�dina
	 	 	 	 1	kgf		=		9,8	N 
No MKS →	kgf	�kilograma-força
 1 N = 105 dyn 
 
Chamamos de Força Resultante (FR) a força que sozinha produz o mesmo efeito da ação de várias forças sobre 
um mesmo corpo. É a força que resulta da soma de todas as forças que agem sobre o corpo. 
 
� Princípio da Inércia (1ª Lei de Newton) 
Uma partícula sob força resultante nula mantém-se em equilíbrio estático, ou seja, ou a partícula está parada 
ou em movimento retilíneo uniforme com velocidade vetorial constante. 
$%&&&&' = 	0 
 
� Princípio Fundamental da Dinâmica (2ª Lei de Newton) 
A resultante das forças aplicadas sobre um ponto material é igual ao produto da sua massa pela aceleração 
adquirida. 
$%&&&&' = ) ∙ 	+' 
 
Esse princípio nos diz que um corpo em repouso necessita da aplicação de uma força para que possa se 
movimentar (variar sua velocidade), e para que um corpo que está em movimento pare é necessária a 
aplicação de uma força. 
 
� Princípio da Ação e Reação (3ª Lei de Newton) 
Sempre que um corpo A aplica uma força de ação $',- sobre um corpo B, este aplica sobre o corpo A uma 
força de reação $'-, . 
As forças de ação e reação são sempre de mesma natureza, ou seja, se força de ação é de contato sua força de 
reação também deve ser de contato; se força de ação é de campo sua força de reação também deve ser de 
campo. 
As forças de ação e reação tem mesmo módulo (mesmo valor numérico), mesma direção (mesma linha de 
ação) e sentidos opostos. 
 
Vamos definir agora alguns tipos de forças 
 
� Força Peso (Natureza: força de campo) 
Todos os corpos próximos à superfície terrestre ou de qualquer corpo celeste, ficam sujeitos à ação da força de 
campo gravitacional, essa força chamamos de Força Peso ou simplesmente Peso �.&'
. Tal força sempre atua no 
sentido de aproximar o corpo para da superfície. O peso é definido por: 
 
 .&' = ) ∙ /' (vetorial) 
 . = ) ∙ / (algébrico) 
 
0	&&&' 
Percebemos então que, o peso de um corpo pode variar dependendo do campo gravitacional no qual ele está 
inserido. O mesmo corpo terá pesos diferentes se estiver no campo gravitacional terrestre ou lunar. Em contra 
partida sua massa sempre será constante. 
 
 
 
 
 
 
� Força Normal (Natureza: força de contato) 
Sempre que houver compressão entre duas superfícies surgirá uma força perpendicular a elas denominada 
Força Normal �1&&'
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Força Peso e a Força Normal 
 NÃO FORMAM 
 um par ação e reação. 
 
 
 
 
 
� Força de Tração 
É a força trocada entre um corpo e um fio ideal e sua ação é sempre no sentido de puxar o corpo com o fio. 
Fio ideal é aquele fio inextensível, flexível e de massa desprezível. Ele transmite a força de uma extremidade 
à outra. 
 
 
 
 
 
Em um fio ideal: 
.&' 
−.&' 
1&&' 
−	1&&' 
1&&' 
−	1&&' 
1&&' −	1&&' 
3&' 
3&',	 3&'-	 $'	 
A B 
43&',4 	= 	 43&'-4 
−	1&&' 
1&&' 
−.&' 
.&' 
Ɵ
F 
x 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antes de iniciarmos o estudo de Dinâmica vamos 
aprender a trabalhar com vetores. 
Temos que aprender a decompor os vetores, e para 
isso utilizaremos as relações trigonométricas. 
O gráfico ao lado mostra um vetor $' que forma um 
ângulo Ɵ com o eixo x. 
 
 
 
As componentes de um vetor são determinadas pela 
sombra do vetor em cada um dos eixos cartesianos. 
Então trace linha paralelas aos eixos x e y que 
passem pela extremidade do vetor F. O tamanho 
definido em cada um dos eixos será a componentes 
de F neste eixo. 
Como mostra a figura ao lado. 
 
 
 
 
Se movimentarmos a componente Fy para a posição 
indicada na figura ao lado podemos visualizar um 
triangulo retângulo. Esse triângulo será utilizado 
para escrevermos as funções seno e cosseno do 
ângulo Ɵ e assim poderemos escrever as 
componentes Fx e Fy. 
Ɵ
F 
x 
y 
Fx 
Fy 
Ɵ
F 
x 
y 
Fx 
Fy Fy 
Ɵ
Cateto 
oposto ao 
ângulo Ɵ 
 
Cateto adjacente ao ângulo Ɵ 
Olhando para o triângulo retângulo vamos escrever as funções trigonométricas e definir as componentes do vetor. 
 
 
 
 
Quando trabalhamos com um sistema de forças, em equilíbrio ou não, é muito difícil que tenhamos apenas uma força, 
então precisamos aprender a trabalhar com mais de uma força aplicada no mesmo ponto. 
Vamos iniciar nossos estudos com um sistema onde estão aplicadas 
três forças, $	&&&'5	, $	&&&'6	7		$	&&&'8	 como mostra a figura ao lado e determinar a 
força resultante ($'%
 deste sistema. 
 
Dados: 
$	&&&'5	 = 201 $	&&&'6 = 501	 $	&&&'8 = 301 
 
O primeiro passo é identificarmos no desenho quais 
as forças estão fora do eixo e iniciarmos a decomposição 
dessas forças. Neste caso é necessário decompor as forças $	&&&'5	, $	&&&'6. 
Não é necessário decompor a força $	&&&'8 pois a mesma está sobre o eixo Y. 
 
Determinamos as decomposições dos vetores F1 e F2 utilizando 
as funções trigonométricas seno e cossenodos ângulos marcados 
em cada uma das forças 
 
 
cos 30° = $5>$5 	→ 	$5> = $5 . cos 30°	 
sen 30° = $5@$5 	→ 	$5@ = $5 . sen 30° 
cos 60° = $6>$6 	→ 	$6> = $6 . cos 60°	 
sen 60° = $6@$6 	→ 	$6@ = $6 . sen 60° 
Nas equações das componentes vamos substituir os valores numéricos conhecidos, são eles: 
- valores das forças que foram dados e , 
- valores de seno e cosseno dos ângulos que determinamos com a calculadora científica. 
y 
x 
$8&&&&' 
60° 30° 
y 
x 
$	&&&'3 
60° 30° 
$5>&&&&&&' 
$5@&&&&&&' 
$6>&&&&&&' 
$6@&&&&&&' 
 $5> = $5 . cos 30° 		→ 	$5> = 20.0,866	 → 	$5> = 17,32	1				 
$5@ = $5 . sen 30° 	→ 	$5@ = 20.0,5						 → 	$5@ = 10,001 
$6> = $6 . cos60°	 → 	$6> = 50.0,5						 → 	$6> = 25,001 
$6@ = $6 . sen 60° 	→ $6@ = 50.0,866		 → $6@ = 43,301 
Vamos lembrar que a força F3 é igual a 30N e que não precisa 
ser decomposta pois está sobre o eixo Y. 
 
Agora que conhecemos os valores numéricos das componentes das forças 
Vamos montar as equações da força resultante (FR) de cada eixo 
 
Analisando primeiramente o eixo X, temos: 
 
Para a direita no eixo X a componente F1x e para a esquerda a componente F2x. 
Assim a força resultante no eixo X que chamaremos de FRX será a soma de todas as forças que estão no eixo X, cada 
uma entra na equação com o sinal correspondente ao sentido do eixo, ou seja: 
 $%D =	$5D −	$6D = 17,32 − 25,00	 → 	$%D =	−7,681 
 
Agora, analisando o eixo Y, temos: 
 
Para cima as componentes F1Y e F2Y e para baixo a força F3. 
Assim a força resultante no eixo Y que chamaremos de FRY será a soma de todas as forças que estão no eixo Y, cada 
uma entra na equação com o sinal correspondente ao sentido do eixo, ou seja: 
 $%E =	$5E +	$6E 	− 	$8 = 10,00 + 43,30 − 30,00 →	$%E = 	23,301 
Até neste ponto nós calculamos a força resultante em cada um dos eixos X e Y. 
Como a resultante FRX deu um valor negativo, isso significa que essa força está sendo aplicada no sentido negativo do 
eixo X (para a esquerda) e a resultante FRY deu positiva, então essa força está aplicada no sentido positivo do eixo Y 
(para cima), a representação gráfica dessas forças vemos abaixo: 
 
 
Até aqui então aprendemos que podemos substituir todas as 
três forças iniciais F1 , F2 e F3, por duas forças FRX e FRY 
colocadas sobre os eixos. 
Mas o que realmente queremos é determinar uma força 
resultante, ou seja, poder substituir todas as três forças iniciais 
por apenas uma força resultante, para isso precisamos calcular 
a força resultante entre as componentes FRX e FRY. 
 
 
 
y 
x 
$	&&&'3 
60° 30° 
$5>&&&&&&' 
$5@&&&&&&' 
$6>&&&&&&' 
$6@&&&&&&' 
y 
x $%>&&&&&&' 
$%@&&&&&&' 
Para determinarmos a força resultante entre FRX e FRY devemos visualizar a representação gráfica da soma deste 
vetores, como segue abaixo: 
Percebam que na figura da direita temos as componentes FRX e FRY sendo somadas e resultando na força FR, na figura 
da direita movimentamos o vetor FRY de forma a conseguirmos visualizar um triangulo retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos lembrar do Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 
 
 
Desta forma, como chegamos nos resultados 
$%D =	−7,681 e $%E = 	23,301, agora vamos calcular FR 
$%6 = $%D6 +	$%E6 = �−7,68
6 + �23,30
6 = 58,98 + 542,89 = 601,87		 
$%6 = 601,87	 → 	$% =	√601,87 →	$% = 	24,53	1 esse resultado significa que podemos substituir as três forças 
iniciais por apenas uma força de 24,53N mas precisamos indicar a direção desta força, ou seja, o ângulo entre esta 
força e o eixo X. 
Para calcularmos o ângulo devemos novamente olhar para um triângulo retângulo e utilizar uma das relações 
trigonométricas. Agora utilizaremos a tangente. 
 
 
 
 
 
Dessa forma: 
H/I = 	 JKLMLN	NONPLNJKLMLN	KQRKJMSLM 		→ H/I = TUVTUW 	→ H/I = X68,8YZ[,\]X → H/I = 3,03 
I 
y 
x $%>&&&&&&' 
$%@&&&&&&' 
I 
y 
x $%>&&&&&&' 
$%@&&&&&&' $%@&&&&&&' 
b 
c 
Ɵ
Cateto 
oposto ao 
ângulo Ɵ 
Cateto adjacente ao ângulo Ɵ 
I 
y 
x $%>&&&&&&' 
$%@&&&&&&' $%@&&&&&&' 
Este é o valor da tangente do angulo Ɵ, para sabermos o valor do ângulo Ɵ devemos utilizar a função arco tangente 
que na calculadora é representada por tg -1 ou atg, dependendo do modelo da sua calculadora. 
I = H/Z5�3,03
 → I = 71,74° 
Assim a força resultante da ação das 3 forças iniciais, será FR = 24,53N aplicada com um ângulo de 71,74º como 
mostra a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora sim, vamos começar nosso estudo de Mecânica, ramo da Física que estuda o estado de repouso ou de 
movimento de corpos sujeitos à ação de forças. 
A mecânica é dividida em: 
 - mecânica dos corpos rígidos 
 - mecânica dos corpos deformáveis 
 - mecânica dos fluídos 
A mecânica dos corpos rígidos é ainda subdividida em: 
 
 
 
 
 
 
Neste semestre estudaremos a parte da DINÂMICA ... 
 
 
Agora vocês devem fazer os exercícios de revisão. 
ESTÁTICA 
Corpos em repouso 
Trata do equilíbrio dos corpos 
Corpos em movimento com 
velocidade constante 
DINÂMICA Trata do movimento acelerado dos corpos 
$%&&&&' = 	0 
$%&&&&' = ) ∙ 	+' 
 
71,74° 
y 
x 
y 
x 
$8&&&&' 
60° 30° 
1) Decomposição Vetorial: A intensidade da força F é indicada nas figuras. Calcule suas componentes nas direções 
horizontal e vertical. 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
2) Converta as unidades indicadas na tabela, conforme o exemplo. 
25 N kgf 
19 kgf N 
57 N dyn 
 
3) Resolução de Sistemas Lineares 
a) ^_ =
>
6 − 3` = @6 + 3																													a = b�2,−2
c 
 
b) d ` + 5_ = 9` − 10_ = −9																						a = ef3, \ghi 
 
c) d_ = 2` + 3_ − 5` = 9																													a = b�−2,−1
c 
 
d) d _ − 4` = 6_ = 10` + 18																													a = b�−2,−2
c 
 
e) ^ ` + 2_ + 3j = 22` − _ + j = −1−2` − 3_ + 3j = −11													a = b�1	, 2	, −1
c Tente resolver o sistema 3x3, não é tão diferente!!! 
F 
x 
y 
 53º 
Fx = 
 
Fy = 
Fx = 
 
Fy = F 
x 
 65° 
y 
4$'4 = 801 
4$'4 = 501