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CAPÍTULO 01 - ÁLGEBRA VETORIAL 
1 – VETORES 
 Algumas grandezas são definidas apenas pelo seu valor ou módulo. Por exemplo, 2h 
definem exatamente uma medida de tempo; 80 Kg define a medida de massa de um corpo; 20º 
define bem uma temperatura. Essas grandezas são chamadas de grandezas escalares. 
 Um outro tipo de grandezas exigem além do módulo, uma direção e um sentido para a sua 
perfeita identificação. Estas grandezas são chamadas de grandezas vetoriais. Por exemplo: um 
avião voa a 400 km/h na direção norte-sul, no sentido norte. Outro exemplo: Fazer uma força de 
lKgf sobre uma mesa na direção vertical no sentido de cima para baixo. Representa-se 
graficamente uma grandeza vetorial usando um segmento de reta orientado (fig.1) ao qual 
chamamos de vetor. 
 
Na figura 1, A é a origem e B a extremidade do vetor. 
Para indicar que um elemento é um vetor usamos: 
a. uma letra minúscula encimada por uma seta, 
b. indicação da origem e extremidade encimada por uma seta, 
 
O módulo do vetor é representado pelo comprimento do segmento. A direção é 
definida pela reta suporte do vetor enquanto que o sentido é determinado pela seta. 
Indicamos o módulo do vetor por | |. 
Observações: 
1) Um vetor é livre, isto é, tem por origem qualquer ponto no espaço. 
 
 
 
 Fig.2 
 
2) Um vetor é deslizante quando sua origem pertence obrigatoriamente a 
 uma reta que funciona como reta suporte do mesmo. 
 
 r 
 Fig.3 
Tipos de Vetores 
 
1) Vetor nulo: é o vetor de comprimento zero. Assim se ( A origem coincide 
com a extremidade. 
 
2) Vetor unitário: é o vetor de comprimento 1. 
 
3) Vetor oposto: o vetor oposto do vetor é o vetor . O vetor oposto 
possui mesmo comprimento, mesma direção, mas sentido contrário ao de . 
v
B 
A 
 
 
 
 - Fig.4 
4) Vetores colineares ou paralelos: São vetores que possuem mesma direção e 
indica-se por wvu //// . 
 
 Fig.5 
5) Vetores iguais: dois vetores que possuem o mesmo comprimento, mesma 
direção e mesmo sentido e indica-se por . 
 
 
6) Vetores Coplanares: dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano 
onde estes vetores estão representados, 
 
 
 Fig.6 
7) Obs.Dois vetores são sempre coplanares. Três vetores são não coplanares 
quando dois deles formam um plano (são não paralelos) e o terceiro vetor tem 
um único ponto comum com esse plano. 
 
8) Vetores ortogonais (perpendiculares) : são dois vetores que formam entre si 
um ângulo reto. 
 
 
u
 
 
 
u
 
 
 Fig.7 
9) Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo 
sentido de . Por exemplo, consideremos o vetor de módulo 3. Os vetores e 
 são vetores unitários. No entanto, o vetor tem a mesma direção e o 
mesmo sentido de . Dizemos que é o versor de . 
 
v
v
v v
u 
 
v
P 
 
 
v
u
 
w
 
 
 
 
 
1u
 
 
 
2u
 
 Fig.8 
 
 
 
Multiplicação de Número Real por Vetor. 
 
 Dado um vetor 0 e um número real 0, chama-se produto do número real 
 pelo vetor , o vetor tal que = tal que: 
.1) tem vezes o tamanho de . 
 2) Se < 0, tem sentido contrário ao de . 
 3) Se > 0, tem mesmo sentido de . 
 
Exemplos: 
 
 
 
 , > 0 
 
, < 0, 
 
Observação: A cada vetor , 0, é possível associar dois vetores unitários 
 paralelos a . O vetor unitário - v
v
ou 
v
v de mesmo sentido de . O Vetor 
é 
v
v é o versor de . 
Exemplo: Se = 3, o versor de é 
3
v 
v
v
v v
v
v v
v v
v
v v
 
 
 Sejam e 
u
 R3 e m e n R, o produto do número real por vetor admite as 
seguintes propriedades: 
 
I) Comutativa: m . = . m 
II) Associativa: m . (n. ) = (m . n). 
III) Distributiva: (m + n). = m . + n. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é 
verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 
 
RESP: a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V 
 k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V 
2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada 
uma das afirmações abaixo: 
 
coplanaressãoFGABi EG e , )
 
) , e HF j EG CB são coplanares
   
coplanares são FG e DB,AC)k
 
coplanares são CF e BG,AB)l
 
coplanares são CF e DC,AB)m
 
ABC plano ao ortogonal é ) AEn
 
v
v v
v v
v v v
BCAF)d
CGAB)c
HGAB)b
BFDH)a
 
coplanaressãoBCABh
EDBGg
DFAGf
HFACe
 CG e ,)
//)
||||)
)
 
EDDE)e
MCBL)d
OPBC)c
PHAM)b
OFAB)a
 
FG//AJ)j
LD//JO)i
HI//AC)h
FIKN)g
MGAO)f
 
AMPN)o
NBPN)n
ECPE)m
BLAM)l
EGAB)k
 
|BL||AM|)t
NP2AO)s
|AC||AJ|)r
MFIF)q
|FP||AC|)p
 
BCG plano ao ortogonal é AB)o
 
HEF. plano ao paralelo é ) DCp
 
 RESP: a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F i)V j)V 
k)V l)F m)V n)V o)V p)V 
3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o ponto de 
interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das 
afirmações: 
 
 
DHOH)e
BOOC)d
HGDO)c
CHAF)b
OGEO)a
 
HG//GF)j
CD//AF)i
DB
2
1
OA)h
BDAC)g
COEH)f
 
FEOB)o
HFAO)n
CBEO)m
OHAB)l
OC//AO)k
 
 RESP: a)V b)F c)V d)V e)F f)F g)V h)V 
 i)V j)F k)V l)V m)V n)F o)V 
4)Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no 
ponto A: 
AKAC)d
DCAC)c
BDAB)b
CNAC)a
 
OEAO)h
ANAK)g
BLAM)f
EOAC)e
 
PBBNBL)l
NFPNLP)k
CBBC)j
NPMO)i
 
 RESP: a)
AN
 b)
AD
 c)
AB
 d)
AO
 e)
AM
 f)
AK
 
 g)
AH
 h)
AI
 i)
AC
 j)
AC
 k)
AE
 l)
0 
5)Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no 
ponto A: 
 
EHBF)c
DEBC)b
CGAB)a
 
FBEF)f
EHCG)e
BCEG)d
 
FHDAEG)h
AEADAB)g 
RESP: 
AF)a
 
AE)b
 
HA)c
 
AB)d
 
AH)e
 
AF)f
 
AG)g
 
AD)h6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem 
no ponto A: 
 
AF2AE2)c
FGEH)b
CHOC)a
 
OC2OE2)f
BGEO)e
EFEH)d
 
FGFE)h
EHBC
2
1
)g 
AOFOAF)j
HOOG)i 
 RESP: 
AE)a
 
AC)b
 c)
AC
 
AB)d
 
AO)e
 
AD)f
 
AH)g
 
AD)h
 
AO)i
 
AC)j
 
7)Determine as somas que se pedem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RESP: 
ACe) BGd)2 BGc)2 EFb) AC)a
. 
 
Vetores no espaço ( R3) 
 
 No espaço, consideraremos a base canônica {
kji ,,
} como aquela que irá 
determinar o sistema cartesiano ortogonal Oxyz. 
Onde: 
 
)0,0,1(i
 
 
)0,1,0(j
 
 
)1.0,0(w
 são três vetores unitários e simultaneamente perpendiculares 
 entre si. 
 
 
 
 
GCFGEFAE)e
BHBGFGEFHE)d
BCBGBF)c
BFDBED)b
AGHBGCDHCDAD)a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O eixo Ox (eixo das abscissas) corresponde ao vetor 
i
 
O eixo Oy (eixo das ordenadas) corresponde ao vetor 
j
 
O eixo Oz (eixo das cotas) corresponde ao vetor 
k
 
 
 Assim, a cada ponto P(x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor 
OP
 = 
kzjyix
, isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as 
componentes do vetor 
OP
 na base canônica. 
 
Exemplo: Representar o vetor = 
OP
, onde =(3, 2, 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O vetor = 
kzjyix
, também será expresso por = (x, y, z) 
 
 
 
v v
v v
 
8)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos 
coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, 
sabendo que A (2, –1,2). 
 
RESP: B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5) 
 
Definições: 
i) Soma de vetores 
Definimos a soma dos vetores 
),,( 111 zyxu
 e 
),,( 222 zyxv
, como sendo: 
 
),,( 212121 zzyyxxvu 
 
 
ii) Vetores iguais 
 Dois vetores 
),,( 111 zyxu
 e 
),,( 222 zyxv
 são iguais se, e somente se: 
 x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2. 
Exemplo: Determinar x,y e z para que se tenha (2-x,3+y, 3z-2) = (5,2,4) 
iii) Produto de um escalar por vetor 
Dado o vetor 
),,( 111 zyxu
 e R, define-se produto por um escalar, como sendo:
 
),,( 111 zyxu 
 
 
iv) Vetores representados fora da origem 
Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então: 
 
),,( 121212 zzyyxxABAB 
 
v) Paralelismo de Vetores 
Se os vetores 
),,( 111 zyxu
 e 
),,( 222 zyxv
 são paralelos, então: 
 
u k v
 ou 
1 1 1
2 2 2
x y z
k
x y z 
Exemplo 
 
Observe que o vetor tem a mesma direção que o vetor e o vetor tem sentido 
contrário ao sentido de de . 
Obs. Se uma das coordenadas for ,igual a zero, a coordenada correspondente do outro 
vetor também será igual a zero. 
vi) Módulo de um vetor 
 O módulo do vetor =(x, y, z) é dado por: 
 
222 zyxvouv
, se é um vetor do espaço ou 
 
2 2v ou v x y
, se é um vetor do plano 
Calcular os módulos de , e 3 . Observe que o módulo de é a metade do módulo 
de e o módulo de -3 é o triplo do módulo de . 
vii) Combinação linear de vetores 
Dizemos que um vetor é combinação linear de n vetores se 
. 
Exemplo: (10,13,16) = 2(1,2,3) – 2(2,3,4) + 3(4,5,6), logo, o primeiro vetor é combinação 
linear dos outros três. 
ix) Vetores coplanares 
Dois vetores são sempre coplanares (podem ser colineares ou não colineares). Três 
vetores , dois a dois não colineares, são coplanares se um deles for combinação 
linear dos outros dois, ou seja, 
Observação: são coplanares, então 
: 
v
x) Combinação linear de 4 vetoresSejam três vetores 
 do espaço tridimensional, não nulos e não coplanares. 
Qualquer vetor pode ser expresso como combinação linear de , e : 
 
EXERCÍCIOS 
9) Determine x para que se tenha , sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e 
D(2x,x+6). RESP: x=2 
10) Determinar x, sabendo-se paralelos 0s vetores: 
a) = (1,3,10) e = (-2,x,-20) 
b) = (0,2,x) e = (0,3,6) 
a) = e 
11) Sendo A,B,C e D vértices consecutivos de um paralelogramo, calcular as 
coordenadas do vértice D. 
Dados: A(1,3), B(5,11) e C(6,15) RESP: D(2,7) 
12) Provar que os pontos A(3,1,5), B(2,0,1) e C(4,2,9) são colineares. 
Sugestão: os vetores C-A e B-A devem ser paralelos. 
13) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e 
outro paralelo ao vetor (1,1). RESP: x = 3 e y = 4 
14) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que: a) b) . 
RESP: a) x = 1 e y = 2 b)x = e y =3 
15)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no 
sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? 
RESP: (9,7,11) 
16) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar: 
 a)os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de 
mesmo comprimento; 
 b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de 
mesmo comprimento. 
RESP: 
 
17)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor v do ³, calcular sua terceira 
coordenada z, de maneira que v = 13. RESP: z= 3 
18)Sejam os pontos M(1, 2, 2) e P(0, 1,2), determine um vetor colinear à e tal que 
 . 
RESP: 6
4
,
6
1
,
6
1
v 
 
19)Achar um vetor de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor 
. RESP: 
 
20) Sejam .Determine um versor dos vetores 
abaixo: a) RESP: 
 
21) Determine um vetor da mesma direção de e que: 
 a) tenha norma (módulo) igual a 9; 
 b) seja o versor de ; 
 c) tenha módulo igual a metade de ; 
RESP: 
 
22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são 
 .Calcule as coordenadas dos outros três vértices. 
RESP: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3) 
 
23)Sabendo que A(1, 1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o 
quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados. 
 
Produto Escalar 
Definição 1: Sejam os vetores . O produto escalar entre esses vetores, denotado por 
 , é um número real determinado por , 
onde q é o ângulo entre . 
Definição2:Se , então 
 
Propriedades 
1) se, e somente se, um deles for o vetor nulo ou se são ortogonais 
). 
2) Comutativa: 
3) 
4) 
5) 
6) , pois o primeiro membro é um vetor paralelo a e o segundo 
membro é um vetor paralelo a 
 
Exemplo (1): Sejam (-2,3,8), (0,2,-1) e (1,-2,1) 
a) Determine 
b) Os vetores são ortogonais? 
Solução: a) 2 0 3 2 8 (-1) 0 6 -8 2 => 2 
b) Para que os vetores sejam ortogonais é necessário que 0 
 De fato, 
 2 1 3 (-2) 8 1 2 -6 8 0 
 
 
Interpretação geométrica do produto escalar 
 
À projeção de sobre , denominaremos x .. 
 cosθ = => x => => x , ou seja, o produto escalar 
dos vetores é igual ao produto da projeção do vetor sobre o vetor pelo vetor . 
 
24) Sendo 
u
 = ( 2,3,1) e 
v
 = ( 1,4, 5) . Calcular: 
 a)u
 v
 b) (
u
 – v )² c)(u + v )
2 d) (3
u
 – 2v )
2 e) (2
u
 -3v ) (u +2v )
 
 RESP: a) 19 b) 18 c)94 d)66 e) –205 
25)Sendo 
a
 =(2,–1,1), 
b
 =(1,–2,–2) e 
c
 =(1,1,–1). Calcular um vetor 
v
 =(x,y,z), tal que 
v
 
a
 = 4, 
v
 
b
 = –9 e 
v
 
c
 = 5. RESP: 
v
 =(3,4,2) 
26)Sejam os vetores 
a
 =(1,–m,–3),
b
 =(m+3,4–m,1)e 
c
 =(m,–2,7).Determinar m para que 
a

b
 =(
a

+
b
 )
c
 . RESP: m=2 
27) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e 
C(a+1,–2,3). RESP: –1 ou 
5
13
 
28) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: 
a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual? 
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores 
AC e BD
. 
 RESP: a) Paralelogramo b) 
01arccos 102 36 44,22
21
. 
29) Os vetores 
u
 e 
v
 formam um ângulo de 600. Sabe-se que 
u
 =8 e 
v
 =5, calcule: 
 a) 
u
 +
v
 b) 
u
 –
v
 c) 2
u
 +3
v
 d) 4
u
 – 5
v
 
 RESP: a)
129
 b)7 c)
721
 d)
849
 
30) Os vetores 
a
 e 
b
 formam um ângulo de 1500, sabe-se que 
a
 =
3
 e que 
b
 =
2
, 
Calcule: 
 a) 
a
 +
b
 b) 
a
 –
b
 c) 3
a
 +2
b
 d) 5
a
 – 4
b
 
 RESP: a)
235
 b)
235
 c) 
21835
 d)
260107
 
31)Determinar o valor de x para que os vetores 
1v
 = x i –2
j
 +3k e 
2v
 =2 i –
j
 +2k , sejam 
ortogonais. RESP: x=–4 
32)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 
a
 =(2,6,–1) e 
b
 =(0,–2,1). 
 RESP: 
3
2
,
3
1
,
3
2
c 
 
33)Dados 
a
 =(2,1,–3) e 
b
 =(1,–2,1), determinar o vetor 
v

a
 ,
v

b
 e 
v
 =5. 
 RESP: 
1 ,1 ,1 
3
35
v
 
34)Dados dois vetores 
a
 =(3,–1,5) e 
b
 =(1,2,–3), achar um vetor 
x
 , sabendo-se que ele é 
perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: 
x

a
 =9, e 
x

b
 =–4. 
MULTIPLICAÇÃO VETORIAL OU EXTERNA 
 
 Sendo o vetor onde se encontra a perna direita do boneco, o vetor da perna esquerda e 
 o vetor que passa pela cabeça, dizemos que nesta ordem formam um triedro 
positivo. 
Definição: Definimos o produto vetorial ou externo de ao vetor com as seguintes 
características: 
I) Módulo: , onde é o ângulo entre 
II) Direção: Perpendicular ao plano que contém . 
III) formam um triedro positivo. 
Expressão cartesiana do Produto Vetorial: Sendo , 
 
Propriedades 
1. qualquer se seja . 
2. × = , qualquer se seja 
3. × = - × (propriedade anti-comutativa) 
Por isso, dados é umtriedro positivo e é um 
triedro negativo 
4. (~u + ~v) × ~w = ~u × ~w + ~v × ~w (propriedade distributiva em rela¸c˜ao 
`a soma) 
5. (λ~u) × ~v = ~u × (λ~v) = λ(~u × ~v) (propriedade linear em rela¸c˜ao `a 
multiplica¸c˜ao por escalar). 
6. ~u (~u × ~v) = 0 e ~v (~u × ~v) = 0. 
7. Se ~u e ~v s˜ao unit´arios e ortogonais, ent˜ao {~u,~v, ~u × ~v} ´e base 
ortonormal positiva. 
 
Exercícios 
35) Dados os vetores 
u
 =( –1,3,2),
v
 =(1,5,–2) e 
w
 =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores: 
 a) 
u
 v
 b) 
v

w
 c) 
v
 (
u
 w
 ) 
 d) (
v

u
 )
w
 e)(
u
 +
v
 ) (
u
 +
w
 ) f) (
u
 –
w
 )
w
 
 RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)( 24, 72,48) e)(24,0,64) 
 f)(–3,–13,18) 
36)Determinar o vetor 
x
 , paralelo ao vetor ao vetor 
w
 =(2,–3,0) e tal que 
x
 
u
 =v , onde u =(1,–
1,0) e 
v
=(0,0,2). RESP: 
x
 =(4.–6,0) 
37) Determinar o vetor 
v
 , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2, 3,1) e ao vetor b
=(1, 2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 
10)k7j2i(v
. RESP: 
1,5,7v
 
38)Determinar 
v
, tal que 
v
 seja ortogonal ao eixo dos y e que 
wvu
,sendo 
)1,1,1(u
e 
)1,1,2(w
. RESP: 
v
=(1,0,1) 
39) Dados os vetores 
1v

=(0,1, 1), 
2v

=(2,0,0) e 
3v

=(0,2, 3).Determine um vetor 
v
 , tal que 
v
 // 
3v

 e 
v
 
1v

=
2v

. RESP: 
v
 =(0,4, 6) 
40)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 
1v
 =(–1,–1,0) e
2v
 =(0,–1–1). 
 RESP: 
1,1,1
3
1
 
41) Ache 
u
 tal que 
u
 =
33
e 
u
 é ortogonal a v =(2,3, 1) e a w =(2, 4,6). Dos u encontrados, 
qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0). RESP: 3,3,3u 
42)São dados os vetores 
1v
 = (1,1,1), 
2v
 =(–1,2,3) e 
3v

=(26,6,8). Decompor o vetor 
3v

 em dois 
vetores 
x
 e 
y

 ortogonais entre si, sendo 
x
 simultaneamente ortogonal a 
1v
 e a 
2v
 . 
RESP: 
x
 =(1,–4,3) e 
y
 =(25,10,5) 
43) Dado o vetor 
1v
 =(3,0, 1).Determine o vetor v =(x,y,z), sabendo-se que v é ortogonal ao eixo 
OX, que 
v
 
1v
 = 146 , e que v
1v
 = 4. RESP: