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ME-100 (Fundamentos de Ca´lculo) — Prova 1
1. Sejam X e Y duas proposic¸o˜es. Para provar que a afirmac¸a˜o “ambas as
proposic¸o˜es sa˜o verdadeiras” na˜o e´ verdadeira, precisamos provar que
(a) X e Y sa˜o falsas;
(b) exatamente uma proposic¸a˜o entre X e Y e´ falsa;
(c) pelo menos uma proposic¸a˜o entre X e Y e´ falsa;
(d) X e´ verdadeira se e somente se Y e´ falsa;
(e) X na˜o implica em Y , e Y na˜o implica em X;
(f) no ma´ximo uma proposic¸a˜o entre X e Y e´ verdadeira.
No cada item, indique se esta´ correto (e´ equivalente a aquilo que queremos pro-
var), errado (na˜o implica naquilo que queremos provar), ou demasiado forte (im-
plica, mas na˜o e´ equivalente).
2. Construa as tabelas-verdade para as seguintes func¸o˜es:
(a) f(x, y) = ¬(y ⇒ x);
(b) g(x, y, z) = (z ⇒ ¬(y ∨ x)).
No item (a) calcule tambe´m a forma normal disjuntiva.
3. Lista todos os elementos do conjunto
A = {(x, y) : x, y ∈ N, 3 ≤ x+ y < 14, x e´ primo, y e´ divis´ıvel por 3}.
4. Sejam A, B e C conjuntos. Prove que C \ (A ∩B) = (C \ A) ∪ (C \B).
5. Usando a induc¸a˜o, mostre que para qualquer n ≥ 1
12 + 32 + 52 + · · ·+ (2n− 1)2 = n(4n
2 − 1)
3
.