Logo Passei Direto

A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
7 pág.
AD3_Gabarito

Pré-visualização | Página 1 de 2

Questão 1 [3,0 pts]: 
A relação corrente–voltagem para um diodo semicondutor é dada por 
𝑖 = 𝑖𝑆(𝑒
𝛼𝑉 𝑇⁄ − 1), (1.1) 
onde 𝑉 é a diferença de potencial entre os terminais do diodo, 𝑖 é a corrente que o atravessa , 𝑖𝑆 é uma constante 
característica do diodo, 𝑇 é a sua temperatura absoluta e 𝛼 ≅ 1,160 × 104 K V⁄ é uma constante universal. O 
diodo é então ligado em série com um resistor de resistência 𝑅, sendo ambos alimentados por uma FEM ideal 
ℰ, formando um circuito de uma só malha. Considerando apenas o limite 𝛼ℰ ≫ 𝑇, 
a) mostre que a diferença de potencial entre os terminais do diodo pode ser aproximada por [1,5 pts] 
𝑉 ≈
𝑇
𝛼
ln (1 +
ℰ
𝑅𝑖𝑆
). 
b) Se ℰ = 3,00 V, 𝑅 = 10,0 Ω, 𝑇 = 298 K e 𝑖𝑆 = 1,50 mA, determine a resistência elétrica do diodo. [1,0 
pts] 
c) Por qual fator essa resistência seria multiplicada se a FEM fosse dobrada? [0,5 pts] 
Solução: 
a) Como o diodo, o resistor e a FEM formam um circuito de uma só malha, pela lei das malhas 
poderemos escrever 
ℰ − 𝑉 − 𝑅𝑖 = 0 ⟹ ℰ − 𝑉 − 𝑅𝑖𝑆(𝑒
𝛼𝑉 𝑇⁄ − 1) = 0, (1.2) 
onde usamos o resultado (1.1) (como só temos uma malha, a corrente que passa pelo diodo é a mesma 
que passa pelo resistor). Para prosseguirmos é conveniente (mas não obrigatório) redefinirmos as 
variáveis e constantes na equação (1.2), a saber, 
𝐴 =
𝛼ℰ
𝑇
, 𝐵 =
ℰ
𝑅𝑖𝑆
e 𝑥 =
𝑉
ℰ
. (1.3) 
Em termos das novas quantidades em (1.3), a equação (1.2) toma a forma: 
𝐵 − 𝐵𝑥 − (𝑒𝐴𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝐵𝑥 + 𝑒𝐴𝑥 = 1 + 𝐵. (1.4) 
Para encontrarmos a voltagem no diodo, precisamos resolver a equação (1.4) para 𝑥. Como se trata 
de uma equação transcendental, não há como expressar uma solução exata para ela. Contudo, em 
certos limites, podemos obter uma solução aproximada. Do enunciado do problema, temos 𝛼ℰ ≫
𝑇 ⟹ 𝐴 ≫ 1. Ainda, como o diodo é um dispositivo passivo (no sentido de que não funciona como 
uma fonte), temos que |𝑉| ≤ ℰ ⟹ |𝑥| ≤ 1. Restringindo-nos aos valores positivos de 𝑉, quando a 
RESOLUÇÃO DA TERCEIRA AVALIAÇÃO A DISTÂNCIA 
Princípios e Fenômenos Eletromagnéticos – 
2014.1 
Escola de Ciências e Tecnologia – UFRN 
26-04-2014 
 
polaridade do diodo está no mesmo sentido da corrente (com a polaridade invertida, o diodo não 
deixa passar corrente), os valores de 𝑥 estarão restritos ao intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
Isto posto, o primeiro passo para encontrar um valor aproximado de 𝑥 que satisfaça a equação (1.4) 
é considerar as contribuições relativas dos termos 𝑔(𝑥) = 𝐵𝑥 e ℎ(𝑥) = 𝑒𝐴𝑥 do lado esquerdo da 
equação. Ambas as funções 𝑔 e ℎ são crescentes para quaisquer intervalos do domínio e, como 𝐴 ≫
1, é razoável supor que, para valores realísticos de 𝐵 (aqueles para os quais 𝐵 ≪ 𝑒𝐴), temos 𝑒𝐴𝑥 ≫
𝐵𝑥 para qualquer 𝑥 > 0, de maneira que a equação (1.4) pode ser aproximada por 
𝑒𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 ≈ 𝑒𝐴𝑥 ≈ 1 + 𝐵 ⟹ 𝑥 ≈ 𝑥0 =
1
𝐴
ln(1 + 𝐵) ⟹
𝑉
ℰ
≈
1
𝛼ℰ 𝑇⁄
ln (1 +
ℰ
𝑅𝑖𝑆
) ⟹ 
𝑉 ≈
𝑇
𝛼
ln (1 +
ℰ
𝑅𝑖𝑆
), (1.5) 
como queríamos demonstrar. 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
DISCUSSÃO COMPLEMENTAR 
Na obtenção do resultado (1.5), supusemos que 𝑒𝐴𝑥 ≫ 𝐵𝑥 para qualquer 0 < 𝑥 < 1 desde que 𝐴 ≫ 1. Contudo, não levamos em 
conta os possíveis valores de 𝐵 = ℰ (𝑅𝑖𝑆)⁄ , ou melhor, não especificamos quais valores de 𝐵 são realísticos e quais não são. Será que 
(1.5) se aplica para qualquer valor de 𝐵? Quão razoável é a suposição que levou ao resultado (1.5)? 
Para responder a essas perguntas, lembremos que a tarefa de encontrar os valores de 𝑥 que satisfaçam à equação (1.4) é a mesma que 
a de encontrar os pontos que anulam a função 
𝑓(𝑥) = 𝐵𝑥 + 𝑒𝐴𝑥 − (1 + 𝐵). (i) 
Para saber se 𝑥 = 𝑥0 =
1
𝐴
ln(1 + 𝐵) é uma boa aproximação para o valor verdadeiro 𝑥 = 𝑥𝑒 , que satisfaz exatamente à equação 
𝑓(𝑥𝑒) = 0, consideremos um valor 𝑥 = 𝑥1 que é uma aproximação melhor que 𝑥0 para 𝑥𝑒 , ou seja, |𝑓(𝑥0)| > |𝑓(𝑥1)| ≈ 0. Se 
𝑥0 é uma boa aproximação para 𝑥𝑒 , esperamos então que a diferença 𝛿𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 seja desprezível em relação a 𝑥0, isto é, |𝛿𝑥| ≪
𝑥0, de maneira que pouca diferença haverá em tomar 𝑥1 ou 𝑥0 como aproximações satisfatórias para 𝑥𝑒 . Para 𝛿𝑥 suficientemente 
pequeno, podemos escrever 
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥0 + 𝛿𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0) + 𝑓
′(𝑥0)𝛿𝑥 ≈ 0 ⟹ 𝛿𝑥 ≈ −
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
, (ii) 
onde 𝑓′(𝑥0) é a derivada de 𝑓(𝑥) avaliada em 𝑥 = 𝑥0. Usando o fato de que 𝑒
𝐴𝑥0 = 1 + 𝐵, da equação (i), teremos 
𝛿𝑥 ≈ −
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
= −
𝐵𝑥0
𝐵 + 𝐴(1 + 𝐵)
⟹
|𝛿𝑥|
𝑥0
≈
1
1 + (1 +
1
𝐵) 𝐴
. (iii) 
Note que, do resultado (iii), independentemente do valor de 𝐵, |𝛿𝑥| ≪ 𝑥0 se 𝐴 ≫ 1. De fato, é fácil ver que o erro relativo |𝛿𝑥| 𝑥0⁄ 
é uma função crescente de 𝐵, o que significa que quanto maior for 𝐵 maior será |𝛿𝑥| 𝑥0⁄ e, por conseguinte, maior é o erro cometido 
substituindo-se 𝑥𝑒 por 𝑥0 em (i). No pior caso, quando 𝐵 → ∞, o erro relativo é dado por 
lim
𝐵→∞
|𝛿𝑥|
𝑥0
≈
1
1 + 𝐴
⟹
|𝛿𝑥|
𝑥0
<
1
1 + 𝐴
≪ 1 se 𝐴 ≫ 1. (iv) 
Portanto, do resultado (iv), a suposição de que 𝑒𝐴𝑥 ≫ 𝐵𝑥 para 𝐴 ≫ 1 se justifica inteiramente, independentemente dos valores de 
𝐵: a hipótese de que 𝐵 seja realístico, ou seja, 𝐵 ≪ 𝑒𝐴, é desnecessária. Logo, a aproximação para 𝑉 dada em (1.5) está, de fato, 
correta. 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
b) A resistência elétrica 𝑅𝐷 do diodo será dada por 
𝑅𝐷 =
𝑉
𝑖
. (1.6) 
Para sabermos se podemos usar o resultado anterior para 𝑉 precisamos calcular a constante 𝐴 e ver 
se 𝐴 ≫ 1. Usando os dados numéricos do problema: 
𝐴 =
𝛼ℰ
𝑇
=
1,160 × 104
K
V ∙ 3,00 V
298 K
≅ 117, 
que é ≫ 1. Logo, podemos usar o resultado (1.5), ou seja, 
𝑉 ≈ ℰ𝑥0. (1.7) 
 A corrente 𝑖 pode ser obtida a partir de (1.2): 
𝑖 =
ℰ − 𝑉
𝑅
≈
ℰ
𝑅
(1 − 𝑥0). (1.8) 
 Combinando (1.6), (1.7) e (1.8), teremos 
𝑅𝐷 ≈
𝑅𝑥0
1 − 𝑥0
. (1.9) 
 Usando os outros dados do problema, teremos 
𝐵 =
ℰ
𝑅𝑖𝑆
=
3,00 V
10,0 Ω ∙ 0,00150 A
= 200, 
 de modo que 
𝑥0 =
1
𝐴
ln(1 + 𝐵) ≅
ln(201)
117
⟹ 𝑥0 ≅ 0,0454. 
 Inserindo este último resultado em (1.9), teremos enfim a resistência do diodo 
𝑅𝐷 ≈
𝑅𝑥0
1 − 𝑥0
≅
10,0 Ω ∙ 0,0454
1 − 0,0454
⟹ 𝑅𝐷 ≅ 0,476 Ω. (1.10) 
c) Se a FEM fosse multiplicada por 2, as constantes 𝐴 e 𝐵 também seriam dobradas, de modo que 
𝑥0
′ =
1
2𝐴
ln(1 + 2𝐵) ≅ 0,0257. 
Então, 
𝑅𝐷
′
𝑅𝐷
≈
𝑅 𝑥0
′ (1 − 𝑥0
′ )⁄
𝑅 𝑥0 (1 − 𝑥0)⁄
≅
0,0257 (1 − 0,0257)⁄
0,0454 (1 − 0,0454)⁄
⟹ 𝑅𝐷
′ ≅ 0,554𝑅𝐷 . 
Portanto, se a FEM for dobrada, a resistência do diodo será multiplicada por um fator 0,554 (cairá 
para pouco mais da metade de seu valor original). Isto mostra que um diodo não segue a Lei de Ohm, 
pois sua resistência depende da diferença de potencial entre seus terminais. Diz-se então que ele é 
um dispositivo não ôhmico. 
Questão 2 [2,0 pts]: 
O espaço entre duas placas cilíndricas condutoras e coaxiais, de mesmo comprimento 𝐿 = 1,50 m e de raios 
𝑎 = 12,70 cm e 𝑏 = 17,78 cm, está totalmente preenchido com uma substância de resistividade 𝜌 =
10,2 kΩ ∙ m. Uma diferença de potencial de 246 V é então aplicada entre as placas. Determine a corrente 
elétrica total que se estabelece entre as placas. 
Solução: 
Como vimos na aula 10, a resistência elétrica 𝛿𝑅 de um material de comprimento 𝛿𝐿, seção reta 𝛿𝐴 e 
resistividade 𝜌 é definida por 
𝛿𝑅 =
𝛿𝑉
𝛿𝑖
≈ 𝜌
𝛿𝐿
𝛿𝐴
, (2.1) 
onde 𝛿𝑉 é a diferença de potencial ao longo de 𝛿𝐿 e 𝛿𝑖 é a corrente elétrica que atravessa
Página12