Revisão matemática para topografia

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AULA 2
REVISÃO MATEMÁTICA 
PARA TOPOGRAFIA
PROF. DANIEL ARTHUR NNANG METOGO, DSC
1- UNIDADES DE MEDIDAS
1.1 Medidas de comprimento
A unidade universalmente utilizada para a medição das distâncias é o 
metro (m) com seu submúltiplos: decímetro, centímetro e milímetro.
1- UNIDADES DE MEDIDAS
1.1 Medidas de comprimento
Exercício: Transforme.
a) 1,2 km em m (Resp. 1.200m)
b) 5 m em mm (Resp. 5.000mm)
c) 5,8 km em cm (Resp. 580.000cm)
d) 0,4 m em mm (Resp. 400mm)
e) 27 mm em cm (Resp. 2,7cm)
f) 126 mm em m (Resp. 0,126m)
g) 10500 mm em cm (Resp. 1050cm)
h) 2,5 m em cm. (Resp. 250cm)
1- UNIDADES DE MEDIDAS
1.1 Medidas de comprimento
O sistema métrico decimal foi introduzido no Brasil, a partir de 1874. No
entanto, ainda hoje, são usados as medidas do antigo sistema metrológico em
muitos estados brasileiros.
1- UNIDADES DE MEDIDAS
1.2 Medidas de áreas
As unidades de medidas das superfícies são:
• Metro quadrado: m x m = m2
• Are: corresponde a superfície de um quadrado de 10 metros de lado 
ou seja, 100m2.
É muito usado o múltiplo do “are”, o Hectare (100 vezes o are) que
equivale a uma superfície de um quadrado de 100 metros de lado
(10.000m2)
1- UNIDADES DE MEDIDAS
1.2 Medidas de áreas
Para a conversão de um número qualquer de m2 em hectare (há), basta 
dividi-lo por 10.000.
Área = 1.278.493m2
Dividindo por 10.000, tem-se: 127,8493 hectares.
2- NOÇÃO DE ESCALA
Nas plantas, para a planimetria, e nos perfis, para a altimetria,
necessitamos usar escala para reduzir as medidas reais para valores que
caibam no para papel para a representação.
Escala é a relação constante entre a distância medida no terreno (objeto
– o) e sua representação no papel (imagem – i).
Ela pode ser representada na forma de fração ou de proporção:
Exemplo:
1/100 ou 1:100
2- NOÇÃO DE ESCALA
A escala é definida pela relação:
𝐸 =
𝑖
𝑜
Onde:
E= Escala ou razão escolhida;
o = Unidades medidas no terreno (objeto);
i= Unidades que devem ser colocadas no papel para representar
(imagem).
2- NOÇÃO DE ESCALA
A escala é representada por uma fração do tipo 1/M, onde M é
denominada de módulo. Assim:
𝐸 =
1
𝑀
=
𝑖
𝑜
daí:
𝑜 = 𝑖 × 𝑀
2- NOÇÃO DE ESCALA
Principais tipos de escala e seu emprego.
2- NOÇÃO DE ESCALA
Escala gráfica:
Mostra a proporção entre as dimensões reais e as do mapa através de
um gráfico.
2- NOÇÃO DE ESCALA
Na elaboração do desenho, as dimensões do papel devem ser suficientes
para conte-lo. Neste sentido, a ABNT recomenda em suas normas para
desenho (NB8/1969), as seguintes dimensões.
2- NOÇÃO DE ESCALA
Exercícios:
1) – Para representar no papel uma linha reta que no terreno mede 45 m
usando a escala de 1:50, qual será o seu valor em cm ?
Solução:
Dados: E=1:50; objeto=45m; imagem=?
Sabe-se que: 𝐸 =
𝑖
𝑜
∴ 𝑖 = 𝐸. 𝑜 =
1
50
. 45𝑚 = 0,9𝑚 = 90𝑐𝑚
2- NOÇÃO DE ESCALA
Exercícios:
2) – A distância entre 2 pontos na planta é de 80 cm, para uma escala de
1:250, qual o seu valor no terreno ?
Solução:
Dados: E=1:250; imagem=80cm; objeto=?
Sabe-se que: 𝐸 =
𝑖
𝑜
∴ 𝑜 =
𝑖
𝐸
=
80𝑐𝑚
1
250
= 80𝑐𝑚. 250 = 20000𝑐𝑚 = 200𝑚
2- NOÇÃO DE ESCALA
Exercícios:
3) – A distância entre 2 pontos na planta é de 820 mm; sabendo-se que
no terreno esses pontos estão distantes de 615 m, qual será a escala da
planta ?
Solução:
Dados: imagem=820mm; objeto=615m; E=?
Sabe-se que: 𝐸 =
𝑖
𝑜
∴ 𝐸 =
820𝑚𝑚
615𝑚
=
820
615000
=
820
820
615000
820
=
1
750
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.1. Teorema de Pitágoras
“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.1. Teorema de Pitágoras
“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.2. Outras relações métricas no Triângulo Retângulo
Onde:
• b, c: catetos;
• h: altura relativa à hipotenusa;
• a: hipotenusa;
• m, n: projeções ortogonais dos
catetos sobre a hipotenusa.
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.2. Outras relações métricas no Triângulo Retângulo
a) O quadrado de um cateto é igual
ao produto da hipotenusa pela
projeção desse cateto sobre a
hipotenusa.
𝒃𝟐 = 𝐚. 𝐧
𝒄𝟐 = 𝐚.𝐦
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.2. Outras relações métricas no Triângulo Retângulo
b) O produto dos catetos é igual ao
produto da hipotenusa pela altura
relativa à hipotenusa.
𝒃. 𝒄 = 𝐚. 𝐡
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.2. Outras relações métricas no Triângulo Retângulo
c) O quadrado da altura é igual ao
produto das projeções dos catetos
sobre a hipotenusa.
𝒉𝟐 = 𝐦.𝐧
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.2. Outras relações métricas no Triângulo Retângulo
Exemplo:
No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas a, b, c, e
h indicadas.
Solução:
𝑎 = 1,8𝑐𝑚 + 3,2𝑐𝑚 = 5𝑐𝑚
𝑏2 = 𝑎. 𝑛 = 5. 3,2𝑐𝑚2 = 16𝑐𝑚2 ∴ 𝑏 = 4𝑐𝑚
𝑐2 = 𝑎.𝑚 = 5. 1,8𝑐𝑚2 = 9𝑐𝑚2 ∴ 𝑐 = 3𝑐𝑚
ℎ2 = 𝑚. 𝑛 = 1,8.3,2𝑐𝑚2 = 5,76𝑐𝑚2
∴ ℎ = 2,4𝑐𝑚
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.3. Razões trigonométricas no Triângulo Retângulo
Seno:
𝑠𝑒𝑛𝛼
=
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝑎𝑙𝑓𝑎 (𝛼)
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝑐
𝑎
𝑠𝑒𝑛β = 
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
𝑏
𝑎
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.3. Razões trigonométricas no Triângulo Retângulo
Cosseno:
𝑐𝑜𝑠𝛼
=
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑎𝑙𝑓𝑎 (𝛼)
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
𝑏
𝑎
𝑐𝑜𝑠β = 
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝑐
𝑎
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.3. Razões trigonométricas no Triângulo Retângulo
Tangente:
𝑡𝑎𝑛𝛼
=
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝑎𝑙𝑓𝑎 (𝛼)
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑎𝑙𝑓𝑎 (𝛼)
=
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝑐
𝑏
𝑡𝑎𝑛β = 
𝐴𝐶
𝐴𝐵
=
𝑏
𝑐
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.3. Razões trigonométricas no Triângulo Retângulo
Exemplo:
Em um triângulo retângulo um dos ângulos agudos mede 52º e sua
hipotenusa mede 10cm. Determine as medidas dos dois catetos desse
triângulo.
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.3. Razões trigonométricas no Triângulo Retângulo
Exemplo:
Um avião levanta voo em (B) e sobe fazendo um ângulo constante de
15º com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida,
quando alcançar a vertical que passa por uma igreja (A) situada a 2km
do ponto de partida?
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.3. Razões trigonométricas no Triângulo Retângulo
Solução:
3-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3.3. Razões trigonométricas no Triângulo Retângulo
Exemplo 2:
Determinar a inclinação e o comprimento (L) de uma rampa para
interligar dois pisos - subsolo (cota 100) e térreo (cota 105), conforme
representado abaixo:
4-RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
4.1. Lei dos senos
“Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos
ângulos opostos.”
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝛼
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝛾
4-RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
4.1. Lei dos senos
Exemplo:
Um barco de pescadores (A) emite um sinal de socorro que é recebido
por dois radioamadores, (B) e (C), distantes entre si 70 km. Sabendo que
os ângulos (ABC) e (ACB) medem, respectivamente,64º e 50º,
determine qual radioamador se encontra mais próximo do barco e a
qual distância ele está do barco.
4-RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
4.1. Lei dos senos
Solução:
4-RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
4.2. Lei dos cossenos
“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos
quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das
medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.”
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2. 𝑎. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2. 𝑎. 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝛾
4-RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
4.2. Lei dos cossenos
Exemplo:
Calcule a distância dos pontos A e B, entre os quais há uma montanha,
sabendo que suas distâncias a um ponto fixo M são de 300 m e 380 m,
respectivamente. A medida do ângulo (AMB) é igual a 47°.
4-RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
4.3. Área de um triângulo qualquer
“A área de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto das medidas de dois de 
seus lados pelo seno do ângulo formado por esses lados.” 
𝐴 =
𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝛾
2
𝐴 =
𝑎. 𝑐. 𝑠𝑒𝑛𝛽
2
𝐴 =
𝑏. 𝑐. 𝑠𝑒𝑛𝛼
2
4-RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
4.3. Área de um triângulo qualquer
Exemplo:
Num triângulo ABC, dois lados medem 10 cm e 6 cm e formam entre si
um ângulo de 60°. Calcule a área do triângulo ABC.
𝐴 =
𝑏. 𝑐. 𝑠𝑒𝑛𝛼
2
=
6.10. 𝑠𝑒𝑛60𝑜
2
= 25,98𝑐𝑚2