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ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP2 - 2011.1
Questa˜o 1 (1 ponto). Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o |5x+ 2| ≥ 10
Soluc¸a˜o: |5x+ 2| ≥ 10 se e somente se valer uma das duas opc¸o˜es a seguir:
5x+ 2 ≥ 10 ou 5x+ 2 ≤ −10.
No primeiro caso ter´ıamos: 5x ≥ 8, o que significa que x ≥ 1, 6.
No segundo caso ter´ıamos: 5x ≤ −12, o que significa que x ≤ −2, 4.
Logo o conjunto soluc¸a˜o e´ (−∞,−2.4] ∪ [1.6,∞).
Questa˜o 2 (2 ponto). Certo produto tem sua curva de demanda dada por D(P ) = −P/2+5
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e a demanda D e´ dada em lotes de mil unidades. A
curva de oferta deste mesmo produto e´ dada pela func¸a˜o Q(P ) = 2P − 7 (tambe´m dada
em lotes de mil unidades). Encontre o prec¸o de equil´ıbrio e a quantidade de equil´ıbrio para
comercializac¸a˜o deste produto.
Soluc¸a˜o: Para encontrar a quantidade e o prec¸o de equil´ıbrio devemos igualar as func¸o˜es
de oferta e demanda: 2P −7 = −P/2+5. Desenvolvendo esta equac¸a˜o obtemos: 5P/2 = 12,
o que significa que P = 4, 8. Logo o prec¸o de equil´ıbrio deve ser R$4, 80.
Para encontrar a quantidade de equil´ıbrio basta substituir o prec¸o em qualquer uma das
duas func¸o˜es dadas:
Q(4, 8) = 2× 4, 8− 7 = 9, 6− 7 = 2, 6.
Logo a quantidade de equil´ıbrio e´ de dois mil e seiscentos itens.
Questa˜o 3 (3 ponto). Considere o sistema de equac¸o˜es a seguir:
1


3x− 2y = 2
2x+ 3y = 10
a) Reescreva a primeira equac¸a˜o representando y como func¸a˜o de x e esboce o gra´fico da
func¸a˜o y(x) encontrada.
b) Reescreva a segunda equac¸a˜o representando y como func¸a˜o de x e esboce o gra´fico
da func¸a˜o y(x) encontrada (utilize o mesmo plano cartesiano em que voceˆ esboc¸ou o
gra´fico do item anterior).
c) Resolva o sistema de equac¸o˜es e marque o ponto que representa a soluc¸a˜o do sistema
no plano cartesiano em que voceˆ esboc¸ou os gra´ficos dos itens anteriores.
Soluc¸a˜o:
a) Representando y como func¸a˜o de x na primeira equac¸a˜o ficamos com y(x) = 3x/2− 1. O
gra´fico encontra-se no fim da soluc¸a˜o.
b) Representando y como func¸a˜o de x na segunda equac¸a˜o ficamos com y(x) = −2x/3+10/3.
O gra´fico encontra-se no fim da soluc¸a˜o.
c) Vamos encontrar x igualando as equac¸o˜es obtidas nos itens anteriores:
3x/2− 1 = −2x/3 + 10/3⇔ 3x/2 + 2x/3 = 1 + 10/3⇔ 13x/6 = 13/3⇔ x = 2
Substituindo o valor encontrado para x na func¸a˜o obtida para y atrave´s da primeira equac¸a˜o
temos: y(2) = 3× 2/2− 1 = 2.
Logo a soluc¸a˜o do sistema e´ x = 2 e y = 2.
Abaixo encontra-se o gra´fico:
2
Questa˜o 4 (4 pontos). Seja f(x) = −2x2 + 5x− 2.
a) Encontre as ra´ızes de f ;
b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f ;
c) Se a func¸a˜o f representa o lucro (em milhares de reais) que uma empresa pode obter
produzindo x milhares de itens de um produto, qual deve ser a quantidade a ser produ-
zida para que o lucro seja ma´ximo? Qual e´ o lucro ma´ximo que a empresa pode obter
com este produto?
Soluc¸a˜o:
a) Vamos usar Bhaskara para encontra as ra´ızes:
δ = (5)2 − 4× (−2)× (−2) = 25− 16 = 9
Logo x = (−5 ±√9)/(−4) = (−5 ± 3)/(−4), isto e´, x = 2 ou x = 1/2.
b) Segue o gra´fico:
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c) Como podemos observar no gra´fico, o ma´ximo lucro ocorre no ve´rtice da para´bola
(x corresponde ao ponto me´dio entre as ra´ızes). Logo o lucro ma´ximo ocorre quando x =
(2 + 1/2)/2 = 5/4 = 1, 25. Isso significa que a quantidade a ser produzida para obter o
ma´ximo lucro e´ de mil duzentos e cinquenta itens.
Para saber qual o lucro ma´ximo, basta substituir o x o´timo na func¸a˜o:
f(5/4) = −2(5/4)2 + 5(5/4)− 2 = −25/8 + 25/4− 2 = (−25 + 50− 16)/8 = 9/8 = 1, 125
Logo o lucro ma´ximo e´ de mil cento e vinte e cinco reais.
Bom trabalho e boa sorte!
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