Gabarito AP1 de 2014.2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito AP1 – Me´todos Determin´ısticos II
Questa˜o 1: (2,0pts) Seja f : R − {−2} −→ R dada pela expressa˜o f(x) = x−2
x+2
. Encontre um
nu´mero real x tal que f(f(x)) = −1.
Soluc¸a˜o: (vale 2,0pt) Para determinarmos o valor de x tal que f(f(x)) = −1, precisamos
determinar
f(f(x)) =
x− 2
x+ 2
=
x−2
x+2
− 2
x−2
x+2
+ 2
= − x+ 6
3x+ 2
.
Enta˜o,
− x+ 6
3x+ 2
= −1⇐⇒ x+ 6 = 3x+ 2⇐⇒ 4 = 2x⇐⇒ x = 2.
Questa˜o 2: (2,5pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por f(x) = x−3 e g(x) =
{
x2 se x ≥ 0
x se x < 0
.
Determine:
a) Determine (g ◦ f) (5);
b) A lei de definic¸a˜o de g ◦ f .
Soluc¸a˜o: a) (vale 1,0pt)
(g ◦ f) (5) = g(f(5)) = g(2) = 4.
b) (vale 1,5pt) Precisamos determinar os valores de x tais que x− 3 ≥ 0 e quando x− 3 < 0.
x− 3 ≥ 0⇐⇒ x ≥ 3 e x− 3 < 0⇐⇒ x < 3.
Logo,
g(x) =
{
(x− 3)2 se x ≥ 3
x− 3 se x < 3
Questa˜o 3: (3,0pts)
a) Considere g(x) = logx−2(x
2 − 7x+ 12). Determine o dom´ınio da func¸a˜o g(x).
b) Sabendo que logx a = 4, logx b = 2 e logx c = 1, calcule logx
(
a3
b2c2
)
.
Soluc¸a˜o: a) ( Vale 1,5pt) Precisamos que x−2 > 0 e que x−2 6= 1, e tambe´m, que x2−7x+12 >
0. A primeira parte devemos ter que x > 2 e x 6= 2. A outra condic¸a˜o, segue da observac¸a˜o:
x2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) > 0, desde que, x < 3 ou x > 4. Todas essas condic¸o˜es juntas
obtemos: {x ∈ R : 2 < x < 3 e x > 4}.
b) (vale 1,5pt)
logx
(
a3
b2c2
)
= logx(a
3)− logx(b2c2)
= logx(a
3)− (logx(b2) + logx(c2))
= 3 logx(a)− (2 logx(b) + 2 logx(c))
3 logx(a)− 2(logx(b) + logx(c)) = 3 · 4− 2(2 + 1) = 6
Questa˜o 4 (2,5pts) Calcule os seguintes limites:
Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2
a) lim
x→1
x− 1√
x− 1
b) Determine o valor de a tal que lim
x→2
x2 + ax2 − 3x− 2ax+ 2
x2 − 4 =
3
4
Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt)
lim
x→1
x− 1√
x− 1 = limx→1
(
x− 1√
x− 1
)(√
x+ 1√
x+ 1
)
= lim
x→1
(x− 1)(√x+ 1)
x− 1 = 2.
b) (Vale 1,5pt) Observe que se avaliarmos os polinoˆmios x3 − 5x2 + 8x − 4 e x4 − 5x − 6 em
x = 2, ambos se anulam. Logo x − 2 divide a ambos. Dividindo obtemos: x3 − 5x2 + 8x − 4 =
(x− 2)(x2 − 3x+ 2) e x4 − 5x− 6 = (x− 2)(x3 + 2x2 + 4x+ 3). Logo,
lim
x→2
x3 − 5x2 + 8x− 4
x4 − 5x− 6 = limx→2
(x− 2)(x2 − 3x+ 2)
(x− 2)(x3 + 2x2 + 4x+ 3)
= lim
x→2
x2 − 3x+ 2
x3 + 2x2 + 4x+ 3
=
0
27
= 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ