Gabarito P2 A

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BC0406 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e a` Estat´ıstica
Noturno A, Prof. Vladimir Perchine
Prova - 2 (gabarito)
1. Para uma varia´vel aleato´ria com a func¸a˜o de probabilidade P (X) = Cx, x =
1, . . . , 5, determine o valor da constante de normalizac¸a˜o e calcule a probabilidade
de X ser par.
1 =
5∑
x=1
P (X) = C(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 15C ⇒ C = 1/15
P (Xpar) = P (2) + P (4) =
2 + 4
15
= 0, 4
2. Cinco alunos fazem uma prova. O tempo em qual um aluno consegue entre-
gar a prova e´ uma variavel exponencial com a me´dia de 80 minutos. Qual a
probabilidade de que pelo menos um aluno vai entregar a prova depois de 40
minutos?
Um aluno entrega a prova antes de 40 min: P (X < 40) = 1− e−40/80 = 0, 39
Todos os cinco alunos entregam antes de 40 min: P = (1− e−1/2)5 = 0, 01
Pelo menos um entrega depois de 40 min: P = 1− (1− e−1/2)5 = 0, 99
3. A distribuic¸a˜o conjunta de probabilidade de varia´veis X e Y e´ dada por P (x, y) =
|x+ y|/4, onde x ∈ {0, 1}, y ∈ {0, 1}. Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o e explique
o resultado.
X\Y 0 1 P (X)
0 0 1/4 1/4
1 1/4 1/2 3/4
P (Y ) 1/4 3/4
E(X) = E(Y ) = 0 · 1/4 + 1 · 3/4 = 3/4
E(X2) = E(Y 2) = 02 · 1/4 + 12 · 3/4 = 3/4
σ(X) = σ(Y ) =
√
3/4− (3/4)2 = √3/4
E(XY ) = 1 · 1 · 1/2 = 1/2, Cov(X, Y ) = 1/2− 3/4 · 3/4 = −1/16
ρ(X, Y ) =
−1/16
(
√
3/4)2
= −1/3. Temos uma correlac¸a˜o negativa moderada.
4. Uma maquina produz, em me´dia, 4 metros de cabo por minuto, com desv´ıo
padra˜o de 50 centimetros. Qual a probabilidade de que em uma hora sera˜o
prodizidos pelo menos 245 metros?
A quantidade de cabo produzido em uma hora S possui o valor esperado E(S) = 46˙0 = 240,
o desv´ıo padra˜o σ(S) = 0, 5 · √60 = 3, 87 e pode ser aproximada por uma varia´vel normal:
P (S ≥ 245) = P
(
S − 240
3, 87
≥ 245− 240
3, 87
)
= P (Z ≥ 1, 3) = 1− Φ(1, 3) = 0, 097