Gabarito P2 A2

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BC0406 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e a` Estat´ıstica
Noturno A2, Prof. Vladimir Perchine
Prova - 2 (gabarito)
1a. Nos u´ltimos 30 dias, um menino capturou 150 Poke´mons. Qual a probabilidade
de ele capturar pelo menos dois Poke´mons amanha˜?
Usando a distribuic¸a˜o de Poisson com λ = 150/30 = 5, temos
P (k ≤ 2) = 1− P (0)− P (1) = 1− e−5 − 5 e−5 = 0, 960
1b. A probabilidade de um reme´dio funcionar e´ 60%. Para um teste cl´ınico foi usado
um grupo com cinco pacientes. O resultado e´ considerado positivo se o reme´dio
funciona para a maioria dos pacientes. Qual a probabilidade do resultado posi-
tivo?
Temos uma distribuic¸a˜o binomial com p = 0, 6, n = 5:
P (k ≤ 2) = P (3) + P (4) + P (5) = 10 (0, 6)3 (0, 4)2 + 5 (0, 6)4 0, 4 + (0, 6)5 = 0, 683
2a. A func¸a˜o densidade de probabilidade e´ f(x) = C/x2 quando |x| > 1, e f(x) = C
quando |x| ≤ 1 (C e´ uma constante). Calcule P (X < 2).
Determinamos o valor de C da normalizac¸a˜o da probabilidade:
−1∫
−∞
C
x2
dx+
1∫
−1
C dx+
∞∫
1
C
x2
dx = 2C + 2C
∞∫
1
dx
x2
= 4C ⇒ C = 1/4
P (X < 2) = 1− P (X > 2) = 1− 1
4
∞∫
2
dx
x2
= 1− 7
8
= 0, 875
2b. A func¸a˜o densidade de probabilidade e´ f(x) = C/x2 quando |x| > 1, e f(x) = C
quando |x| ≤ 1 (C e´ uma constante). Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumu-
lada.
Usando o valor C = 1/4 (veja o item anterior), temos:
x ≤ −1 F (x) = 1
4
x∫
−∞
dt
t2
= − 1
4x
−1 < x ≤ 1 F (x) = F (−1) + 1
4
1∫
−1
dt =
x
4
+
1
2
x > 1 F (x) = F (1) +
1
4
x∫
1
dt
t2
= 1− 1
4x
3a. As u´nicas probabilidades conjuntas na˜o nulas de duas varia´veis sa˜o
P (X = 1, Y = 3) = 2/3, P (X = 2, Y = 2) = 1/3
Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o e explique o resultado.
1
A relac¸a˜o entre X e Y e´ determin´ıstica: por
exemplo, quando X = 1, com p = 1 sabemos
que Y = 3. Isso corresponde ao valor ρ = −1
(dependeˆncia linear negativa). Um ca´lculo
expl´ıcito tambe´m confirma esse resultado:
X\Y 2 3 P (X)
1 0 2/3 2/3
2 1/3 0 1/3
P (Y ) 1/3 2/3
E(X) = 1 · 2
3
+ 2 · 1
3
= 4
3
, E(X2) = 12 · 2
3
+ 22 · 1
3
= 2, σ(X) =
√
2− 16
9
=
√
2
3
E(Y ) = 2 · 1
3
+ 3 · 2
3
= 8
3
, E(Y 2) = 22 · 1
3
+ 32 · 2
3
= 22
3
, σ(Y ) =
√
22
3
− 64
9
=
√
2
3
E(XY ) = 1 · 3 · 2
3
+ 2 · 2 · 1
3
= 10
3
, Cov(X, Y ) = 10
3
− 4
3
· 8
3
= −2
9
, ρ = −2/9
(
√
2/3)2
= −1
3b. As u´nicas probabilidades conjuntas na˜o nulas de duas varia´veis sa˜o
P (X = 1, Y = 3) = 1/3, P (X = 2, Y = 2) = 2/3
Calcule todas as distribuic¸o˜es condicionais. As varia´veis sa˜o independentes?
X\Y 2 3 P (X)
1 0 1/3 1/3
2 2/3 0 2/3
P (Y ) 2/3 1/3
⇒
X 1 2
P (X|Y = 2) 0 1
P (X|Y = 3) 1 0
Y 2 3
P (Y |X = 1) 0 1
P (Y |X = 2) 1 0
As distribuic¸o˜es condicionais na˜o sa˜o ideˆnticas, portanto, as varia´veis na˜o sa˜o independentes.
4a. A regia˜o metropolitana de Sa˜o Paulo possui 20 milho˜es de habitantes, 2,5 milho˜es
deles moram no ABC. Em uma manifesta˜c¸a˜o na regia˜o apareceram 2500 pessoas.
Qual a probabilidade de que pelo menos 300 delas eram do ABC?
A quandidade das pessoas do ABC presentes e´ uma varia´vel binomial com p = 2, 5/20 =
0, 125, n = 2500, E(X) = np = 312, 5 e σ(X) =
√
np(1− p) = 16, 5 e pode ser aproximada
por uma varia´vel normal Z:
P (X ≥ 300) = P
(
X − 312, 5
16, 5
≥ 300− 312, 5
16, 5
)
≈ P (Z ≥ −0, 76) = Φ(0, 76) = 0, 78
4b. Em formaturas de uma faculdade, um terc¸o dos formandos levam 2 parentes, um
terc¸o leva um parente, e mais um terc¸o na˜o leva ningue´m. Se neste ano ha´ 600
formandos, qual a probabilidade de que o nu´mero total dos parentes presentes
na˜o ultrapassara´ 650?
A quantidade de parentes levados por um aluno e´ uma varia´vel aleato´ria Xi com P (0) =
P (1) = P (2) = 1
3
, E(Xi) = 0 · 13 + 1 · 13 + 3 · 13 = 1, E(X2) = 02 · 13 + 12 · 13 + 32 · 13 = 53
e σ(Xi) =
√
5
3
− 1 =
√
2
3
. A quantidade total dos parentes S = X1 + . . . + X600 possui
E(S) = 600, σ(S) =
√
600
√
2
3
= 20 e pode ser aproximada por uma varia´vel normal:
P (S ≤ 650) = P
(
S − 600
20
≤ 650− 600
20
)
≈ P (Z ≤ 2, 5) = Φ(2, 5) = 0, 99
2