Gabarito P1 B2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BC0406 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e a` Estat´ıstica
Noturno B2, Prof. Vladimir Perchine
Prova - 1 (gabarito)
1a. Lanc¸amos treˆs moedas honestas. Descreva os seguintes eventos e calcule as prob-
abilidades deles: a) aparecem pelo menos duas caras, b) aparece no ma´ximo uma
cara.
A = {CCC¯, CC¯C, C¯CC,CCC}, B = {CC¯C¯, C¯CC¯, C¯C¯C, C¯C¯C¯},
P (A) = P (B) = 4/8 = 1/2
1b. Um dado foi alterado de tal forma que a probabilidade de cair uma face ficou
proporcional ao nu´mero da face. Descreva a lei de probabilidade no espac¸o
amostral e calcule a probabilidade de cair um nu´mero par.
P (1) + P (2) + . . . + P (6) = p + 2p + . . . 6p = 21p = 1 ⇒ p = 1/21
P (1) = 1/21, P (2) = 2/21, . . . P (6) = 6/21, P (par) = P (2)+P (4)+P (6) = 12/21 = 0, 571
2a. Uma moc¸a tem esmaltes de quatro cores. Ela quer escolher no ma´ximo duas
cores e pintar as unhas de uma ma˜o, talvez usando cores diferentes para unhas
diferentes. Quantas opc¸o˜es ela tem?
Ha´ 4 opc¸o˜es se pintar todas as unhas com a mesma cor. Se usar duas cores diferentes para
unhas diferentes, temos
(
4
2
)
· (25− 2) = 180 opc¸o˜es (subtra´ımos 2 porque as opc¸o˜es com uma
cor ja´ foram contabilizadas). No total, temos 184 opc¸o˜es.
Uma outra souluc¸a˜o. Se pintar todas as unhas de uma cor, temos 4 opc¸o˜es. Se pintar quatro
unhas de uma cor e mais uma, de outra, temos 4 · 3 ·
(
5
1
)
= 60 opc¸o˜es. Se pintar treˆs unhas
de uma cor, e duas restantes, de outra, sera˜o mais 4 · 3 ·
(
5
2
)
= 120 possibilidades. No total,
ha´ 4 + 60 + 120 = 184 opc¸o˜es.
2b. Imagine que todos os habitantes de um pa´ıs apresentam falta de alguns dentes,
mas na˜o ha´ duas pessoas que apresentem a mesma combinac¸a˜o de dentes ausentes.
Qual o nu´mero ma´ximo poss´ıvel de pessoas neste pa´ıs?
Cada um dos 32 dentes pode estar presente ou ausente. Logo, podemos ter ate´
232 − 1 = 4 294 967 295
pessoas, onde subtraimos a possibilidade de ter uma pessoa com todos os dentes presentes.
3a. Uma senha deve possuir 8 s´ımbolos (letras ou d´ıgitos nume´ricos, em ordem ar-
bitra´ria). S´ımbolos podem ser repetidos. Qual a probabilidade de a senha ter
no mı´nimo 3 letras e no mı´nimo 3 d´ıgitos?
Ha´ treˆs possibilidades: 5 letras + 3 nu´meros, 4 letras + 4 nu´meros e 3 letras + 5 nu´meros.
Primeiramente, escolhemos quais posic¸o˜es sera˜o ocupadas por letras e quais, por nu´meros.
Depois, escolhemos uma letra ou um nu´mero, correspondentemente, para cada posic¸a˜o:
P =
(
8
5
)
· 265 · 103 +
(
8
4
)
· 264 · 104 +
(
8
3
)
· 263 · 105
368
= 0, 384
3b. Uma senha deve possuir 7 s´ımbolos (letras ou d´ıgitos nume´ricos, em ordem ar-
bitra´ria). Nenhum s´ımbolo pode ser repetido. Qual a probabilidade de a senha
ter no mı´nimo 3 letras e no mı´nimo 3 d´ıgitos?
Ha´ duas possibilidades: 4 letras + 3 nu´meros e 3 letras + 4 nu´meros. Primeiramente, escol-
hemos quais posic¸o˜es sera˜o ocupadas por letras e quais, por nu´meros. Depois, escolhemos
uma letra ou um nu´mero, correspondentemente, para cada posic¸a˜o:
P =
(
7
4
)
· 26 · 25 · 24 · 23 · 10 · 9 · 8 +
(
7
3
)
· 26 · 25 · 24 · 10 · 9 · 8 · 7
36 · 35 · . . . · 30 = 0, 280
Uma outra possibilidade de contagem e´ escolher 7 s´ımbolos sem se preocupar com a ordem
(ja´ que todos os s´ımbolos sa˜o diferentes, a contagem de ordem so´ acrescentaria um fator 7!
no numerador e o mesmo fator no denominador):(
26
3
)(
10
4
)
+
(
26
4
)(
10
3
)
(
36
7
) = 0, 280
4. Sejam A e B dois eventos com P (A) = 0, 35, P (B) = 0, 45 e P (A ∩ B) = 0, 18. Calcule
P (AC |BC).
P (BC) = 1−P (B) = 0, 55, P (AC∩BC) = 1−P (A∪B) = 1−P (A)−P (B)+P (A∩B) = 0, 38
P (AC |BC) = P (A
C ∩BC)
P (BC)
= 0, 691