Aula 04 CÁLCULO II

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CÁLCULO II
AULA 4 – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO:SUBSTITUIÇÃO
 TRIGONOMÉTRICA
Tema da Apresentação
TECNICAS DE INTEGRAÇÃO – AULA 4
CÁLCULO II
Conteúdo Programático desta aula
Técnicas de Integração: Substituição Trigonométrica
Tema da Apresentação
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Substituição Trigonométrica
 Usamos substituição trigonométrica para lidar com expressões tais como:
onde “a” é uma constante positiva. 
 
, 
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, 
 e 
 Integrais deste tipo são necessárias quando desejamos encontrar a área de um círculo ou uma elipse.
 Esses tipos de integrais são resolvidas por uma técnica conhecida como “substituição trigonométrica”.
 Vamos agora estudar cada um dos casos.
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Caso 1: 
Mudamos a variável de u para  utilizando a substituição 
u = a sen, -π/2≤≤π/2
A raiz será eliminada
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Exercício
 Calcule
Temos então que: u=asenθ
a=2 e u=x
4-x²==2²-x²=2²-2²sen²θ=2²(1—sen²θ)=2²cos²θ==4cos²θ 
Fazendo a substituição: x=2senθ => dx=2cosθdθ
Logo:
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Agora, voltando ao triângulo e lembrando que a=2 e u=x, observamos que:
 e =>
Assim:
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Caso 2:
Mudamos a variável de u para  utilizando a substituição 
u = a tg , -π/2≤≤π/2
A raiz será eliminada
 
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Exercício
 Calcule
x=3 tgθ => dx=3 sec²θ dθ
x²+9=9 tg²θ+9=9sec²θ
 Assim:
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 Agora, para calcular a última integral,fazemos:
 v=senθ =>dv=cosθdθ
Então:
Agora, voltando ao triângulo, obtemos:
Logo: 
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Caso 3:
Mudamos a variável de u para  utilizando a substituição 
u = a sec, 0≤θπ/2 ou π≤θ3π/2
A raiz será eliminada
 
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Exercício
 Calcule:
Seja x=5 secθ , então dx=5 secθtgθdθ
Temos que: 
Logo:
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 Agora, consultando o triângulo verificamos que tanto para x>5 quanto para x<-5, obtemos:
 
 e 
Então: 
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Na aula de hoje:
. Estudamos as Técnicas de Integração abordando a
 substituição trigonométrica 
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