PROCESSOS ESTOCÁSTICOS_EX_01_GAB

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PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO - 01
01- Determinar a probabilidade de cada
um dos seguintes eventos:
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 1 MANUEL
n(A) = nº de elementos de A = 3 = {2,4,6}
n(S) = nº de elementos de S = 6
01-a) Qual a probabilidade de se obter um número par
no lançamento de um dado?
P(A) = n(A) / n(S) = 3/6= 1/2 = 0,5 = 50% !
A ⇒ obter um número par no lançamento de um dado?
01-b) Uma figura aparecer ao extrair-se uma carta de um
baralho com 52 cartas.
52 CARTAS
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 2 MANUEL
01-b) Uma figura aparecer ao extrair-se uma carta de um
baralho com 52 cartas.
Número total de cartas = 52
Número de Figuras = 12
P = 12/52 = 3/13
BARALHO = 4 NAIPES cada naipe tem 13 cartas
ESPADA - 13
PAUS - 13
OUROS - 13
COPAS - 13
TOTAL = 52 CARTAS
01-c) Uma carta de ouros aparecer ao extrair-se uma carta de
um baralho de 52 cartas.
Número total de cartas = 52 = 4 x 13 (naipes)
Número de Carta de Ouros = 13
P = 13/52 = 1/4
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 3 MANUEL
01-d) Uma só coroa (K ) aparecer no lançamento de três
moedas.
ESPAÇO AMOSTRAL ⇒ 8 POSSIBILIDADES
C = CARA K = COROA
(C ; K ; K)
(K ; C ; K)
(K ; K ; C)
(C ; C ; K)
(C ; K ; C)
(K ; C ; C)
(C ; C ; C)
(K ; K ; K)
(C ; K ; K)
(K ; C ; K)
(K ; K ; C)
(C ; C ; K)
(C ; K ; C)
(K ; C ; C)
(C ; C ; C)
(K ; K ; K)
UMA SÓ COROA (K)
3 POSSIBILIDADES
P= 3/8
EXERCÍCIOS - PROBABILIDADE
02- Um número inteiro é escolhido aleatoriamente
dentre os números 1,2,3,....,49,50.
Qual a probabilidade de:
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 4 MANUEL
02-a) O número ser divisível por 5 ?
Espaço Amostral
S = {1,2,3,4,5,.......................,46,47,48,49,50}
A= { 5,10,15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}
n(S) = 50
n(A) = 10
P(A) = n(A) / n(S) = 10/50 = 1/5
02-b) O número terminar em 3 ?
Espaço Amostral
S = {1,2,3,4,5,.......................,46,47,48,49,50}
A= { 3,13, 23, 33, 43 }
n(S) = 50
n(A) = 5
P(A) = n(A) / n(S) = 5/50 = 1/10
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 5 MANUEL
02-c) O número ser divisível por 6 ou por 8 ?
Espaço Amostral
S = {1,2,3,4,5,.......................,46,47,48,49,50}
Divisível por 6 ⇒ { 6,12,18, 24, 30, 36, 42, 48 } = 8
n(S) = 50
n(A) = 12
P(A) = n(A) / n(S) = 12/50 = 6/25
Por 6 ou 8 = { 6, 8,12,16,18, 24, 30, 32, 36, 40, 42, 48 } = 12
Divisível por 8 ⇒ { 8,16, 24, 32, 40, 48 } = 6
n(A) = 8 + 6 = 14 ???? n(A) = 8 + 6 = 14 - 2 = 12
LEMBRANDO O TEMPO...
EM QUE A GENTE ERA FELIZ E NÃO SABIA!
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 100 + 80 - 20 = 160
B = 80
A = 100
A∩B = 20
SOMENTE A = 100 - 20 = 80
SOMENTE B = 80 - 20 = 60
A e B = 20
TOTAL = 80 + 60 + 20 = 160! OLHOU...E VIU!
Só A = 80 Só B = 60
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 6 MANUEL
02-d) O número ser divisível por 4 e por 6 ?
Espaço Amostral
S = {1,2,3,4,5,.......................,46,47,48,49,50}
Divisível por 4 ⇒ {4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48} = 12
n(S) = 50
n(A) = 4
P(A) = n(A) / n(S) = 4/50 = 2/25
Por 4 e 6= {12, 24, 36, 48 } = 4
Divisível por 6 ⇒ { 6,12,18, 24, 30, 36, 42, 48 } = 8
03- Dois dados são lançados simultaneamente.
Qual a probabilidade de:
a) A soma ser menor do que 4 ?
b) A soma ser 9 ?
c) O primeiro resultado ser maior que o segundo ?
d) A soma ser menor ou igual a 5 ?
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 7 MANUEL
.
Espaço Amostral
{1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6}
{2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6}
{3,1} {3,2} {3,3} {3,4} {3,5} {3,6}
{4,1} {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4,6}
{5,1} {5,2} {5,3} {5,4} {5,5} {5,6}
{6,1} {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6}
ESPAÇO 
AMOSTRAL
36 ELEMENTOS
6
6
a) A soma ser menor do que 4 ?
P = 3/36
.
Espaço Amostral
{1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6}
{2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6}
{3,1} {3,2} {3,3} {3,4} {3,5} {3,6}
{4,1} {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4,6}
{5,1} {5,2} {5,3} {5,4} {5,5} {5,6}
{6,1} {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6}
ESPAÇO 
AMOSTRAL
36 ELEMENTOS
6
6
b) A soma ser 9 ?
P = 4/36
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EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 8 MANUEL
.
Espaço Amostral
{1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6}
{2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} (1)
{3,1} {3,2} {3,3} {3,4} {3,5} {3,6} (2)
{4,1} {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4,6} (3)
{5,1} {5,2} {5,3} {5,4} {5,5} {5,6} (4)
{6,1} {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6} (5)
ESPAÇO 
AMOSTRAL
36 ELEMENTOS
6
6
c) O primeiro resultado ser maior que o segundo ?
P = 15/36
.
Espaço Amostral
{1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6}
{2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6}
{3,1} {3,2} {3,3} {3,4} {3,5} {3,6}
{4,1} {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4,6}
{5,1} {5,2} {5,3} {5,4} {5,5} {5,6}
{6,1} {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6}
ESPAÇO 
AMOSTRAL
36 ELEMENTOS
6
6
d) A soma ser menor ou igual a 5 ?
P = 10/36
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 9 MANUEL
04- Extrai-se ao acaso uma carta de um baralho de 52
cartas. Determine a probabilidade da carta ser:
a. um ás; 
b. o valete de copas; 
c. três de paus ou seis de ouros; 
d. uma carta de copas; 
e. de qualquer naipe, exceto copas. 
a) P = 4/52
b) P = 1/52
c) P = 1/52+1/52 = 2/52
d) P = 13/52
e) P = 39/52
a. um ás; (temos 4 ases no baralho, um de cada naipe)
b. o valete de copas; (1 só valete de copas)
c. três de paus ou seis de ouros; (1 três de paus e 1 seis de
ouros ⇒ Total = 2)
d. uma carta de copas; (13 cartas de copas)
e. de qualquer naipe, exceto copas. ( 52-13 = 39)
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 10 MANUEL
05- Numa urna há 50 bolas distribuídas como segue:
COR Nº DE BOLAS
AZUL 20
VERMELHA 15
LARANJA 10
VERDE 5
TOTAL 50
Misturam-se as bolas e escolhe-se uma.
Determine a probabilidade da bola escolhida ser:
05- Numa urna há 50 bolas distribuídas como segue:
COR Nº DE BOLAS
AZUL 20
VERMELHA 15
LARANJA 10
VERDE 5
TOTAL 50
a) VERDE ⇒ P = 5/50
b) AZUL ⇒ P = 20/50
c) AZUL ou VERDE ⇒ P = ( 20 + 5 ) / 50 = 25/50
d) não VERMELHA ⇒ P = 35/50
e) VERMELHA ou VERDE ⇒ P = ( 15 + 5 ) / 50 = 20/50
f) LARANJA ⇒ P = 10/50
g) BRANCA ⇒ P = 0/50 = 0
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 11 MANUEL
06- Determine a probabilidade de cada um dos seguintes
eventos:
a) um rei, um ás, um valete de paus ou rainha de ouros na
extração de uma carta de um baralho normal;
b) aparecimento do total 8 na jogada de 2 dados;
c) extração de uma peça perfeita, se, em 600 peças
previamente examinadas, foram encontradas 12 defeituosas;
d) aparecimento de 7 ou 11 em uma jogada de um par de
dados.
P = 4/52 + 4/52 + 1/52 + 1/52 ⇒ P = 10/52
a) um rei, um ás, um valete de paus ou rainha de ouros na
extração de uma carta de um baralho normal;
b) aparecimento do total 8 na jogada de 2 dados;
Total de 8 ⇒ (2,6) (6,2) (3,5) (5,3) (4,4) ⇒ P = 5/36
c) extração de uma peça perfeita, se, em 600 peças
previamente examinadas, foram encontradas 12 defeituosas ;
c) Total 600 peças. 
DEFEITUOSAS (D) = 12 PERFEITAS (P) = 600 - 12 = 588
P = 588 / 600 ⇒ P = 0,98 ⇒ P = 98%
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 12 MANUEL
Aparecimento de 7 ou 11
7 ⇒ (1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3) ⇒ 6
11 ⇒ (5,6) (6,5) ⇒ 2
P = 8/36
d) aparecimento de 7 ou 11 em uma jogada de um par de
dados.
07- Uma caixa contém 4 bolas VERMELHAS , 3 PRETAS,
2 VERDES e 1 BRANCA. Qual a probabilidade de:
a) retirar uma bola e ele ser VERMELHA
P = 4/10
b) retirar uma bola e ela ser VERMELHA ou PRETA
P = 4 /10 + 3 /10 = 7/10
c) retirar duas bolas sendo uma BRANCA e a outra PRETA
(com reposição);
P = 1/10 × 3/10 = 3/100
TOTAL DE BOLAS = 4+3+2+1 = 10
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 13 MANUEL
07- Uma caixa contém 4 bolas VERMELHAS , 3 PRETAS,
2 VERDES e 1 BRANCA. Qual a probabilidade de:
d) retirar três bolas sendo, duas BRANCAS e uma PRETA;
(com reposição);
P = 1/10 × 1/10 × 3/10 = 3/1000
BRANCA BRANCA PRETA
e) retirar 4 bolas sendo, uma BRANCA,uma VERDE, outra
BRANCA e uma PRETA (com reposição);
P = 1/10 × 2/10 × 1/10 × 3/10 = 6/10000
BRANCA VERDE BRANCA PRETA
07- Uma caixa contém 4 bolas VERMELHAS , 3 PRETAS,
2 VERDES e 1 BRANCA. Qual a probabilidade de:
f) retirar 4 bolas sendo, uma BRANCA, uma VERMELHA ,
outra BRANCA e uma PRETA (sem reposição ).
P = 1/10 × 4/9 × 0/8 × 3/7 = 0
BRANCA VERMELHA BRANCA PRETA
SÓ TEM UMA BOLA BRANCA !
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 14 MANUEL
08- Um grupo de quatro circuitos integrados consiste
de dois BONS chips, rotulados B1 e B2, e dois chips
DEFEITUOSOS, rotulados D1 e D2. Se três destes
chips são selecionados aleatoriamente, qual a
probabilidade de ocorrer o evento E = “dois dos três
chips selecionados são defeituosos ”?
CHIPS ⇒ B1 B2 D1 D2
OS EVENTOS SÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS !
OS CHIPS ESTÃO ROTULADOS !
CHIPS ⇒ B1 B2 D1 D2
OS EVENTOS SÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
PROBABILIDADE DE SE EXTRAIR TRÊS CHIPS
SENDO 2 DEFEITUOSOS !
BDD ⇒ 2/4 × 2/3 × 1/2 = 1/6
DBD ⇒ 2/4 × 2/3 × 1/2 = 1/6
DDB ⇒ 2/4 × 1/3 × 2/2 = 1/6
P = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = ½ ⇒ P = 50%
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 15 MANUEL
CHIPS ⇒ B1 B2 D1 D2
OS EVENTOS SÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
PROBABILIDADE DE SE EXTRAIR TRÊS CHIPS SENDO 2
DEFEITUOSOS !
COMO SERIA A SOLUÇÃO POR ANÁLISE COMBINATÓRIA ?
DE QUANTAS MANEIRAS PODEMOS EXTRAIR 3 CHIPS DE
UM TOTAL DE 4 ?
É ARRANJO OU COMBINAÇÃO ?
A ORDEM INTERESSA ?
CHIPS⇒ B1 B2 D1 D2
PROBABILIDADE DE SE EXTRAIR TRÊS CHIPS SENDO 2
DEFEITUOSOS !
DE QUANTAS MANEIRAS PODEMOS EXTRAIR 3 CHIPS DE
UM TOTAL DE 4 ?
24
1
4321
!1
!4
)!34(
!43
4 =
×××
==
−
=A
DE QUANTAS MANEIRAS PODEMOS EXTRAIR 2 CHIPS
DEFEITUOSOS DE UM TOTAL DE 4 ?
12
21
4321
!2
!4
)!24(
!42
4 =
×
×××
==
−
=A
P = 12/24 = 0,50 = 50%
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 16 MANUEL
09- Um canal de comunicação binário transporta
dados de dois tipos, 0 ou 1. Devido a ruídos, algumas
vezes um sinal transmitido como 0 chega como 1.
Outras vezes, um sinal transmitido como 1 chega como
0. Assuma que a probabilidade de um sinal de 1 bit
ser transmitido corretamente é 98%. Qual a
probabilidade de um sinal de 1 BYTE (8 bits) ser
transmitido corretamente?
CERTO (C) = 98% = 0,98
ERRADO (E) = 2% = 0,02
BIT1 BIT2 BIT3 BIT4 BIT5 BIT6 BIT7 BIT8
C C C C C C C C EVENTOSINDEPENDENTES
98% 98% 98% 98% 98% 98% 98% 98%
E E E E E E E E
2% 2% 2% 2% 2% 2% 2% 2%
100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%
A probabilidade de transmitir 1 BYTE (8 bits) corretamente é:
( ) %858507,098,0
100
98 8
8
 ≅==

=P
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 17 MANUEL
10- Na memória RAM, os microcapacitores que armazenam a
informação indicam 1 se estão carregados e 0 se estão
descarregados. No caso da memória dinâmica (DRAM), os
microcapacitores carregados tendem a se descarregar
espontaneamente, passando de 1 a 0. Um controlador de
memória varre o conjunto de microcapacitores carregando
aqueles cuja carga esteja acima da metade do total . Cada
varredura é feita uma vez a cada 1 ms (10-3 s). A probabilidade
de um microcapacitor ter sua carga reduzida a menos da
metade e, portanto, não ser recarregado é de 10-5 por
varredura, o que implicará na perda de 1 bit de informação.
Supondo que haja 1011 bits de memória DRAM carregados com
1, determine quantos bits de informação devem ser perdidos em
1 segundo.
PROCESSO DE REFRESH
DRAM ⇒ CAPACITOR ⇒ PRECISA DE REFRESH
SRAM ⇒ TRANSISTOR ⇒ NÃO PRECISA DE REFRESH
50%
50% >50%
<50%
<50%
> 50%
METADE CARREGA NÃO CARREGA
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 18 MANUEL
VARREDURA
O CONTROLADOR DE MEMÓRIA faz 1 (uma) VARREDURA
a cada 1 ms (10-3 s) ⇒ 1 milessegundo .
VAMOS CALCULAR A PERDA POR VARREDURA
QUANTIDADE DE BITS CARREGADOS COM 1 NA
MEMÓRIA DRAM = 1011 BITS (dado do problema).
PROBABILIDADE DE PERDA POR VARREDURA ⇒
P = 10-5 (a cada ms-MILESSEGGUNDO).
LOGO A QUANTIDADE DE BITS PERDIDOS POR
VARREDURA = 1011 × P = 1011 × 10-5 = 106 BITS
OU SEJA A CADA ms (a cada varredura) SÃO
PERDIDOS 106 BITS.
VAMOS CALCULAR AGORA A PERDA EM 1S (1 SEGUNDO).
TEMOS 1S=1000 MS ⇒ 1 SEGUNDO = 1000 MILISSEGUNDOS
A PERDA EM 1 MS = 106 BITS
LOGO A PERDA EM 1S É 1000 × 106 BITS = 109 BITS
PASSANDO ESSES VALORES PARA MB E GB TEMOS:
EM 1 MS A PERDA = 106 BITS ≈ 122 KB ≈ 0,11 MB
EM 1 S A PERDA = 109 BITS ≈ 119 MB ≈ 0,11 GB
A MEMÓRIA DRAM NECESSITA CONSTANTEMENTE SER
REENERGIZADA E RECARREGADA (REFRESH).
POR ESSA RAZÃO O PROCESSO DE REFRESH DIMINUI A
VELOCIDADE DE PROCESSAMENTO !
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
EXERCÍCIO_01 - GABARITO - SLIDES PDF 19 MANUEL