Lista de Cálculo 3

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MAT 003 1o¯ Sem. 2017 Prof. Rodrigo
Lista 1: Ca´lculo de Integrais Duplas e o Teorema de Fubini
1. Seja A o retaˆngulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. Calcule ∫∫
A
f(x, y)dxdy, nos seguintes casos:
a) f(x, y) =
√
x + y b) f(x, y) = x cos(xy) c) f(x, y) =
1
(x + y)2
.
respostas: a) 415 (9
√
3− 8√2 + 1) c) ln ( 43)
2. Sejam f(x) e g(x) duas func¸o˜es cont´ınuas, respectivamente, nos intervalos [a, b] e [c, d].
a) Mostre que
∫∫
A
f(x)g(y)dxdy =
(∫ b
a
f(x)dx
)(∫ d
c
g(y)dy
)
, onde A = [a, b]× [c, d].
b) Utilizando o resultado do item a), calcule
∫∫
A
xyex
2−y2dxdy, onde A e´ o retaˆngulo
−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3. resposta: 0
3. Seja o so´lido S = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x2 + y2 ≤ z ≤ 2}. Calcule o
volume de S. resposta: 43
4. Calcule
∫∫
B
f(x, y)dxdy nos seguintes casos:
a) f(x, y) =
1
ln y
e B =
{
(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 1
y
}
.
resposta: ln(ln 3)− ln(ln 2)
b) f(x, y) = x2 e B = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ y ≤ −x2 + 2x + 2}. resposta: 6320
5. Inverta a ordem de integrac¸a˜o.
a)
∫ 1
0
∫ y+3
y
f(x, y)dxdy
b)
∫ 1
0
∫ √y
−√y
f(x, y)dxdy
1
c)
∫ 1
0
∫ ey
ey−1
f(x, y)dxdy
d)
∫ 2
−1
∫ y+7
3√
7+5y2
3
f(x, y)dxdy
6. Calcule
∫∫
B
x2 dxdy, onde B e´ a regia˜o hachurada indicada na figura abaixo.
B
1−1
−1
1
x
y
resposta: 1
7. No ca´lculo de uma integral dupla sobre uma regia˜o B obtivemos a soma de integrais
como a que segue:∫∫
B
f(x, y) dxdy =
∫ 1
0
∫ 2y
0
f(x, y) dxdy +
∫ 3
1
∫ 3−y
0
f(x, y) dxdy.
Esboce a regia˜o B e expresse a integral dupla como uma integral com ordem de inte-
grac¸a˜o contra´ria.
8. Utilize seus conhecimentos em geometria espacial para calcular a integral dupla∫∫
B
√
1− x2 − y2 dxdy,
onde B e´ o disco x2 + y2 ≤ 1. Esboce o so´lido.
9. Esboce o so´lido cujo volume e´ dado pela integral∫ 1
0
∫ 1−x2
0
(1− x) dydx.
10. Seja o conjunto S = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, ex ≤ y ≤ e}.
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a) Esboce S.
b) Calcule a integral dupla da func¸a˜o f(x, y) =
xey
ln2 y
sobre S.
11. Seja a integral dupla
∫ 0
−2
∫ √4−x2
√
−x(x+2)
f(x, y) dydx.
a) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o.
b) Reescreva a integral com a ordem de integrac¸a˜o trocada.
12. Usando integrais duplas, determine a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas
2y = 16− x2 e x + 2y + 4 = 0.
resposta: 2434
13. Utilizando integrais duplas, calcule o volume do so´lido limitado pelas superf´ıcies
z = 1− y2, x = y2 + 1 e x = −y2 + 9. resposta: 7615
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