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ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 1 / 34
Capı´tulo 1
Matrizes
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 2 / 34
Matriz
Uma matriz do tipom× n e de entradas reais (ou complexas) e´ um quadro
demn nu´meros reais (ou complexos) dispostos emm linhas e n colunas.
A =


a11 a12 . . . a1j . . . a1n
a21 a22 . . . a2j . . . a2n
.
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ai1 ai2 . . . aij . . . ain
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am1 am2 . . . amj . . . amn


Notac¸a˜o: A = [aij ]m×n ou A = [aij ]
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 3 / 34
Entrada de uma matriz
A =


a11 a12 . . . a1j . . . a1n
a21 a22 . . . a2j . . . a2n
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ai1 ai2 . . . aij . . . ain
.
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am1 am2 . . . amj . . . amn


Elemento ou entrada (i, j)
Notac¸a˜o: Mm×n(R) - conjunto de todas as matrizes do tipom× n sobre R.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 4 / 34
Linhas de uma matriz
A =


a11 . . . a1j . . . a1n
.
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ai1 . . . aij . . . ain
.
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am1 . . . amj . . . amn


Linha i
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Colunas de uma matriz
A =


a11 . . . a1j . . . a1n
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ai1 . . . aij . . . ain
.
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am1 . . . amj . . . amn


Coluna j
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 6 / 34
Matriz nula
[aij ] e´ a matriz nula se aij = 0, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n, i.e.,
todas as entradas sa˜o nulas.

0 . . . 0 . . . 0
.
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0 . . . 0 . . . 0
.
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0 . . . 0 . . . 0


• A matriz nula do tipom× n designa-se por 0m×n.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 7 / 34
Matriz coluna e matriz linha
Matriz coluna: 

a1
.
.
.
am


m×1
Matriz linha:
[
a1 . . . an
]
1×n
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Matrizes quadradas
Uma matriz diz-se quadrada se o nu´mero de linhas e´ igual ao nu´mero de
colunas. 

a11 . . . a1i . . . a1n
.
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ai1 . . . aii . . . ain
.
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an1 . . . ani . . . ann


n×n
• n diz-se a ordem da matriz
(Sem 6= n, a matriz diz-se retangular.)
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 9 / 34
Matrizes quadradas
A =


a11 . . . a1i . . . a1n
.
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ai1 . . . aii . . . ain
.
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an1 . . . ani . . . ann


• Diagonal principal de A: a11, a22, . . . , ann
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 10 / 34
Matriz triangular inferior
Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se triangular inferior se aij = 0 para
i < j.


a11 0 . . . 0
.
.
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ai1 . . . aii
.
.
.
.
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.
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.
.
. 0
an1 . . . ani . . . ann


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 11 / 34
Matriz triangular superior
Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se triangular superior se aij = 0 para
i > j.


a11 . . . a1i . . . a1n
0
.
.
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.
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. aii . . . ain
.
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0 . . . 0 ann


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 12 / 34
Matriz diagonal
Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se diagonal se aij = 0 para i 6= j.
A =


a11 . . . 0 . . . 0
.
.
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.
0 . . . aii . . . 0
.
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0 . . . 0 . . . ann


Se todas as entradas da diagonal principal forem iguais, diremos que a
matriz e´ escalar.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 13 / 34
Matriz identidade
A matriz diagonal de ordem n cujas entradas da diagonal principal sa˜o
iguais a 1 designa-se por matriz identidade (de ordem n).
In =


1 0
.
.
.
1
.
.
.
0 1


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 14 / 34
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij], do tipom× n, dizem-se iguais se
aij = bij ,
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
• Nestas condic¸o˜es, escrevemos A = B.
Submatriz de A: e´ uma matriz que se obte´m por supressa˜o de linhas e/ou
colunas de A.
Operac¸o˜es com matrizes
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Adic¸a˜o de matrizes
Se duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] forem do mesmo tipom× n, enta˜o
a soma A+B e´ a matriz do tipom× n cuja entrada (i, j) e´
aij + bij ,
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 16 / 34
Propriedades da adic¸a˜o de matrizes
• ∀A,B,C ∈Mm×n(R), (A+B) + C = A+ (B + C)
• ∀A,B ∈Mm×n(R), A+B = B + A
• ∀A ∈Mm×n(R), A+ 0m×n = A
• ∀A = [akℓ]m×n, ∃A
′ = [−akℓ]m×n, A+ A
′ = 0m×n
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 17 / 34
Multiplicac¸a˜o de um nu´mero por uma matriz
O produto de um nu´mero (real ou complexo) α por uma matriz A = [aij ] do
tipom× n e´ a matriz igualmente do tipom× n tal que a entrada (i, j) e´
αaij ,
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
• Nestas condic¸o˜es, usamos a seguinte notac¸a˜o: αA.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 18 / 34
Propriedades do produto de um nu´mero por uma matriz
• ∀α, β, ∀A, (αβ)A = α(βA)
• ∀α, ∀A,B, α(A+B) = αA+ αB
• ∀α, β, ∀A, (α+ β)A = αA+ βA
• ∀A, 1A = A
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 19 / 34
Multiplicac¸a˜o de matrizes
O produto de A = [aij], do tipom× n, por B = [bij], do tipo n× p e´ a
matriz do tipom× p, tal que a entrada (i, j) e´ definida por
cij = (linha i de A)× (coluna j de B)
=
[
ai1 ai2 · · · ain
]


b1j
b2j
.
.
.
bnj


= ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj
=
n∑
k=1
aikbkj
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , p.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 20 / 34
Multiplicac¸a˜o de matrizes
O produto de A = [aij], do tipom× n, por B = [bij], do tipo n× p e´ a
matriz do tipom× p, tal que a entrada (i, j) e´ definida por
cij = (linha i de A)× (coluna j de B)
=
n∑
k=1
aikbkj
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , p.
• Notac¸a˜o para o produto de A por B: AB ou A×B.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 21 / 34
Observac¸o˜es
• O produto AB apenas esta´ definido se o nu´mero de colunas de A for
igual ao nu´mero de linhas de B.
• A linha i de AB obte´m-se multiplicando a linha i de A pela matriz B.
• A coluna j de AB obte´m-se multiplicando a matrizA pela coluna j deB.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 22 / 34
Propriedades do produto de matrizes
• ∀Am×n,∀Bn×p,∀Cp×r, (AB)C = A(BC)
• ∀A,B ∈Mm×n(R),∀Cn×p, (A+B)C = AC +BC
• ∀Am×n,∀B,C ∈Mn×p(R), A(B + C) = AB + AC
• ∀Am×n,∀Bn×p,∀α, α(AB) = (αA)B = A(αB)
• ∀Am×n, A0n×p = 0m×p, 0p×mA = 0p×n
• ∀Am×n, AIn = A, ImA = A
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 23 / 34
OBSERVAC¸ ˜AO:
• A MULTIPLICAC¸ ˜AO DE MATRIZES N ˜AO ´E COMUTATIVA !!
Quando AB = BA, diz-se que A comuta com B e A e B dizem-se
permuta´veis.
• AS LEIS DO ANULAMENTO DO PRODUTO EM MATRIZES N ˜AO S ˜AO
V ´ALIDAS !!
Matrizes invertı´veis
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 24 / 34
Inversa de uma matriz
Uma matriz quadrada A, de ordemn, e´ invertı´vel se existir uma matriz
quadrada B, de ordem n, tal que AB = BA = In .
Exemplo
Uma inversa de [
2 −1
1 −1
]
e´
?
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 25 / 34
Propriedades da inversa de uma matriz
• Se A e´ invertı´vel, enta˜o a inversa e´ u´nica e denota-se por A−1.
• Se A e B sa˜o matrizes invertı´veis, enta˜o AB e´ uma matriz invertı´vel e
(AB)−1 = B−1A−1.
• Se A e´ invertı´vel e k e´ um nu´mero inteiro, enta˜o (Ak)−1 = (A−1)k.
• Se A e´ invertı´vel e α e´ um escalar na˜o-nulo, enta˜o (αA)−1 = 1
α
A−1.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 26 / 34
Transposta de uma matriz
A transposta de uma matriz A do tipom× n, AT , e´ uma matriz do tipo
n×m cujas linhas sa˜o as colunas de A pela mesma ordem.
Exemplo
A =
[
1 2 −1
3 0 1/2
]
AT =

 1 32 0
−1 1/2


• Se A = AT , enta˜o diremos que A e´ sime´trica.
• Se A = −AT , enta˜o diremos que A e´ anti-sime´trica.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 27 / 34
Propriedades da transposic¸a˜o
Considere as matrizes A,B do tipom× n, e C do tipo n× p, e um nu´mero
α.
• (AT )T = A
• (A+B)T = AT +BT
• (AC)T = CTAT
• (αA)T = αAT
• Se A e´ invertı´vel, enta˜o (AT )−1 = (A−1)T .
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 28 / 34
Matriz ortogonal
Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invertı´vel e a sua inversa
coincidir com a sua transposta.
Exemplo
A matriz
A =
[ √
2
2
−
√
2
2√
2
2
√
2
2
]
e´ ortogonal (verificar!)
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 29 / 34
Matriz de permutac¸a˜o
Uma matriz quadrada de ordem n diz-se uma matriz de permutac¸a˜o se tiver
as mesmas linhas que a matriz identidade In, mas na˜o necessariamente
pela mesma ordem.
Exemplos

 0 1 00 0 1
1 0 0



 0 1 01 0 0
0 0 1


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 30 / 34
Matrizes elementares
Chama-se matriz elementar de ordem n a toda a matriz que se obte´m de In
por aplicac¸a˜o de uma operac¸a˜o elementar a`s respectivas linhas, i.e.
I. Troca entre si de duas linhas
II. Multiplicac¸a˜o de todos os elementos de uma linha por um nu´mero
diferente de zero
III. Substituic¸a˜o de uma linha pela soma dessa linha com um mu´ltiplo de
outra
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 31 / 34
Matrizes elementares do tipo I
Para i, j ∈ {1, · · · , n}, com i 6= j, Pij e´ a matriz que resulta de In
trocando entre si a linha i com a linha j
Exemplos
P12 =

 0 1 01 0 0
0 0 1

 = P21 ; P24 =


1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0

 = P42
• Seja Am×n. PijA e´ a matriz que se obte´m de A trocando a linha i com a
linha j.
• APij e´ a matriz que se obte´m de A trocando a coluna i com a coluna j.
Teorema
(Pij)
−1 = Pij
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 32 / 34
Matrizes elementares do tipo II
Para i ∈ {1, . . . , n} e α um escalar na˜o nulo, Di(α) e´ a matriz que se
obte´m de In multiplicando a linha i por α
Exemplos
D2(7) =

 1 0 00 7 0
0 0 1

 ; D3(9) =


1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 9 0
0 0 0 1


• Seja Am×n. Di(α)A e´ a matriz que se obte´m de A multiplicando a linha
i por α.
Teorema
(Di(α))
−1 = Di(α
−1)
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 33 / 34
Matrizes elementares do tipo III
Para i, j ∈ {1, . . . , n}, com i 6= j, e α um escalar, Eij(α) e´ a matriz que
se obte´m de In substituindo a linha i pela soma da linha i com a linha j
previamente multiplicada por α
Exemplos
E24(−4) =


1 0 0 0
0 1 0 −4
0 0 1 0
0 0 0 1

 ; E31(1/2) =


1 0 0 0
0 1 0 0
1/2 0 1 0
0 0 0 1


• Seja Am×n. Eij(α)A e´ a matriz que se obte´m de A adicionando a` linha
i a linha j previamente multiplicada por α.
• AEij(α) e´ a matriz que se obte´m de A adicionando a` coluna j a coluna
i previamente multiplicada por α
Teorema
(Eij(α))
−1 = Eij(−α)
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 34 / 34
Observac¸o˜es
• Se E for uma matriz elementar, EA e´ a matriz que se obte´m de A
aplicando-lhe a`s linhas as mesmas operac¸o˜es elementares que foram
aplicadas a`s linhas de In para obter E
• Resultado ana´logo e´ va´lido para o produto AE, reflectindo-se agora o
efeito da multiplicac¸a˜o nas colunas de A: AE e´ a matriz obtida de A
aplicando-lhe a`s colunas as mesmas operac¸o˜es elementares que foram
aplicadas a`s colunas de In para obter E.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Operações com matrizes
	
	
	
	
	
	
	
	
	Matrizes invertíveis