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Capı´tulo 2
Sistemas de equac¸o˜es lineares
Definic¸o˜es
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Equac¸a˜o linear
Uma equac¸a˜o (alge´brica) linear na inco´gnita x tem a forma
ax = b
onde o coeficiente a e o termo independente b sa˜o nu´meros reais (ou
complexos).
x : inco´gnita (ou varia´vel)
a : coeficiente
b : termo independente
Definic¸o˜es
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Equac¸a˜o linear
Uma equac¸a˜o (alge´brica) linear nas inco´gnitas x1, x2, . . . , xn tem a forma
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b
onde os coeficientes a1, a2, . . . , an e o termo independente b sa˜o nu´meros
reais (ou complexos).
x1, x2, . . . , xn : inco´gnitas
a1, a2, . . . , an : coeficientes
b : termo independente (ou segundo membro)
Definic¸o˜es
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Sistema de equac¸o˜es lineares
Um sistema dem equac¸o˜es lineares e n inco´gnitas em R (ou C) e´ uma
conjunc¸a˜o dem equac¸o˜es lineares nas mesmas n inco´gnitas:
(1)


a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
xj : varia´veis
aij : coeficientes
bi : termos independentes
Se os termos independentes sa˜o todos iguais a 0, o sistema diz-se
homoge´neo.
Soluc¸a˜o
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Uma soluc¸a˜o do sistema (1) e´ uma sequeˆncia ordenada (α1, . . . , αn) de
nu´meros reais (ou complexos), tal que (1) e´ verdadeiro quando
x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn .
Exemplo
Considere o sistema de 2 equac¸o˜es lineares e 3 inco´gnitas em R:
(2)
{
2x− y + z = 0
−x+ y − z = 1
• (1, 0,−2) e´ soluc¸a˜o do sistema (2).
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Caraterizac¸a˜o de um sistema quanto a` soluc¸a˜o
• Um sistema e´ possı´vel e determinado se tem uma u´nica soluc¸a˜o.
• Um sistema e´ possı´vel e indeterminado se tem mais que uma soluc¸a˜o.
• Um sistema e´ impossı´vel se na˜o tem soluc¸o˜es.
Resolver um sistema de equac¸o˜es e´ determinar todas as suas soluc¸o˜es ou
provar que na˜o existe nenhuma.
Nova representac¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es
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

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn




x1
x2
.
.
.
xn

 =


b1
b2
.
.
.
bm


Ax = b
Representac¸a˜o matricial de um sistema
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

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn




x1
x2
.
.
.
xn

 =


b1
b2
.
.
.
bm


Ax = b
x vetor (coluna) das inco´gnitas
A matriz (dos coeficientes) do sistema
b vetor (coluna) dos termos independentes
Exemplo
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O sistema {
2x− y + z = 0
−x+ y − z = 1
pode ser representado do seguinte modo:
[
2 −1 1
−1 1 −1
] xy
z

 =
[
0
1
]
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Equivaleˆncia de sistemas de equac¸o˜es lineares
Dois sistemas com o mesmo nu´mero de equac¸o˜es e de inco´gnitas dizem-se
equivalentes se tiverem exatamente as mesmas soluc¸o˜es.
Teorema
Seja Ax = b um sistema de equac¸o˜es lineares, com A do tipom× n.
Seja E uma matrizm×m invertı´vel. Enta˜o, o sistema EAx = Eb e´
equivalente ao sistema Ax = b.
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• Troca de duas linhas.
(Produto por uma matriz elementar do tipo I! Pij)
• Multiplicac¸a˜o de uma linha por um escalar diferente de zero.
(Produto por uma matriz elementar do tipo II!Di(α))
• Substituic¸a˜o de uma linha por essa linha mais o mu´ltiplo de outra.
(Produto por uma matriz elementar do tipo III! Eij(α))
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Matriz ampliada
Quando se considera a representac¸a˜o matricial de um sistema de equac¸o˜es
lineares e se efetuam operac¸o˜es elementares, os elementos que sa˜o
alterados sa˜o apenas os coeficientes das varia´veis e os termos
independentes. Vai assim utilizar-se uma matrizm× (n+ 1) onde se
registam os coeficientes das varia´veis e os termos independentes, dita a
matriz ampliada do sistema (1)


a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn bm


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Me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss
Exemplo
Vamos resolver o sistema:

x1 + x2 = 2
4x1 + 3x2 + x3 = 7
5x1 − 3x2 + 10x3 = 2
A representac¸a˜o matricial do sistema e´:
Ax = b⇔

 1 1 04 3 1
5 −3 10



 x1x2
x3

 =

 27
2


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A matriz ampliada do sistema e´:
 1 1 0 | 24 3 1 | 7
5 −3 10 | 2



 1 1 0 | 24 3 1 | 7
5 −3 10 | 2



 1 1 0 | 20 -1 1 | −1
0 −8 10 | −8

L′2=L2−4L1
L′
3
=L3−5L1

 1 1 0 | 20 −1 1 | −1
0 0 2 | 0

L′3=L3−8L2
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O sistema associado e´
Ux = c⇔


x1 + x2 = 2
−x2 + x3 = −1
2x3 = 0
⇔


x1 = 1
x2 = 1
x3 = 0
• O sistema e´ possı´vel e determinado
Soluc¸a˜o : (1, 1, 0)
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Me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss (caso quadrado)
Dado o sistema

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
Consideremos a matriz ampliada

a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann bn


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Supondo que a11 6= 0, subtraı´mos a cada linha Lk, abaixo da primeira, a
primeira linha depois de multiplicada por ak1/a11:
L′k = Lk −
ak1
a11
L1 ,
i.e.,
a′kℓ = akℓ − ak1a
−1
11 a1ℓ , para k = 2, . . . , n, ℓ = 1, · · · , n
e
b′k = bk − ak1a
−1
11 b1 , para k = 2, . . . , n.
Designamos a11( 6= 0) por pivot.
Se a11 = 0, enta˜o trocamos a primeira linha por outra que tenha a primeira
entrada na˜o nula.
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Obtemos assim a matriz ampliada

a11 a12 a13 · · · a1n b1
0 a′22 a
′
23 · · · a
′
2n b
′
2
0 a′32 a
′
33 · · · a
′
3n b
′
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 a′n2 a
′
n3 · · · a
′
nn b
′
n


• O sistema associado a esta matriz ampliada e´ equivalente ao inicial.
Repetimos agora o passo anterior para a′22 6= 0 (pivot).
Se a′22 = 0, enta˜o trocamos a segunda linha por outra abaixo que tenha a
segunda entrada na˜o nula. No caso de serem todas nulas, prosseguimos
com a′23.
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Repetindo o processoanterior, no final obtemos uma matriz ampliada

a11 a12 a13 · · · a1n b1
a′22 a
′
23 · · · a
′
2n b
′
2
a′′33 · · · a
′′
3n b
′′
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 a∗nn b
∗
n


⇔ [U |c]
em que U e´ uma matriz triangular superior do mesmo tipo de A.
• O sistema associado a esta matriz ampliada e´ equivalente ao inicial.
• Se as entradas da diagonal principal de U forem todas diferentes de
zero, diremos que A e´ na˜o singular. Caso contra´rio, diz-se singular.
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O sistema associado a` u´ltima matriz ampliada e´:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1
a′22x2 + a
′
23x3 + · · ·+ a
′
2nxn = b
′
2
a′′33x3 + · · ·+ a
′′
3nxn = b
′′
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a∗nnxn = b
∗
n
• Se A for na˜o singular, enta˜o a soluc¸a˜o do sistema inicial e´ facilmente
obtida por substituic¸a˜o:
xn =
b∗n
a∗nn
, xn−1 = · · ·
• Se A for singular, enta˜o tera´ de fazer-se uma ana´lise ana´loga aos casos
que se seguem.
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Me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss (casos na˜o quadrados)
Suponhamos que no sistema (1), o nu´mero de equac¸o˜es e´ superior ao
nu´mero de inco´gnitas, i.e.,m > n.
No final da eliminac¸a˜o de Gauss, obtemos a matriz ampliada


a11 a12 a13 · · · a1n b1
0 a′22 a
′
23 · · · a
′
2n b
′
2
0 0 a′′33 · · · a
′′
3n b
′′
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 a∗nn b
∗
n
0 0 0 · · · 0 b∗n+1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · 0 b∗m


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 22 / 59
• Se b∗k 6= 0, para algum k ≥ n+ 1, o sistema (1) e´ impossı´vel.
• Se b∗k = 0, para todo k ≥ n+ 1, o sistema (1) e´ possı´vel.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 23 / 59
Exemplo
Vamos resolver o sistema:

x1 + x2 − x3 = 2
2x1 + 2x2 + 4x3 = 4
−x1 + x2 − 5x3 = 0
3x1 + 4x2 − 6x3 = 7
A representac¸a˜o matricial do sistema e´:
Ax = b⇔


1 1 −1
2 2 4
−1 1 −5
3 4 −6



 x1x2
x3

 =


2
4
0
7


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 24 / 59
Passando a` matriz ampliada do sistema


1 1 −1 | 2
2 2 4 | 4
−1 1 −5 | 0
3 4 −6 | 7




1 1 −1 | 2
0 0 6 | 0
0 2 −6 | 2
0 1 −3 | 1

L′2=L2−2L1
L′
3
= L3 + L1
L′
4
= L4 − 3L1
L2↔L3


1 1 −1 | 2
0 2 −6 | 2
0 0 6 | 0
0 1 −3 | 1




1 1 −1 | 2
0 2 −6 | 2
0 0 6 | 0
0 0 0 | 0

L′4=L4− 12L2
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 25 / 59
O sistema inicial e´ possı´vel e determinado e equivalente ao sistema


x1 + x2 − x3 = 2
2x2 − 6x3 = 2
6x3 = 0
⇔


x1 = 1
x2 = 1
x3 = 0
Soluc¸a˜o: (1, 1, 0)
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 26 / 59
Exemplo
Vamos resolver o sistema:

x1 − x2 − x3 = 2
2x1 − x2 − 3x3 = 6
x1 − 2x3 = 1
x1 − x2 + x3 = 6
A representac¸a˜o matricial do sistema e´:
Ax = b⇔


1 −1 −1
2 −1 −3
1 0 −2
1 −1 1



 x1x2
x3

 =


2
6
1
6


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 27 / 59
Passando a` matriz ampliada do sistema


1 −1 −1 | 2
2 −1 −3 | 6
1 0 −2 | 1
1 −1 1 | 6




1 1 −1 | 2
0 1 −1 | 2
0 1 −1 | −1
0 0 2 | 4

L′2=L2−2L1
L′
3
= L3 − L1
L′
4
= L4 − L1
L′
3
=L3−L2


1 1 −1 | 2
0 1 −1 | 2
0 0 0 | −3
0 0 2 | 4




1 1 −1 | 2
0 1 −1 | 2
0 0 2 | 4
0 0 0 | -3

L3↔L4
O sistema e´ impossı´vel !
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 28 / 59
Suponhamos que no sistema (1), o nu´mero de equac¸o˜es e´ inferior ao
nu´mero de inco´gnitas, i.e.,m < n.
No final da eliminac¸a˜o de Gauss, obtemos a matriz ampliada

a11 a12 a13 · · · a1m · · · a1n b1
a′22 a
′
32 · · · a
′
2m · · · a
′
2n b
′
2
a′′33 · · · a
′′
3m · · · a
′′
3n b
′′
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a∗mm · · · a
∗
mn b
∗
m


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 29 / 59
Varia´veis livres e varia´veis ba´sicas
• As varia´veis ba´sicas sa˜o as que correspondem a`s colunas onde se
encontram os pivots.
• As varia´veis livres sa˜o as restantes.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 30 / 59
Matriz em escada de linhas
A matriz U que se obte´m no final da eliminac¸a˜o de Gauss e´ uma matriz em
escada de linhas, isto e´, verifica:
• Se o primeiro elemento na˜o nulo numa linha esta´ na coluna k, enta˜o a
linha seguinte comec¸a com pelo menos k elementos nulos.
• As linhas nulas (se existirem) encontram-se sempre depois das linhas
na˜o todas nulas.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 31 / 59
Exemplo
Vamos resolver o sistema:

x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0
3x1 − 6x2 + 3x3 − x4 = 1
5x1 − 11x2 + 6x3 + x4 = 1
A representac¸a˜o matricial do sistema e´:
Ax = b⇔

 1 −2 1 13 −6 3 −1
5 −11 6 1



 x1x2
x3

 =

 01
1


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 32 / 59
Passando a` matriz ampliada do sistema

 1 −2 1 1 | 03 −6 3 −1 | 1
5 −11 6 1 | 1



 1 −2 1 1 | 00 0 0 −4 | 1
0 −1 1 −4 | 1

L′2=L2−3L1
L′
3
=L3−5L1

 1 −2 1 1 | 00 -1 1 −4 | 1
0 0 0 -4 | 1

L2↔L3
Pivots: 1 -1 -4 Varia´veis ba´sicas: x1, x2, x4
Varia´veis livres: x3
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 33 / 59
O sistema inicial e´ possı´vel e indeterminado e equivalente ao sistema


x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0
−x2 + x3 − 4x4 = 1
−4x4 = 1
⇔


x1 = x3 + 1/4
x2 = x3
x4 = −1/4
Conjunto das soluc¸o˜es:
{(
x3 +
1
4
, x3, x3,−
1
4
)
: x3 ∈ R
}
Caraterı´stica de uma matriz
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 34 / 59
A caraterı´stica de Am×n, car(A), e´ o nu´mero de pivots, isto e´, o nu´mero de
linhas na˜o nulas da matriz em escada U , matriz final da eliminac¸a˜o de
Gauss.
Se A = O, enta˜o, por definic¸a˜o, caraterı´stica de A e´ 0.
Se A e´ uma matriz quadrada de ordem n:
A e´ na˜o singular se e so´ se caraterı´stica de A e´ n.
A e´ singular se e so´ se car(A) < n.
Fatorizac¸a˜o LU
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 35 / 59
Caso das matrizes quadradas na˜o singulares
A MEG U
Se A e´ uma matriz quadrada na˜o singular, enta˜o uma das situac¸o˜es ocorre:
I. Em todos os passos elementares o candidato a pivot e´ diferente de zero.
II. Em algum passo elementar o candidato a pivot e´ zero, tendo-se de
efetuar uma troca conveniente de linhas de modo a obtermos para pivot
uma componente na˜o nula.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 36 / 59
Caso I
Comecemos por analisar o exemplo da matriz das pp. 13-14.
Exemplo
A =

 1 1 04 3 1
5 −3 10


Na aplicac¸a˜o do MEG efectua´mos treˆs operac¸o˜es elementares:
1. adiciona´mos -4 vezes a linha 1 a` linha 2;
2. adiciona´mos -5 vezes a linha 1 a` linha 3;
3. adiciona´mos -8 vezes a linha 2 a` linha 3.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 37 / 59
Assim
E21(−4)A =

 1 1 00 −1 15 −3 10


E31(−5)E21(−4)A =

 1 1 00 −1 1
0 −8 10


E32(−8)E31(−5)E21(−4)A =

 1 1 00 −1 1
0 0 2

 = U
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 38 / 59
Donde
E32(8)E32(−8)︸ ︷︷ ︸
I3
E31(−5)E21(−4)A = E32(8)U
⇔ E31(5)E31(−5)︸ ︷︷ ︸
I3
E21(−4)A = E31(5)E32(8)U
⇔ E21(4)E21(−4)︸ ︷︷ ︸
I3
A = E21(4)E31(5)E32(8)U
⇔ A = E21(4)E31(5)E32(8)︸ ︷︷ ︸
L
U
L =

 1 0 04 1 0
0 0 1



 1 0 00 1 0
5 0 1



 1 0 00 1 0
0 8 1

 =

 1 0 04 1 0
5 8 1

 .
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 39 / 59
Em geral
Como a11 6= 0, o primeiro passo elementar consiste em fazer as operac¸o˜es
elementares
L′k = Lk −
ak1
a11
L1, k = 2, . . . , n.
Esta operac¸a˜o corresponde a, para cada k, efectuar a multiplicac¸a˜o de A a`
esquerda por
Ek1
(
−
ak1
a11
)
O primeiro passo elementar corresponde a calcular o produto
En1
(
−
an1
a11
)
· · ·E21
(
−
a21
a11
)
︸ ︷︷ ︸A
E1
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 40 / 59
Como a′22 6= 0, o segundo passo elementar corresponde a calcular
E2E1A
onde
E2 = En2
(
−
a′n2
a′22
)
· · ·E32
(
−
a′32
a′22
)
Neste caso, em cada passo elementar o candidato a pivot e´ diferente de
zero, pelo que efectuar os n− 1 passos elementares e´ equivalente a
calcular o produto
En−1 · · ·E2E1A =


a11 a12 a13 · · · a1n
a′22 a
′
32 · · · a
′
2n
a′′33 · · · a
′′
3n
.
.
.
.
.
.
0 a∗nn

 = U
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 41 / 59
Deste modo
A = E−11 E
−1
2 · · ·E
−1
n−1︸ ︷︷ ︸U
L
Obtemos assim uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal
onde sa˜o registadas as operac¸o˜es elementares:
L =


1
a21
a11
1
a31
a11
a′
32
a′
22
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1
a11
a′
n2
a′
22
∗ 1


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 42 / 59
Em suma, para o Caso I:
Se A e´ uma matriz quadrada na˜o singular e os candidatos a pivot sa˜o todos
diferentes de zero tem-se a factorizac¸a˜o A = LU com:
• L uma matriz triangular inferior com elementos diagonais iguais a 1 e
cujos elementos sob a diagonal principal sa˜o os sime´tricos dos
multiplicadores usados no MEG. Concretamente, na posic¸a˜o (k, ℓ) de L
tem-se −α que corresponde a` operac¸a˜o elementar L′k = Lk + αLℓ.
• U e´ uma matriz triangular superior, obtida por eliminac¸a˜o descendente
sobre A. Os elementos da diagonal principal de U sa˜o os pivots.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 43 / 59
Caso II
Se A e´ uma matriz quadrada, na˜o singular, e tal que em algum passo
elementar da eliminac¸a˜o de Gauss surge no lugar de um pivot uma entrada
nula, enta˜o existe uma matriz de permutac¸a˜o P , tal que PA = LU .
Exemplo
A =

 1 4 2−2 −8 −2
1 5 3


A=

 1 4 2−2 −8 −2
1 5 3



 1 4 20 0 2
0 1 1



 1 4 20 1 1
0 0 2

=UL′2=L2+2L1
L′
3
=L3−L1
L2↔L3
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 44 / 59
P23E31(−1)E21(2)A = U ⇔ A = E21(−2)E31(1)P23U
⇔ A =

 1 0 0−2 1 0
1 0 1

P23U Na˜o e´ possı´vel obter A = LU !
No entanto
P23A =

 1 4 21 5 3
−2 −8 −2



 1 4 20 1 1
0 0 2

L′2=L2−L1
L′
3
=L3+2L1
donde
P23A =

 1 0 01 1 0
−2 0 1


︸ ︷︷ ︸
L

 1 4 20 1 1
0 0 2


︸ ︷︷ ︸
U
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 45 / 59
Fatorizac¸a˜o LU no caso singular e no caso na˜o quadrado
Procedemos de igual modo como anteriormente em que a matriz U obtida
sera´ uma matriz em escada de linhas, do mesmo tipo de A, e L e´ uma
matriz quadrada triangular inferior com 1’s na diagonal principal e de ordem
igual ao nu´mero de linhas de A.
Exemplo
A =

 1 −1 23 −2 7
2 0 6


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 46 / 59
A=

 1 −1 23 −2 7
2 0 6



 1 −1 20 1 1
0 2 2



 1 −1 20 1 1
0 0 0

 = UL′2=L2−3L1
L′
3
=L3−2L1
L′
3
=L3−L2
A = LU =

 1 0 03 1 0
2 1 1



 1 −1 20 1 1
0 0 0


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 47 / 59
Em suma:
Teorema (Fatorizac¸a˜o LU)
Sendo A uma matriz do tipom× n, enta˜o existe uma matriz de
permutac¸a˜o P tal que PA se pode fatorizar na forma PA = LU
onde :
- a matriz L e´ triangular inferior com elementos diagonais iguais a 1,
sendo os elementos abaixo da diagonal de L os sime´tricos dos
multiplicadores usados no me´todo de eliminac¸a˜o aplicado a A;
- a matriz U e´ a matriz em escada obtida no final do
me´todo de eliminac¸a˜o aplicado a A.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 48 / 59
Resoluc¸a˜o de sistemas usando a fatorizac¸a˜o LU
Considere-se o sistema
Ax = b
e suponhamos que
PA = LU.
Enta˜o
Ax = b⇔ PAx = Pb⇔ LUx = Pb.
Resolver o sistema Ax = b e´ equivalente a resolver o sistema
Ux = c
onde c e´ a soluc¸a˜o do sistema
Ly = Pb.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 49 / 59
Teorema
Uma matriz quadrada A e´ na˜o singular se e so´ se o sistema
Ax = 0 e´ possı´vel e determinado.
• Um sistema Ax = 0 designa-se por homoge´neo (e e´ sempre possı´vel!)
Exemplo Resolve o sistema homoge´neo:

 2 −1 1 14 1 −1 −1
−2 2 −2 −2




x1
x2
x3
x4

 =

 00
0


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 50 / 59
Teorema
Um sistema homoge´neo com mais inco´gnitas do que equac¸o˜es
e´ indeterminado.
Prova:
Am×nx = 0 comm < n.
Seja car(A) = r. Como r ≤ m, porque o nu´mero de pivots na˜o pode
exceder o nu´mero de linhas, tem-se r < n, e portanto ha´ necessariamente
inco´gnitas livres (n− r).
Definic¸a˜o
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 51 / 59
Seja A ∈Mm×n(R).
O conjunto das soluc¸o˜es do sistema Ax = 0 diz-se o nu´cleo ou espac¸o nulo
de A e designa-se por N(A).
N(A) = {x ∈Mn×1(R) : Ax = 0}
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 52 / 59
Dado um sistema na˜o homoge´neo Ax = b, designa-se o sistema Ax = 0
por sistema homoge´neo associado a Ax = b.
Teorema
Sejam Ax = b um sistema possı´vel e xp uma soluc¸a˜o de
Ax = b. Enta˜o qualquer soluc¸a˜o x de Ax = b se escreve
como soma da soluc¸a˜o particular xp com uma soluc¸a˜o xh
do sistema homoge´neo associado Ax = 0.
x = xp + xh
Exemplo Resolve o seguinte sistema e escreve a sua soluc¸a˜o na forma
x = xp + xh:

 2 −1 1 14 1 −1 −1
−2 2 −2 −2




x1
x2
x3
x4

 =

 33
−2


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 53 / 59
Teorema
Seja A uma matriz do tipom× n.
(a) Sendo Ax = b possı´vel, e´ determinado se e so´ se car(A) = n.
(b) Ax = b e´ possı´vel para todo o b se e so´ se car(A) = m.
Prova:
(a) O sistema e´ determinado se na˜o houver inco´gnitas livres, isto e´, se todas
as colunas tiverem pivot, o que e´ equivalente a dizer car(A) = n.
(b) Ax = b e´ possı´vel para todo o b se a matriz U na˜o tiver linhas nulas, o
que quer precisamente dizer que car(A) = m.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 54 / 59
Determinac¸a˜o da matriz inversa: me´todo de Gauss-Jordan
Uma matriz quadrada A diz-se invertı´vel se existir uma matriz B da mesma
ordem tal que
AB = BA = I.
Teorema
A inversade uma matriz quadrada A se existir e´ u´nica e
designa-se por A−1.
Teorema
Uma matriz quadrada A e´ invertı´vel se e so´ se e´ na˜o singular.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 55 / 59
Ja´ sabemos que o produto de matrizes invertı´veis e´ invertı´vel.
Seguidamente demonstraremos a afirmac¸a˜o recı´proca.
Teorema
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB e´ invertı´vel.
Enta˜o A e B sa˜o ambas invertı´veis.
Corola´rio
Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem tais que AB = I .
Enta˜o B = A−1.
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 56 / 59
Algoritmo
[A|I]→ [U |∗]→ [I|A−1]
Exemplo
Determinar a inversa da matriz
A =

 1 2 21 1 1
1 2 4


ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 57 / 59

 1 2 2 | 1 0 01 1 1 | 0 1 0
1 2 4 | 0 0 1



 1 2 2 | 1 0 00 -1 −1 | −1 1 0
0 0 2 | −1 0 1

L′2=L2−L1
L′
3
=L3−L1
L′
2
=L2+1/2L3
L′
1
=L1−L3

 1 2 0 | 2 0 −10 −1 0 | −3/2 1 1/2
0 0 2 | −1 0 1



 1 0 0 | −1 2 00 −1 0 | −3/2 1 1/2
0 0 2 | −1 0 1

L′1=L1+2L2

 1 0 0 | −1 2 00 1 0 | 3/2 −1 −1/2
0 0 1 | −1/2 0 1/2

L′2=−L2
L′
3
=1/2L3
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 58 / 59
Enta˜o
A−1 =

 −1 2 03/2 −1 −1/2
−1/2 0 1/2


Observac¸a˜o:
D3(1/2)D2(−1)E12(2)E13(−1)E23(1/2)E31(−1)E21(−1)︸ ︷︷ ︸A = I3
A−1
ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Sistemas de equac¸o˜es lineares – 59 / 59
Resoluc¸a˜o de sistemas lineares com a inversa
A primeira motivac¸a˜o para a introduc¸a˜o da inversa de uma matriz prende-se
com o facto desta permitir uma fo´rmula simples para a soluc¸a˜o de qualquer
sistema com uma matriz de coeficientes invertı´vel.
Teorema
Se A e´ uma matriz na˜o singular, enta˜o x = A−1b
e´ a u´nica soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es lineares Ax = b,
qualquer que seja b.
	Definições
	Definições
	Definições
	Solução
	
	Nova representação de um sistema de equações
	Representação matricial de um sistema
	Exemplo
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Caraterística de uma matriz
	Fatorização LU
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Definição