Cap3 impressao

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ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Civil Determinantes – 1 / 14
Capı´tulo 3
Determinantes
Definic¸a˜o
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Determinante de ordem n e´ uma func¸a˜o
det : Mn×n(R) −→ R (ou C)
A 7→ det(A)
(tambe´m se denota det(A) por |A|) que satisfaz as seguintes propriedades:
Para cada matriz quadrada A = [aij ]n×n e para cada α, b1, . . . , bn ∈ R,
(D1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
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αai1 αai2 · · · αain
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an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= α
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
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ai1 ai2 · · · ain
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an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
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(D2)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
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ai1 + b1 ai2 + b2 · · · ain + bn
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an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
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ai1 ai2 · · · ain
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an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
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b1 b2 · · · bn
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an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(D3) Se A tem duas linhas iguais, enta˜o det(A) = 0.
(D4) det(In) = 1.
Propriedades de um determinante
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1) Se uma linha de A for mu´ltipla de outra linha de A enta˜o det(A) = 0.
Em particular, se A tem uma linha nula, enta˜o det(A) = 0.
2) Se B e´ uma matriz que se obte´m de A por troca de duas linhas, enta˜o
det(B) = − det(A).
3) Se P e´ uma matriz de permutac¸a˜o enta˜o det(P ) = ±1.
4) O determinante de A na˜o se altera quando adicionamos a uma linha um
mu´ltiplo de outra linha.
Existeˆncia e unicidade do determinante
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Teorema
Existe um e um so´ determinante de ordem n.
Exemplo
• n = 2 ∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12
Em geral, tem-se
det([aij]) =
∑
σ∈Sn
sgn(σ) a1σ1a2σ2 · · · anσn
Mais Propriedades de um determinante
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1) Se U e´ uma matriz obtida de A pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss,
enta˜o det(A) = det(U), se na˜o houver trocas de linhas. Se houver
necessidade de trocas de linhas enta˜o
det(A) =
{
det(U) se o nu´mero de trocas e´ par
− det(U) se o nu´mero de trocas e´ ı´mpar
2) O determinante de uma matriz triangular superior ou inferior e´ igual ao
produto dos elementos diagonais.
Outras propriedades dos determinantes
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Teorema
Sejam A, B matrizes quadradas de ordem n. Enta˜o:
1. A e´ na˜o-singular se e so´ se det(A) 6= 0.
2. A e´ invertı´vel se e so´ se det(A) 6= 0.
3. det(AB) = det(A) det(B)
4. det(AT ) = det(A)
5. Se A e´ invertı´vel, enta˜o det(A−1) =
1
det(A)
.
6. O sistema Ax = 0 e´ determinado se e so´ se det(A) 6= 0.
Teorema de Laplace
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Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n. Por Aij designamos a
matriz quadrada de ordem n− 1 que se obte´m de A por supressa˜o da linha
i e da coluna j.
Dado i ∈ {1, . . . , n}, o determinante de A e´ o escalar
(1) det(A) =
n∑
j=1
(−1)i+jaij det(Aij) ,
com det[a] = a.
• (−1)i+j det(Aij) diz-se o complemento alge´brico de aij
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Exemplo
• n = 3
det

 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

 i = 2= (−1)2+1a21 det
[
a12 a13
a32 a33
]
+
+ (−1)2+2a22 det
[
a11 a13
a31 a33
]
+
+ (−1)2+3a23 det
[
a11 a12
a31 a32
]
= · · ·
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Observac¸o˜es
1) A expressa˜o (1) e´ conhecida como expansa˜o de Laplace segundo a linha
i, podendo ser igualmente feita segundo uma coluna qualquer.
2) A expansa˜o de Laplace segundo a coluna j, e´ dada por
det(A) =
n∑
i=1
(−1)i+jaij det(Aij).
3) O determinante na˜o depende da linha (ou da coluna) previamente fixada.
Aplicac¸o˜es do determinante
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Determinac¸a˜o da inversa de uma matriz
Seja A uma matriz de ordem n. A matriz dos complementos alge´bricos de
A e´ a matriz que se obte´m de A substituindo cada elemento pelo seu
complemento alge´brico.
A matriz adjunta de A, adjA, e´ a matriz de ordem n que se obte´m
transpondo a matriz dos complementos alge´bricos.
Teorema
Se A e´ invertı´vel, enta˜o A−1 =
1
det(A)
adjA.
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Exemplo
A =
[
1 2
−1 0
]
, complementos alge´bricos =
[
0 1
−2 1
]
adjA =
[
0 −2
1 1
]
, detA = 2
A−1 =
[
0 −1
1
2
1
2
]
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Resoluc¸a˜o de sistemas possı´veis e determinados
Seja A uma matriz invertı´vel de ordem n. Considera o sistema Ax = b.
A soluc¸a˜o do sistema e´ a coluna cujos elementos sa˜o os quocientes:
xj =
det(Aj)
detA
onde A(j) e´ a matriz que se obte´m de A substituindo a coluna j por b.
• Este me´todo designa-se por regra de Cramer.
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Exemplo
Consideremos o sistema Ax = b onde
A =
[
1 2
2 3
]
, b =
[
0
−1
]
Atendendo a que det(A) = −1, temos, pela regra de Cramer,
x1 =
∣∣∣∣ 0 2−1 3
∣∣∣∣
−1
= −2 e x2 =
∣∣∣∣ 1 02 −1
∣∣∣∣
−1
= 1
	Definição
	
	Propriedades de um determinante
	Existência e unicidade do determinante
	Mais Propriedades de um determinante
	Outras propriedades dos determinantes
	Teorema de Laplace
	
	
	Aplicações do determinante