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ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 1 / 26
Capítulo 4
Espaços vetoriais e transformações
lineares
(o espaço Rn)
Definição
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 2 / 26
Seja V um conjunto não vazio, K = R (ou K = C) e suponhamos que
estão definidas duas operações, uma adição e uma multiplicação escalar:
+ : V × V → V
(u, v) 7→ u+ v
· : K× V → V
(α, v) 7→ αv
Diz-se que V é um espaço vetorial sobre K, para aquelas operações, se:
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 3 / 26
• ∀ u, v, w ∈ V, (u+ v) + w = u+ (v + w) ,
• ∀ u, v ∈ V, u+ v = v + u ,
• ∃ 0 ∈ V : ∀ u ∈ V, u+ 0 = u ,
• ∀ u ∈ V, ∃ v ∈ V : u+ v = 0 ,
• ∀ α, β ∈ K, ∀ u ∈ V, (α+ β)u = αu+ βu ,
• ∀ α ∈ K, ∀ u, v ∈ V, α(u+ v) = αu+ αv ,
• ∀ α, β ∈ K, ∀ u ∈ V, (αβ)u = α(βu) ,
• ∀ u ∈ V, 1u = u .
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 4 / 26
Observações
• Os elementos de V designam-se por vetores e os de K por escalares ou
números.
• Se K = R, diz-se que V é um espaço vetorial real.
• Se K = C, diz-se que V é um espaço vetorial complexo.
• O elemento neutro da adição é designado por vetor nulo de V e
representado por 0V .
• Se u, v ∈ V , u− v representa u+ (−v).
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 5 / 26
Exemplos
1) R é um espaço vetorial real para as operações usuais.
2) C é um espaço vetorial complexo (e também espaço vetorial real) para
as operações usuais.
3) R2 é um espaço vetorial real para as operações definidas por
+ : R2 × R2 → R2
((x1, x2), (y1, y2)) 7→ (x1 + y1, x2 + y2)
· : R× R2 → R2
(α, (x1, x2)) 7→ (αx1, αx2)
4) Mais geralmente, Rn, n ∈ N, é um espaço vetorial real para as
operações definidas por
+ : Rn × Rn → Rn
((x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn)) 7→ (x1 + y1, · · · , xn + yn)
· : R× Rn → Rn
(α, (x1, · · · , xn)) 7→ (αx1, · · · , αxn)
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 6 / 26
5) O conjunto de todas as matrizes reais do tipom× n, é um espaço
vetorial real para as operações de adição de matrizes e multiplicação de
um número por uma matriz.
6) O conjunto dos polinómios de coeficientes reais e de grau menor ou igual
a n, com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
7) C[a, b] = {f : [a, b] −→ R , f contínua em [a, b]}, com as operações
usuais, é um espaço vetorial real.
Subespaços vetoriais
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 7 / 26
Definição
Um subconjunto F de Rn diz-se um subespaço de Rn se
1. F 6= ∅
2. ∀ u, v ∈ F, u+ v ∈ F
3. ∀ α ∈ R, ∀ u ∈ F, αu ∈ F .
Observação: Um subespaço de Rn é, ele próprio, um espaço vetorial
real, ou seja, verifica as propriedades referidas anteriormente.
Subespaços vetoriais
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 8 / 26
Exemplos
1) Rn e {0Rn} são subespaços vetoriais (triviais) de Rn.
2) S1 = {(x, y) ∈ R2 : y = x} é um subespaço vetorial de R2.
3) S2 = {(x, y) ∈ R2 : y = x+ 1} não é um subespaço vetorial de R2.
4) O núcleo ou espaço nulo de uma matriz real A do tipom× n define-se
como
N(A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}
e é um subespaço vetorial de Rn.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 9 / 26
Corolário
Se F ⊂ Rn e 0Rn /∈ F , então F não é um subespaço vetorial de Rn.
Proposição
Sejam U e V subespaços vetoriais de Rn. Então
U ∩ V = {u ∈ Rn : u ∈ U e u ∈ V }
é um subespaço vetorial de Rn.
Exemplo
Sejam U e V subespaços vetoriais de Rn. O conjunto
U ∪ V = {u ∈ Rn : u ∈ U ou u ∈ V }
é um subespaço vetorial de Rn?
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 10 / 26
Subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores
Sejam v1, . . . , vk vetores de Rn. Uma combinação linear de v1, . . . , vk é
um vetor da forma
α1v1 + · · · + αkvk
onde α1, . . . , αk ∈ R (os coeficientes da combinação linear).
Por ger{v1, . . . , vk} representamos o conjunto de todas as combinações
lineares dos vetores v1, . . . vk.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 11 / 26
Teorema
Sendo v1, . . . vk ∈ Rn, o conjunto ger{v1, . . . , vk} é um subespaço de Rn.
Diremos que ger{v1, . . . , vk} é o subespaço gerado por v1, . . . , vk. Se
F = ger{v1, . . . , vk}, diz-se que {v1, . . . , vk} é um conjunto gerador de F .
Exemplo
Dada uma matriz real A do tipom× n, o espaço das colunas de A, C(A),
é o subespaço vetorial de Rm gerado pelas colunas de A.
O espaço das linhas de A é R(A) = C(AT ), isto é, o espaço gerado pelas
linhas de A consideradas como vetores de Rn.
Teorema
C(A) = {b ∈ Rm : o sistema Ax = b é possível}
Dependência e independência linear
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 12 / 26
Sejam v1, v2, . . . , vk vetores de Rn.
• Se k ≥ 2, os vetores v1, v2, . . . , vk dizem-se linearmente independentes
se nenhum deles se escreve como combinação linear dos restantes.
• Se k = 1, o vetor v1 é linearmente independente se v1 for não nulo.
• Os vetores v1, v2, . . . , vk dizem-se linearmente dependentes se não
forem linearmente independentes.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 13 / 26
Proposição
Sejam v1, v2, . . . , vk vetores de Rn.
Os vetores v1, v2, . . . , vk são linearmente independentes se e só se
a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear de
v1, v2, . . . , vk é considerando os escalares todos nulos, isto é,
α1v1 + · · · + αkvk = 0Rn =⇒ α1 = · · · = αk = 0
Proposição
Sejam v1, v2, . . . , vk ∈ Rn e A = [v1 v2 . . . vk]. Os vetores
v1, . . . , vk são linearmente independentes se e só se N(A) = {0Rk}.
Base e dimensão
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 14 / 26
Seja F um subespaço de Rn. Um conjunto de vetores de F que
• gerem F
• sejam linearmente independentes
diz-se uma base de F .
Ao indicar os vetores de uma base de um subespaço, interessa também a
ordem pela qual eles aparecem.
Exemplos
1) Os vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) constituem uma base de R3
(conhecida como base canónica).
2) O conjunto {(1, 1, 0), (1, 0, 1)} é uma base do subespaço
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y − z = 0}.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 15 / 26
Proposição
Qualquer vetor de um subespaço escreve-se de modo único
como combinação linear dos vetores de uma base desse
subespaço.
Seja B = {v1, . . . , vk} uma base ordenada do subespaço F . Dado v ∈ F ,
se v = α1v1 + · · · + αkvk, então diz-se que (α1, . . . , αk) são as
coordenadas de v na base B.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 16 / 26
Proposição
Seja F um subespaço de Rn. Sejam B1 um conjunto gerador de F com
p elementos e B2 um subconjunto linearmente independente de F
com q elementos. Então, p ≥ q.
Corolário
Sejam B1 = {v1, . . . , vm} e B2 = {u1, . . . , un} duas bases de F .
Então,m = n.
Se um subespaço de Rn, F tem uma base com n (n ∈ N) vetores, diz-se
que F tem dimensão n e escreve-se dim(F ) = n.
Exemplos
1) Rn tem dimensão n.
2) dim(S) = 2, onde S = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y − z = 0}.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 17 / 26
Proposição
Suponhamos que F é um subespaço com dimF = n.
Se B1 é subconjunto linearmente independente de F comm elementos
e B2 é um conjunto gerador de F com k elementos, entãom ≤ n ≤ k.
Teorema
Suponhamos que F tem dimensão n.
(a) Um conjunto gerador de F com n elementos é uma base de F .
(b) Um subconjunto linearmente independente de F com n elementos
é uma base de F .
Teorema
Suponhamos F é um subespaço de Rn.
(a) dimF ≤ n.
(b) dimF = n⇐⇒ F = Rn.
Espaço nulo de uma matriz
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 18 / 26
Recorde-se que o espaço nulo de Am×n é
N(A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}• A nulidade de A é nul(A) = dimN(A).
Proposição
Seja A uma matriz do tipom× n.
(a) N(A) = N(U).
(b) car(A) + nul(A) = n.
Espaço das linhas de A
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 19 / 26
Dada uma matriz real (ou complexa) A do tipom× n, o espaço das linhas
de A é o subespaço de Rn (ou Cn) gerado pelas linhas de A.
A caraterística de A, car(A), é a dimensão do espaço das linhas de A, i.e.,
é o número máximo de linhas linearmente independentes de A.
Proposição
Seja U a matriz em escada de linhas que se obtém de A por eliminação
de Gauss. Então
(a) O espaço das linhas de A é igual ao espaço das linhas de U .
(b) Obtém-se uma base para o espaço das linhas de A considerando
as linhas não nulas de U .
(c) car(A) = car(U) = número de pivots.
Espaço das colunas de A
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 20 / 26
Proposição
As colunas de A que correspondem às colunas de U que contêm os
pivots constituem uma base para o espaço das colunas de A.
Corolário
O número máximo de colunas de A linearmente independentes é igual
a dimC(A) = car(A).
Proposição
Seja A uma matriz do tipom× n, então
car(A) = car(AT ).
Transformações lineares
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 21 / 26
Definição
Sejam n em dois números naturais.
Uma aplicação T : Rn → Rm diz-se linear se verifica
• ∀ u, v ∈ Rn, T (u+ v) = T (u) + T (v);
• ∀ u ∈ Rn, ∀ α ∈ R, T (αu) = αT (u).
A aplicação linear T também se designa por transformação linear.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 22 / 26
Exemplos:
(1) A rotação de argumento θ ∈ [0, 2pi[ no sentido positivo, Tθ : R2 → R2,
definida por
Tθ(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ)
é uma aplicação linear.
(2) A projecção ortogonal sobre o eixo do xx, T : R2 → R2, definida por
T (x, y) = (x, 0) é uma aplicação linear.
(3) T : Rn → Rm, com T (x) = Ax, em que A é uma matriz real
m× n é uma aplicação linear.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 23 / 26
Propriedades
• T (0Rn) = 0Rm
• T (−u) = −T (u)
• T (α1u1 + · · · + αkuk) = α1T (u1) + · · · + αkT (uk)
• T fica perfeitamente determinada se forem dadas as imagens por T de
uma base de Rn.
Matriz de uma transformação linear
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 24 / 26
Teorema
Dada uma transformação linear T : Rn → Rm existe uma
e uma só matriz A ∈Mm×n(R) tal que T (x) = Ax.
Se {e1, e2, . . . , en} for a base canónica de Rn, a coluna j de A é T (ej),
para j = 1, 2, . . . , n.
A é a matriz que representa T nas bases canónicas.
Teorema
Sejam {u1, . . . , un} uma base de Rn e v1, . . . , vn ∈ Rm.
Então existe uma única transformação linear
T : Rn → Rm tal que T (uk) = vk, para k = 1, . . . , n.
Núcleo e subespaço imagem
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 25 / 26
Teorema
Se T : Rn → Rm é linear, então
Im(T ) = {T (u) : u ∈ Rn}
é um subespaço vetorial de Rm.
• Im(T ) chama-se (sub)espaço imagem de T
• dim(Im(T )) chama-se caraterística de T e representa-se por car(T )
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 26 / 26
Teorema
Se T : Rn → Rm é linear, então
N(T ) = {u ∈ Rn : T (u) = 0Rm}
é um subespaço vetorial de Rn.
• N(T ) chama-se núcleo de T e dim(N(T )) chama-se nulidade de T e
representa-se por nul(T )
Teorema
Se T : Rn −→ Rm é linear e seja A a matrizm× n tal que
T (x) = Ax, para todo o x ∈ Rn. Então:
N(T ) = N(A) Im(T ) = C(A).
	Definição
	
	
	
	
	Subespaços vetoriais
	Subespaços vetoriais
	
	
	
	Dependência e independência linear
	
	Base e dimensão
	
	
	
	Espaço nulo de uma matriz
	Espaço das linhas de A
	Espaço das colunas de A
	Transformações lineares
	
	
	Matriz de uma transformação linear
	Núcleo e subespaço imagem

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