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ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 1 / 26 Capítulo 4 Espaços vetoriais e transformações lineares (o espaço Rn) Definição ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 2 / 26 Seja V um conjunto não vazio, K = R (ou K = C) e suponhamos que estão definidas duas operações, uma adição e uma multiplicação escalar: + : V × V → V (u, v) 7→ u+ v · : K× V → V (α, v) 7→ αv Diz-se que V é um espaço vetorial sobre K, para aquelas operações, se: ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 3 / 26 • ∀ u, v, w ∈ V, (u+ v) + w = u+ (v + w) , • ∀ u, v ∈ V, u+ v = v + u , • ∃ 0 ∈ V : ∀ u ∈ V, u+ 0 = u , • ∀ u ∈ V, ∃ v ∈ V : u+ v = 0 , • ∀ α, β ∈ K, ∀ u ∈ V, (α+ β)u = αu+ βu , • ∀ α ∈ K, ∀ u, v ∈ V, α(u+ v) = αu+ αv , • ∀ α, β ∈ K, ∀ u ∈ V, (αβ)u = α(βu) , • ∀ u ∈ V, 1u = u . ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 4 / 26 Observações • Os elementos de V designam-se por vetores e os de K por escalares ou números. • Se K = R, diz-se que V é um espaço vetorial real. • Se K = C, diz-se que V é um espaço vetorial complexo. • O elemento neutro da adição é designado por vetor nulo de V e representado por 0V . • Se u, v ∈ V , u− v representa u+ (−v). ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 5 / 26 Exemplos 1) R é um espaço vetorial real para as operações usuais. 2) C é um espaço vetorial complexo (e também espaço vetorial real) para as operações usuais. 3) R2 é um espaço vetorial real para as operações definidas por + : R2 × R2 → R2 ((x1, x2), (y1, y2)) 7→ (x1 + y1, x2 + y2) · : R× R2 → R2 (α, (x1, x2)) 7→ (αx1, αx2) 4) Mais geralmente, Rn, n ∈ N, é um espaço vetorial real para as operações definidas por + : Rn × Rn → Rn ((x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn)) 7→ (x1 + y1, · · · , xn + yn) · : R× Rn → Rn (α, (x1, · · · , xn)) 7→ (αx1, · · · , αxn) ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 6 / 26 5) O conjunto de todas as matrizes reais do tipom× n, é um espaço vetorial real para as operações de adição de matrizes e multiplicação de um número por uma matriz. 6) O conjunto dos polinómios de coeficientes reais e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais, é um espaço vetorial real. 7) C[a, b] = {f : [a, b] −→ R , f contínua em [a, b]}, com as operações usuais, é um espaço vetorial real. Subespaços vetoriais ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 7 / 26 Definição Um subconjunto F de Rn diz-se um subespaço de Rn se 1. F 6= ∅ 2. ∀ u, v ∈ F, u+ v ∈ F 3. ∀ α ∈ R, ∀ u ∈ F, αu ∈ F . Observação: Um subespaço de Rn é, ele próprio, um espaço vetorial real, ou seja, verifica as propriedades referidas anteriormente. Subespaços vetoriais ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 8 / 26 Exemplos 1) Rn e {0Rn} são subespaços vetoriais (triviais) de Rn. 2) S1 = {(x, y) ∈ R2 : y = x} é um subespaço vetorial de R2. 3) S2 = {(x, y) ∈ R2 : y = x+ 1} não é um subespaço vetorial de R2. 4) O núcleo ou espaço nulo de uma matriz real A do tipom× n define-se como N(A) = {x ∈ Rn : Ax = 0} e é um subespaço vetorial de Rn. ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 9 / 26 Corolário Se F ⊂ Rn e 0Rn /∈ F , então F não é um subespaço vetorial de Rn. Proposição Sejam U e V subespaços vetoriais de Rn. Então U ∩ V = {u ∈ Rn : u ∈ U e u ∈ V } é um subespaço vetorial de Rn. Exemplo Sejam U e V subespaços vetoriais de Rn. O conjunto U ∪ V = {u ∈ Rn : u ∈ U ou u ∈ V } é um subespaço vetorial de Rn? ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 10 / 26 Subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores Sejam v1, . . . , vk vetores de Rn. Uma combinação linear de v1, . . . , vk é um vetor da forma α1v1 + · · · + αkvk onde α1, . . . , αk ∈ R (os coeficientes da combinação linear). Por ger{v1, . . . , vk} representamos o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores v1, . . . vk. ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 11 / 26 Teorema Sendo v1, . . . vk ∈ Rn, o conjunto ger{v1, . . . , vk} é um subespaço de Rn. Diremos que ger{v1, . . . , vk} é o subespaço gerado por v1, . . . , vk. Se F = ger{v1, . . . , vk}, diz-se que {v1, . . . , vk} é um conjunto gerador de F . Exemplo Dada uma matriz real A do tipom× n, o espaço das colunas de A, C(A), é o subespaço vetorial de Rm gerado pelas colunas de A. O espaço das linhas de A é R(A) = C(AT ), isto é, o espaço gerado pelas linhas de A consideradas como vetores de Rn. Teorema C(A) = {b ∈ Rm : o sistema Ax = b é possível} Dependência e independência linear ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 12 / 26 Sejam v1, v2, . . . , vk vetores de Rn. • Se k ≥ 2, os vetores v1, v2, . . . , vk dizem-se linearmente independentes se nenhum deles se escreve como combinação linear dos restantes. • Se k = 1, o vetor v1 é linearmente independente se v1 for não nulo. • Os vetores v1, v2, . . . , vk dizem-se linearmente dependentes se não forem linearmente independentes. ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 13 / 26 Proposição Sejam v1, v2, . . . , vk vetores de Rn. Os vetores v1, v2, . . . , vk são linearmente independentes se e só se a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear de v1, v2, . . . , vk é considerando os escalares todos nulos, isto é, α1v1 + · · · + αkvk = 0Rn =⇒ α1 = · · · = αk = 0 Proposição Sejam v1, v2, . . . , vk ∈ Rn e A = [v1 v2 . . . vk]. Os vetores v1, . . . , vk são linearmente independentes se e só se N(A) = {0Rk}. Base e dimensão ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 14 / 26 Seja F um subespaço de Rn. Um conjunto de vetores de F que • gerem F • sejam linearmente independentes diz-se uma base de F . Ao indicar os vetores de uma base de um subespaço, interessa também a ordem pela qual eles aparecem. Exemplos 1) Os vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) constituem uma base de R3 (conhecida como base canónica). 2) O conjunto {(1, 1, 0), (1, 0, 1)} é uma base do subespaço S = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y − z = 0}. ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 15 / 26 Proposição Qualquer vetor de um subespaço escreve-se de modo único como combinação linear dos vetores de uma base desse subespaço. Seja B = {v1, . . . , vk} uma base ordenada do subespaço F . Dado v ∈ F , se v = α1v1 + · · · + αkvk, então diz-se que (α1, . . . , αk) são as coordenadas de v na base B. ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 16 / 26 Proposição Seja F um subespaço de Rn. Sejam B1 um conjunto gerador de F com p elementos e B2 um subconjunto linearmente independente de F com q elementos. Então, p ≥ q. Corolário Sejam B1 = {v1, . . . , vm} e B2 = {u1, . . . , un} duas bases de F . Então,m = n. Se um subespaço de Rn, F tem uma base com n (n ∈ N) vetores, diz-se que F tem dimensão n e escreve-se dim(F ) = n. Exemplos 1) Rn tem dimensão n. 2) dim(S) = 2, onde S = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y − z = 0}. ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 17 / 26 Proposição Suponhamos que F é um subespaço com dimF = n. Se B1 é subconjunto linearmente independente de F comm elementos e B2 é um conjunto gerador de F com k elementos, entãom ≤ n ≤ k. Teorema Suponhamos que F tem dimensão n. (a) Um conjunto gerador de F com n elementos é uma base de F . (b) Um subconjunto linearmente independente de F com n elementos é uma base de F . Teorema Suponhamos F é um subespaço de Rn. (a) dimF ≤ n. (b) dimF = n⇐⇒ F = Rn. Espaço nulo de uma matriz ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 18 / 26 Recorde-se que o espaço nulo de Am×n é N(A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}• A nulidade de A é nul(A) = dimN(A). Proposição Seja A uma matriz do tipom× n. (a) N(A) = N(U). (b) car(A) + nul(A) = n. Espaço das linhas de A ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 19 / 26 Dada uma matriz real (ou complexa) A do tipom× n, o espaço das linhas de A é o subespaço de Rn (ou Cn) gerado pelas linhas de A. A caraterística de A, car(A), é a dimensão do espaço das linhas de A, i.e., é o número máximo de linhas linearmente independentes de A. Proposição Seja U a matriz em escada de linhas que se obtém de A por eliminação de Gauss. Então (a) O espaço das linhas de A é igual ao espaço das linhas de U . (b) Obtém-se uma base para o espaço das linhas de A considerando as linhas não nulas de U . (c) car(A) = car(U) = número de pivots. Espaço das colunas de A ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 20 / 26 Proposição As colunas de A que correspondem às colunas de U que contêm os pivots constituem uma base para o espaço das colunas de A. Corolário O número máximo de colunas de A linearmente independentes é igual a dimC(A) = car(A). Proposição Seja A uma matriz do tipom× n, então car(A) = car(AT ). Transformações lineares ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 21 / 26 Definição Sejam n em dois números naturais. Uma aplicação T : Rn → Rm diz-se linear se verifica • ∀ u, v ∈ Rn, T (u+ v) = T (u) + T (v); • ∀ u ∈ Rn, ∀ α ∈ R, T (αu) = αT (u). A aplicação linear T também se designa por transformação linear. ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 22 / 26 Exemplos: (1) A rotação de argumento θ ∈ [0, 2pi[ no sentido positivo, Tθ : R2 → R2, definida por Tθ(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) é uma aplicação linear. (2) A projecção ortogonal sobre o eixo do xx, T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (x, 0) é uma aplicação linear. (3) T : Rn → Rm, com T (x) = Ax, em que A é uma matriz real m× n é uma aplicação linear. ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 23 / 26 Propriedades • T (0Rn) = 0Rm • T (−u) = −T (u) • T (α1u1 + · · · + αkuk) = α1T (u1) + · · · + αkT (uk) • T fica perfeitamente determinada se forem dadas as imagens por T de uma base de Rn. Matriz de uma transformação linear ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 24 / 26 Teorema Dada uma transformação linear T : Rn → Rm existe uma e uma só matriz A ∈Mm×n(R) tal que T (x) = Ax. Se {e1, e2, . . . , en} for a base canónica de Rn, a coluna j de A é T (ej), para j = 1, 2, . . . , n. A é a matriz que representa T nas bases canónicas. Teorema Sejam {u1, . . . , un} uma base de Rn e v1, . . . , vn ∈ Rm. Então existe uma única transformação linear T : Rn → Rm tal que T (uk) = vk, para k = 1, . . . , n. Núcleo e subespaço imagem ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 25 / 26 Teorema Se T : Rn → Rm é linear, então Im(T ) = {T (u) : u ∈ Rn} é um subespaço vetorial de Rm. • Im(T ) chama-se (sub)espaço imagem de T • dim(Im(T )) chama-se caraterística de T e representa-se por car(T ) ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Espaços vetoriais – 26 / 26 Teorema Se T : Rn → Rm é linear, então N(T ) = {u ∈ Rn : T (u) = 0Rm} é um subespaço vetorial de Rn. • N(T ) chama-se núcleo de T e dim(N(T )) chama-se nulidade de T e representa-se por nul(T ) Teorema Se T : Rn −→ Rm é linear e seja A a matrizm× n tal que T (x) = Ax, para todo o x ∈ Rn. Então: N(T ) = N(A) Im(T ) = C(A). Definição Subespaços vetoriais Subespaços vetoriais Dependência e independência linear Base e dimensão Espaço nulo de uma matriz Espaço das linhas de A Espaço das colunas de A Transformações lineares Matriz de uma transformação linear Núcleo e subespaço imagem
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