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ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 1 / 13
Capítulo 5
Produto interno
em Rn
Definição
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 2 / 13
O produto interno (ou produto escalar) de dois vetores de Rn,
x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn), é o número real
〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn =
n∑
k=1
xkyk.
Observação:
Escrevendo os vetores como matrizes coluna, tem-se
〈x, y〉 = xTy =
[
x1 . . . xn
]


y1
.
.
.
yn

 .
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 3 / 13
Definições
• A norma (ou comprimento) de x é o escalar não negativo
‖x‖ =
√
〈x, x〉.
• A distância de x a y é ‖x− y‖.
• Os vetores x y dizem-se ortogonais (ou perpendiculares) se 〈x, y〉 = 0.
Observação:
Se x = (x1, x2, . . . , xn), tem-se
‖x‖ =
√
〈x, x〉 =
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x
2
n.
Propriedades
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 4 / 13
São válidas as seguintes propriedades para o produto interno e a norma de
vetores de Rn. Se x, y e z são vetores de Rn e α ∈ R, então
(1) 〈x, y〉 = 〈y, x〉;
(2) 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉;
(3) 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉;
(4) 〈0, y〉 = 0;
(5) Se 〈x, y〉 = 0 para todo o y, então x = 0;
(6) ‖x‖ ≥ 0, e ‖x‖ = 0⇔ x = 0;
(7) ‖αx‖ = |α|‖x‖.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 5 / 13
Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Sejam x e y vetores de Rn, tem-se
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖
sendo a igualdade verificada se e só se x e y são linearmente
dependentes.
O ângulo entre os vetores de x e y é
arccos
(
〈x, y〉
‖x‖ ‖y‖
)
∈ [0, π].
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 6 / 13
Definições e Propriedades
• ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, x, y ∈ Rn [Desigualdade triangular]
• Se x e y são ortogonais, ‖x− y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 [Teorema de
Pitágoras]
• A projeção ortogonal de y sobre x 6= 0 é o vetor
projxy =
〈y, x〉
‖x‖2
x.
Projeção ortogonal sobre um subespaço
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 7 / 13
Um conjunto de vetores diz-se ortogonal se quaisquer dois vetores distintos
são ortogonais; se todos os vetores tiverem norma 1, o conjunto diz-se
normado; se for ortogonal e normado, diz-se ortonormado.
Teorema
Um conjunto ortogonal de vetores não nulos é linearmente
independente.
• O RECÍPROCO É FALSO!
Projeção ortogonal sobre um subespaço
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 8 / 13
Teorema
Seja F um subespaço vetorial de Rn e seja v ∈ Rn.
Então, existe um e um só vetor vF ∈ F tal que v − vF é ortogonal
a todos os vetores de F , ou seja, tal que
〈v − vF , u〉 = 0 para todo u ∈ F .
O vetor vF designa-se por projeção ortogonal de v sobre F e representa-se
por projFv.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 9 / 13
Teorema
Seja F um subespaço vetorial de Rn e seja v ∈ Rn. Então
(i) ‖v − projFv‖ = min
u∈F
‖v − u‖;
(ii) Para u ∈ F, ‖v − projFv‖ = ‖v − u‖ ⇔ u = projFv;
(iii) v ∈ F ⇔ v = projFv.
Teorema
Seja F um subespaço vetorial de Rn e seja v ∈ Rn.
Se {v1, . . . , vk} é uma base ortogonal de F , então
vF =
k∑
i=1
projviv =
k∑
i=1
〈v, vi〉
‖vi‖2
vk.
Ortogonalização de Gram-Schmidt
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 10 / 13
Teorema (Ortogonalização de Gram-Schmidt)
Seja F um subespaço de Rn e {v1, . . . , vk} uma base de F .
Então, os vetores u1, . . . , uk ∈ F definidos por
u1 = v1
u2 = v2 −
〈v2,u1〉
‖u1‖2
u1, . . .
uℓ = vℓ −
〈vℓ, u1〉
‖u1‖2
u1 − · · · −
〈vℓ, uℓ−1〉
‖uℓ−1‖2
uℓ−1, para ℓ = 3, . . . , k,
constituem um base ortogonal de F .
Observação:
Este teorema descreve um algoritmo para obter uma base ortogonal de F a
partir de uma base de F .
Método dos mínimos quadrados
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 11 / 13
Sejam A ∈Mm×n(R) e b ∈ Rm. Suponhamos que o sistema linear
Ax = b é impossível (⇔ b /∈ C(A)).
∀x ∈ Rn, Ax 6= b⇔ ‖Ax− b‖ > 0
A ideia de aproximação dos mínimos quadrados é encontrar a “melhor
solução" do sistema linear Ax = b quando, de facto, não existem soluções.
A “melhor" significa o vetor x¯ ∈ Rn que minimiza ‖Ax− b‖, i.e.,
‖Ax¯− b‖ = min
x∈Rn
‖Ax− b‖.
Diremos que x¯ é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadrados.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 12 / 13
Teorema
Sejam A ∈Mm×n(R) e b ∈ Rm com b /∈ C(A).
Então, x¯ é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadrados
se e só se
Ax¯ = projC(A)b.
Algoritmo
1. Determinar uma base para C(A) usando a eliminação de Gauss.
2. Obter uma base ortogonal a partir da base anterior.
3. Calcular projC(A)b.
4. Resolver Ax¯ = projC(A)b.
ALGA 2015/2016 – Mest. Int. Eng. Civil Produto interno – 13 / 13
Teorema
Sejam A ∈Mm×n(R) e b ∈ Rm. Então,
(i) x¯ é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadrados se e só se
ATAx¯ = AT b.
(ii) Existe uma única solução de Ax = b no sentido dos mínimos
quadrados se e só se carA = n. Neste caso a solução é
x¯ = (ATA)−1AT b.
	Definição
	
	Propriedades
	
	
	Projeção ortogonal sobre um subespaço
	Projeção ortogonal sobre um subespaço
	
	Ortogonalização de Gram-Schmidt
	Método dos mínimos quadrados