Técnicas de Amostragem Populacional

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Técnicas de Amostragem 
 
População ou Universo: é o conjunto de indivíduos ou elementos que apresentam uma ou mais 
características em comum (universo sob investigação). 
Amostra: é um subconjunto finito de uma população, que preserva as características dessa 
população (representatividade). 
Amostragem: é o ato de tomar amostras da população. Pode ser com ou sem reposição. 
Censo: Estudo de todos os elementos da população. 
Parâmetro: Medida usada para descrever uma característica populacional. Seu valor é geralmente 
desconhecido. 
Estimador: é uma variável que é função dos dados amostrais. Permite estimar o valor de um 
parâmetro. 
Estimativa: é o valor numérico obtido a partir do estimador. 
 
Exemplos: 
1) Estudar a proporção de indivíduos, em uma cidade, que são favoráveis a certo projeto 
governamental. Uma amostra de 200 pessoas é sorteada, e a opinião de cada uma é registrada 
como sendo a favor ou contra o projeto; 
2) Investigar a duração de vida de um novo tipo de lâmpada: 100 lâmpadas do novo tipo são 
deixadas acesas até queimarem. A duração em horas de cada lâmpada é registrada. 
3) a escolha de jogadores de futebol para fazer o exame de antidoping. 
 
 Amostragem probabilística: Quando todos os elementos da população tiveram uma 
probabilidade conhecida e diferente de zero, de pertencer à amostra. 
 Amostragem não probabilística: Quando não se conhece a probabilidade de um elemento da 
população pertencer à amostra. A amostragem é restrita aos elementos que se tem acesso 
(exemplos, usuários de drogas, voluntários em testes de remédios ou vacinas). 
 
 O objetivo da amostragem é determinar métodos para estudar as populações por meio de 
amostras. A amostragem nos possibilita concluir (inferir) sobre um todo a partir de apenas uma 
parte. 
 
Razões para se amostrar: redução de custo e material, rapidez nos resultados, redução do 
trabalho, facilidade no treinamento de pessoal, o ato de observar pode ser destrutivo. 
Quando o uso de amostragem não é interessante? População pequena; necessidade de alta 
precisão. 
 
Principais técnicas de Amostragem: 
 
1. Amostragem Simples ao Acaso ou Amostragem Aleatória Simples (AAS). É a técnica de 
amostragem mais simples e é utilizada quando a população é homogênea e finita. Pode ser feita 
com ou sem reposição. São sorteados n elementos de uma população de tamanho N. A 
probabilidade de selecionar um indivíduo específico da população para uma amostra é 1/N. O 
sorteio pode ser feito por qualquer método aleatório, como papéis ou bolas numeradas, calculadora 
computador, tabela de números aleatórios ou outros. 
Exemplo: a) escolher 10 funcionários no setor de produção de uma empresa para estudar o 
aumento de produtividade. AAS. 
b) escolher 10 funcionários de toda a empresa para estudar o aumento de produtividade. Deve-se 
usar outro tipo de amostragem (estratificada). 
 
 
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2. Amostragem Estratificada: 
 
A população heterogênea é dividida em sub-populações homogêneas (estratos), e em seguida é 
feita a AAS em cada estrato. 
Suponha que uma população heterogênea de tamanho N seja dividida em L estratos de tamanhos 
1 2 1 2
1
, , , e 
L
L L h
h
N N N N N N N N

    
. 
L amostras (AAS) são retiradas (uma amostra de cada estrato) de tamanhos : 
1 2, , , Ln n n
e 
1 2
1
L
L h
h
n n n n n

    
 (em que n é o tamanho da amostra). 
 
A amostragem estratificada pode ser classificada quanto ao tipo de estratificação, em : 
estratificação uniforme: cada estrato possui o mesmo número de elementos. O tamanho de 
amostra de cada estrato é n/L . 
estratificação proporcional : No critério proporcional extrai-se de cada estrato uma quantidade 
de elementos 
hn
 proporcional ao tamanho 
hN
 do respectivo estrato. Este critério é recomendado 
quando o tamanho dos estratos são distintos e a variabilidade dos estratos é homogênea. O 
tamanho da amostra do estrato 
hL
 é 
hn
: 
h hn N
n N

 
 
estratificação ótima ( Partilha Ótima): O número de elementos 
hn
é proporcional ao tamanho 
hN
e ao desvio padrão 
h
 do respectivo estrato. 
1
 h hL
h
h h
h
n N
n
N





 
 
 
Exemplo: Suponha que uma empresa hoteleira deseja realizar uma pesquisa com os seus 84 
funcionários, em que 25 pessoas são do sexo feminino (F) e as 59 restantes do sexo masculino 
(M). Estabelecendo 
9n
 (10% no mínimo), encontre o número de mulheres e de homens que 
devem ser entrevistados. 
 
 
 
 
3. Amostragem Sistemática 
 
Enumeram-se todos os elementos da população 
 1,2, ,N
 e sorteia-se um primeiro 
elemento “ i ” para formar parte da amostra. Os demais são retirados em uma progressão 
aritmética, saltando “ r ” elementos, até completar o total da amostra (n). O valor “ r ” é chamado 
passos de amostragem e é determinado por: r = N/n. O primeiro elemento deve ser sorteado entre 
os r primeiros. 
Exemplo: Uma rua contém 1000 prédios, dos quais desejamos obter uma amostra sistemática 
formada por 100 deles. 
 
 
 
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Probabilidade 
 
Conceitos e definições 
Definição 1: Um experimento que, quando repetido da mesma maneira, pode fornecer resultados 
diferentes, é chamado experimento aleatório. O interesse, no caso de um experimento aleatório, é 
compreender, quantificar e modelar as variações encontradas. 
 
Exemplo: Modelo probabilístico para o lançamento de um dado: 
 
 
 
Definição 2: O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento é chamado espaço 
amostral do experimento, e é denotado por  (ômega). Os elementos de  são pontos amostrais, 
 1 2 3, , , n   
. 
 
Definição 3: Um evento é um subconjunto do espaço amostral. 
 
Exemplo 1: No lançamento de um dado, o espaço amostral seria:  = 
 
Se A1 designar o evento “obter uma face par”, liste os elementos de A1. 
 
 
Exemplo 2: De uma linha de produção são retirados três conectores, cada um deles sendo 
classificado como bom ou defeituoso. Liste os elementos do espaço amostral para esse 
experimento. 
Se A2 designar o evento “dois dos equipamentos apresentaram defeitos” o conjunto A2 é: 
 
Os espaços amostrais dos exemplos 1 e 2 são discretos. 
 
Exemplo 3: No experimento que mede o tempo de vida de uma lâmpada até que se queime, o 
espaço amostral pode ser especificado por:  = 
Se A3 designar o evento “o tempo de vida é inferior a 1.000” horas tem-se: A3 = 
 
 
 
A partir de eventos já existentes, podem ser definidos novos eventos, usando operações básicas 
entre conjuntos: 
- Evento união: AB: consiste de todos os resultados contidos em A ou B) em pelo menos um 
evento); 
 
- Evento interseção: AB: consiste de todos os resultados contidos em A e B simultaneamente; 
 
- Evento complementar: 
A
 ou Ac: conjunto formado por resultados que pertencem a  mas não 
pertencem a A. 
 
 
Eventos mutuamente exclusivos: Dois eventos A e B são chamados mutuamente exclusivos se 
A B 
 (não existe interseção entre eles). 
 
 
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Definição de probabilidade: Dado um espaço amostral  com n elementos e um evento A de  
com m elementos, define-se a probabilidade de ocorrer o evento A como sendo: 
( ) mP A
n

 
 
Exemplo 4: No lançamento de um dado, definem-se os eventos: 
A1: “o resultado é um número par”; 
A2: “o resultado é um número ímpar”; 
A3: “o resultado é maior que 3”. 
Calcule as probabilidades: 
a) 
 1 2P A A
; b) 
 1 2P A A
; c) 
 1 3P A A
; e) 
 1 3P A A
 
 
 
Exemplo 5: Um lote é formado por 11peças boas, 3 com defeitos leves, e 2 com defeitos graves. 
Uma peça é retirada ao acaso desse lote. Qual a probabilidade que essa peça: 
a) seja boa? b) tenha defeito leve? c) tenha defeito grave? d) seja defeituosa? 
 
 
Propriedades das probabilidades 
a) 
 0 1P A 
 
b) 
  1P  
 
c) 
  0P  
 
d)
   1CP A P A 
 
Se 
A B
 então 
   P A P B
 
 
Regra da adição de probabilidades. Se A e B são dois eventos quaisquer, então, 
       P A B P A P B P A B    
. 
 
 
Exemplo 6. A tabela a seguir descreve os grupos sanguíneos e o fator Rh de 100 pessoas típicas. 
 
Fator Rh 
Grupo 
Total O A B AB 
Rh + 39 35 8 4 
Rh - 6 5 2 1 
Total 
 
Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente entre essas 100, calcule a probabilidade de que essa 
pessoa: 
a) não pertença ao grupo A 
b) seja do tipo Rh – 
c) seja do grupo A ou do tipo Rh – 
d) seja do grupo A ou do grupo B 
e) não seja do tipo Rh + 
f) seja do grupo B e do tipo Rh + 
g) seja do grupo AB ou tipo Rh + 
h) seja do grupo A ou O ou Rh –. 
 
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Probabilidade condicional 
 
Por vezes, a ocorrência de um evento pode modificar a probabilidade de ocorrência de outro 
evento. 
A probabilidade condicional de um evento B, dado que um evento A ocorreu é 
 
 
 
 
P A B
P B A
P A


 ; com P(A) > 0. 
 
Exemplo: Considerando os dados do exemplo 7, determine: 
a) qual a probabilidade que uma pessoa selecionada aleatoriamente seja do grupo AB? 
b) Sabendo que a pessoa é do tipo Rh– qual a probabilidade que ela seja do grupo AB? 
c) Qual a probabilidade que uma pessoa selecionada aleatoriamente seja do tipo Rh+? 
d) Dado que uma pessoa é do grupo O, qual a probabilidade que ela seja do tipo Rh +? 
 
 
 
Regra do produto de probabilidades 
         P A B P A B P B P B A P A  
 
 
Regra da probabilidade total 
Para eventos quaisquer A e B, tem-se: 
             P B P B A P B A P B A P A P B A P A     
 
 
Para k eventos mutuamente exclusivos A1, A2, ... Ak, e um evento B qualquer, tem-se 
       1 2 kP B P B A P B A P B A      
 
 
 
Exemplo 8: Em um lote de 100 chips, 20 são defeituosos. Selecionando-se 2 ao acaso, sem 
reposição, determine; 
a) qual a probabilidade do primeiro chip ser defeituoso? 
b) qual a probabilidade do segundo chip ser defeituoso, dado que o primeiro foi defeituoso? 
c) qual a probabilidade do segundo chip ser defeituoso? 
d) Repita os itens (a) e (b) supondo que a amostragem foi com reposição. 
 
 
 
Independência 
Dois eventos A e B são independentes se 
     P A B P A P B 
. 
Vários eventos são independentes se forem independentes dois a dois: 
       1 2 3 1 2k kP A A A A P A P A P A       
 
 
 
Exemplo 9. Considerando um casal com três crianças, encontre a probabilidade de que pelo menos 
um dos três seja uma menina. Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que 
o sexo da criança seja independente do sexo de qualquer irmão.