3 TPs TCs

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Chagas – DEE/UFCG 
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Universidade Federal de Campina Grande 
Centro de Engenharia Elétrica e Informática 
Departamento de Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformadores para Instrumentos 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
Francisco das Chagas Fernandes Guerra 
 
 
 
 
 
 
Campina Grande - PB 
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Capítulo I 
Transformadores de Potencial – Aspectos Básicos 
Transformadores de potencial (TPs) são dispositivos projetados e construídos para alimentar 
instrumentos de medição, proteção ou controle em redes elétricas. Eles reduzem a tensão da 
rede a um valor adequado aos instrumentos, estabelecendo uma relação fixa entre os valores 
instantâneos correspondentes das ondas de tensão de saída e de entrada, com diferenças de 
fase mínimas possíveis entre si. Também objetivam promover isolação elétrica entre os 
instrumentos e o sistema de potência. Em relação à forma de construção, os TPs podem ser do 
tipo indutivo (TPIs) ou capacitivo (TPCs). 
Neste capítulo são tratados aspectos fundamentais acerca do princípio de funcionamento 
dos TPs. 
1. Transformadores de Potencial Indutivos 
1.1. Considerações Gerais 
A forma construtiva básica e o modo de ligação de um TPI são mostrados na Fig. 1.1. 
 
Fig. 1.1. Transformador de potencial e modo de ligação ao sistema elétrico. 
O núcleo magnético é constituído por liga ferro-silício de grãos orientados. O enrolamento 
primário de N1 espiras é ligado em derivação ao sistema primário; o secundário, de N2 espiras 
alimenta um medidor ou relé. Para as tensões primária e secundária, tem-se, idealmente: 
2
1
2
1
N
N
U
U
 (1.1) 
Ao contrário dos TCs, os TPs devem operar com altas impedâncias ligadas ao secundário. 
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3 
 
A norma NBR 6855 - ABNT (2009) [1] estabelece valores de tensão secundária nominal de 
115 V ou 115/3 V, ou ambos, como é mostrado na Fig. 1.2. 
 
Fig. 1.2. Transformador de potencial com derivação no secundário. 
São mostrados três tipos de núcleo na Fig. 1.3. As duas colunas mais externas no TPI trifásico 
(c) proporcionam baixa relutância para os componentes de fluxo sequência zero, em caso de 
operação em regime desequilibrado, e de harmônica triplas, em caso de distorção. 
 
(a) (b) (c) 
Fig. 1.3. Circuitos magnéticos; (a), (b) TPIs monofásicos; (c) TPI trifásico. 
Considera-se um TPI monofásico com núcleo de área de seção reta A, indução BK no ponto 
de joelho da curva de saturação B- H e fator de empilhamento das lâminas do núcleo FE. No 
seu projeto, recomenda-se usar a seguinte expressão: 
KE
S
BFf
UF
AN
44,4
. 1
1  (1.2) 
Para as ligas Fe-Si de grãos orientados, BK ≈ 1,5 T, FE = 0,95 e a constante FS varia de 1,1 a 
1,9. Assim, FS estabelece uma margem de segurança para que o TP não opere com o núcleo 
saturado, em caso de sobretensão sustentada ou inrush. Dois tipos de TPs usados em média 
tensão (15 kV) são mostrados na Fig. 1.4, um com isolamento de óleo mineral e o outro 
encapsulado por isolamento sólido (epóxi). Um TPI usado em tensões de até 138 kV é mostrado 
na Fig. 1.5. 
Exemplo: Um TPI usado em uma linha de 138 kV, 60 Hz, possui um núcleo magnético com 
área de seção reta de 16 cm2, fator de empilhamento de 0,95 e BK ≈ 1,5 T. Calcular o número 
mínimo de espiras do enrolamento primário, N1. 
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Solução - Da expressão (1.2) tem-se: 
157409
5,1101695,06044,4
3/1380002,1
41

 xxxxx
x
N espiras 
 
Fig. 1.4. TPIs de média tensão. Fig. 1.5. TPI de alta tensão [2]. 
Para altas tensões, o número espiras N1 é muito alto. Como a impedância da carga secun-
dária é elevada, o fio do enrolamento primário é muito fino. Isto implica em maior custo devido 
à dificuldade de fabricação (a possibilidade de rompimento do fio é grande). Uma solução é 
utilizar núcleos e enrolamentos ligados em cascata. Ainda assim, os TPs do tipo indutivo não 
são economicamente viáveis para tensões acima de 138 kV. Nestes casos, a solução mais 
econômica consiste no emprego de transformadores de potencial capacitivos (TPCs). 
1.2. Definições Básicas 
Relação Nominal e Relação Real 
É a relação entre os valores nominais U1N e U2N das correntes primária e secundária. Tais 
valores são estabelecidos no projeto do TP, sendo indicada na placa de dados. É comumente 
denominada relação de transformação, recebendo a notação KN. Esta relação não corresponde 
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exatamente à relação de espiras. Porém, elas se acham muito próximas; assim, tem-se: 
2
1
2
1
N
N
U
U
K
N
N
N  (1.3) 
Sendo as tensões U1 e U2 os valores reais correspondentes no primário e no secundário, 
compreendidos na faixa de variação permissível da tensão primária, tem-se para a relação real: 
2
1
U
U
KR  (1.4) 
Fator de Correção de Relação 
É o fator pelo qual se deve multiplicar a relação nominal do TP para que seja obtida a relação 
real KR, ou seja: 
N
R
P
K
K
FCR  (1.5) 
Este fator também é expresso em termos de percentagem, FCRP%. 
1.3. Circuito Elétrico Equivalente e Diagrama Fasorial 
O circuito elétrico equivalente de um TP para análise em baixas frequências é mostrado na 
Fig. 1.6. Todos os elementos são referidos ao secundário. 
 
Fig. 1.6 Circuito elétrico equivalente de um TP. 
R1’, X1’ – Resistência e reatância do enrolamento primário. 
R2 , X2 – Resistência e reatância de dispersão do enrolamento secundário. 
Rp – Resistência de perdas no núcleo (histeréticas e parasíticas). 
Xm – Reatância de magnetização do núcleo. 
Rc , Xc – Resistência e reatância da carga ligada ao secundário. 
Assim, têm-se as seguintes equações e o diagrama fasorial da Fig. 1.7: 
22222 IXIRUU je  (1.6) 
mpe III  (1.7) 
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21 III e
'  (1.8) 
'
11111 IXIRUU
''' je  (1.9) 
 
Fig. 1.7. Diagrama fasorial de um TP indutivo. 
1.4. Erros de Relação e de Fase 
O erro de relação percentual do TP é dado pela seguinte expressão: 
1
12
% 100
U
UUK N  (1.10) 
Pode-se relacionar % e FCRP da seguinte maneira: 





 



















P
P
PR
N
N
FCR
FCR
FCRK
KU
U
K
1
0011
1
10011001100
1
2
% (1.11) 
Assumindo FCRP ≈ 1, tem-se: 
%%
001 PFCR (1.12) 
Da Fig. 1.7, vê-se que o erro de fase corresponde ao ângulo  entre os fasores U1’ e U2. 
1.5. Classe de Exatidão 
A classe de exatidão de um TP expressa o seu grau de exatidão considerando o erro de 
relação e o erro de fase entre as tensões primária e secundária. A norma NBR 6855 – ABNT / 
1992 [1] estabelece as classes de exatidão 0,3, 0,6, 1,2 e 3, para as seguintes finalidades: 
▪ Medição de demanda e consumo para faturamento: 0,3. 
▪ Alimentação de medidores sem finalidade de faturamento: 0,6. 
▪ Alimentação de instrumentos indicadores instalados em painéis: 1,2. 
A referida norma estabelece que um TPI de medição acha-se dentro de sua classe de 
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exatidão nominal quando os pontos determinados por % (ou FCRP%) e  acham-se no interior 
dos paralelogramos da Fig. 1.8, considerando os ensaios realizados com a carga nominal do TPI. 
 
Fig. 1.8. Paralelogramos de exatidão de TPs. 
A norma NBR 6855 - ABNT (2009) [1] fornece detalhes acerca das tensões nominais dos TPIs 
e das cargas nominais, expressas em VA com os seguintes valores: 12,5; 25; 75; 200; 400. 
1.6. Polaridades e Ligações de TPIs 
Considerando a Fig. 1.9, os pares de terminais do primário e do secundário de mesma 
polaridade instantânea são marcados com índices numéricos idênticos (P1, S1 e P2, S2). 
 
Fig. 1.9. Convenção de polaridades para TPIs. 
Um TPI tem polaridade subtrativa quando, em determinado instante, a corrente, percorre o 
circuito primário P1 para P2 e a onda de corrente no secundário circula de S1 para S2, como na 
Fig. 1.9(a). Caso contrário, o TPI tem polaridade aditiva, como na Fig. 1.9(b). 
Em aplicações didáticas, uma prática usual é indicar os terminais de mesma polaridade com 
pontos, como é indicado na Fig. 1.10. 
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Fig. 1.10. Convenção de polaridades para TPIs – Regra do ponto. 
Em circuitos monofásicos, quando os TPIs alimentam instrumentos sensibilizados por uma só 
grandeza (voltímetros, relés de tensão), a marcação das polaridades não é relevante. Porém, 
quando os mesmos alimentam instrumentos de múltiplas grandezas de entrada, como 
wattímetros, medidores de energia e fasímetros, as marcações devem ser observadas. O 
mesmo ocorre em relação a circuitos polifásicos. 
As ligações mais usuais dos TPIs são mostradas na Fig. 1.11. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 1.11. Ligação de TPIs; ( a ) estrela-estrela; ( b ) estrela-delta aberto. 
Na Fig. 1.11(a), os enrolamentos primários são ligados em estrela, com o neutro aterrado, 
ocorrendo o mesmo com os enrolamentos secundários. Na Fig. 1.11(b), os enrolamentos do 
lado secundário são ligados em delta aberto, proporcionando uma tensão residual dada por: 
0UUUUU cbaR 3 (1.13) 
Esta expressão é resultado do desenvolvimento dos fasores das correntes em termos de 
componentes simétricas. A tensão U0 é a componente de sequência zero que há em cada fase 
(estas componentes possuem módulos iguais e defasagem nula entre si, as quais surgem 
quando há defeitos que envolvem a terra). Assim, a conexão em delta aberto constitui um filtro 
de passagem da componente U0. Esta ligação é usada na alimentação de relés de distância, 
relés de sobretensão, além de outras aplicações no campo da proteção dos sistemas elétricos. 
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Nas ligações da Fig. 1.11, pode-se usar TPIs monofásicos de núcleos magnéticos indicados na 
Fig. 1.3(a) ou Fig. 1.3(b) ou TPs trifásicos, com núcleos mostrados na Fig. 1.3(c). 
1.7. Especificação de TPs 
A norma NBR 6855 – ABNT / 1992 [1] estabelece características básicas a serem especifica-
das para consulta ao fabricante; as principais são: 
Grupo de ligação – O grupo de ligação pode ser 1, 2 ou 3, como é descrito a seguir. 
▪ Grupo 1 - TPIs para serem ligados entre fases em sistemas de até 34,5 kV; devem suportar 
continuamente 10% de sobrecarga. 
▪ Grupo 2 - TPIs para serem ligados entre fase e neutro em sistemas diretamente aterrados. 
▪ Grupo 3 - TPIs projetados para serem ligados entre fase e neutro em sistemas onde as 
condições de aterramento do sistema não são definidas. 
Tensão primária nominal e relação nominal – Os TPIs devem suportar tensões de serviço de 
10% acima de seu valor nominal, em regime contínuo, sem prejuízo a sua integridade. Para o 
grupo 1, a tensão secundária nominal é padronizada em 115 V e a tensão primária nominal é 
padronizada em 17 valores, de 115 V a 69000 V. Para os grupos 2 e 3, a tensão secundária 
nominal é padronizada em 115/3 V e a tensão primária nominal é padronizada em 22 
valores, de 230/3 V a 230000/3 V. A relação nominal corresponde à relação entre a 
tensão primária nominal e a tensão secundária nominal. 
As tensões primárias nominais e as relações nominais devem ser representadas em ordem 
crescente, do seguinte modo: 
▪ o sinal de dois pontos (:) deve ser usado para exprimir relações nominais; exemplo: 120 : 1; 
▪ o hífen ( - ) deve ser usado para separar relações nominais e tensões primárias de enrola-
mentos diferentes; exemplo: 13800-115 V. 
▪ o sinal (x) deve ser usado para separar relações nominais e tensões primárias de 
enrolamento a serem ligadas em série ou em paralelo; exemplo: 6900 x 13800 – 115 V; 
▪ a barra ( / ) deve ser usada para separar tensões primárias nominais e relações nominais 
obtidas por meio de derivações, sejam estas no enrolamento primário ou no secundário; 
exemplo: 69000/3 – 115 / 115/3 V, que corresponde a um TPI do grupo 3, com um 
enrolamento primário e um enrolamento secundário em derivação. 
Frequência nominal – 60 Hz. 
Carga nominal – A soma das cargas ligadas no secundário do TPI não deve ultrapassar a 
carga nominal padronizada desse equipamento, a qual é fornecida na Tabela 1.1. 
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Tabela 1.1 Cargas nominais de TPIs 
 
 
Classe de exatidão – Medição: 0,3 – 0,6 – 1,2 – 3. 
Potência térmica nominal – Potência que o TPI pode suprir em regime contínuo, sem que 
sejam excedidos os limites especificados de temperatura. 
Além desses itens, devem ser especificados: 
▪ Nível de isolamento. 
▪ Tensão suportável à frequência industrial. 
▪ Número de enrolamentos secundários ou derivações. 
▪ Tipo de isolamento (óleo ou epóxi). 
▪ Uso interno ou externo. 
2. Transformadores de Potencial Capacitivos 
2.1. Considerações Gerais 
Foi anteriormente afirmado que os TPs indutivos não constituem solução economicamente 
viável para tensões superiores a 138 kV. Acima deste valor, usam-se os transformadores de 
potencial capacitivos (TPCs), cujo esquema básico é mostrado na Fig.1.12. 
 
Fig. 1.12. Esquema básico de um TP capacitivo (TPC). 
Vê-se que além do divisor capacitivo, há um TP indutivo que proporciona redução adicional 
de tensão, além de promover isolação elétrica em relação ao circuito primário. Também há um 
CARGA POTÊNCIA 
( VA ) 
FATOR DE 
POTÊNCIA 
IMPEDÂNCIA (120 V) 
(  ) 
IMPEDÂNCIA (66,3V) 
(  ) 
P12,5 12,5 0,10 1152 384 
P25 25 0,70 576 192 
P75 75 0,85 192 64 
P200 200 0,85 72 24 
P400 400 0,85 36 12 
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indutor L sintonizado de modo tal que a tensão de saída seja independente da corrente I1 
requerida pela carga. Isto é obtido fazendo-se: 
)(ω
1
21
2 CC
L

(1.14) 
Para o circuito da Fig. 1.12, pode-se escrever: 
IIIU
2
1
1
1
ω
1
)(
ω
1
C
j
C
j  (1.15) 
1
2
ω
ω
1
IIU Lj
C
j  (1.16) 
Substituindo (1.14) em (1.16), obtém-se: 
)(ωω
1
21
1
2 CC
j
C
j


I
IU (1.17) 
De (1.15) e (1.17), resulta: 
1
211
C
CC 

U
U
 (1.18) 
Pode-se verificar que (1.18) também é obtida se o TPC estiver sem carga (I1 = 0). 
Se o TP indutivo possuir relação nominal KN, a relação de transformação do TPC é dada pela 
seguinte expressão: 
1
21
2
1
C
CC
K
U
U
K NC

 (1.19) 
Os TPCs são usados em sistemas de tensões nominais entre 34,5 a 765 kV. A tensão entre o 
ponto B da Fig. 1.12 e a terra normalmente é 15 kV. A tensão secundária nominal do TPI é 115 
V ou 115/3 V. 
2.2. Circuito Completo de um TPC 
O circuito completo de um TPC é mostrado na Fig. 1.13. Neste circuito são incluídos 
elementos destinados à proteção contra sobretensões transitórias (proteção contra surtos) e 
de caráter sustentado (supressor de ferroressonância). 
Na Fig. 1.14 é mostrada a forma construtiva básica de um TPC. Como é ilustrado na Fig. 1.15, 
a proteção contra surtos de tensão pode ser exercida ( a ) por um centelhador, ( b ) por um 
centelhador em série com um resistor não linear ou ( c ) por um pára-raios de óxido de zinco 
(forma mais comum). 
O dispositivo de proteção contra ferroressonância é descrito no Capítulo II. 
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12 
 
 
Fig. 1.13. Esquema completo de um TP capacitivo (TPC). 
 
Fig. 1.14. Aspecto construtivo básico de um TP capacitivo (TPC) [2]. 
 
Fig. 1.15. Diferentes tipos de elementos de proteção contra surtos de tensão. 
Além de alimentarem relés de proteção e instrumentos de medição, os TPCs servem como 
dispositivos de acoplamento para sistema de onda portadora (Power Line Carrier - PLC), como é 
ilustrado na Fig. 1.16. Tais sistemas se destinam a transmitir através da linha um sinal de baixa 
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13 
 
potência e de frequência compreendida entre 30 kHz e 300 kHz, o qual se destina a 
teleproteção, telemedição, telecontrole ou transmissão de voz. 
 
Fig. 1.16. Esquema básico de um sistema de onda portadora. 
Para simplificar o esquema, os circuitos de proteção contra surtos e os supressores de 
ferroressonância do TPCs são omitidos. Os elementos indicados são descritos a seguir. 
▪ Unidade de bloqueio (UB) - Associação em paralelo de um indutor e um capacitor, 
constituindo um circuito ressonante com impedância desprezível para a frequência de 60 Hz 
e alta impedância para as correntes de alta frequência. Esta unidade faz com que o sinal de 
carrier se propague apenas no trecho de linha indicado, evitando interferência com sistemas 
das seções adjacentes. Também evitam que curtos-circuitos ou manobras que ocorram fora 
da seção linha interfiram no sinal desta seção. 
▪ Bobina de dreno (BD) - Constitui um caminho de baixa impedância entre os capacitores de 
acoplamento e a terra para correntes de 60 Hz. Assim, a tensão entre o ponto P e a terra é 
reduzida. Em altas frequências, a impedância entre o circuito de radiofrequência e a terra é 
alta, reduzindo as perdas. O centelhador G serve para proteção contra surtos de tensão. 
▪ Unidade de sintonia (US) - Com os capacitores de acoplamento, constitui um caminho de 
baixa impedância entre o cabo coaxial e a linha. 
▪ Cabo coaxial - Liga a unidade de sintonia ao transmissor-receptor. 
Bibliografia 
[1] NBR 6855 - ABNT (2009). Transformador de potencial indutivo. 
[2] CARVALHO JUNIOR, A. V. (2008). Interação transitória entre transformadores de potencial 
capacitivos e linhas de transmissão: uma contribuição para minimizar falhas, Dissertação 
de Mestrado, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, UFPE, Recife – PE. 
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14 
 
Capítulo II 
Transformadores de Potencial em Regime Transitório 
Este capítulo trata do estudo do desempenho de transformadores de potencial indutivos 
(TPIs) e capacitivos (TPCs) em regime transitório. Mesmo sendo equipamentos de forma 
construtiva e princípio de funcionamento simples, aos TPs indutivos está relacionado um 
complexo fenômeno de natureza não linear, denominado ferroressonância, o qual pode causar 
dano ao próprio equipamento e aos demais componentes da instalação. 
Em relação aos TPs capacitivos, além da ferroressonância, é abordado outro fenômeno 
transitório que ocorre em caso de curto-circuito no sistema primário, o qual produz oscilações 
na tensão secundária, de modo a poder influir na operação dos relés de distância. 
1. O Problema da Ferroressonância 
1.1. Considerações Gerais 
O termo ferroressonância nomeia um fenômeno de caráter oscilatório que resulta da 
transferência de energia entre capacitores, indutores com núcleos magnéticos saturáveis e 
fontes de alimentação. O exemplo mais simples consiste em uma associação em série de um 
transformador com secundário em aberto, um capacitor e uma fonte de tensão senoidal. 
Durante a ocorrência da ferroressonância, ao ser atingido o regime de saturação, há uma 
variação rápida e descontínua nas amplitudes e fases da corrente e das tensões, surgindo ondas 
com formas acentuadamente não senoidais, as quais apresentam altos valores de pico, de 
modo a haver risco à integridade dos equipamentos. Nas redes elétricas, os valores máximos de 
tensão alcançados situam-se na faixa de 2 a 3 pu. As ondas podem conter componentes de 
frequências múltiplas ou submúltiplas da frequência de excitação (harmônicas e sub-
harmônicas). Também ocorre sobrefluxo no núcleo do transformador, fato este que causa 
aquecimento em decorrência do aumento das perdas magnéticas. 
A análise feita neste item é restrita aos circuitos monofásicos com indutâncias saturáveis, 
cujas características de magnetização são fornecidas em termos de valores eficazes de tensão e 
de corrente de magnetização (true RMS). Inicialmente, é assumido que as correntes e tensões 
não-senoidais podem ser substituídas por equivalentes senoidais de mesmo valor RMS [1], [2]. 
É importante lembrar que esse método serve apenas para facilitar o entendimento do 
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15 
 
fenômeno, uma vez que a aproximação das grandezas por equivalentes fasoriais acarreta em 
um erro cada vez maior à medida que aumenta o grau de saturação do indutor não linear. 
O circuito considerado e o diagrama fasorial correspondente são mostrados na Fig. 2.1 e na 
Fig. 2.2, respectivamente. Neste caso, pode-se escrever para os módulos das tensões: 
I
C
UUUU CL


1
 (2.1) 
 
Fig. 2.1. Circuito LC com indutor saturável Fig. 2.2. Diagrama fasorial do circuito da Fig. 2.1. 
Com base nesta equação, pode-se construir o gráfico da Fig. 2.3, onde é mostrado o ponto 
de operação inicial, P1. Este ponto corresponde à intersecção da reta descrita por (2.1) com a 
curva de magnetização do indutor, para um valor de tensão da fonte U = U 1. 
 
Fig. 2.3. Condição de operação estável de um circuito RLC em série não linear. 
Neste ponto de operaçãoestável, o circuito assume um comportamento predominante-
mente indutivo (UL > UC). Se houver aumento de U, o ponto de trabalho tende a se deslocar 
para cima. Entretanto, como P1 acha-se próximo ao joelho da característica do indutor, pode 
ocorrer que as duas curvas não se interceptem no primeiro quadrante. De acordo com a Fig. 
2.4, o novo ponto de operação passa a ser P3, situado no terceiro quadrante. 
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Fig. 2.4. Comportamento de um circuito LC série não linear com aumento de U. 
Observa-se que há grande aumento nos valores das tensões, corrente e fluxo. Como o ponto 
P3 se situa numa região de intenso grau de saturação da curva U – I, as ondas associadas às 
citadas grandezas apresentam caráter acentuadamente não senoidal. 
1.2. Consequências da Ferroressonância 
As consequências mais importantes da ferroressonância são citadas a seguir: 
▪ Danos a equipamentos em geral por elevação excessiva dos níveis de tensão e de corrente. 
▪ Sobreaquecimento elevado e ruído no transformador em face do aumento de fluxo 
magnético no núcleo e circulação excessiva de correntes parasitas. 
▪ Deterioração da qualidade de energia ocasionada pela distorção das formas de onda de 
tensão e de corrente, com surgimento de harmônicos e de sub-harmônicos. 
▪ Destruição de descarregadores de surto (para-raios). 
1.3. Modos de Ferroressonância 
Em estado estacionário, a ferroressonância é classificada do seguinte modo [3]. 
▪ Modo fundamental. As tensões e correntes apresentam forma de onda acentuadamente não 
senoidal e com período igual ao da fonte de excitação. O espectro de linhas dos sinais é 
discreto e contém a frequência de operação do sistema, f0, além de harmônicas de 
frequências k f0, k = 1, 3, 5, .... Isto é mostrado na Fig. 2.5. 
▪ Modo sub-harmônico. As tensões e correntes apresentam forma de onda acentuadamente 
não senoidal e com período igual a nT, onde n é um múltiplo inteiro e T é o período da fonte 
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17 
 
de excitação. O espectro de linhas dos sinais é discreto e contém uma componente 
fundamental de frequência f0 / n, além de suas harmônicas (a componente de frequência f0 
também faz parte do espectro), conforme é ilustrado na Fig. 2.6. 
▪ Modo quase periódico. Esse modo de oscilação não tem periodicidade, como é mostrado na 
Fig. 2.7. O espectro é descontínuo e apresenta frequências que podem ser expressas 
segundo a forma n f1+ m f2, sendo n e m inteiros e f1 / f2 um número irracional. 
▪ Modo caótico. Neste caso, o comportamento do sinal não é periódico, mas irregular e 
imprevisível. O espectro de frequências é contínuo, como é mostrado na Fig. 2.8. 
 
Fig. 2.5. Ferroressonância de modo fundamental. 
 
Fig. 2.6. Ferroressonância de modo sub-harmônico. 
 
Fig. 2.7. Ferroressonância de modo quase periódico. 
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18 
 
 
Fig. 2.8. Ferroressonância caótica. 
2. Ferroressonância em TPIs 
2.1. Casos Notáveis de Ferroressonância 
A ferroressonância pode ocorrer em redes elétricas que contêm transformadores de 
potencial indutivos (TPIs), dependendo de certas configurações e modos de operação dos 
circuitos. Uma situação propensa à ocorrência desse fenômeno é ilustrada na Fig. 2.9. A linha A 
possui maior tensão nominal que a linha B. Esta última acha-se desligada e tem conectado no 
seu início um TPI. Pode ocorrer uma interação entre a capacitância distribuída entre as duas 
linhas e a indutância saturável do TPI, ocorrendo ferroressonância. 
 
Fig. 2.9. Ferroressonância causada por capacitância entre duas linhas e indutância de TPI. 
Pode também ocorrer ferroressonância em sistemas que contenham circuitos de média e 
alta tensão com neutros não aterrados, como é mostrado na Fig. 2.10. Ao ocorrer um defeito 
no lado de alta tensão, o potencial do neutro se eleva. Assim, o efeito capacitivo entre os 
enrolamentos causa uma sobretensão no lado de média tensão, ocasionando ferroressonância. 
Outra situação em que se pode observar ferroressonância é mostrada na Fig. 2.11. Os 
disjuntores de alta tensão possuem mais de uma câmara de extinção, ligadas em série. A fim de 
distribuir de maneira uniforme a tensão nas mesmas, são colocados capacitores em paralelo 
Chagas – DEE/UFCG 
19 
 
com os contatos (capacitores de equalização). Isto é feito para que, quando o disjuntor estiver 
aberto, as solicitações nos meios extintores das câmaras sejam iguais. Assim, poderá ocorrer 
ferroressonância em caso de abertura do disjuntor, pois os capacitores estarão agora ligados 
em série com o TPI. 
 
Fig. 2.10. Ferroressonância causada por acoplamento capacitivo entre circuitos de alta e média tensão. 
 
Fig. 2.11. Ferroressonância causada por abertura de disjuntor próximo a um TPI. 
2.2. Prevenção e Mitigação da Ferroressonância em TPIs 
Para evitar ou atenuar a ocorrência da ferroressonância, as seguintes práticas são 
comumente adotadas: 
▪ Manutenção da capacitância fora da faixa susceptível a ferroressonância, sendo este 
parâmetro estabelecido por chaveamento em local mais próximo do terminal do TPI. 
▪ Melhoria no projeto do núcleo do TPI. São mostradas na Fig. 2.12 duas possíveis 
características tensão – corrente. Comparando as duas curvas, é observado que, quando se 
utiliza a curva 2, torna-se necessária uma tensão transitória bem mais elevada para forçar 
um salto para o estado de ferroressonância, uma vez que U2 > U1. 
▪ Escolha adequada de conexões de enrolamentos e geometria do núcleo do transformador, 
bem como a forma de aterramento do neutro do sistema. A avaliação desses fatores 
apresenta considerável grau de complexidade, principalmente no caso de transformadores 
trifásicos com núcleo de três e de cinco colunas, requerendo o emprego de programas 
computacionais como os do tipo EMTP e outros. 
Chagas – DEE/UFCG 
20 
 
 
Fig. 2.12. Ferroressonância causada por abertura de disjuntor próximo a um TPI. 
▪ Estabelecimento de condições para que a energia fornecida pela fonte não seja suficiente 
para manter o fenômeno, introduzindo perdas para reduzir seus efeitos. Isso pode ser feito 
pela inserção de resistência de amortecimento no circuito. 
▪ Uma maneira comum de eliminar a ferrorressonância em TPIs é inserir resistências de 
amortecimento da forma indicada na Fig. 2.13. A resistência R e a potência nominal PR do 
resistor são dadas pelas expressões a seguir [3], onde U2 é a tensão nominal do secundário 
do TPI, em volts, e PR é a potência térmica nominal do TPI, em VA. 
eP
U
R
2
233 (2.2) 
 
R
U
PR
2
23 (2.3) 
 
Fig. 2.13. Eliminação da ferroressonância por inserção de resistor de amortecimento. 
Chagas – DEE/UFCG 
21 
 
2.3. Exemplo de Ferroressonância em TPI 
O caso analisado refere-se a uma subestação de 230 kV cujo diagrama unifilar simplificado é 
mostrado na Fig. 2.14, no qual são mostrados os componentes descritos a seguir. 
▪ Duas linhas de transmissão operando em 230 kV (LT1, LT2). 
▪ Dois disjuntores de linha (DJ1, DJ2). 
▪ Um disjuntor de transferência (DJ3). 
▪ Dois barramentos, um principal e outro de transferência (B1, B2). 
▪ Duas chaves seccionadoras de by-pass (1B, 2B). 
▪ Um transformador de potencial ligado à barra B2 (TPI). 
A condição de operação analisada corresponde a DJ1 fechado, DJ2 abrindo e DJ3 aberto; 
também 1B e 2B estão abertas. Neste caso, tem-se o circuito equivalente mostrado na Fig. 2.15. 
 
Fig. 2.14. Diagrama unifilar simplificado deuma subestação de 230 kV. 
 
Fig. 2.15. Circuito equivalente da subestação de 230 kV da Fig. 2.14. 
Chagas – DEE/UFCG 
22 
 
Os parâmetros u, R e L se relacionam ao equivalente de Thévenin do sistema alimentador; 
R1 e L1 representam a resistência e a indutância em série compreendidas entre o disjuntor e o 
TPI, inclusive a resistência e a reatância de dispersão do enrolamento primário do TPI; C1 é a 
capacitância de equalização do disjuntor; C2 é a capacitância fase-terra equivalente do 
barramento e equipamentos a ele ligados; Rp é a resistência linear de perdas no núcleo 
magnético; Lm é a indutância de magnetização do TPI; R2 e L2 representam os valores de 
resistência a indutância da carga refletidos para o lado do primário. 
Formulação pelo Método de Newton-Raphson 
Considerando u =  2U cos t no circuito da Fig. 2.15, tem-se: 
uuuiR
dt
di
L  21 (2.4) 
2311
1
1 uuiR
dt
di
L  (2.5) 
1
2
2 ii
dt
du
C  (2.6) 
p
m
R
u
ii 31  (2.7) 
3u
dt
di
L mm  (2.8) 
322
2
2 uiR
dt
di
L  (2.9) 
i
dt
du
C 11 (2.10) 
 mif (2.11) 
A função f de (2.11) descreve a curva de saturação do TPI. Considerando um degrau de 
tempo h, têm-se as seguintes equações discretizadas: 
0,2,1
1 
 
kkkk
kk uuuiR
h
ii
L (2.12) 
0,3,2,11
1,1,1
1 
 
kkk
kk uuiR
h
ii
L (2.13) 
0,1
1,2,2
2 
 
kk
kk ii
h
uu
C (2.14) 
0
,
,3
,,1 
kp
k
kmk
R
u
ii (2.15) 
Chagas – DEE/UFCG 
23 
 
0,3
1,, 
 
k
kmkm
m u
h
ii
L (2.16) 
0,3,22
1,2,2
2 
 
kk
kk uiR
h
ii
L (2.17) 
01,1,11 
 
k
kk i
h
uu
C (2.18) 
  0,  kmk if (2.19) 
Esse sistema não linear é resolvido pelo método de Newton-Raphson [4], com h = 1 s. 
Dados do Sistema e Resultados das Simulações 
Um valor típico de potência de curto-circuito em uma subestação de 230 kV é de 16 GVA [5], 
o que corresponde a uma impedância com o seguinte valor: 
Ω3,3
1016
230000
9
2

x
Z 
A impedância do sistema alimentador apresenta caráter fortemente reativo, com ângulos de 
fase típicos no entorno de 88o; assim, tem-se: 
Ω0,115883,3 o  cosxR , H10 8,750
π120
883,3 3-
o
x
senx
L  
Os barramentos B1 e B2 possuem condutores de alumínio com alma de aço (ACSR) de bitola 
954 MCM, o qual apresenta resistência ôhmica igual a 0,0705 /km a 50 oC. Para um trecho de 
barramento de 100 m, a resistência é de 7,05 m, valor que pode ser desprezado. O mesmo 
ocorre com a indutância do barramento e com a reatância de dispersão do TPI. Assim, L1  0 e 
o valor de R1 é praticamente igual à resistência do enrolamento primário do TPI. Os TPIs típicos 
usados em 230 kV apresentam resistência do enrolamento primário muito elevada, pois este é 
composto por dezenas de milhares de espiras de fio fino, o que implica em um valor de 
resistência da ordem de algumas dezenas de milhares de ohms. 
O TPI considerado apresenta os dados fornecidos a seguir [6]. 
▪ Relação de espiras (primário, secundário): 1200 : 1. 
▪ Número de espiras do enrolamento primário: 53897. 
▪ Área de seção reta do núcleo: 101 cm2. 
▪ Comprimento médio da trajetória magnética: 1,1 m. 
O enrolamento primário é constituído de fio de bitola 28 AWG, com resistência ôhmica 
0,214 /m, sendo o comprimento médio de uma espira igual a 0,60 m; assim, tem-se: 
Chagas – DEE/UFCG 
24 
 
 6920,40,2140,60538971 xxR 
O núcleo magnético é constituído por liga Fe-Si de grãos orientados, com perdas magnéticas 
de 1,28 W/kg a 60 Hz, com 1,5 T de indução de pico [7]. Como a densidade do ferro é 7,88 x 103 
kg/m3, tem-se para as perdas magnéticas totais: 
W112,061,28107,881,110101 34   xxxxxP 
A resistência de perdas no núcleo pode ser estimada fazendo-se: 
 
ΩM 157
112,06
3230000/
2
 pp RR 
A curva de saturação do TPI é mostrada na Fig. 2.16, a qual fornece o fluxo de enlace no 
enrolamento primário em função da corrente de excitação, em valores de pico. 
 
Fig. 2.16. Curva de saturação do TPI. 
A curva de saturação é aproximada pelo método de linearização por partes, sendo usadas 
coordenadas (im, ) de uma sequência de pontos levantados experimentalmente, com valores 
de im crescentes ou decrescentes. Assim, as coordenadas de um ponto situado entre dois 
pontos consecutivos fornecidos são determinadas através de rotina de busca em tabela 
ordenada [4], empregando-se também o método de interpolação linear. Os pontos da referida 
curva são fornecidos na Tabela 2.1. 
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00
Corrente ( A )
0.00
200.00
400.00
600.00
800.00
1000.00
F
lu
xo
 d
e
 E
n
la
c
e
 (
 V
.s
 )
Chagas – DEE/UFCG 
25 
 
Tabela 2.1. Pontos da curva de saturação do TPI (valores de pico). 
 
CORRENTE ( A ) 
 
FLUXO DE ENLACE 
(V.s) 
 
CORRENTE ( A ) 
 
FLUXO DE ENLACE 
(V.s) 
0,00 0,00 1,00 755 
0,01 550 2,00 773 
0,03 600 4,00 795 
0,08 650 8,00 822 
0,20 700 15,0 850 
0,50 735 25,0 870 
Foi considerada no enrolamento secundário do TPI a carga P75, de 75 VA, padronizada pela 
norma NBR 6855 – ABNT (2009) [8], a qual possui resistência de 163,2  e indutância de 0,268 
H. Refletindo-se esses valores para o primário, tem-se: 
H1092,3850,2681200,10235163,21200 322
62
2 xxLxxR  Ω 
Os capacitores de equalização dos disjuntores de 230 kV possuem capacitâncias na faixa de 
325 pF a 7500 pF [9]. No caso analisado, é considerado C1 = 6100 pF. 
A capacitância C2 é igual à capacitância para a terra do trecho do barramento B2 
compreendido entre o disjuntor DJ3 e o TPI (CB2) mais a capacitância para a terra do TPI (CT) e 
demais equipamentos ligados ao barramento (CD), ou seja: 
DTB CCCC  22(2.20) 
A capacitância para a terra do barramento B2 é dada por (2.21), onde D é a distância entre 
os condutores do barramento e r é o raio do condutor [10]: 
 
km / μF
/
024250
2
rDlog
CB

 (2.21) 
Em um barramento de 50 m de extensão, para D = 4 m e r = 15,2 mm, tem-se CB2 = 501 pF. 
A capacitância para a terra de um transformador de potencial típico de 230 kV varia entre 
600 e 810 pF [11]. Neste caso, adota-se o valor CT = 700 pF. Para os demais equipamentos 
ligados ao barramento, assume-se CD = 900 pF. Assim, tem-se C2  2100 pF. 
O oscilograma da tensão no primário do TPI é mostrado na Fig. 2.17. Em regime transitório, 
observa-se uma sobretensão máxima de 404,6 kV (3,0 pu). Em regime permanente, ocorrem 
picos de tensão de 302,7 kV (2,3 pu). A tensão nos terminais do disjuntor, cuja forma de onda é 
mostrada na Fig. 2.18, apresenta valor máximo em regime transitório de 454,2 kV (3,4 pu); em 
regime permanente, esse valor é de 345,0 kV (2,6 pu). O oscilograma da corrente no primário é 
mostrado na Fig. 2.19, atingindo o valor de 13,3 A em regime transitório e se estabiliza com 
valor de pico de 9,0 A. O oscilograma do fluxo de enlace no primário é mostrado na Fig. 2.20. 
Chagas – DEE/UFCG 
26 
 
 
Fig. 2.17. Tensão nos terminais do TPI. 
 
Fig. 2.18. Tensão nos terminais do disjuntor. 
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40
Tempo ( s )
-400.00
-200.00
0.00
200.00
400.00
600.00
T
e
n
sã
o
 (
 k
V
 )
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40
Tempo ( s )
-600.00
-400.00
-200.00
0.00
200.00
400.00
T
e
n
sã
o
 (
 k
V
 )
Chagas – DEE/UFCG 
27 
 
 
Fig. 2.19. Corrente no enrolamento primário do TPI. 
 
Fig. 2.20. Fluxo de enlace no enrolamento primário do TPI. 
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40
Tempo ( s )
-20.00
-10.00
0.00
10.00
20.00
C
o
rr
e
n
te
 (
 A
 )
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40
Tempo ( s )
-1000.00
-500.00
0.00
500.00
1000.00
F
lu
x
o
 d
e
 E
n
la
ce
 (
 V
.s
 )
Chagas – DEE/UFCG 
28 
 
3. Ferroressonância em TPCs 
3.1. Considerações Gerais 
A ferroressonância nos TPCs é resultado da interação entre indutâncias saturáveis e 
capacitâncias do TPI e do sistema, podendo surgir tensões e correntes não senoidais maiores 
que as observadas em regime normal, com forte conteúdo de harmônicos, as quais podem 
ocasionar dano ao TPC e demais componentes da instalação. 
3.2. Mitigação da Ferroressonância em TPCs 
São mostrados na Fig. 2.21 os tipos mais comuns de circuito supressor de ferroressonância 
(CSF), o qual foi citado no item 2.2 do Capítulo I. 
Os circuitos da Fig. 2.21(a) e da Fig. 2.21(b) são sintonizados para produzirem ressonância na 
frequência fundamental, proporcionando um caminho de alta impedância, e o resistor R é 
dimensionado para amortecer oscilações em qualquer frequência diferente da fundamental. 
No circuito da Fig. 2.21(c) o indutor não linear é projetado para saturar antes do TPI; assim, 
ao saturar, sua indutância diferencial assume um valor baixo, de modo que o resistor R2 é 
inserido, amortecendo as oscilações. 
Considerando o circuito da Fig. 2.21(d), durante a ocorrência da ferroressonância, a tensão 
sobre R2 faz o triac disparar, inserindo o resistor R3; a partir daí tudo se processa de modo 
análogo ao circuito da Fig. 2.21(c). 
 
Fig. 2.21. Diferentes tipos de supressores de ferroressonância (CSF). 
Chagas – DEE/UFCG 
29 
 
O supressor de ferroresonância considerado no próximo capítulo é o mostrado na Fig. 
2.21(a). Para o mesmo, é feita uma equivalência no sentido de se obter o circuito elétrico sem 
acoplamentos magnéticos da Fig. 2.22. Os parâmetros L1, L2 são as indutâncias próprias das 
duas porções dos enrolamentos do indutor e Mf é a indutância mútua entre as mesmas. 
 
Fig. 2.22. Circuito equivalente sem acoplamento magnético, equivalente ao da Fig. 2.22(a). 
Essa equivalência pode ser entendida ao se considerar os circuitos simplificados da Fig. 2.23. 
Para o circuito da Fig. 2.23(a), pode-se escrever: 
1211 UII  fMjLj (2.22) 
2122 UII  fMjLj (2.23) 
 
Fig. 2.23. Circuito equivalente (a) com acoplamento magnético; (b) sem acoplamento. 
Estas equações podem ser escritas da forma matricial como: 





















2
1
2
1
2
1
-U
U
I
I
LM
ML
j
f
f
 (2.24) 
Para o circuito da Fig. 2.23(b), tem-se: 
12111 )-() UIII  ff MjMLj (2.25) 
21222 )-() UIII  ff MjMLj (2.26) 





















2
1
2
1
2
1
U-
U
I
I
LM
ML
j
f
f
 (2.27) 
Chagas – DEE/UFCG 
30 
 
Assim, fica demonstrada a equivalência entre os circuitos da Fig. 2.21(a) e Fig. 2.22. 
Um supressor de ferroressonância típico apresenta os seguintes dados: L1 = 0,318 , L2 = 
0,084 , C = 9,6 F, Mf = 0,162 H, R = 37,5  [12 ]. A sua impedância no domínio s é dada por: 
   
  221
2
2
21
32
21
21
2
)(
sMLLC
RsLsMLLRCsMLLC
s
f
ff


Z (2.28) 
Substituindo os valores dos parâmetros em (2.28), obtém-se: 
26
2439
10969,61
5,37084,0106136,2104
)(
sx
ssxsx
s




Z (2.29) 
A resposta em frequência do circuito, obtida através do Matlab, é mostrada na Fig. 2.24. 
Observa-se que o módulo da impedância é elevado para a frequência de operação da rede. 
Entretanto, para as frequências harmônicas e sub-harmônicas, a impedância do circuito 
supressor de harmônicos é praticamente igual à resistência R. 
 
Fig. 2.24. Resposta em frequência de um circuito supressor de ferroressonância. 
3.3. Exemplo de Ferroressonância em TPCs 
Com o objetivo de avaliar o desempenho do circuito supressor de ferroressonância dos TPCs 
no amortecimento das sobretensões, são efetuadas simulações baseadas em ensaios 
estabelecidos pela norma IEC 186 (1969) [13]. Para isto, foram realizadas duas simulações. Na 
primeira, o circuito supressor de ferroressonância não é considerado. Na segunda, o mesmo é 
incorporado ao TPC. Assim, são simuladas mediante o ATP as seguintes operações: 
▪ O TPC é energizado a partir do enrolamento primário com 1,2 pu da tensão nominal. 
▪ O enrolamento secundário é mantido aberto. 
▪ A chave fecha em t = 125 ms e fica fechada durante 6 ciclos, quando a falta é eliminada. 
Chagas – DEE/UFCG 
31 
 
O circuito equivalente do TPC considerado nas simulações é mostrado na Fig. 2.25. Este 
circuito apresenta os parâmetros do reator de compensação (R1, L1, C3) e do transformador de 
potencial indutivo (R2, L2, R3, Lm, C4). 
Os parâmetros C3 e C4 são as capacitâncias parasitas do reator de compensação e do 
transformador de potencial indutivo, cuja inclusão é necessária para uma reprodução mais 
precisa do desempenho doTPC em regime transitório, em frequências mais altas. 
A constante R3 é a resistência de perdas dinâmicas no núcleo magnético do TPI e L3 é a 
indutância de magnetização do mesmo. O protetor de surtos não é levado em consideração 
nesta análise. 
 
Fig. 2.25. Circuito equivalente do TPC com supressor de ferroressonância removível. 
Os dados do TPC são fornecidos na Tabela 2.2 [14]. A característica de magnetização do TPI 
(fluxo de enlace versus corrente de magnetização) é fornecida na Tabela 2.3. As tensões 
nominais U1 e U2 do primário e do secundário do TPI são, respectivamente, 30/3 kV e 115 V. 
Na Fig. 2.26 e na Fig. 2.27 são mostradas a onda de tensão na saída do TPC e a onda de 
corrente no primário do TPI com o TPC sem o circuito supressor de ferroressonância. 
Tabela 2.2. Parâmetros do TPC [14]. 
 
PARÂMETRO 
 
VALOR 
C1 10,04 nF 
C2 65,4 nF 
R1 9,1 kΩ 
L1 86,3 H 
C3 493,2 nF 
R2 920 Ω 
L2 114,7 H 
C4 9,3 pF 
R3 50,6 Ω 
Chagas – DEE/UFCG 
32 
 
Tabela 2.3. Pontos da curva de saturação do TPI (valores de pico) [14]. 
 
CORRENTE ( A ) 
 
FLUXO DE ENLACE (V.s) 
0,076368 0,025772 
2,511675 0,748388 
3,662012 0,863553 
5,712037 0,942706 
55,52702 1,556415 
5552.702 1,562242 
 
Fig. 2.26. Tensão de saída do TPC sem supressor de ferroressonância. 
 
Fig. 2.27 Corrente no enrolamento primário do TPI sem o TPC sem supressor de ferroressonância. 
Chagas – DEE/UFCG 
33 
 
Na Fig. 2.28 e na Fig. 2.29 são mostradas as mesmas ondas considerando agora o TPC com o 
circuito supressor de ferroressonância. 
 
Fig. 2.28. Tensão de saída do TPC com supressor de ferroressonância. 
 
Fig. 2.29. Corrente no enrolamento primário do TPI com o TPC com supressor de ferroressonância. 
Os resultados apresentados indicam que o circuito supressor de ferroressonância exerce 
pouca influência na redução dos valores máximos atingidos pela corrente e pela tensão durante 
o regime transitório. Porém, o mesmo mostra-se eficiente na redução desses valores durante o 
regime permanente, de modo a permitir que esse regime seja alcançado de forma mais rápida. 
Chagas – DEE/UFCG 
34 
 
4. Oscilações de Tensão no Secundário de TPCs 
4.1. Considerações Gerais 
Os transformadores de potencial capacitivos podem proporcionar erros de transformação 
significativos durante os primeiros instantes de incidência de um curto-circuito fase-terra em 
local próximo. Isto faz com que haja uma queda abrupta da tensão primária, ocorrendo 
oscilação ou decaimento unidirecional na tensão secundária em face de transferências de 
energia entre capacitâncias e indutâncias. Tal efeito é ilustrado na Fig. 2.30. 
 
Fig. 2.30. Diferentes tipos de respostas de um TPC para um curto-circuito no primário [15]. 
Resultados de medições em laboratório e de simulações em computador estabelecem os 
principais fatores que determinam a resposta transitória dos TPCs, citados a seguir [15]. 
▪ Valor instantâneo da tensão primária no instante de ocorrência do defeito. Em geral, a 
condição mais adversa ocorre quando a tensão assume valor zero. 
▪ Módulo da impedância da carga ligada ao secundário. Normalmente, as situações mais 
favoráveis ocorrem para valores superiores ao valor nominal. 
▪ Fator de potência da carga no secundário. À medida que o mesmo diminui (indutivo ou 
capacitivo), as situações se tornam mais adversas, com oscilações de baixas frequências. 
▪ Projeto do divisor de potencial capacitivo. Altas capacitâncias produzem transitórios que 
apresentam menores valores de pico e maiores durações. 
▪ Projeto do TPI. Relações de transformação elevadas produzem transitórios com menores 
valores de pico e maiores durações, devendo o TPI apresentar baixa corrente de excitação 
no sentido de serem evitadas oscilações de baixas frequências. 
▪ Projeto do reator de compensação, o qual deve apresentar baixo fator de qualidade para 
produzir amortecimento das possíveis oscilações. Porém, tal característica entra em conflito 
com a necessidade de menor resistência em série para obtenção de maior grau de precisão 
nas aplicações em regime normal de funcionamento. 
▪ Tipo de circuito supressor de ferroressonância utilizado. 
Chagas – DEE/UFCG 
35 
 
Os comportamentos ilustrados na Fig. 2.30 podem afetar de modo adverso o desempenho 
do sistema de proteção da rede elétrica. Estudos realizados comprovam que erros de amplitude 
e fase apresentados pela tensão secundária dos TPCs causam erros de precisão nos cálculos dos 
fasores, podendo proporcionar operações malsucedidas por parte dos dispositivos de proteção 
e controle [16]. Entretanto, a forma como isto se verifica é bastante variada, devido à 
diversidade dos TPCs e tipos de relés existentes. 
4.2. Modelos de TPC Considerados 
O circuito da Fig. 2.31 foi considerado na simulação do comportamento de um TPC ligado a 
uma linha de 230 kV, na qual ocorre um curto-circuito fase-terra no primário, em um ponto 
próximo. Inicialmente, a fonte fornece uma tensão u = 187794,2 sen (377t) durante 12 ciclos 
(S1 fechada e S2 aberta). Inicialmente, não são considerados o protetor de surtos e o supressor 
de ferroressonância. 
 
Fig. 2.31. Circuito equivalente simplificado de um TPC para simulação com o ATP. 
4.3. Simulações Utilizando o ATP 
Considera-se o No instante de incidência do defeito, faz-se a tensão na entrada cair para 
zero (S1 aberta e S2 fechada, com k = 0). A seguir, é calculada a tensão nos terminais da carga, 
considerando-se os seguintes casos: 
▪ carga de 400 VA, cos  = 1; início da falta no zero da tensão primária (Fig. 2.32); 
▪ carga de 400 VA, cos  = 1; início da falta no pico da tensão primária (Fig. 2.33); 
▪ carga de 400 VA, cos  = 0 (indutiva); início da falta no zero da tensão primária (Fig. 2.34). 
No intervalo de tempo compreendido entre a energização do TPC e a ocorrência da falta, 
observa-se um comportamento transitório, sendo o estado estacionário atingido após alguns 
ciclos. 
Chagas – DEE/UFCG 
36 
 
 
Fig. 2.32. Carga: 400 VA, cos  = 1; início da falta no zero da tensão primária. 
 
Fig. 2.33. Carga de 400 VA; cos  = 1; início da falta no pico da tensão primária. 
 
Fig. 2.34. Carga de 400 VA; cos  = 0 (indutiva); início da falta no zero da tensão primária. 
Chagas – DEE/UFCG 
37 
 
Logo após a ocorrência do defeito, os valores máximos alcançados pelas tensões no 
secundário do TPC, indicadas na Fig. 2.32, Fig. 2.33 e Fig. 2.34 são, respectivamente, 16,64 V, 
1,28 V e 36,19 V. 
Em seguida, o circuito supressor de ferroressonância é inserido no lado do secundário do 
TPI, como é mostrado na Fig. 2.35. Os parâmetros do mesmo são fornecidos na Tabela 2.4. 
 
Fig. 2.35. Circuito de um TPC com supressor de ferroressonância para simulação com o ATP. 
Tabela 2.4. Parâmetros do supressor de ferroressonância [14]. 
 
PARÂMETRO 
 
VALOR 
 
L3 
 
10,87 mH 
 
L4 
 
47,39 mH 
 
C5 
 
166,39 F 
 
Mf 
 
8,84 mH 
 
R4 
 
4,99  
Para o circuito da Fig. 2.35, foram realizadas simulações correspondentes às três situações 
descritas. As tensões nos terminais da carga são mostradas na Fig. 2.36, Fig. 2.37 e Fig. 2.38. 
 
Fig. 2.36. Carga: 400 VA, cos  = 1; início da falta no zero da tensão primária. 
Chagas – DEE/UFCG 
38 
 
 
Fig. 2.37. Carga de 400 VA; cos  = 1; início da falta no pico da tensão primária. 
 
Fig. 2.38. Carga de 400 VA; cos  = 0 (indutiva); início da falta no zero da tensão primária. 
No processo de estimação de fasores realizado pelos relés digitais, a distorção na tensão de 
saída reduz a componente fundamental. Assim, o valor da impedância medida pela primeira 
zona do relé de distância é menor que o valorreal, ocorrendo sobrealcance, ou seja, o relé gera 
um sinal de disparo indevido para o disjuntor [17], [18]. 
4.4. Modelo Matemático de TPC para Cálculo de Transitórios 
Os programas tipo EMTP constituem valiosas ferramentas para o cálculo computacional de 
transitórios em sistemas elétricos. Entretanto, há aplicações em que é indispensável o 
desenvolvimento de um modelo específico para o sistema que se deseja estudar. Como 
exemplo, podem-se citar as aplicações em tempo real onde são utilizados RTDS (Real Time 
Chagas – DEE/UFCG 
39 
 
Digital Simulator). No caso do TPC, considera-se o circuito elétrico equivalente mostrado na Fig. 
2.39, o qual difere do mostrado na Fig. 2.35 pelo fato de que todos os elementos acham-se 
representados no lado do primário. Além disso, o circuito supressor de ferroressonância não é 
considerado. Outra simplificação assumida consiste em tomar o equivalente de Thévenin do 
lado da fonte, visto dos terminais a-b. 
 
Fig. 2.39. Circuito equivalente de um TPC sem supressor de ferroressonância. 
Aplicando a lei de Kichhoff das malhas, tem-se: 
0)()( 4211211  Tcc uuii
dt
d
LiiRu (2.15) 
dt
du
Ci c1 (2.16) 
dt
du
Cii c4431  (2.17) 
0)()( 3121121  cuii
dt
d
LiiR (2.18) 
dt
du
Ci c332  (2.19) 
04
3
232 

 cu
dt
d
dt
di
LiR (2.20) 
0)( 343 

iiR
dt
d
 (2.21) 
055 

dt
di
LiR
dt
d
 (2.22) 
  054  fii (2.23) 
Considerando um degrau de tempo h, essas equações são discretizadas e rearranjadas, 
chegando-se ao seguinte sistema de equações: 
Chagas – DEE/UFCG 
40 
 
0,,4,
1,2,2
1
1,1,1
1,21,11 



  kTkckc
kkkk
kk uuu
h
ii
L
h
ii
LiRiR (2.24) 
01,,,1 

 
h
uu
Ci kckck (2.25) 
01,4,44,3,1 

 
h
uu
Cii kckckk (2.26) 
0,3
1,2,2
1
1,1,1
1,21,11 



  kc
kkkk
kk u
h
ii
L
h
ii
LiRiR (2.27) 
01,3,33,2 

 
h
uu
Ci kckck (2.28) 
01,4
1,3,3
2,32 



 
h
u
h
ii
LiR kkkc
kk
k (2.29) 
01,43,33 

 
h
iRiR kkkk (2.30) 
011,5,5,5 



 
hh
ii
LiR kkkkk (2.31) 
  0,5,4  kkk fii (2.32) 
A função f de (2.32) descreve a curva de saturação do TPI, a qual tem seus pontos fornecidos 
na Tabela 2.2. Esse sistema não linear pode ser resolvido pelo método de Newton-Raphson, 
considerando-se um degrau de tempo h = 1 s. 
Na Fig. 2.40 é mostrado o supressor de ferroressonância incorporado ao TPC. 
 
Fig. 2.40. Circuito equivalente de um TPC com supressor de ferroressonância. 
Aplicando a lei de Kichhoff das malhas, tem-se as seguintes equações: 
0)()( 4211211  Tcc uuii
dt
d
LiiRu (2.33) 
Chagas – DEE/UFCG 
41 
 
dt
du
Ci c1 (2.34) 
dt
du
Cii c4431  (2.35) 
0)()( 3121121  cuii
dt
d
LiiR (2.36) 
dt
du
Ci c332  (2.37) 
04
3
232 

 cu
dt
d
dt
di
LiR (2.38) 
0)( 343 

iiR
dt
d
 (2.39) 
0)()()( 754756535 


dt
d
iiRii
dt
d
Mii
dt
d
Lu fc (2.40) 
dt
du
Cii c5565  (2.41) 
0)()( 5563764  cuii
dt
d
Lii
dt
d
L (2.42) 
0)()()( 7767457574 
dt
di
LiRii
dt
d
Lii
dt
d
MiiR f (2.43) 
  054  fii (2.44) 
Como no caso anterior, essas equações são discretizadas e rearranjadas, obtendo-se o 
seguinte sistema: 
0,,4,
1,2,2
1
1,1,1
1,21,11 



  kTkckc
kkkk
kk uuu
h
ii
L
h
ii
LiRiR (2.45) 
01,,,1 

 
h
uu
Ci kckck (2.46) 
01,4,44,3,1 

 
h
uu
Cii kckckk (2.47) 
0,3
1,2,2
1
1,1,1
1,21,11 



  kc
kkkk
kk u
h
ii
L
h
ii
LiRiR (2.48) 
01,3,33,2 

 
h
uu
Ci kckck (2.49) 
01,4
1,3,3
2,32 



 
h
u
h
ii
LiR kkkc
kk
k (2.50) 
01,43,33 

 
h
iRiR kkkk (2.51) 
Chagas – DEE/UFCG 
42 
 
0
)(
,5
1
1,7,71,6,6
3
1,5,5
3,74,54










kc
kk
kk
f
kkkk
fkk
u
h
h
ii
M
h
ii
L
h
ii
MLiRiR
 (2.52) 
01,5,55,6,5 

 
h
uu
Cii kckckk (2.53) 
0)( ,5
1,7,7
4
1,6,6
43
1,5,5
3 




 
kc
kkkkkk u
h
ii
L
h
ii
LL
h
ii
L (2.54) 
0)()( 1,7,74
1,6,6
4
1,5,5
,74,54 





 
h
ii
MLL
h
ii
L
h
ii
MiRRiR kkf
kkkk
fkk (2.55) 
  0,5,4  kkk fii (2.56) 
Esse sistema também pode ser resolvido pelo método de Newton-Raphson [7], 
considerando-se um degrau de tempo h = 1 s. 
4.5. Simulações Utilizando o Modelo Matemático de TPC 
Nas simulações realizadas, considera-se um curto-circuito fase-terra no lado do primário do 
TPC no qual se acha incorporado o circuito supressor de ferroressonância (Fig. 2.40), nas 
mesmas condições estipuladas no item 4.3, o qual ocasiona uma queda de tensão abrupta na 
linha de transmissão. 
Nos casos analisados, também se considera igual a zero a tensão durante a ocorrência do 
defeito. Os resultados são mostrados na Fig. 2.41, Fig. 2.42 e Fig. 2.43. 
Os valores de pico das oscilações ocorridas após a falta no lado do secundário do TPC são 
mostrados na Tabela 2.5, os quais são comparados com os obtidos mediante utilização do 
programa ATP. Pode-se observar que há excelente concordância entre os valores 
correspondentes obtidos pelos dois métodos. 
 
Chagas – DEE/UFCG 
43 
 
 
Fig. 2.41. Carga: 400 VA, cos  = 1; início da falta no zero da tensão primária. 
 
Fig. 2.42. Carga de 400 VA; cos  = 1; início da falta no pico da tensão primária. 
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Tempo ( s )
-200.00
-100.00
0.00
100.00
200.00
T
en
sã
o 
( 
V
 )
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Tempo ( s )
-200.00
-100.00
0.00
100.00
200.00
T
e
n
s
ã
o
 (
 V
 )
Chagas – DEE/UFCG 
44 
 
 
Fig. 2.43. Carga de 400 VA; cos  = 0 (indutiva); início da falta no zero da tensão primária. 
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0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Tempo ( s )
-300.00
-200.00
-100.00
0.00
100.00
200.00
T
e
n
s
ã
o
 (
 V
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Chagas – DEE/UFCG 
45 
 
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the impacts of ccvt subsidence transients on the distance relay, IEEE Transactions on 
Power Delivery, 27(2): 497-505. 
 
Chagas – DEE/UFCG 
46 
 
Capítulo III 
Transformadores de Corrente – Aspectos Básicos 
Apresenta-se uma descrição das características dos transformadores de corrente (TCs) 
destinados aos serviços de medição e de proteção de sistemas elétricos, considerando o 
funcionamento em regime permanente senoidal. Também são feitas considerações acerca da 
especificação desses equipamentos. 
1. Considerações Gerais 
Transformadores de corrente (TCs) são transformadores projetados e construídos 
especificamente para alimentar instrumentos de medição, proteção e controle em redes de 
energia elétrica. Eles têm por finalidade reduzir a corrente do sistema de potência a um valor 
adequado, de modo que haja uma relação fixa entre os valores instantâneos correspondentes 
das ondas de corrente de saída e de entrada, com diferenças de fase mínimas possíveis entre si. 
Também objetivam promover isolação elétrica entre os instrumentos e o sistema primário. 
A forma construtiva e o modo de ligação de um TC são mostrados na Fig. 3.1. 
 
Fig. 3.1. Transformador de corrente e modo de ligação. 
Normalmente, o núcleo tem forma de toróide, constituído por uma fita de liga ferro-silício 
(3,2% Si) de grãos orientados helicoidalmente enrolada. Em torno do núcleo há dois 
enrolamentos. O enrolamento primário de N1 espiras é ligado em série ao sistema de potência 
e o enrolamento secundário de N2 espiras alimenta um instrumento (relé ou medidor). 
Para o circuito magnético da Fig. 3.1, tem-se: 
2211. iNiN  dlH (3.1) 
O vetor H é o campo magnético e dl é o vetor elemento de comprimento ao longo da 
trajetória magnética. Se a permeabilidade do núcleo é alta, tem-se H  0; assim, tem-se: 
Chagas – DEE/UFCG 
47 
 
02211  ININ (3.2) 
1
2
2
1
N
N
I
I
(3.3) 
Normalmente, o TC destina-se a reduzir corrente; logo, N1  N2. 
A norma NBR 6856 – ABNT / 1992 [1] estipula o valor 5A para a corrente secundária nomi-
nal. Alguns fabricantes também produzem TCs com correntes secundárias nominais de 1 A. 
2. Aspectos Construtivos 
2.1. TCs de Baixa Tensão 
No TC da Fig. 3.2, o primário consiste em uma só espira constituída por uma barra montada 
através do núcleo magnético toroidal. A Fig. 3.3 ilustra o TC do tipo janela, no qual há uma 
abertura por onde passa uma ou mais espiras do condutor primário. Em ambos os tipos, o 
enrolamento secundário e o núcleo acham-se contidos em uma cápsula normalmente 
constituída de epóxi. 
 
Fig. 3.2. TC tipo barra; constituição básica e aspecto externo. 
 
Fig. 3.3. TC tipo janela; constituição básica e aspecto externo. 
O TC tipo núcleo dividido é mostrado na Fig. 3.4, onde o núcleo pode ser aberto, envolvendo 
o condutor no qual se deseja medir a corrente. É bastante usado em instrumentos de medição 
de corrente e de potência. 
Chagas – DEE/UFCG 
48 
 
 
Fig. 3.4. TC de núcleo dividido e utilização em instrumentos de medição. 
2.2. TCs de Média e de Alta Tensão 
Os TCs mostrados a seguir têm larga aplicação nas subestações de energia elétrica. A Fig. 3.5 
ilustra um tipo muito usado, denominado TC tipo bucha, semelhante ao TC tipo janela (bucha é 
um elemento isolante destinado a permitir a passagem de um circuito de um ambiente para 
outro). Neste caso, o núcleo e os enrolamentos são montados na bucha de um transformador 
ou disjuntor, sendo o enrolamento primário constituído por uma única espira, que consiste no 
próprio condutor da linha. É fácil ver que tal característica construtiva proporciona economia. 
A Fig. 3.6 ilustra outra diferente forma de TC, destinado à utilização em tensões mais 
elevadas. 
 
Fig. 3.5. TC tipo bucha. Fig. 3.6. TC usado em sistemas de alta tensão. 
Chagas – DEE/UFCG 
49 
 
2.3. TCs de Múltiplas Relações de Transformação 
Há TCs que possuem mais de uma relação de transformação, como é mostrado na Fig. 3.7. 
Em (a), os enrolamentos primários podem ser ligados assim: P1–P2; P3–P4; P1–P2 em série 
com P3–P4; P1–P2 em paralelo com P3–P4. Em (b) e (c), onde há derivações no secundário, 
apenas uma delas deve ser usada, ficando as outras em aberto para não haver alterações no 
valor da corrente secundária. Em (d) também podem ser feitas diferentes formas de ligação no 
secundário. O enrolamento não utilizado deve ficar em aberto. 
 
( a ) ( b ) 
 
( c ) ( d ) 
Fig. 3.7. TCs de múltiplas relações de transformação. 
2.4. TCs de Vários Núcleos 
Um TC pode possuir vários enrolamentos secundários montados isoladamente em seu 
próprio núcleo, como é o caso de alguns TCs usados em alta tensão. A Fig. 3.8 ilustra o caso em 
que há dois núcleos, um destinado ao serviço de medição e o outro a proteção. Estes núcleos 
apresentam características magnéticas distintas. Caso um dos enrolamentos não esteja sendo 
utilizado, o mesmo deve permanecer em curto-circuito. 
 
Fig. 3.8. TC de vários núcleos. 
Chagas – DEE/UFCG 
50 
 
3. TCs de Medição 
3.1. Definições Básicas 
Define-se relação real, KN, como sendo a relação entre os valores nominais I1N e I2N das 
correntes primária e secundária, respectivamente, as quais são indicadas na placa de dados do 
TC. É comumente denominada relação de transformação. Diferentemente do caso ideal, esta 
relação não corresponde exatamente à relação de espiras. Porém, elas se acham muito 
próximas; assim, tem-se: 
1
2
2
1
N
N
I
I
K
N
N
N  (3.4) 
Relação real, KR, é definida por: 
2
1
I
I
KR  (3.5) 
As correntes I1 e I2 são os valores reais correspondentes no primário e no secundário. 
Fator de correção de relação é o fator pelo qual se deve multiplicar a relação nominal do TC 
para que seja obtida a relação real KR, ou seja: 
N
R
C
K
K
FCR  (3.6) 
3.2. Circuito Equivalente e Diagrama Fasorial 
O circuito equivalente de um TC para análise em baixas frequências é mostrado na Fig. 3.9. 
Todos os elementos são referidos ao secundário. 
 
Fig. 3.9. Circuito elétrico equivalente de um TC. 
R1’ – Resistência do enrolamento primário. 
X1’ – Reatância de dispersão do enrolamento primário. 
R2 – Resistência do enrolamento secundário. 
X2 – Reatância de dispersão do enrolamento secundário. 
Chagas – DEE/UFCG 
51 
 
Rp – Resistência de perdas no núcleo. 
Xm – Reatância de magnetização do núcleo. 
Rc – Resistência da carga ligada ao secundário. 
Xc – Reatância da carga ligada ao secundário. 
A corrente que circula através da carga é: 
ee I
I
III 
NK
1'
12 (3.7) 
A diferença entre os fasores I2 e I1’ constitui os erros de relação e de fase do TC. O diagrama 
fasorial do TC é mostrado na Fig. 3.10, a partir do qual são deduzidas expressões para os erros. 
 
Fig. 3.10. Diagrama fasorial simplificado de um TC. 
3.3. Erros e Classes de Exatidão 
Para os TCs destinados a aplicações em medição, o erro de relação percentual é dado por: 
N
NN
KI
KII
I
IIK
/
/
100100
1
12
1
12
%



 (3.8) 
Pode-se ainda escrever para o erro relativo do módulo da corrente: 
'
1
'
12
% 100
I
II 
 (3.9) 
No diagrama da Fig. 3.10,  é normalmente pequeno, o que permite assumir I1’ como sua 
projeção sobre a reta colinear a I2. Como I2 << I2, pode-se fazer I1’ ≈ I2 em (8.11); assim: 
 2
22
2
'
1
2
% 100100100 



 e
e cos
I
I
I
I
I
I
 (3.10) 
Pode-se relacionar o erro de relação e o fator de correção de relação da seguinte maneira: 





 



















C
C
CR
N
N
FCR
FCR
FCRK
K
I
I
K
1
0011
1
10011001100
1
2
% (3.11) 
Assumindo FCRC ≈ 1 e considerando o mesmo em termos de percentagem, resulta: 
Chagas – DEE/UFCG 
52 
 
%%
001 CFCR (3.12) 
Do diagrama da Fig. 3.10, tem-se ainda: 
 
'
1
2
I
senI
 sen ee



 (3.13) 
Como  é pequeno,  ≈ sin  e, assim, o erro de fase da corrente é dado por: 
 2
2
 e
e sen
I
I
 (3.14) 
Define-se classe de exatidão de um TC como sendo o máximo erro de relação apresentado 
quando o TC opera em condições