Lista de Exercícios Mecânica Geral II Dinâmica

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Dinaˆmica / Mecaˆnica Geral II
Prof. Renato Pessoa
Cap. 11 - Lista 1
11.2 O movimento de uma part´ıcula e´ definido pela relac¸a˜o
x = 12t3 − 18t2 + 2t + 5, onde x e t sa˜o expressos em me-
tros e segundos, respectivamente. Determine a posic¸a˜o e a
velocidade quando a acelerac¸a˜o for igual a zero.
11.6 O movimento de uma part´ıcula e´ definido pela relac¸a˜o
x = 2t3 − 15t2 + 24t + 4, onde x e t sa˜o expressos em me-
tros e segundos, respectivamente. Determine (a) quando a
velocidade e´ zero, (b) a posic¸a˜o e a distaˆncia total percorrida
quando a acelerac¸a˜o e´ zero.
11.12 A acelerac¸a˜o de uma part´ıcula e´ definida pela relac¸a˜o
a a = kt2. (a) Sabendo que v = −32 m/s quando t = 0
e v = +32 m/s quando t = 4 s, determine a constante k.
(b) Escrever a equac¸a˜o do movimento, sabendo tambe´m que
x = 0 quando t = 4 s.
11.18
11.22
11.30 A acelerac¸a˜o devida a` gravidade de uma part´ıcula
caindo em direc¸a˜o a Terra e´ a a = −gR2/r2, onde r e´ a
distaˆncia a partir do centro da Terra ate´ a part´ıcula, R e´ o
raio da Terra e g e´ a acelerac¸a˜o devida a` gravidade na su-
perf´ıcie da Terra. Se R = 6.370 km, calcule a velocidade de
escape, isto e´, a velocidade mı´nima com que uma part´ıcula
deve ser lanc¸ada verticalmente para o alto, a partir da su-
perf´ıcie da Terra, para que na˜o retorne a` Terra. (Dica: v = 0
para r →∞.)
11.36 Um grupo dc estudantes lanc¸a um modelo de foguete
na direc¸a˜o vertical. Baseando-se em dados registrados, eles
determinam que a altitude do foguete foi de 89,6 m ao final
da porc¸a˜o propulsada do voo e que o foguete aterrissou 16 s
depois. Sabendo que o paraquedas de descida na˜o se abriu
e que o foguete caiu livremente ate´ o cha˜o depois de atin-
gir sua altitude ma´xima, e considerando que g = 9, 81 m/s2,
determine (a) a velocidade v1 do foguete ao final do voo pro-
pulsado, (b) a altitude ma´xima atingida pelo foguete.
11.41 Dois automo´veis A e B viajam no mesmo sentido em
pistas adjacentes e, em t = 0, teˆm suas posic¸o˜es e velocidades
escalares mostradas na figura. Sabendo que o automo´vel A
tem uma acelerac¸a˜o constante de 0, 5 m/s2 e que B tem uma
desacelerac¸a˜o de 0, 3 m/s2, determine (a) quando e onde A
vai ultrapassar B, (b) a velocidade de cada automo´vel na-
quele instante.
11.47 O bloco deslizante A move para a esquerda com a ve-
locidade constante de 6 m/s. Determine (a) a velocidade do
bloco B, (b) a velocidade da porc¸a˜o D do cabo, (c) a ve-
locidade relativa da porc¸a˜o C do cabo em relac¸a˜o a porc¸a˜o
D.
11.53 O bloco deslizante B se movimenta para a direita com
uma velocidade constante de 300 mm /s. Determine (a) a
velocidade do bloco deslizante A, (b) a velocidade da porc¸a˜o
C do cabo, (c) a velocidade da porc¸a˜o D do cabo e (d) a
velocidade relativa da porc¸a˜o C do cabo em relac¸a˜o ao bloco
deslizante A.
11.55 O bloco B se movimenta para baixo com velocidade
constante de 20 mm/s. Em t = 0, o bloco A e´ movimentado
para cima com acelerac¸a˜o constante e sua velocidade e´ 30
mm/s. Sabendo que em t = 3 s o bloco deslizante C teria se
movimentado 57 mm para a direita, determine (a) a veloci-
dade do bloco deslizante C em t = 0, (b) as acelerac¸o˜es de A
e C, (c) a variac¸a˜o da posic¸a˜o do bloco A apo´s 5 s.
11.58 Os colares A e B partem do repouso e o colar A se mo-
vimenta para cima com uma acelerac¸a˜o de 60t2 mm/s . Sa-
bendo que o colar B se movimenta para baixo com acelerac¸a˜o
constante e que sua velocidade e´ de 160 mm/s depois de ter
percorrido 640 mm, determine (a) a acelerac¸a˜o do bloco C e
(b) a distaˆncia que o bloco C tera´ percorrido depois de 3 s.
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11.63 Uma part´ıcula se move em uma linha reta com a velo-
cidade mostrada na figura. Sabendo que x = -540 mm em t
= 0, (a) construa as curvas a − t e x − t para 0 < t < 50s
e determine (b) a distaˆncia total percorrida pela part´ıcula
quando t = 50 s e (c) os dois instantes em que x = 0.
11.71 Um carro e um caminha˜o esta˜o viajando numa velo-
cidade constante de 56 km/h; o carro esta´ 12 m atra´s do
caminha˜o. O motorista do carro quer passar o caminha˜o,
ou seja, ele deseja colocar seu carro em B, 12 m a` frente do
caminha˜o, e depois reduzir sua velocidade para 56 km/h. A
acelerac¸a˜o ma´xima do carro e´ 1, 5 m/s2 e a ma´xima desace-
lerac¸a˜o obtida com aplicando-se os freios e´ 6 m/s2. Qual e´
o menor tempo no qual o motorista do carro pode comple-
tar a operac¸a˜o de ultrapassagem se ele na˜o pode exceder a
velocidade de 80 km/h. Construa a curva v − t.
11.76 O carro A esta´ viajando a uma velocidade escalar de 64
km/h quando entra em um trecho com limite de velocidade
de 48 km/h. A motorista do carro A desacelera a uma taxa
de 4,8 m/s2 ate´ atingir uma velocidade escalar de 48 km/h,
que ela enta˜o mante´m. Quando o carro B, que estava inici-
almente 18 m atra´s do carro A e viajando a uma velocidade
constante de 72 km/h, entra nesse trecho de limite de velo-
cidade, seu motorista desacelera a uma taxa de 6 m/s2 ate´
atingir uma velocidade de 45 km/h. Sabendo que a motorista
do carro B mante´m essa velocidade de 45 km/h, determine
(a) a menor distaˆncia a que o carro B chega do carro A, (b)
o momento em que o carro A esta´ 21 m a` frente do carro B.
11.87
11.91 O movimento de uma part´ıcula e´ definido pelas
equac¸o˜es x = t2 − 8t + 7 e y = 0, 5t2 + 2t − 4, onde x e
y sa˜o expressos em metros e t em segundos. Determine (a) a
intensidade da menor velocidade atingida pela part´ıcula, (b)
os instantes de tempo, posic¸a˜o e direc¸a˜o correspondentes a`
velocidade.
11.93 O movimento de uma part´ıcula esta´ definido pelo ve-
tor de posic¸a˜o r = A(cost− tsent)i+A(sent− tcost)j, onde
t e´ expresso em segundos. Determine os valores de t para
os quais o vetor de posic¸a˜o e o vetor de acelerac¸a˜o sa˜o (a)
perpendiculares e (b) paralelos.
11.94 O movimento amortecido de uma part´ıcula que vibra
e´ definido pelo vetor de posic¸a˜o r = x1(1 − 1/(t + 1))i +
(y1e
−pit/2cos(2pit))j onde t e´ expresso em segundos. Para
x1 = 30 mm e y1 = 20 mm, determine a posic¸a˜o, a veloci-
dade e a acelerac¸a˜o da part´ıcula quando (a) t = 0 e (b) t =
1,5 s.
11.100 Uma ma´quina que lanc¸a bolas de beisebol a uma ve-
locidade horizontal v0. Sabendo que a altura h varia entre
0,8 m e 1 m, determine (a) o intervalo de valores de v0, (b)
os valores de α correspondentes a h = 0,8 m e h = 1 m.
11.108 O bocal em A descarrega a´gua de refrigerac¸a˜o com
uma velocidade inicial v0 a um aˆngulo de 6
◦ com a horizon-
tal sobre um esmeril de 350 mm de diaˆmetro. Determine o
intervalo de valores da velocidade inicial para o qual a a´gua
vai cair no esmeril entre os pontos B e C.
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11.119 Um radar costeiro indica que uma barca sai de seu
atracadouro com uma velocidade v = 18,5 km/h ↙ 70◦, en-
quanto instrumentos a bordo da barca indicam velocidade de
19 km/h e direc¸a˜o 30◦ a oeste da direc¸a˜o sul relativa ao rio.
Determine a velocidade do rio. (Dica: 1 no´ = 1,852 km/h.)
11.126 A` medida que o caminha˜o mostrado na figura comec¸a
a dar re´ com uma acelerac¸a˜o constante de 1, 2 m/s2 , a sec¸a˜o
exterior B da sua lanc¸a comec¸a a se retrair com uma ace-
lerac¸a˜o constante de 0, 5 m/s2 relativa ao caminha˜o. Deter-
mine (a) a acelerac¸a˜o da sec¸a˜o B e (b) a velocidade da sec¸a˜o
B quando t = 2 s.
11.132 As trajeto´rias das gotas de chuva durante uma tem-
pestade parecem formar um aˆngulo de 75◦ com a vertical e
cair para a esquerda quando observadas pela janela do lado
esquerdo de um automo´vel que viaja para o norte a uma ve-
locidade escalar de 40 km/h. Quando observadas pela janela
do lado direito de um automo´vel que vai para o sul a uma ve-
locidade de 30 km/h, as gotas de chuva parecem formar um
aˆngulo de 60◦ com a vertical. Se a motorista do automo´vel
que vai para o norte parasse, em que aˆngulo e velocidade ela
observaria as gotas caindo?
11.136 Determine a velocidade escalar ma´ximaque os carros
da montanha-russa podem atingir ao longo da sec¸a˜o circular
AB da pista se o componente normal de sua acelerac¸a˜o na˜o
pode exceder 3g.
11.137 O pino A, que esta´ fixado a` haste de conexa˜o AB,
tem seu movimento restrito a` ranhura circular CD. Sabendo
que no instante t = 0 o pino parte do repouso e se movi-
menta de tal modo que sua velocidade escalar aumenta a
uma taxa constante de 20 mm/s2 , determine a intensidade
da acelerac¸a˜o total quando (a) t = 0 e (b) t = 2 s.
11.161 A trajeto´ria de uma part´ıcula P e´ um caracol de
Pascal. O movimento da part´ıcula e´ definido pelas relac¸o˜es
r = b(2 + cosθ) e θ = pit, onde t e θ sa˜o expressos em segun-
dos e radianos, respectivamente. Determine (a) a velocidade
e a acelerac¸a˜o da part´ıcula quando t = 2 s, (b) o valor de θ
para o qual a intensidade da velocidade e´ ma´xima.
11.165 A trajeto´ria de uma part´ıcula P e´ um elipse definida
pelas relac¸o˜es r = 2/(2 − cosθ) e θ = pit, onde r e´ expresso
em metros, t em segundos e θ em radianos. Determine a ve-
locidade e a acelerac¸a˜o da part´ıcula quando (a) t = 0, (b) t
= 0,5 s.
11.173 Uma part´ıcula se move ao longo da espiral mos-
trada na figura. Determine a intensidade da velocidade da
part´ıcula em termos de b, θ, θ˙ .
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11.176 Uma part´ıcula se move ao longo da espiral mostrada
na figura. Sabendo que e´ constante e representando essa
constante por ω, determine a intensidade da acelerac¸a˜o da
part´ıcula em termos de b, θ e ω.
11.178 O movimento de uma part´ıcula sobre a superf´ıcie de
um cilindro circular reto e´ definido pelas relac¸o˜es R = A,
θ = 2pit e z = At2/4, onde A e´ uma constante. Determine as
intensidades da velocidade e da acelerac¸a˜o da part´ıcula em
qualquer instante t.
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