Fórmulas de Mecânica Estrutural

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ENG 01201 - Mecânica Estrutural I
Profs. Eduardo Bittencourt e João Ricardo Masuero
F O R M U L Á R I O
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
σ τ ε γ α= = = =N
A
V
A
L
Lo
∆
tan
Hooke Uniaxial: σ ε= E
Hooke p/ Tensões Tangenciais: τ γ= G.
Poisson: ν
ε
ε
= −
T
Constantes do Material: ( )G
E
=
+2 1 ν
Hooke Generalizada: 
( )
ε
σ ν σ σ
x
x y z
E
=
− +
( )
ε
σ ν σ σ
y
y x z
E
=
− + ( )
ε
σ ν σ σ
z
z x y
E
=
− +
τ γ τ γ τ γxy xy xz xz yz yzG G G= = =
Hooke com deformações térmicas e plásticas:
( ) ( )ε ε ε σ ν σ σx T P x y zE− − =
− +
onde: 
ε
ε
ε
x
T
x
=
=
=
Deformacao especifica total
Deformacao termica especifica
Deformacao plastica ou permanente
Tensões no entorno de
um ponto:
( ) ( )tan 2
2
α
τ
σ σ
=
−
xy
x y
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
σ α σ α σ α τ α
τ α
σ σ
α τ α
= + +
=
−
−
x y xy
x y
xy
cos sen sen
sen cos
2 2 2
2
2 2
σ
σ σ σ σ
τmin max
x y x y
xy, =
+
±
−




 +2 2
2
2
TEORIAS DE RESISTÊNCIA
Rankine:
σ
σ σ
σT C
S S
= =1 3
St. Venant:
( ) ( )σ σ ν σ σ σ ν σ σ σT C
S S
= − + − + =1 2 3 3 1 2
Coulomb:
σ
σ
σ
σ
1 3 1
T C
S+





 =
Guest-Tresca:
σ
σ σe
S
= −1 3
von Mises:
( ) ( ) ( )[ ]
( )
( ) ( ) ( )[ ]
σ σ σ σ σ σ σ
τ τ τ
σ
σ σ σ σ σ σ
e
x y y z z x
xy yz zx
e
S
S
=
− + − + −
+ + +
= − + − + −
1
2
2 2 2
2 2 2
1
2 1 2
2
2 3
2
3 1
2
3
ESFORÇO NORMAL
σ ε= = =
N
A
L
L
L NL
EAo
o∆ ∆
CISALHAMENTO CONVENCIONAL
τ =
V
A
 onde V é o esforço cortante
TORÇÃO
Seção Circular/Coroa: τ θ= =Mt.r
I
Mt
G I0 0.
Tubular parede fina: τ θ= = ∫
Mt
e
Mt
e
ds
e
Lm
2 4 2 0Ω Ω
Eliptica (a=semi-eixo maior; b=semi-eixo menor):
J abT =
pi 3
2
τ θmax
T T
Mt.b
J
Mt
G J
a b
a
= =
+





.
2 2
22
Retangular: n
a
b n
n
n
= = + =
−
α β3 1 8 3
0 63
,
,
J ab Mt.b
JT max T
= =
3
α
τ
θ β
α
=
.
. .
Mt
G JT
a=lado maior; b=lado menor
Para quadrados: a=b; n=1
Para retângulos alongados: α = β = 3
Seção composta por retângulos alongados:
J a b Mt.b
J
Mt
G JT i ii
n
max
max
T T
= = =
=
∑
1
3
3
1
.
.
τ θ
σ
x α
σy
τ
xy
σ(α)
τ(α)
b
ba a
a
b
FLEXÃO SIMPLES
σ ε= =
M y
I
M y
E I
z
z
z
z
. .
.
FLEXÃO EM SEÇÕES DE VÁRIOS MATERIAIS
E
E
S E
E
S E
E
S
R
z
R
z
n
R
zn
1
1
2
2 0+ + + =...
I E I E I E I
Ez
z z n zn
R
* . . ... .
=
+ + +1 1 2 2
ε σ= =






M y
E I
E
E
M y
I
z
R z
i
i
R
z
z
.
.
.
* *
onde ER é o E de um dos materiais, tomado como
referência.
CISALHAMENTO NA FLEXÃO
τ =
V S
b I
z
z
.
.
1
FLEXO-COMPRESSÃO E FLEXO-TRAÇÃO
σ
σ
x
z
z
y
y
x
y
z
z
y
y z N
A
M y
I
M z
I
y z P
A
P L y
I
P L z
I
( , ) . .
( , ) . . . .
= + +
= + +
P(+) em tração
Excentricidades (+) no sentido positivo dos respectivos
eixos.
Mz (+) para tração em y (+)
My (+) para tração em z (+)
BARICENTRO
y A y A y
A AG
G n Gn
n
=
+ +
+ +
1 1
1
. ... .
...
TEOREMA DE STEINER
I I A dz zG= + . 2
PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE ALGUMAS
SEÇÕES
A b h
I b h
I b h
z
zG
=
=
=
.
.
.
3
3
3
12
A b h
I b h
I b h
z
zG
=
=
=
.
.
.
2
12
36
3
3
A R
I R
I R
I R
z
zG
=
=
=
=
pi
pi
pi
pi
.
. .
.
.
2
4
4
0
4
5
4
4
2
CONVENÇÃO DE SINAIS PARA SOLICITAÇÕES
N
+
V
+
Mt
+
M
+
RELAÇÕES ENTRE M(x), V(x) e q(x)
dM x
dx
V x dV x
dx
q x
V x q x C
M x V x C
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )dx
( ) ( )dx
= =
= +
= +
∫
∫
1
2
G1
G2
G3
yG3
z
yG2
yG1
G
b
h/2
h/2
z
z
G
G
b
h/3
2h/3
z
z
G
A1
z
G
b
G
z
z
G
G
z
z
GA
d