Teoria de Grupos Abstratos

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TEORIA DE GRUPOS ABSTRATOS E ALGUNS EXEMPLOS CLÁSSICOS 
Tiago Célio Falcão Pereira1 Irene Magalhães Craveiro2 
1 Aluno do Curso de Matemática da UFMS-CPAQ-DMT, bolsista de Iniciação Científica UFMS- PIBIC 2008/09 
2 Professora da UFMS, DMT – CPAQ, e-mail: irenecraveiro@yahoo.com.br 
 
 
Resumo: A idéia de grupo faz parte de um agrupamento de objetos matemáticos que possuem 
características similares. Ou seja, a função deste agrupamento é organizar estes objetos em 
classe, de maneira que todos eles satisfaçam as mesmas propriedades. A teoria de grupos é a 
abstração de idéias que se iniciaram com conceitos de números e logo se estenderam para 
áreas maiores que estavam sendo estudadas simultaneamente. As três principais áreas que 
originaram esta teoria são: geometria, teoria dos números e equações algébricas, esta última 
conduzindo ao estudo de permutações. Grupos estão por trás de muitas estruturas algébricas, 
como corpos e espaços vetoriais, e é uma ferramenta bastante útil para o estudo de simetrias. 
O objetivo principal deste trabalho é descrever sobre a teoria abstrata de grupos: conceitos, 
propriedades e exemplos, grupos cíclicos, homomorfismo de grupos para que no próximo 
trabalho, possamos gerar novos grupos a partir de grupos cíclicos e que estes novos grupos, 
sejam não comutativos. 
 
Palavras-chave: grupo abstrato, grupo de permutações, homomorfismo, grupo cíclico. 
 
INTRODUÇÃO 
A necessidade e utilidade da definição e o estudo de um determinado tipo de estrutura surge 
naturalmente quando ela aparece em uma grande variedade de situações. Este é o caso de 
grupo, aparecem em muitas áreas da matemática e tem numerosas aplicações em outras 
ciências. A teoria de grupos é a abstração de idéias que se iniciaram com conceitos de 
números e logo colaboraram para o surgimento de áreas como: geometria, teoria dos números 
e equações algébricas, esta última conduzindo ao estudo de permutações. Grupos estão por 
trás de muitas estruturas algébricas, como corpos e espaços vetoriais, e é uma ferramenta 
bastante útil para o estudo de simetrias. Por estas razões e entre outras, a teoria de grupos é 
uma área importante da matemática moderna, e tem muitas aplicações, por exemplo, física de 
partículas. Neste trabalho iremos descrever sobre a teoria abstrata de grupos, cujos tópicos 
são: Grupos: definições e propriedades, Exemplo de Grupo: O Grupo das congruências 
módulo m, Exemplo de Grupo: O Grupo de permutações de um conjunto finito, Subgrupos e 
Grupos Cíclicos, Homomorfismos e isomorfismos de grupos. 
 Este trabalho é uma parte do projeto de iniciação científico, cujo título é: A TEORIA 
DE GRUPOS E OS PRODUTOS DE GRUPOS: DIRETO, SEMIDIRETO E DE SCHREIER 
DE GRUPOS CÍCLICOS. Neste primeiro momento, pesquisamos conceitos, propriedades e 
exemplos, grupos abstratos, grupos cíclicos, grupo de permutações de um conjunto com n 
elementos e o homomorfismo de grupos. Estes resultados serão aprofundados, e então para 
uma nova pesquisa, aplicaremos estes resultados para obter novos grupos a partir de grupos 
cíclicos e que estes novos grupos, sejam não comutativos. Usaremos a técnica, dada em [1] 
que possibilita obter novos grupos, a partir de grupos conhecidos. O objetivo principal deste 
trabalho é descrever sobre a teoria abstrata de grupos: conceitos, propriedades e exemplos e 
em seguida descrever alguns exemplos de grupos não comutativos a partir de grupos cíclicos. 
 
MATERIAL E MÉTODOS 
Grupos: definições e propriedades 
Definição 2.1: Seja G um grupo não vazio com uma operação *: (x,y) → x* Y chamada lei de 
composição interna em G. Dizemos que (G, *) é um grupo ou que G tem estrutura de grupo 
se as seguintes propriedades são satisfeitas: 
1. Para todo x, y ∈ G tem-se x * y ∈ G 
2. Para quaisquer x, y e z ∈ G tem-se (x
 * y) * z = x * (y * z) 
3. G Possui elemento neutro, ou seja, para todo x ∈ G existe e ∈ G tal que x * 
e = e * x = x 
4. Para todo x ∈ G existe um elemento x-1 ∈ G tal que x * x-1= x-1 * x = e. 
Convém ressaltar algumas observações: 
1. O símbolo * representa uma operação qualquer no conjunto G; se a operação 
no conjunto estiver clara, dizemos apenas que “G é um grupo” sem a necessidade de 
explicitar qual é a operação. 
2. Quando a operação no conjunto for adição, dizemos que (G, +) é um grupo 
aditivo; 
3. Quando a operação for a multiplicação dizemos que (G, . ) é um grupo 
multiplicativo. 
Definição 2.2 Um grupo G é dito abeliano (ou comutativo) se para quaisquer dois elementos 
x e y em G temos que x * y = y * x. 
Exemplo 2.2: Consideremos o conjunto dos números reais Ρ munido da operação * definida 
por x * y = x + y -3. Mostrar que Ρ ,* é um grupo comutativo. 
 (a) Associatividade. 
 ∀ x, y e z ∈ Ρ temos que: 
 (x
 * y) * z = x * (y * z) 
 (x + y - 3) * z = x * (y + z -3) 
 x + y - 3 + z - 3=x + y + z -3 - 3 
 x + y + z - 6 = x + y +z - 6 
 (b) Existência do elemento Neutro. 
 ∀ x ∈ Ρ temos que: 
 x * e = x = e * x 
 e + x - 3 = x + e - 3 = x 
 e + x - 3 - x = x + e - 3 -x = x – x 
 e - 3 = e - 3 = 0 
 e = 3 
 (c) Existência de Elemento Simétrico. 
 ∀ x ∈ Ρ temos que: 
 x * x’ = x’ * x = e 
 x + x' - 3 = x' + x - 3 = 3 
 x - x + x' - 3 = x' + x - 3 - x = 3 –x 
 x' - 3 = x' - 3 = 3 - x 
 x' - 3 = 3 - x 
 x' = 3 - x + 3 
 x' = 6 - x 
 (d) Comutatividade 
 ∀ x ∈ Ρ temos que: 
 x * y = y * x 
 x + y - 3 = y + x – 3 
x + y - 3 = x + y -3 
Propriedades: Seja (G,*) um grupo, então temos as seguintes propriedades: 
1) O elemento neutro de G é único. 
2) Todo elemento x ∈ G admite um, e apenas um, simétrico x -1 ∈ G 
3) Para todo x,y ∈ G temos ( x * y)-1 = y -1 * x -1 
4) Para todo x ∈ G, temos (x -1)-1 = x 
5) Se x,y ∈ G, então a equação x * a = y, onde a é uma variável em G, admite uma 
única solução em G. 
Subgrupos e Grupos Cíclicos 
Definição 3.1: Seja (G,*) um grupo. Dizemos que um subconjunto não vazio H de G é um 
subgrupo de G se: 
1. Para todo a, b ∈ H, a * b ∈ H (isto é, H é fechado para a lei de composição interna 
de G) 
2. (H, *) é também um grupo. (Aqui a lei de composição é a mesma de G, só que 
restrita a H). 
Proposição 3.2: Seja (G,*) um grupo. Para que um subconjunto não vazio H G⊂ seja um 
subgrupo de G é necessário e suficiente que (∀ a, b)( , a b H∈ ⇒ a*b' ∈ H ) onde b' é o 
simétrico de b. 
Demonstração: (⇒ )Indiquemos por e o elemento neutro de (G,*) e por eh o elemento neutro 
de (H,*) como eh * eh=eh=eh * e e todo elemento de G é regular em relação a lei considerada, 
tiramos daí que eh=e. 
Tomemos agora um elemento b ∈ H e indiquemos por b' e por b'h os simétricos de b 
respectivamente no grupo G e no grupo H. Como b'h * b = eh = e = b' * b. 
Concluímos que b'h=b'. Daí a,b∈H⇒a*b'∈H. 
( ⇐ ) Como H ≠ ∅ , existe x0∈ H. Então a hipótese assegura que x0 * x'0 = e∈ H. 
Dado b ∈ H, usando a hipótese e a conclusão anterior de que e ∈ H, temos e * b' = b' 
∈ H. Sejam a,b ∈ H. Devido ao que acabamos de deduzir podemos afirmar que b' ∈ H. Daí 
a*(b')'=a*b∈ H, Logo H é fechado para a lei de composição interna de G. Por último, sendo 
a,b,c ∈ H, temos: a,b,c∈H⇒a,b,c∈G⇒ (a*b)*c=a*(b*c) o que mostra a associatividade da 
lei de composição (x,y) a x* y∈ H. 
Observação 3.1: Todo grupo G cujo elemento neutro indicamos por e admite pelo menos 
dois subgrupos: G e {e}. A verificação de que estes dois subconjuntos de G são subgrupos é 
imediata. Tais subgrupos são chamados subgrupos triviais de G. 
Exemplo 3.2: Já sabemos que o ( , )n +¢ com n ∈ ¥ são subgrupos de ( , )n +¢ . Veremos 
que são os únicos subgrupos de ¢ . Seja H um subgrupo qualquer de ¢ . Se H ={0}, então H 
= 0 ¢ . Suponhamos que H ≠ {0}. Seja min{ | 0 }n x H x= ∈ > . Como n ∈ H e H é um 
subgrupo, temos n H⊆¢ . Reciprocamente, seja h ∈ H; pelo Algoritmo da Divisão, existem 
únicos q,r ∈ ¢ taisque h = qn + r com 0 ≤ r < n; como h e n pertencem a H, então r pertence 
a H, também pela minimalidade de n, temos: 
0 e portanto , ou seja .Logo .
0 , ,
r H
r h qn h n H n
r n
∈ 
⇒ = = ∈ =≤ 
¢ ¢ 
Definição 3.2: Dados (G,*) um grupo, tal que, x∈G e e é o elemento neutro de G. 
1
1
 se 0
* se 0.
( ) se 0
m m
m
e m
x x x m
x m
−
− −
=

= >
 <
 
Observação 3.2: Convém ressaltar a seguinte observação: para cada elemento a de grupo um 
grupo abstrato G, ar ∈ G. Além disso, seu inverso é o elemento an - r ∈ G, pois ar .an - r =an = e. 
Definição 3.3: Sejam (G,*) um grupo , tal que a ∈ G e e é elemento neutro de G. Defini-se a 
ordem de a e denota-se por o(a) o menor inteiro positivo m tal que am = e. Definimos também 
a ordem de G, como sendo número de elementos de G, se G é finito e denota-se por |G| ou 
#G. 
Teorema 3.1: Sejam G um grupo abstrato e e,a∈ G, onde e é elemento neutro de G. O 
subconjunto H ⊆ G, formado por {e, a, a2, ... , an-1}, onde n é o menor inteiro positivo tal que 
an = e é um subgrupo G. Neste caso, denotamos H=<a> e dizemos que H é gerado por a. 
Demonstração: Claro que H ≠ ∅ . Sejam x,y∈H, queremos provar que x.y'∈H W 
Exemplo 3.3: -Prove que 2 – 4= –8 em ( ,+¢ ) 
20=0; 21=20*2=0+2=2; 22=2*2=2+2=4; 23=2*22=2*4=2+4=6; 24=23*2=6+2=8; 
(2-4)-1=24) -1=81=
 
-8. 
Exemplo 3.4: Considere 15.( ) {1, 2, 4, 7, 8,11,13,14}.U =¢ Já vimos que ( 15.( ),.U ¢ ) é grupo. 
Observe as seguintes potências de 7 em 15.( )U ¢ 0(7) 1;= 1(7) 7;= 2(7) 7.7 49 4;= = = 
3 2(7) 7 .7 4.7 28 13;= = = = 4 3(7) 7 .7 13.7 91 1;= = = = Portanto o(7)=4. 
Exemplo 3.5: -Considere 15.( ) {1, 2, 4, 7, 8,11,13,14}.U =¢ Já vimos que ( 15.( ),.U ¢ ) é grupo. 
Observe que: 2 2 1 1(7) (7 ) (4) , pois 4.4 16 = 1;− − −= = = 
Exemplo 3.6: G é um grupo abstrato e e ∈G é elemento neutro. o(e)=1. Também, 
15 15( ){1, 2, 4, 7, 8,11,13,14} | ( ) 8, (1) 1o= =¢ ¢U U . 
Homomorfismos e Isomorfismos 
Sejam (G, *) e (J, V) grupos quaisquer. Quando se consideram aplicações 
:f G J→ 
Para a teoria dos grupos, as aplicações que "preservam" essas operações. Ou seja, 
f(x*y ( ) ( ), ,f x f y x y G= ∀ ∈V . 
Definição 4.1: Dados dois grupos (G,*) e (J,∆ ), dizemos que uma aplicação f:G → J é um 
homomorfismo de G em J, se, e somente se, (∀ a,b∈ G) (f(a*b) = f(a) ∆ f(b). Um 
homomorfismo do grupo G e nele próprio é chamado endomorfismo de G. Se f:G →J é um 
homomorfismo de grupos e se f é injetora (respesctivamente, sobrejetora), então f recebe o 
nome de monomorfismo (respectivamente., epimorfismo) de G em J. 
Exemplo 4.1: 1.A aplicação f: ¢ → *£ dada por ( ) ,mf m i m Z= ∀ ∈ , é um homomorfismo de 
( ,+¢ ) em ( *,.£ ), pois ( , )( ( ) ( ). ( )m n m nm n Z f m n i i i f m f n+∀ ∈ + = = = . Temos que o 
conjunto imagem de f se reduz aos elementos 1, -1, i, -i. 
Exemplo 4.2: *:f + →¡ ¡ dada por *( ) log( ), ,f x x x += ∀ ∈ ¡ é um homomorfismo de ( * ,.+¡ ) 
em ( , +¡ ) uma vez que: *( , )( ( ) log( ) log( ) log( ) ( ) ( ).a b f ab ab a b f a f b+∀ ∈ = = + = +¡ 
Exemplo 4.3: * *:f +→£ ¡ dada por f(z)=|z| é um epimorfismo de fato: 
*
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , )( ( ) | | | | | | ( ) ( ).z z f z z z z z z f z f z∀ ∈ = = =£ Além disso, como para todo c ∈ *+¡ , 
|c| = c, podemos afirmar que f é sobrejetora. 
Exemplo 4.4: :id G G→ ; x x→ é homomorfismo, onde G é um grupo abstrato. 
 
Exemplo 4.5: 4 8
:
2
g
a a
→
→
¢ ¢
 
G está bem definida, pois 4 , 2( ) 8 ,a b a b q q a b q q= ⇔ − = ∈ ⇔ − = ∈¢ ¢ , 
2 2 8 , 2 2 ( ) ( ).a b q q a b g a g b⇔ − = ∈ ⇔ = ⇔ =¢ Observe que: 
( ) ( ) 2( ) 2 2 ( ) ( )g a b g a b a b a b g a g b+ = + = + = + = + . 
Exemplo 4.6: 9 : G Gϕ → 
 
1
9 ( )a a g agϕ −=a . 
Observe que se G é abeliano, então 9ϕ =id. 
 Também, 1 1 1 19 9 9( . ) ( ) ( ) ( ) ( )a b g ab g g ag g ag g bg a bϕ ϕ ϕ− − − −= = = = . 
 Quando : G Hϕ → é homomorfismo bijetor então dizemos então dizemos que ϕ é 
isomorfismo de grupos e denotamos por : G Hϕ → ou G H≅ . 
Definição 4.3: Seja G um grupo abstrato. Aut(G) = \{ f:G → G; f é isomorfismo} é o conjunto 
dos automorfismo de G. 
Teorema 4.1: Seja G um grupo. O Aut(G) ={ f:G → G; f é isomorfismo} é um grupo, com a 
operação de composição de funções e é conhecido na literatura por grupo dos automorfismo 
do grupo G. 
Propriedades: Sejam (G,*) e (H ,∆ ) grupo. Seja f: G→H homomorfismos. Então: 
1- f(eG)= eh,, eG elemento neutro de G e eH elemento neutro de H. 
Demonstração: f(eG) = f(eG* eG), f é homomorfismo⇒ f(eG)= f(eG) ∆ f(eG) Como f(eG) 
∈ H e H' é grupo então existe f(eG)' tal que f(eG) ∆ f(eG)'= eH. 
2- 1 1( ) ( ),f x f x x G− −= ∀ ∈ . 
Demonstração: 1( * ) ( )G Hf x x f e e− = = , pois f é homomorfismo. Logo 
1( ) ( ) Hf x f x e−⇒ =V . Como H é grupo e f(x)∈H então existef(x)-1 tal que 1( ) ( ) Hf x f x e−∆ = . 
Assim, 1 1 1 1 1( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )Hf x f x f x e f x f x f x f x− − − − −∆ ∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ 
1 1 1( ) ( ) ( 1) ( )Hf x e f x f x f x− − −⇒ ∆ = → − = W 
3- 1 1;H G H⊆ é subconjunto de 1( )G f H⇒ é subconjunto de H. 
Demonstração: 1 1;H G H⊆ é subgrupo de G. Queremos provar que 1( )f H é subgrupo 
de H. Temos que 1 1( ) , pois .f H H≠ ∅ ≠ ∅ Sejam x e y ∈ 1( )f H . Logo existem a e b ∈ H1, 
tais que x = f(a) e y = f(b) e x ∆ y-1 = f(a) ∆ f(b) -1 = f(a) ∆ f(b-1) = f(ab-1) e a * b-1 ∈ 
-1
1 1 ( ).H x y f H⇒ ∆ ∈ Portanto f(H1) é um grupo. W 
4- ,S H S⊆ é grupo de 1( )H f S−⇒ é subgrupo de G; 
Demonstração: ,S H S⊆ é subgrupo de H, então queremos provar que f-1(S) é 
subgrupo de G. Temos que f-1(S) ≠ ∅ ,pois S ≠ ∅ . 
Sejam a,b ∈ f-1(S). 
1
, ( ) ( ), ( ),a b f S x f a y f b−∈ ⇔ = = sendo que x,y ∈ S. 
Assim, x ∆ y-1 = f(a) ∆ f(b)-1 = f(a) ∆ f(b-1) =f(a * b-1) e x ∆ y-1 ∈ S, pois S é subgrupo 
de H. Portanto a*b-1∈ f-1(S). W 
5- Kerf é um subconjunto de G e Imf é subconjunto de H. 
Demonstração: temos que Imf={ y∈H; y=f(x), x ∈ G = f(G) e 
Kerf = {x ∈ G; f(x) = eH} = f-1({eG }). Logo o resultado segue do item anterior. 
 W 
6- Kerf = {eG} ⇔ f é injetora. 
Demonstração: ( )⇒ Suponha Kaf = {eG} e f(a) = f(b), a,b∈ G. 
f(a) = f(b) ⇔ f(a) ∆ f(b)-1 =eG ⇔ f(a*b1) = eH .⇒ a* b-1 ∈ Kerf ={eG}. Logo, 
 a*b-1 = eG⇒ a = b. 
( )⇐ Suponha f é injetora. Seja a ∈ Kerf ⇒ f(a) = eH. Mas f(eG) = eG e f(eG) = f(a) . 
Como f é injetora, então eG = a. W 
Proposição 4.1: Sejam H,K dois subgrupos de G.Então H.K é um subgrupo de 
G ⇔ H.K = K.H. 
Demonstração: (⇒ ) Suponha que H.K é um subgrupo de G. 
1- Seja .K Hα ∈ .Então existem ki K, h ∈ H, tais que .k hα = . Considere 
1 1
. .h k H Kβ − −= ∈ .Como H.K é subgrupo de $ e β ∈ Η.Κ então β -1 ∈ H.K. Mas, β -1 = k.h = 
α e portanto α ∈ Η.Κ Assim, K.H ⊆ H.K. 
2- Seja γ ∈ H.K. Então existem k∈ K e h∈H, tais que α = k.h. Considere β = h-1.k-1 ∈ 
H.K. Como H.K é, por hipótese, subgrupo de G, então β -1∈ H.K. 
 Mas, 1 . . .k h H K K Hβ α α− = = ⇒ ∈ ⊆ . 
Segue de 1) e 2) que H.K = K.H. 
( )⇐ Suponhamos que .K=K.H. Para provar que H.K é subgrupo, basta provar: 
1. , . , .x y H K xy H K∀ ∈ ∈ 
2. 1. , .x H K x H K−∀ ∈ ∈ 
Sejam x,y∈ H.K. Temos x =h1 k1 e y = h2 k2, logo xy=(h1 k1)(h2 k2)= h1(k1h2)k2. 
Como k1h2∈ K.H e, por hipótese, K.H = H.K, temos que existem h3∈ H e k3∈ K tais 
que k1h2= h3k3 e substituindo na expressão para xy, obtemos: 
xy = h1(h3k3)k2=(h1h3)(k3k2) ∈ K.H = H.K. W 
 
RESULTADOS E DISCUSSÕES 
O Grupo Diedral de Ordem oito 
O Grupo diedral de ordem 8 é um grupo não comutativo. Logo, este grupo é não cíclico. 
Descrevemos a tabela da multiplicação dos elementos deste grupo, como segue na tabela 1. 
Exemplo 5.1: Considere o seguinte conjunto G= {e, b, b2, b3, a, ab, ab2, ab3}, e suponha que 
a
2 
= b4 = e e ba=ab3. No conjunto G, e é o elemento neutro de G, ou seja, ex= xe; ∀ x ∈ G. 
Temos que G é um grupo, que é conhecido na literatura por Grupo Diedral com oito 
elementos e denotado por D4observe a tabela da operação dos elementos em G=D4. 
 
O Grupo dos Quatérnios de Ordem oito 
O Grupo dos quatérnios de ordem 8 é um grupo não comutativo, que pode ser verificado 
através da tabela 2. Logo, este grupo é não cíclico. Descrevemos a tabela da multiplicação 
dos elementos deste grupo, como segue na tabela 2. 
Exemplo 6.1: Considere o seguinte conjunto Q8= {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k }, tal que, 
ij = k, jk = i, ki = j, kj = -i, ik=-j e ji= -k e (± i)2 = (± j)2 = (± k)2 =1. 
No conjunto Q8, 1 é o elemento neutro de Q8, ou seja ex = xe; ∀ x ∈ Q8. Temos que Q8 
é um grupo, que é conhecido na literatura por Grupo dos Quatérnios com oito elementos. 
 
 
O Grupo de congruências módulo m 
O Grupo das congruências módulo m com relação a operação soma, que definiremos a seguir 
é um grupo cíclico, logo comutativo. Para isso, considere: 
Exemplo 7.1: Seja m ∈ Ζ, m > 1. Vamos definir a seguinte relação de equivalência no 
conjunto dos inteiros, ¢ . Como segue: , , x y xRy x y qm∈ ⇔ − =¢ , para algum q ∈ ¢ . 
- A relação binária _R_ é relação de equivalência; 
- Dado a ∈ ¢ a classe de equivalência de a, denotada por a , é o seguinte subconjunto 
dos números inteiros: a = {x ∈ ¢ ; x = qm + a para algum q ∈ ¢ } 
- Dados a, b ∈ ¢ a = b ⇔ aRb ⇔ a – b = qm para algum q ∈ ¢ ; 
- Notação: = { ; }a a
m
∈
¢ ¢
¢
 é o conjunto quociente da relação de equivalência, R que 
definimos. Segue o algoritmo da divisão que: {0, 1, 2, 3,..., 1}m
m
= −
¢
¢
. 
Considere agora uma operação em 
m
¢
¢
 que chamamos de soma, da seguinte forma: 
,
Z
x y
mZ
∀ ∈ x y x y+ = + . 
- Provemos que ( ,
m
+
¢
¢
), que acabamos de definir é um grupo abeliano. 
 
De fato, claro que: , , e .x y x y x y x y
m m
∀ ∈ + = + + ∈¢ ¢
¢ ¢
 
Também, vale: 
1) Associatividade: , ,x y z
m
∀ ∈ ¢
¢
, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y z x y z x y z x y z x y z x y z+ + = + + = + + = + + = + + = + + 
2) Existência do elemento neutro: Temos que: e = 0 é o elemento neutro de 
m
¢
¢
 
3) Existência do elemento simétrico: , tome ( ) 'a a m a
m
∀ ∈ = −¢
¢
. Observe que ( a )’ é 
simétrico de a . 
4) Comutatividade: , , ,x y x y x y y x y x
m
∀ ∈ + = + = + = +¢
¢
 
Segue de 1) 2) 3) e 4) que ( ,
m
+
¢
¢
) é um grupo abeliano. 
Exemplo 7.2: Vamos definir, agora um operação
m
¢
¢
 que chamamos de multiplicação ou 
produto, da seguinte forma: , , . .x y x y x y
m
∀ ∈ =¢
¢
. 
- Provemos que ( {0},.), onde, {1, 2, 3,..., 1}m
m m
− = −
¢ ¢
¢ ¢
, não é grupo se m não é 
um numero inteiro primo. De fato, Apesar de: 
1) Associatividade: 
, , {0}, .( . ) .( . ) ( . ). . . ( . ).x y z x y z x y z x y z x y z x y z
m
∀ ∈ − = = = =¢
¢
; 
2) Existência do Elemento Neutro: Temos que: 1e = é o elemento neutro de 
{0}, pois, 1. 1. ,x x x x
m
− = = ∀ ∈¢ ¢
¢
 
4) Comutatividade: , , {0}, . . . .x y x y x y y x y x
m
∀ − = = =¢
¢
 
Por outro lado, observe ∀ x ∈ ¢ , tais que m = x.y, com 1< x.y < m – 1 .Logo, 
0 . . e 0 e y 0m x y x y x= = = ≠ ≠ . Assim , {0} e . {0}x y x y
m m
∈ − ∉ −
¢ ¢
¢ ¢
. Ou seja, nem 
sempre o produto é fechado para a multiplicação em 
m
¢
¢
 - {0}. 
Portanto (
m
¢
¢
-{0},.) não é grupo. 
Proposição 7.1: Um elemento ma ∈¢ é invertível ( , ) 1MDC a m⇔ = 
Demonstração: ( )⇒ Suponha ma ∈¢ tal que a é invertível. Assim existe mb ∈ ¢ , de 
modo que . 1a b = , ou seja, . 1a b = . 
 . 1 ; 1 ( ) 1 ( , ) 1a b t ab tm ab t m MDC a m= ⇔ ∃ ∈ − = ⇔ + − = ⇒ =¢ . 
( )⇐ Suponha agora que ( , ) 1MDC a m = . ( , ) 1 ,a m b s= ⇔ ∃ ∈¢ tal que 
ab+ms=1 ⇔ . . 1 . . 1a b m s a b m s+ = ⇔ + − = . . 1 . 1a b m s a b⇔ + = ⇒ = ⇒ a é invertível. W 
Segue da proposição 3.1 que: .( ) { ; ( , ) 1}m mU x MDC m x= ∈ =¢ ¢ . Ressaltamos que 
.( )mU ¢ é um conjunto formado pelos simétricos de m¢ , com relação a operação produto. 
Proposição 7.2: Um conjunto .( ) { ; ( , ) 1}m mU x MDC m x= ∈ =¢ ¢ , e fechado para operação de 
multiplicação. 
Demonstração: Sejam , .( )mx y U∈ ¢ queremos provar que . .( )mx y U∈ ¢ . De fato: 
- .( ) é invertível ; 1 ( , ) 1m mx U x a ax xa MDC m x∈ ⇔ ⇔ ∃ ∈ = = ⇔ =¢ ¢ 
- .( ) é invertível ; 1 ( , ) 1m my U y b by yb MDC m y∈ ⇔ ⇔ ∃ ∈ = = ⇔ =¢ ¢ 
O inverso de . é .x y b a . De fato, ( . ).( . ) ( . ) . 1. . 1x y a b x y b a x a x a= = = = . Por outro 
lado, ( . ).( . ) ( . ) . 1. . 1b a x y b a x y b y b y= = = = . Assim, . .( ) mx y U∈ ¢ W 
Conclusão: .( )mU ¢ é grupo com operação de multiplicação que definimos neste tópico. 
Observamos que este grupo é sempre comutativo, porém, em geral este grupo não é cíclico. 
O Grupo de permutações de um conjunto finito 
Consideremos um conjunto de n objetos distintos que, sem perda de generalidade 
podemos denotar S={1,2, ... ,n}. Considere o conjunto Bij(S)={f : S→S; f é bijeção}. Segue o 
Princípio multiplicativo que |Bij(S)|=n!, desta forma denotamos este conjunto Bij(S)=Sn e o 
chamaremos de conjunto simétrico ou conjunto das permutações de n letras. 
Em geral, para quaisquer aplicações f:A →B e g:B → C. Definimos a aplicação 
composta gof:A→C de g e f, nesta ordem, por: (gof)(x)=g(f(x)). Dado um conjunto arbitrário 
X podemos considerar o conjunto B(X)= {f:X → X; f é função}. A composição de funções 
define uma operação em B(X). Além disso, a composição de funções é uma operação 
associativa em B(X). Ou seja, ( ) ( ), , , ( )fog oh fo goh f g h B X= ∀ ∈ . 
Também, convém ressaltar, que existe a função identidade, que leva o x ∈ X no 
próprio elemento x ∈ X ( x xa ), esta função que denotamos por ( ) Xid id B X= ∈ ,e 
satisfaz ( )foid idof f f B X= = ∀ ∈ . Assim, podemos concluir que idX é o elemento neutro 
para a operação de composição de funções em B(X). Nem sempre, ∀f ∈ B(X), a operação de 
composição em B(X) admite g ∈ B(X), xfog gof id= = 
Este fato é verdadeiro, somente no caso em que f é bijeção de X em X. Desta forma, se 
restringirmos B(X) ao conjunto de todas as funções de X em X, tal que f é bijetora, então, neste 
conjunto, a operação de composição é associativa, admite elemento neutro e todo elemento 
deste conjunto é simetrizável, ou seja, o simétrico de f : X →X, tal que, f é bijetora, é a função 
inversa de f, denotada por f -1 X → X Logo, concluímos que Sn forma um grupo com a 
operação de composição de funções e este grupo é conhecido na literatura por grupo 
simétrico ou grupo das permutações de n letras. 
Agora, provaremos que os grupos Sn; n ≥ 3, são exemplos de grupos não comutativos. 
De fato, sejam , ,nf g S∈ tais que f:{1,2,...,n}→{1,2,...n}, definida por f(1)=2, f(2)=1, e 
g(x)=x, ∀x, 3 ≤ x ≤ n e g:{1,2,...,n}→{1,2,...,n}, definida por g(1)=2, g(2)=3, e g(3)=1, e se 
n ≥ 4 g(x)=x,∀x, 4 ≤ x ≤ n. Observe que: 
(1) ( (1)) (2) 3 (1) ( (1)) (2) 1.gof g f g e fog f g f= = = = = = Logo, .fog gof≠ 
Portanto Sn não comutativo quando n ≥ 3. 
Em particular, S3 é um exemplo de um grupo não comutativo com exatamente 6 
elementos. É usual denotar um elemento f do grupo Sn, por: 
 
1 3 2 ...
.(1) (2) (3) ... ( )
n
f f f f n
 
 
 
 
 Assim, o grupo S3 é composto dos seguintes 6 elementos: 
Exemplo 8.1: Para n=3, temos 3!=6 objetos, que são as seguintes permutações: 
0 1 2 3
4 5
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , , ,
1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 1 3
1 2 3 1 2 3
, .
3 2 1 1 3 2
e f f f f
f f
       
= = = = =       
       
   
= =   
   
 
Exemplo 8.2: Vamos estabelecer uma relação entre o grupo de permutação de 3 elementos S3 
e as simetrias de um triângulo equilátero. Desta forma, sejam V1, V2,V3 os vértices de um 
triânguloequilátero. Traçando as bissetrizes do triângulo equilátero, nomeamos as três como 
E1, E2 e E3, logo cada uma dos seguimentos divide o triângulo em partes iguais, onde 
identificamos os eixos de simetria, veja Figura1. 
 Figura 1: Triângulo eqüilátero de vértice V1, V2 , V3, V3 . 
 
Os elementos (id, R120, R240) são as rotações planas centradas no ponto de interseção dos 
segmentos E1, E2 e E3, no sentido anti-horário, de ângulos 0°, 120° e 240°, como descrevemos 
nas Figuras 2, 3, 4, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Rotação plana no sentido anti-horário, de ângulos 0º, Id. 
Figura 4: Rotação plana no sentido anti-horário, de ângulo 240°, R240°. 
Figura 3: Rotação plana no sentido anti-horário, de ângulos 120º, R120º. 
1 2 3
1 2 3
 
↔  
 
1 2 3
2 3 1
 
↔  
 
1 2 3
2 3 1
 
↔  
 
Considere as rotações espaciais nos eixos de simetrias: E1, E2, e E3, de ângulos 180°, como 
dados nas Figuras 5), 6) e 7), respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para cada caso, identificamos as permutações do conjunto {1,2,3} com as simetrias do 
triângulo equilátero de vértices V1, V2 e V3, dado nas Figuras 1: 
- as rotações planas centradas no ponto de interseção dos segmentos E1, E2, e E3 no 
sentido anti-horário, de ângulos 0º, 120º e 240º, id, R120, e R240, respectivamente; 
- as rotações espaciais de ângulo de 180º, com os eixos de simetrias: E1, E2, e E3, R1, 
R2 e R3. 
CONCLUSÕES 
 Observamos que o conceito de grupo abstrato que usamos atualmente, foi estabelecido por 
Galois. E, Este conceito está diretamente relacionado à outras áreas, como por exemplo, 
1 2 3
1 3 2
 
↔  
 
Figura 5: Rotação espacial no eixo E1, de ângulo 180°, R1. 
1 2 3
3 2 1
 
↔  
 
Figura 6: Rotação espacial no eixo E2, de ângulo 180°, R2 
1 2 3
2 1 3
 
↔  
 
Figura 7: Rotação espacial no eixo E3, de ângulo 180°, R3 
geometria, teoria dos números e teoria de equações algébricas e entre outras áreas. 
Pesquisamos estes conceitos teóricos e caracterizamos o grupo das permutações de um 
conjunto com três elementos e estabelecemos equivalência entre o grupo das permutações de 
um conjunto com três elementos e o grupo das simetrias de um triângulo eqüilátero. 
Constamos que este grupo é não comutativo, logo não cíclico. Também exploramos outros 
exemplos de grupos não comutativos, o diedral de ordem 8, o grupo dos quatérnios de ordem 
8. Exibimos uma classe de grupos cíclicos que são os grupos com m elementos que são o 
grupo das congruências módulo, com relação à operação soma, para cada inteiro m>2. 
 
REFERÊNCIAS 
[1] Arpasi, J.P., “Codificadores Homomorfos sobre grupos”, Tese de Doutorado, 
FEEC/UNICAMP, 1996. 
[2] Boyer, Carl B. História da Matemática. 1ed. São Paulo, Edgard Blücher. Ltda, 2003. 
 [3] Craveiro, Irene M. “Caracterização de Modulações Digitais Casadas a Grupos” 
Dissertação de Mestrado, IBILCE/UNESP, setembro de 1999. 
[4] Domingues, Hygino H. e Iezzi, Gelson. “Álgebra Moderna” São Paulo, Editora atual, 
1990. 
[5] Garcia, Arnaldo e Lequain Yves., “Elementos de Álgebra.” 3ed. Rio de Janeiro, IMPA, 
2005. 
[6] Gonçalves, A., “Introdução à Álgebra.” 5ed. Rio de Janeiro, IMPA, 2005. 
[7] Fraleigh, John B., “A First Course in Abstract Algebra.” 1ed. United States of America, 
Addison-Wesley, 1967. 
[8] http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria de grupos, acessada no dia 12-08-2009. 
[9] http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Development group theory.html, 
acessada no dia 12-08-2009. 
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