Lista Equações Diferenciais Ordinárias EDO

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EDO - ENG. CIVIL , 2o SEMESTRE DE 2017, IME/UFG
R. GARCIA
1. Primeira Lista
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1) Considere a equac¸a˜o diferencial
dx
dt
= x′ = x2 + a, x(0) = x0 > 0, a ∈ R. (1)
i) Resolva a equac¸a˜o diferencial (1) e explicite o domı´nio da soluc¸a˜o x(t).
ii) Considere os casos a = −1, a = 0, a = 1 e esboce os gra´ficos de va´rias soluc¸o˜es .
2) Considere a equac¸a˜o diferencial
V ′ = V˙ = k1 − k2V 23 , V (0) = V0 > 0, k1 > 0, k2 > 0. (2)
i) Verifique que V0(t) = (
k1
k2
)
3
2 e´ uma soluc¸a˜o da eq. diferencial (2).
ii) Seja V (t) a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial (2). Mostre que limt→∞V (t) = V0(t).
Obs: Basta fazer um argumento geome´trico.
iii) Convenc¸a-se que e´ inu´til obter uma fo´rmula expl´ıcita para a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial (2) com
condic¸a˜o inicial V (0) 6= (k1k2 )
3
2 .
iv) Verifique que
F (v) = arctanh (v) + 1/2 ln
(
v2/3 + 3
√
v + 1
)− 1/2 ln (v2/3 − 3√v + 1)+ 2 arctanh ( 3√v)− 3 3√v e´ uma
primitiva de f(v) = 1/(1− v 23 ) e analise a equac¸a˜o F (v)− F (1) = t para resolver v em func¸a˜o de t.
3) Considere a equac¸a˜o diferencial x′ = (sent + cos 2t)x, x(0) = x0.
i) Resolva a equac¸a˜o acima e esboce suas soluc¸o˜es com as seguintes condic¸o˜es iniciais: x(0) = 0,
x(0) = 2 e x(0) = −1.
ii) Esboce o gra´fico da func¸a˜o X(t) =
∫ t
0 x(t)dt, com x(0) = 1.
4) Considere a equac¸a˜o diferencial x′ = (−sent + cos 2t)x, x(0) = x0.
i) Resolva a equac¸a˜o acima e esboce suas soluc¸o˜es com as condic¸o˜es iniciais x(0) = 0, x(0) = 1 e
x(0) = −1. Esboce o gra´fico de x(t) em cada uma das 3 situac¸o˜es descritas.
ii) Seja x(t) a soluc¸a˜o da eq. diferencial com x(0) = 1. Calcule, aproximadamente, os valores de t tais
que x(t) = 2. A equac¸a˜o x(t) = 4 tem soluc¸a˜o ? Justifique.
Obs: Pode fazer uso de recursos computacionais.
5) Considere a equac¸a˜o diferencial
x′ = (N − x)x3, x(0) = N
2
(3)
i) Resolva a equac¸a˜o (3) e calcule o domı´nio da soluc¸a˜o x(t).
ii) Esboce o gra´fico da soluc¸a˜o x(t).
iii) Calcule (se existir) os limites: limt→∞ x(t) e limt→−∞ x(t).
iv) Refac¸a os itens anteriores supondo na equac¸a˜o (3) que x(0) = 3N/2.
1Goiaˆnia, 17 de agosto de 2017. Entregar a lista resolvida em 23/08/2017.
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