Apostila Métodos Numéricos Formatada VF

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INTRODUÇÃO 
AOS MÉTODOS 
NUMÉRICOS 
 
 
 
 
 
Celme Torres F. da Costa 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
Campus Cariri 
2010 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 2 
 
Sumário 
1. Introdução aos Métodos Numéricos ................................................................... 4 
1.1. Soluções Analíticas .................................................................................... 5 
1.2. Método das diferenças Finitas ................................................................... 6 
1.3. Método dos elementos finitos .................................................................... 6 
1.4. Método dos momentos (MOM) .................................................................. 7 
1.5. Método dos elementos analíticos ............................................................... 7 
1.6. Método das camadas finitas ...................................................................... 7 
1.7. Método de elementos de contorno (MEC) ................................................. 8 
1.8. Método dos volumes finitos........................................................................ 8 
2. Condições de Contorno .................................................................................... 10 
2.1. Condições de contorno naturais .............................................................. 11 
2.2. Condições de contorno geométricas ........................................................ 11 
3. Sistemas de Equações Diferenciais ................................................................. 12 
3.1. Sistemas de Equações Diferenciais ......................................................... 12 
3.1.1. Sistemas homogêneos ...................................................................... 12 
3.1.2. Sistemas não homogêneos ............................................................... 14 
3.2. Conceito de autovalor e autovetor ........................................................... 15 
3.3. Diagonalização de matrizes ..................................................................... 18 
3.4. Solução geral de sistemas homogêneos ................................................. 19 
3.5. Solução geral de sistemas não homogêneos .......................................... 20 
3.5.1. Exercícios e Aplicações de sistemas de equações diferenciais ........ 21 
3.6. Solução de sistemas lineares .................................................................. 22 
3.6.1. Exercícios .......................................................................................... 27 
4. Métodos dos Resíduos Ponderados ................................................................ 28 
4.1. Método de colocação pontual .................................................................. 29 
4.2. Método dos subdomínios ......................................................................... 32 
4.3. Método dos mínimos quadrados .............................................................. 34 
4.4. Método de Galerkin .................................................................................. 36 
4.5. Exercícios ................................................................................................ 38 
5. Introdução aos Métodos Variacionais............................................................... 39 
5.1. Cálculo variacional ................................................................................... 39 
5.2. Máximo e mínimo de funções .................................................................. 39 
5.3. Funcional ................................................................................................. 43 
5.3.1. Funcional de uma função .................................................................. 44 
5.3.2. Determinação do Funcional - Equação de Euler ............................... 47 
5.3.3. Exercícios .......................................................................................... 51 
6. Métodos Variacionais ....................................................................................... 53 
6.1. Método de Ritz ......................................................................................... 53 
6.1.1. Exercícios .......................................................................................... 58 
6.2. Método de Rayleigh-Ritz .......................................................................... 59 
7. Métodos das Diferenças Finitas ....................................................................... 66 
7.1. Derivadas de ordem superior ................................................................... 68 
7.2. Exercícios ................................................................................................ 73 
8. Métodos dos Elementos Finitos ....................................................................... 75 
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3 
 
8.1. Sistemas discretos e funções de base ..................................................... 78 
8.1.1. Funções de base ................................................................................ 78 
8.1.2. Exemplos de sistemas discretos ........................................................ 81 
8.1.2.1. Mola elástica ................................................................................ 81 
8.1.2.2. Torção em barra circular .............................................................. 82 
8.1.2.3. Fluxo de um fluido em um tubo .................................................... 83 
9. Métodos dos Elementos Finitos Bidimensional ................................................. 94 
9.1. Modelos de elementos finitos ................................................................... 95 
9.1.1. Funções de forma .............................................................................. 95 
9.1.2. Elemento triangular linear................................................................... 96 
9.1.3. Teorema de Green-Gaus ................................................................... 98 
9.1.4. Imposição das condições de contorno ............................................. 100 
9.1.5. Determinação da matriz de rigidez ................................................... 101 
9.1.6. Determinação do vetor de carga nodal............................................. 102 
 
 
 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 4 
 
1. Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 
Os modelos são ferramentas projetadas para representar uma versão simplificada de um 
problema real. É uma tentativa para compreensão dos processos físicos, químicos e bioló-
gicos traduzidos em termos matemáticos. O objetivo da modelagem é o de prever ou predi-
zer cenários onde estão envolvidos variáveis desconhecidas, como, por exemplo, a varia-
ção da carga hidráulica ou distribuição de concentrações de espécies químicas em um sis-
tema aqüífero no tempo e no espaço (BEDIENT et al., 1994), variação de temperaturas, 
análise de estruturas, entre outras. 
 
No desenvolvimento de um modelo, o primeiro passo é o desenvolvimento de um modelo 
teórico ou conceitual, que consiste na descrição dos processos envolvidos e no conheci-
mento do comportamento do sistema analisado. O próximo passo é traduzir esse modelo 
teórico em termos matemáticos, o chamado modelo matemático, que é o conjunto de equa-
ções diferenciais associada ao conjunto de equações de condições iniciais e de condições 
de contorno. Finalmente, a solução das equações sujeitas às condições de contorno impos-
tas é obtida utilizando métodos analíticos ou numéricos. 
 
Quando os modelos consideram as variáveis de entrada e/ou os parâmetros dependentes de 
funções aleatórias (probabilidade) esses modelos são definidos como modelos ESTO-
CÁSTICOS ou PROBABILÍSTICOS, do contrário, são DETERMINÍSTICOS. Os mo-
delos baseadosem resultados experimentais, são ditos modelos EMPÍRICOS (COSTA, 
2000). 
 
Uma vez que o modelo teórico é formulado e os parâmetros apropriados tenham sido de-
terminados, o próximo passo é achar uma solução para as equações que governam o pro-
blema, considerando as condições iniciais e de contorno. As técnicas mais utilizadas na 
solução destas equações são: solução analítica, método dos momentos, método das cama-
das finitas, elementos de contorno, diferenças finitas e elementos finitos, descritas a seguir. 
 
 
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5 
 
1.1.1. Soluções Analíticas 
Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na equação dife-
rencial reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução analítica da equação di-
ferencial no intervalo. Porém, nem toda equação diferencial possui necessariamente uma 
solução analítica. 
 
Quando resolvemos uma equação diferencial, normalmente obtemos uma família de curvas 
ou funções contendo um parâmetro arbitrário tal que, cada membro da família é uma solu-
ção da equação diferencial. 
 
As soluções das equações diferenciais são divididas em Explícitas ou Implícitas. Uma so-
lução explícita é qualquer função y(x) que verifique a equação num intervalo 
a x b 
. 
Ou seja, uma solução na qual a variável dependente é expressa somente em termos da vari-
ável independente e das constantes. Para nossos propósitos, vamos pensar que uma solução 
explicita seja da forma 
y f (x)
, a qual pode ser manipulada, calculada e diferenciável por 
meio das regras padrão. Isto é, a variável dependente pode ser isolada e igualada a uma ex-
pressão, a qual é função apenas da variável independente, não ambígua. 
 
Uma solução implícita é uma relação 
g(x, y) 0
 que verifique a equação. Dizemos que 
uma relação 
g(x, y) 0
 é uma solução implícita de uma EDO em um intervalo I, se ela 
define uma ou mais soluções explícitas em I. Isto é, a variável dependente (função) não 
pode ser isolada e igualada a uma expressão que dependa apenas da variável independente, 
ou quando isto for possível então a expressão será ambígua. 
 
As soluções analíticas são ideais para um rápido cálculo preliminar, são válidas para estu-
dos de sensibilidade e úteis para checar resultados de análises mais complexas. Toda base 
teórica para determinação das soluções analíticas de equações diferenciais foram descritas 
e assimiladas em disciplinas anteriores envolvendo equações diferencias ou matemática 
aplicada. 
 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 6 
 
1.1.2. Método das diferenças Finitas 
O método das diferenças finitas substitui a equação diferencial por um conjunto de equa-
ções lineares algébricas que são resolvidas de forma aproximada (McDONALD; HAR-
BAUGH, 1988). As idéias fundamentais foram estabelecidas e usadas por matemáticos do 
século XVIII, tais como Taylor e Lagrange (GOMES, 2000). No método das Diferenças 
Finitas, uma equação diferencial (de natureza contínua) é substituída por uma série de e-
quações algébricas, chamadas de diferenças finitas, em pontos discretos. Esse método é o 
mais antigo e o mais divulgado e foi o primeiro a ser usado para a solução sistemática de 
problemas de água subterrânea. 
 
Figura 1. Malha de diferenças finitas. 
 
 
1.1.3. Método dos elementos finitos 
O método dos elementos finitos substitui a equação diferencial por uma formulação vari-
acional do problema, que leva a resolução aproximada de um sistema de equações lineares 
algébricas (ZIENKIEWICZ, 1977). Baseia-se na divisão do domínio do problema em sub-
domínios, o que permite a representação de domínios complexos como um conjunto de 
subdomínios mais simples – chamados Elementos Finitos. Cada elemento finito é conecta-
do aos elementos vizinhos através de nós. O conjunto dos elementos e dos nós é chamado 
de malha. A Figura 1.0 mostra uma malha de elementos finitos. 
i, ji-1, j i+1, j
i, j+1
i, j-1i-1, j-1 i+1, j-1
i-1, j+1 i+1, j+1 i+2, j+2
i+2, j-2
x
y
x
y
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7 
 
 
Figura 2 – Malha de elementos finitos. 
 
1.1.4. Método dos momentos (MOM) 
O método dos momentos (MOM) tem a sua origem – como muitas outras idéias em esta-
tística - no trabalho precursor de Lord Karl PEASON (1857). Pearson havia construído o 
seu sistema de famílias de distribuições de probabilidade e necessitava um procedimento 
automático para, uma vez escolhida a família apropriada, estimar os parâmetros da particu-
lar curva (ou função de densidade) que melhor se ajustaria aos dados. Como tais parâme-
tros eram, geralmente, relacionados aos momentos da distribuição através de funções algé-
bricas não muito complicadas, ele propôs que se igualasse os valores dos momentos amos-
trais aos momentos teóricos, conforme descritos por tais funções. Desse modo, indo-se até 
o momento de ordem igual ao número de parâmetros a estimar, se obtinha um sistema de 
tantas equações quanto incógnitas – os parâmetros – a resolver. 
 
1.1.5. Método dos elementos analíticos 
O método dos elementos analíticos é baseado no princípio da superposição de várias fun-
ções analíticas. Este princípio consiste da adição de soluções individuais para cada elemen-
to. A solução do problema é obtida através da adição de todas as influências dos elementos 
analíticos individuais, representados pelas funções analíticas, que correspondem às caracte-
rísticas do sistema em estudo. 
 
1.1.6. Método das camadas finitas 
O método das camadas finitas, descrito por ROWE e BOOKER (1985 a, b; 1987), se a-
plica a situações onde a hidroestratigrafia pode ser idealizada como composta de camadas 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 8 
 
horizontais, com as propriedades do solo sendo as mesmas em qualquer local na camada. O 
método das camadas finitas é muito utilizado em problemas de dimensionamento de pavi-
mentos. 
 
1.1.7. Método de elementos de contorno (MEC) 
O Método dos elementos de contorno ou Boundary Element Method – BEM, é um méto-
do computacional para a solução de sistemas de equações diferenciais, formuladas em 
forma integral. É aplicado em diversas áreas da engenharia, como em mecânica dos flui-
dos, acústica, eletromagnetismo e estudo de fraturas. 
 
O método possui melhor desempenho que o método dos elementos finitos em certas cir-
cunstâncias, como por exemplo, quando o domínio de estudo for infinito ou semi-infinito. 
 
No método de elementos de contorno (MEC), primeiramente ocorre a transformação da 
equação diferencial parcial que descreve o comportamento da incógnita no interior e no 
contorno do domínio, em uma equação integral que envolve somente incógnitas em seu 
contorno. A seguir, faz-se a discretização do contorno em elementos de superfície e, por 
fim, encontra-se a solução do sistema de equações algébricas resultantes. As principais 
vantagens do MEC estão no fato de que somente o contorno (ou contornos) do domínio 
deve ser dividido em sub-regiões (discretizado). Nos outros métodos (Elementos Finitos e 
Diferenças Finitas), todo o domínio deve ser discretizado. Desta forma, a dimensão do 
problema é efetivamente reduzida em uma dimensão (BREBBIA e SKERGET, 1984). 
 
1.1.8. Método dos volumes finitos 
O método dos volumes finitos é um método de resolução de equações às derivadas parci-
ais baseado na resolução de balanços de massa, energia e quantidade de movimento a um 
determinado volume de meio contínuo. 
 
Este método evoluiu das diferenças finitas e não apresenta problemas de instabilidade ou 
convergência, por garantir que, em cada volume discretizado, a propriedade em questão 
(por exemplo,a massa) obedece à lei da conservação de massa. É um método largamente 
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utilizado na resolução de problemas envolvendo transferência de calor ou massa e em me-
cânica dos fluidos. 
 
Figura 1.1 - Diagrama de métodos de solução de um problema físico. 
 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 10 
 
2. Condições de Contorno 
 
 
O objetivo da maioria das análises numéricas é determinar funções desconhecidas, chama-
das variáveis dependentes, que satisfaçam um dado conjunto de equações diferenciais em 
um domínio ou região e algumas condições de contorno na borda do domínio. Um domínio 
é uma coleção de pontos no espaço com propriedades que se P é um ponto no domínio, en-
tão todos os pontos próximos a P pertencem ao mesmo domínio. Esta definição implica 
que um domínio consiste somente de pontos internos. Os símbolos Ω são utilizados para 
denotar um domínio arbitrário e Γ para determinar seu contorno. 
 
 
 Γ (contorno) 
 
 Ω (domínio) 
 
Figura 1.2 – Esquema de apresentação do domínio e seu contorno. 
 
Em matemática, no ramo de equações diferenciais, um problema de valor de contorno ou 
de fronteira é uma equação diferencial provida de um conjunto de restrições adicionais, 
as chamadas condições de contorno. Uma solução para um problema de valor de contorno 
é aquela que seja solução da equação diferencial e satisfaça as condições de contorno. 
 
Problemas de valor de contorno surgem em diversos ramos, assim como toda equação dife-
rencial também o terá. Problemas envolvendo a equação de onda, bem como a determina-
ção dos modos normais, são frequentementes classificados como problemas de valor de 
contorno. Um problema de valor de contorno deve ser bem determinado. Isto é, dado certas 
condições para o problema, haverá então solução única, que depende continuamente das 
condições citadas. 
 
A solução de qualquer equação diferencial dependente do tempo (transiente) requer a espe-
cificação de condições na fronteira do sistema estudado (condições de contorno) e as con-
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11 
 
dições no início do processo físico (condição inicial). A definição precisa das condições de 
contorno e inicial é a parte mais importante para os processos de modelagem. 
 
Quando as variáveis dependentes são funções de uma variável independente (x), o domínio 
é um segmento de reta, dito, nesse caso, unidimensional, e os pontos limites são chamados 
pontos de contorno. Quando as variáveis dependentes são funções de duas variáveis inde-
pendentes (x, y), o domínio é bidimensional, sendo dado por uma superfície ou área, ge-
ralmente um plano. 
 
2.1.1. Condições de contorno naturais 
As condições de contorno naturais se referem à derivada da função que está sendo analisa-
da. 
No caso de escoamento corresponde aos valores de fluxo no contorno do domínio, assim 
como os pontos de perda ou ganho (poços, vazões, carga hidráulica). No caso de análise de 
estruturas as condições de contorno naturais representam as forças concentradas e distribu-
ídas existentes no sistema físico analisado. 
 
 
2.1.2. Condições de contorno geométricas 
As condições de contorno geométricas são os valores da função ao longo do contorno ou 
domínio. No caso de análise de estruturas correspondem aos apoios e as restrições do sis-
tema. 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 12 
 
3. Sistemas de Equações Diferenciais 
 
 
3.1.1. Sistemas de Equações Diferenciais 
As equações diferenciais ordinárias simultâneas envolvem duas ou mais equações que con-
tém derivadas de duas ou mais funções incógnitas de uma única variável independente. Se 
x, y e z são funções da variável t, então: 
 
2
2
2
2
d x
4 5x y
dt
d y
2 3x y
dt

  

   

 e, 2
x ' 3x y ' z ' 5
x ' y ' 2z ' t
x y ' 6z ' t 1
   

  
    
 
São exemplos de sistemas de equações diferenciais. 
 
Soluções de um Sistema 
Uma solução de um sistema de equações diferenciais é um conjunto de funções diferenciá-
veis 
x f (t)
, 
y g(t)
, 
z h(t)
, etc., que satisfaz cada equação do sistema em algum in-
tervalo I. 
 
Os sistemas de equações diferenciais podem ser resolvidos por: 
(i) Método dos operadores, através da eliminação algébrica sistemática; 
(ii) Método da transformada de Laplace 
(iii) Método de autovetores e autovalores de matrizes 
 
Sistemas homogêneos 
Um sistema de equações diferenciais é um conjunto de n ED, com uma variável indepen-
dente e n variáveis dependentes, que podem ser escritos da seguinte forma: 
 
 
 
 
' ' '1
1 1 2 n 1 2 n
' ' '2
2 1 2 n 1 2 n
' ' 'n
n 1 2 n 1 2 n
dy
F y , y ,..., y , y , y ,..., y , x
dx
dy
F y , y ,..., y , y , y ,..., y , x
dx
dy
F y , y ,..., y , y , y ,..., y , x
dx




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13 
 
onde F1, F2, ..., Fn são quaisquer funções de (2n+1) variáveis reais, que definem o sistema. 
 
O sistema de EDO lineares pode ser escrito numa forma simplificada, usando a notação 
vetorial, 
 
 
 
onde y é um vetor com n componentes, cada uma delas função de x, e F é um vetor com n 
componentes, funções de y, x e y’. 
 
Um caso especial na teoria de ED é quando o vetor de funções F, no sistema de equações 
tem a forma: 
 
 
 
onde A é uma matriz quadrada n x n de funções que dependem unicamente de x, f é um 
vetor 
com n componentes dependentes de x. 
 
 
 
 
Exemplo 3.1 
 
1. Escreva em forma matricial os sistemas 
 
(a) 
1 1 2
2 1 2
y ' x x
y ' 4x x
 

 
 
 
Na forma vetorial, o sistema pode ser escrito como: 
 
 
 
O vetor f é nulo e a matriz A é igual a 1 1
A
4 1
 
  
 
 
dy dy
F y, x,
dx dt
 
  
 
F Ax f 
1 1
2 2
y ' x1 1
y ' 4 1 x
    
    
    
Princípio da Superposição 
 
Seja 
1 2 nx , x ,..., x
 um conjunto de vetores solução de um sistema de EDO homogêneo 
em um intervalo I. Então a combinação linear 
 
1 1 2 2 n nx c x c x ... c x   
 
Onde, c1, c2 e cn são constantes arbitrárias, é também solução do sistema no intervalo. 
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 14 
 
(b) 
t
t
dx
3x 4y e sin 2t
dt
dy
5x 9y 4e cos 2t
dt



   

   

 
A forma matricial temos: 
 t
t
x ' 3 4 x e sin 2t
y ' 5 9 y 4e cos 2t


       
       
       
 
 t
t
3 4 e sin 2tdX
X
5 9dt 4e cos 2t


   
    
    
 
Onde, 
x
X
y
 
  
 
 
 
 
2. Verifique que 2t
1 2t
e
x
e


  
  
  
e 6t
2 6t
3e
x
5e
  
  
  
 são soluções do sistema de EDO’s 
1 3
X ' X
5 3
 
  
 
, no intervalo 
( , ) 
, onde 
x
X
y
 
  
 
. 
 
Temos que, 
 2t
1 2t
2e
x '
2e


  
  
  
 
 
 2t 2t 2t 2t
1 12t 2t 2t 2t
1 3 2e e 3e 2e
Ax x '
5 3 2e 5e 3e 2e
   
   
              
         
            
 
 6t
2 6t
18e
x '
30e
  
  
  
 
6t 6t 6t 6t
2 26t 6t 6t 6t
1 3 3e 3e 15e 18e
Ax x '
5 3 5e 15e 15e 30e
            
         
            
 
 
Logo, x1 e x2 são soluções da EDO. 
 
 
Sistemas não homogêneosPara sistemas não homogêneos, uma solução particular xp em um intervalo I é qualquer 
vetor, sem parâmetros arbitrários, cujos elementos são funções que satisfazem o sistema, 
 
dX
A(t)X F(t)
dt
  
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15 
 
 
Exemplo 3.2 
 
Verifique que o vetor 
p
3t 4
X
5t 6
 
  
  
 é uma solução particular do sistema não-homogêneo 
1 3 12t 11
X ' X
5 3 3
   
        
, no internalo 
( , ) 
. 
 
 
Solução 
 
Temos que, 
p
3
X '
5
 
  
 
 
 
p
1 3 12t 11 1 3 3t 4 12t 11
X
5 3 3 5 3 5t 6 3
           
                      
 
12t 14 12t 11 3
2 3 5
      
       
        
 
Logo, o vetor 
p
3t 4
X
5t 6
 
  
  
é solução particular do sistema homogêneo. 
 
 
 
 
3.1.2. Conceito de autovalor e autovetor 
Dado o sistema: 
 
 
 
 
 
 
8 2 1 14
2 11 3 35
     
    
     
Teorema 
 
Seja 
1 2 nx , x ,..., x
 um conjunto de vetores solução de um sistema de EDO homogêneo 
em um intervalo I e seja Xp um vetor arbitrário solução do sistema não homogêneo no 
mesmo intervalo. Então a combinação linear 
 
 
1 1 2 2 n n px c x c x ... c x X    
 
 
É também uma solução do sistema não-homogêneo no intervalo, para quaisquer valores 
das constantes c1, c2 e cn . 
vetor de entrada 
vetor de saída 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
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Tendo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor de saída está na mesma direção e sentido que o vetor de entrada. Neste caso: 
 
 
 
Sendo  um escalar e v um vetor. 
 
Logo, v é chamado de AUTOVETOR de A e  um AUTOVALOR de A associado ao ve-
tor v. 
Considere a matriz quadrada . Se  for um número complexo e v um vetor com-
plexo não nulo de dimensões n, satisfazendo a identidade: 
 
8 2 1 12 1
12
2 11 2 24 2
       
       
       
Av v 
n nA R 
Av v 
vetor de saída vetor de entrada 
vetor de saída 
vetor de entrada 
Teorema de Cayley-Hamilton 
 
Qualquer matriz quadrada satisfaz sua própria equação característica. Isto é, se e somen-
te se, 
 
 
n n 1 2
n n 1 2 1 odet(A I) b b ... b b b

         
 
 
Então, 
n n 1 2
n n 1 2 1 ob A b A ... b A b A b I 0

     
 
Profª Celme Torres 
 
17 
 
Então  é um autovalor de A e v é um autovetor de A associado ao autovalor de . 
 
Se A é uma matriz n x n sobre R e I é a matriz identidade de mesma ordem de A, defini-
mos o polinômio característico de A como: 
f ( ) det( I A)   
 
Os autovalores de A podem ser obtidos a partir da existência de escalares  e vetores não-
nulos v para os quais 
Av v 
. 
Este sistema pode ser escrito como: 
Av Iv
(A I)v 0
 
 
 
 
Sendo I é a matriz identidade. Para que a solução não seja nula, o determinante deve ser 
igual a zero (equação característica), logo: 
det( I A) 0  
 
 
 OBS: O número de autovalores é sempre igual a ordem da matriz. 
 
 
 
Exemplo 3.3 
 
(1) Calcule o autovalor da EDO: 
2y'' 6y ' 4y 0  
 
 Pelo teorema de Cayley-Hamilton 
 
2
1
2
2 6 4 0
logo,
2
1
    
 
 
 
 
(2) Calcule os autovalores e autovetores da matriz 
3 4
A
1 7
 
   
 
 Pelo teorema de Cayley-Hamilton 
 
2 2
1 2
3 4
det(A I) ( 5) 0
1 7
5

     
 
   
 
 Para encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor, fazemos: 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 18 
 
1
2
1 2
1 2
(A I)k 0
(A 5I)k 0
k3 4 1 0
5 0
1 7 0 1 k
2k 4k 0
k 2k 0
 
 
  
   
   
  

  
 
Por esse sistema temos que 
1 2k 2k
. Escolhendo a solução trivial 
2k 1
, temos o úni-
co autovetor do sistema, dada por: 
1
2
K
1
 
  
  
 
 
3.1.3. Diagonalização de matrizes 
Seja C uma matriz qualquer 
 
 
a b
C
c d

 
Se multiplicarmos C por 
1
0
 
 
 
 
 
 
a b 1 a
C
c d 0 c
   
    
   
  1ª coluna de C 
 
Multiplicando C por 
0
1
 
 
 
 
 
a b 0 b
C
c d 1 d
   
    
   
 2ª coluna de C 
 
Suponha uma matriz A2 x 2 cujos autovetores e autovalores são: 
 
 
1 1
2 2
v
v
 
 
 
 
Se uma matriz E 2 x 2 é formada pelos autovetores de A e se, 
 
 
1
a
v
c
 
  
 
 e 
2
b
v
d
 
  
 
 
 
Profª Celme Torres 
 
19 
 
 
a b
E
c d

 
 
Considere a matriz resultante de 1E AE , multiplicada por 1
0
 
 
 
 
 

1
1
a
v
c
1
E A E
0


 
 
 
. 
Temos, 
1
1E Av
 
 
Onde, 
1 1 1Av v 
 
 
1 1
1 1 1 1E v E v
   
 
Se, 
1
1
E v
0
 
 
 
  
1
1
1
E v
0
    
 
 
 
Assim, 
11
1 1E v
0

 
   
 
  1ª coluna de 
1
1E Av

 
Do mesmo modo se multiplicarmos 1E AE por 0
1
 
 
 
, obtemos a 2ª coluna de 
1
1E Av

 
Portanto, 
11
2
0
E AE
0




, diagonaliza a matriz A. 
 
 
 
3.1.4. Solução geral de sistemas homogêneos 
Seja 
1 2 n, ,...,  
 n autovalores reais distintos de uma matriz de coeficientes A do sistema 
X' AX
, onde 
x
X
y
 
  
 
, e sejam 
1 2 nk ,k ,...,k
 os autovetores correspondentes. Então a 
solução geral do sistema no intervalo 
( , ) 
 é dada por: 
 
1 2 nt t t
1 1 2 2 n nX c k e c k e ... c k e
     
 
 
 
Exemplo 3.4 
 
Resolva 
dx
2x 3y
dt
dy
2x y
dt

 

  

 
 
A equação característica é 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 20 
 
22 3det(A I) 3 4 0
2 1

       

 
Ao autovalores do sistema são: 
1 1  
 e 
2 4 
 
 
Para 
1 1  
, temos para 
(A I)K 0 
 
 
 
1 2
1 2
3k 3k 0
2k 2k 0
 

 
 
 
Resolvendo o sistema: 
1 2k k 
 
Quando 
2k 1 
, o autovetor correspondente é 
1
1
k
1


 
 
Para 
2 4 
, temos para 
(A I)K 0 
 
 
 
1 2
1 2
2k 3k 0
2k 3k 0
  

 
 
Resolvendo o sistema: 
2
1
3k
k
2

 
Quando 
2k 2 
, o autovetor correspondente é 
2
3
k
2

 
Como a matriz A de coeficientes é uma matriz 2 x 2, achamos duas soluções linearmente 
independentes na forma: 
 
t
1
1
X e
1
   
 
 e 
4t
2
3
X e
2
 
  
 
 
 
A solução geral do sistema de EDO homogêneo é dada por: 
 
 
1 2t t t 4t
1 1 2 2 1 2
1 3
X c k e c k e c e c e
1 2
           
   
  t 4t
1 2
t 4t
1 2
x(t) c e 3c e
y(t) c e 2c e


  

  
 
 
 
 
3.1.5. Solução geral de sistemas não homogêneos 
Seja Xp uma solução do sistema não-homogêneo
X' A(t)X F(t) 
 em um intervalo I, e 
denotemos por 
p 1 1 2 2 n nX c X c X ... c X   
 
A solução geral no mesmo intervalo, do sistema homogêneo 
X' A(t)X
 correspondente.Define-se solução geral do sistema não-homogêneo no intervalo como 
c pX X X 
. 
 
Profª Celme Torres 
 
21 
 
 
Exemplo 3.5 
 
Verificamos que o vetor 
p
3t 4
X
5t 6
 
  
  
 é uma solução particular do sistema não- homo-
gêneo 
1 3 12t 11
X ' X
5 3 3
   
        
, no internalo 
( , ) 
. 
Para a parte homogênea da EDO temos 
dx
1x 3y
dt
dy
5x 3y
dt

 

  

 
 
Resolvendo aplicando autovetor e autovalores de matriz, temos: 
 
 
2t
1
1
X e
1
   
 
 e 
6t
2
3
X e
5
 
  
 
 
A solução não homogênea Xn é dada por  
2t 6t
n
1 3
X e e
1 5
       
    
 
A solução geral do sistema de EDO’s pela definição é 
n pX X X 
, logo: 
 
 
2t 6t
1 3 3t 4
X e e
1 5 5t 6

     
       
       
 2t 6t
2t 6t
x(t) e 3e 3t 4
y(t) e 5e 5t 6


    

    
 
 
 
 
Exercícios e Aplicações de sistemas de equações diferenciais 
(1) Encontre a solução geral dos sistemas de equações diferenciais 
a) 
dx
x 2y
dt
dy
4x 3y
dt

 

  

 
b) 
0,1 0,075 1,5
Q' Q
0,1 0,2 3
   
    
   
 
c) 
dx
2x y
dt
dy
5x 4y
dt

  

   

 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 22 
 
d) 
1 5 sin t
X ' X
1 1 2cos t
   
    
    
 
(2) Sejam T1 = T1(t) e T2 = T2(t) as temperaturas, no instante t, nos ambientes 1 e 2, res-
pectivamente. Admita que as temperaturas estejam variando nas seguintes taxas 
 
dT1
T1 4T2
dt
dT2
2T1 3T2
dt

 

  

 
Suponha que T1(0) = 20 e T2(0) = 10. 
Determine as temperaturas, no instante t, nos ambientes 1 e 2. 
 
(3) O tanque A contém 50 litros de água que foram dissolvidos 25 gramas de sal. Um se-
gundo tanque B, contém 50 litros de água pura. Bombeia-se o líquido para dentro e para 
fora dos tanques as taxas indicadas na figura. O sistema de equações diferenciais que des-
creve o problema de tanques de mistura é 
1
1 2
2
1 2
dx 2 1
x x
dt 25 50
dx 2 2
x x
dt 25 25

  

  

 
onde as condições iniciais são dadas por 
1x (0) 25
 e 
2x (0) 0
. Aplicando autovetor e 
autovalor de matriz encontre a solução do sistema de equações diferenciais 
 
 
3.1.6. Solução de sistemas lineares 
Vamos considerar a solução do sistema linear: usando o fato de que qualquer 
matriz quadrada pode ser expressa como um produto de uma matriz triangular infe-
rior [L] e uma matriz triangular superior [U], temos: 
 
 (3.1) 
Considerando n = 3, 
 (3.2) 
[A]{x} {B}
n n[A] 
[A] [L][U]
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a a a l 0 0 1 u u
a a a l l 0 0 1 u
a a a l l l 0 0 1
     
     
     
         
Profª Celme Torres 
 
23 
 
 
Resolvendo o sistema para as variáveis e teremos: 
 (3.3) 
 (3.4) 
 (3.5) 
 (3.6) 
 
Uma vez que decomposição da matriz A é feita, a resolução do sistema é feita da seguinte 
forma: 
 (3.7) 
 (3.8) 
Definindo um vetor [Z], como: 
 (3.9) 
Portanto, 
 (3.10) 
O sistema pode ser resolvido por substituição: 
 onde, i = 1,..., n (3.11) 
Encontrados os valores de {Z} podemos calcular {X} usando: 
 (3.12) 
Ou, 
 (3.13) 
A solução é dada então por: 
ijl iju
11 11l a 21 21l a 31 31l a
12
12
11
a
u
l
 22 22 21 12
l a l u 
32 32 31 12l a l u 
j 1
ij ij ik kj
k 1
i 1
ij ij ik kj
k 1ii
l a l u se i j
1
u a l u se i j
l




  
 
   
 


[A]{X} {B}
[L][U]{X} {B}
[U]{X} {Z}
[L]{Z} {B}
i 1
i ik k
k 1
i
ii
b l z 
z
l





[U]{X} {Z}
1 12 2 13 3 1n n 1
2 23 3 2n n 2
3 3n n 3
n n
x u x u x ... u x z
 x u x ... u x z
 x ... u x z
 x z
    
   
  

 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 24 
 
 (3.14) 
A solução de sistemas lineares pode ser resolvida também pelo Método de Gauss. 
 
Exemplo 3.6 
 
Seja o sistema: 
 
Para eliminar x1 da segunda linha, basta multiplicar a primeira linha por 5/10 , isto é, por 
a21/a11 , o que torna o coeficiente de x1 na primeira linha igual ao de x1 na segunda linha. 
Em seguida basta subtrair a primeira linha modificada da segunda, o que zerará o coefi-
ciente de x1, eliminando-o da segunda equação. 
Repetir essa operação para a terceira linha, multiplicando a primeira por a31/a11 , antes 
de subtraí-la da terceira. O mesmo para a quarta linha, quinta linha etc... 
Na enésima linha multiplica-se a primeira por an1/a11 e subtrai-se da enésima, eliminando-
se, dessa linha, a variável x1. 
O mesmo raciocínio é repetido para a variável x2 da terceira equação em diante, para a 
variável x3 da quarta em diante, até que a penúltima variável, xn-1 seja eliminada da última 
equação. 
Nesse momento o sistema estará triangularizado. 
A partir desse ponto começa a segunda fase, “backward”, quando se calcula, na última 
equação, a última variável, xn ; leva-se xn à penúltima equação e se calcula a penúltima 
variável, xn-1 ; leva-se xn e xn-1 à antepenúltima equação e se calcula a antepenúltima vari-
ável, xn-2 , etc... até ser calculada a primeira variável na primeira equação. 
Sendo Li a linha i , a eliminação da variável xj dessa linha se dará pela operação: 
Nova Li = Li – aij/ajj . Lj , variando-se j de 1 a n-1 e i de j+1 até n. 
No sistema apresentado: 
 
n 1
i i i,k 1 k 1
k 1
x z u x

 

 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
10x 5x 3x 17
5x 8x 2x 19
2x 3x 8x 0 
  

  
   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
10x 5x 3x 17
5x 8x 2x 19
2x 3x 8x 0 
  

  
   
Profª Celme Torres 
 
25 
 
 
 
 
 
Observe que após eliminarmos x1 da segunda à última equação, esquecendo-se de L1, fica-
se com um sistema de 2 equações a 2 incógnitas, isto é, diminuiu-se de 1 a ordem do sis-
tema anterior; no caso passamos a ter um sistema de duas equações a duas incógnitas. 
 
 Para se eliminar x2 da terceira equação, trabalha-se da mesma maneira: 
 
 
 
Tem-se agora um sistema de 1 equação a 1 incógnita. 
O sistema completo fica sendo: 
 
O sistema está triangularizado e começa, nesse momento, a segunda parte, a solução 
propriamente dita do sistema. 
2 2 1L L 5/10L 
2 1 2 3L 0x (8 2,5)x (2 1,5)x 19 8,5      
2 1 2 3L 0x 5,5x 0,5x 10,5   
3 1 2 3L 0x 2,0x 7,4x 3,4    
2 3
2 3
5,5x 0,5x 10,5
2,0x 7,4x 3,4 
 

  
3 3 2L L 2,0 / 5,5L 
3 2 3L 0x (7,4 0,182)x 3,4 3,818     
37,218x 7,218 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
10x 5x 3x 17
0x 5,5x 0,5x 10,5
0x 0x 7,218x 7,218 
  

  
    
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 26 
 
 
Solução: 
 
 
Algumas Considerações: 
 Numa dada matriz, quando se subtrai de uma linha outra linha multiplicada por uma 
constante, o determinante da matriz não se altera. Como no processo de eliminação, 
o que se fez foi sempre subtrair de uma linha outra linha multiplicada por uma cons-
tante, conclui-se que ao sertriangularizada, a matriz original manteve constante o 
valor do determinante. 
 
 O determinante de matriz triangular é dado pelo produto dos elementos da diagonal 
principal. Dessa maneira, o determinante da matriz original, antes de ser triangulari-
zada pelo método de Eliminação de Gauss, será dado pelo produto dos elementos da 
diagonal principal da matriz triangular resultante. 
 No processo de eliminação da variável xj da linha i, faz-se a transformação 
ij
i j
jj
a
L L
a

. No caso de ajj ser zero, deve-se renumerar as linhas para se conseguir ajj 
diferente de zero. 
 Na verdade, o ideal seria conseguir uma linha j tal que, além de ter ajj diferente de 
zero, tivesse esse elemento com o maior módulo possível e os demais elementos da 
linha j o menor possível para que alterasse o mínimo a linha i, da expressão 
ij
i j
jj
a
L L
a

. Dessa maneira diminuem os erros propagados de uma linha para outra no 
processo de eliminação. Levar em conta a escolha adequada da linha que será a linha 
j, para minimizar a propagação dos erros aumentando a precisão do método, é a 
chamada Condensação Pivotal. 
3
2
1
x 1,0
x (10,5 0,5( 1,0)) / 5,5 2,0
x (17 5.2,0 3.( 1,0)) /10 1,0
 
   
    
1x 1,0 2x 2,0 3x 1,0 
Profª Celme Torres 
 
27 
 
 
Exercícios 
Resolva os sistemas abaixo aplicando o método de Gauss 
a) b) 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2x 6x x 7
x 2x x 1
5x 7x 4x 9 
  

   
   
x 3y 2z 7
4x y 3z 5
2x 5y 7z 19 
   

  
   
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 28 
 
4. Métodos dos Resíduos Ponderados 
 
 
São métodos de aproximação utilizados para resolver equações diferenciais. Estes métodos 
têm diversos procedimentos, dentre os quais se destacam o Método de Galerkin, o Método 
da Colocação, o Método do Subdomínio e o Método dos Mínimos Quadrados. 
 
A solução aproximada, para o caso de problemas unidimensionais, é do tipo: 
 (4.1) 
Onde são as funções que satisfazem as condições de contorno do problema e são 
coeficientes que serão determinados a partir da imposição de que o erro resultante do uso 
desta solução aproximada seja mínimo. A seguir essa solução é substituída diretamente na 
equação diferencial. 
 
Como a solução aproximada não satisfaz a equação, haverá como resultado da 
substituição um erro ou resíduo . 
 
Esse erro é então multiplicado por uma função ponderadora e a integral desse pro-
duto é igualada a zero: 
 
 (4.2) 
 
Onde D é o domínio do problema e o número de funções ponderadoras é igual ao 
número de coeficientes desconhecidos . 
 
Os métodos dos resíduos ponderados mais conhecidos são o método de colocação pontual, 
método dos subdomínios, método dos mínimos quadrados e método de Galerkin. Veremos 
a seguir cada um deles. 
 
n
n i i
i 1
h (x) a N (x)


iN (x) ia
nh (x)
R(x)
iW (x)
i
D
W (x)R(x)dx 0
iW (x)
ia
Profª Celme Torres 
 
29 
 
 
4.1.1. Método de colocação pontual 
Para este método, as funções ponderadoras são funções ponderadoras do tipo de 
Delta-Dirac . 
 
Uma das propriedades da função Delta-Dirac é: 
 
 (4.3) 
 
Sendo assim, se a função aproximada tem n coeficientes , então: 
 (4.4) 
Portanto, 
 
 (4.5) 
 
Ou ainda, 
 
 (4.6) 
 
Expandindo a expressão acima teremos: 
 
 (4.7) 
 
iW (x)
 ix x 
 i if (x) x x dx f (x )  
ia
 1 2 nR R x,a ,a ,...,a
 i 1 2 n
D
W (x)R x,a ,a ,...,a dx 0
   i 1 2 n
D
x x R x,a ,a ,...,a dx 0  
 
 
 
 
1 1 2 n
2 1 2 n
3 1 2 n
n 1 2 n
R x ,a ,a ,..., a 0
R x ,a ,a ,..., a 0
R x ,a ,a ,..., a 0
R x ,a ,a ,..., a 0





 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 30 
 
Em outras palavras, este método impõe que o resíduo seja zero em determinados pontos do 
domínio . O número de pontos n é o mesmo número de coeficientes da solu-
ção aproximada. 
 
Exemplo 4.1 
 
Vamos considerar nossa já conhecida equação diferencial: 
 
Sujeita as condições de contorno 
 e 
Uma solução aproximada para esta equação pode ser: 
 
Observe que satisfaz as condições de contorno no problema. 
Usando o método de colocação pontual, nos vamos resolver o problema de forma que o 
resíduo R(x) seja zero para , assim: 
 
Logo, 
 
 
Impondo a condição de R(x) = 0 
 
Deste modo, 
 
 1 2 nx , x ,..., x
2
2
2
d h
10x 0
dx
 
0 x 1 
h(0) 0 h(1) 0
 1 1h (x) a x 1 x 
1h (x)
1x 0,5
2
2
2
2
1 1 1
1 1
2
12
d h
10x R(x)
dx
h a x(1 x) a x a x
dh
a 2a x
dx
d h
2a
dx
 
   
 
 
2
1 1R(x,a ) 2a 10x  
1
2
1
1
R(x,a ) 0
2a 10x 0
a 1,25

  

 1h (x) 1,25x 1 x 
Profª Celme Torres 
 
31 
 
Exemplo 4.2 
 
Considerando a mesma equação diferencial, com o objetivo de verificar o acréscimo de 
precisão da solução ao se aumentar o número de termos da função de aproximação, va-
mos agora considerar uma solução aproximada do tipo: 
 
Assim, 
 
Logo, 
 
Simplificando, 
 
 
Como agora existem temos dois coeficientes a determinar, vamos impor que 
 em dois pontos do domínio do problema. Podemos escolher esses pontos 
aleatoriamente. 
 
Escolhendo e , temos: 
 
Resolvendo o sistema acima para a1 e a2, 
 
Assim , 
 
   22 1 2h (x) a x 1 x a x 1 x   
   
2
2
2
2 2 2 3
1 2 1 1 2 2
2
1 1 2 2
2
1 2 22
d h
10x R(x)
dx
h a x 1 x a x 1 x a x a x a x a x
dh
a 2a x 2a x 3a x
dx
d h
2a 2a 6a x
dx
 
       
   
   
2
1 2 1 2 2R(x,a ,a ) 2a 2a 6a x 10x    
2
1 2 1 2 2R(x,a ,a ) a a 3a x 5x    
1 2R(x,a ,a ) 0
1x 0,3 2x 0,6
2
1 2 2
2
1 2 2
a a 3a (0,3) 5(0,3) 0
a a 3a (0,6) 5(0,6) 0
    
    
1
2
a 0,6
a 1,5


   22h (x) 0,6x 1 x 1,5x 1 x   
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 32 
 
Comparação gráfica entre e e a solução exata. 
 
 
Figura 5.2 – Comparação gráfica entre as soluções encontradas 
utilizando o Método de Colocação Pontual e a solução exata. 
 
 
 
4.1.2. Método dos subdomínios 
 
Neste caso, todas as funções ponderadoras são a unidade . Isto equivale a reque-
rer que a integral do resíduo desapareça em determinados intervalos do domínio. 
 
O número desses intervalos é igual ao número de coeficientes indeterminados da solução 
aproximada. 
 
Vamos aplicar esse método à equação diferencial dos exemplos anteriores. 
 
Exemplo 4.3 
 
Vamos considerar nossa já conhecida equação diferencial: 
 
Sujeita as condições de contorno 
1h (x) 2h (x)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Solução h1
Solução h2
Solução Exata
iW (x) 1
2
2
2
d h
10x 0
dx
 
0 x 1 
Profª Celme Torres 
 
33 
 
 e 
Considerando a solução aproximada, 
 
Como há apenas um coeficiente a ser determinado, o intervalo de integração será o pró-
prio domínio do problema . 
 
Vimos que, 
 
Assim, 
 
 
 
Portanto, 
 
No caso de escolhermos uma função do tipo: 
 
 
Vimos que, 
 
 
Como agora existem dois coeficientes a serem determinados, usaremos dois intervalose . 
 
 
h(0) 0 h(1) 0
 1 1h (x) a x 1 x 
0 x 1 
2
1 1R(x,a ) 2a 10x  
1
1
0
R(x,a )dx 0
1
3
1
0
10
2a x x 0
3
  
1
5
a
3

 1
5
h (x) x 1 x
3
 
   22 1 2h (x) a x 1 x a x 1 x   
2
1 2 1 2 2R(x,a ,a ) 2a 2a 6a x 10x    
0 x 0,5  0,5 x 1,0 
0,5
1 2
0
1,0
1 2
0,5
R(x,a ,a )dx 0
R(x,a ,a )dx 0




 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 34 
 
O que dá origem ao seguinte sistema de equações: 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 e 
Assim, 
 
Comparação gráfica entre e e a solução exata utilizando o método dos 
subdomínios. 
 
 
Figura 5.3 – Comparação gráfica entre as soluções encontradas 
utilizando o Método dos Subdomínios e a solução exata. 
 
 
 
4.1.3. Método dos mínimos quadrados 
Este método requer que a integral do quadrado do resíduo seja minimizado. A integral do 
quadrado do resíduo é dada por: 
 
 (4.8) 
 
1 2
1 2
a 0,25a 0,4167
a 1,25a 2,917
   
   
1
5
a
6
 2
5
a
3

   22
5 5
h (x) x 1 x x 1 x
6 3
   
1h (x) 2h (x)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Solução h1
Solução h2
Solução Exata
 
2
1 2 n
D
Q R(x,a ,a ,...,a ) dx 
Profª Celme Torres 
 
35 
 
Minimizando essa integral, temos: 
 
 
 (4.9) 
 
Ou, 
 
 
 
 (4.10) 
 
 
 
Ou seja, por esse método, as funções ponderadoras são: 
 
 (4.11) 
 
 
 
2
1 2 n
D
1 1
R(x,a ,a ,...,a ) dx
Q
0
a a


 
 

 
 
2
1 2 n
D
2 2
2
1 2 n
D
n n
R(x,a ,a ,..., a ) dx
Q
0
a a
R(x,a ,a ,..., a ) dx
Q
0
a a


 
 


 
 



2
1D
R dx 0
a




1D
R
Rdx 0
a



2
2D
R dx 0
a




2D
R
Rdx 0
a



2
nD
R dx 0
a





nD
R
Rdx 0
a




1
1
2
2
n
n
R
W (x)
a
R
W (x)
a
R
W (x)
a










 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 36 
 
Exemplo 4.4 
 
Aplicando o método dos mínimos quadrados a nossa já conhecida equação diferencial: 
 
Sujeita as condições de contorno 
 e 
Usado a função aproximada, 
 
Vimos que, 
 
Logo, 
 
Portanto, 
 
 
 
Que é o mesmo resultado obtido usando o método dos subdomínios. Desta forma, se usar-
mos uma função de aproximação com dois coeficientes, obteremos o mesmo resultado do 
método dos subdomínios. 
 
É importante ressaltar que essa igualdade dos resultados entre os métodos acontece para a 
equação diferencial usada nos problemas e não se estende genericamente para qualquer 
tipo de equação diferencial. 
 
 
4.1.4. Método de Galerkin 
Neste método, as funções ponderadoras são iguais as funções de aproximação 
. Assim, 
2
2
2
d h
10x 0
dx
 
0 x 1 
h(0) 0 h(1) 0
 1 1h (x) a x 1 x 
2
1 1R(x,a ) 2a 10x  
1
1
R
W (x) 2
a

  

1 1
2
1
10 0
R
Rdx a 5x dx 0
a

  
 
1
5
a
3

iW (x)
iN (x)
Profª Celme Torres 
 
37 
 
 (4.12) 
Sendo, 
 o conjunto , com . Podendo 
o mesmo ser escrito ma forma: 
 (4.13) 
 
Exemplo 4.5 
 
Vamos aplicar o método de Galerkin para resolver a equação diferencial: 
 
 
Sujeita as condições de contorno 
 e 
Usado como função de aproximação, 
 
Vimos que, 
 e, 
Portanto, 
 
Logo, 
 
Usando agora uma função de aproximação com dois coeficientes, temos: 
 
E repetindo o mesmo procedimento, teremos: e, 
 
i i
D D
W (x)R(x)dx N (x)R(x)dx 0  
 1 2 n[N] N , N ,..., N
i
D
N (x)R(x)dx 0
i 1,2,...,n
 
T
D
N R(x)dx 0
2
2
2
d h
10x 0
dx
 
0 x 1 
h(0) 0 h(1) 0
 1 1h (x) a x 1 x 
1N (x) x(1 x) 
2
1R(x) 2a 10x  
1
2
1
0
x(1 x)( 2a 10x )dx 0   
1
3
a
2

   22 1 2h (x) a x 1 x a x 1 x   
1
3
a
2
 2
5
a
3

 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 38 
 
4.1.5. Exercícios 
(1) Aplique o método de colocação pontual e o método dos mínimos quadrados para 
encontrar a solução aproximada da equação diferencial no intervalo de 0 x 20  . 
Utilize um programa gráfico (Maple ou Excel) para representar graficamente as 
soluções indicando qual mais se aproxima da solução exata da EDO. 
 
y'' 0,25x 0 
 
y(0) 2
 e 
y'(0) 2
 
 
(2) Aplique o método de Galerkin e o método dos subdomínios utilizando dois 
coeficientes para encontrar a solução aproximada das equações diferenciais no 
intervalo de 0 x 1  . Utilize um programa gráfico (Maple ou Excel) para representar 
graficamente as soluções indicando qual mais se aproxima da solução exata da EDO. 
 2
2
d y dy
2x
dx dx
 
 
y(0) 1
 e 
y'(0) 3
 
 
(3) Encontre a solução aproximada da equação diferencial no intervalo indicando 
utilizando os métodos dos resíduos ponderados, colocação pontual, mínimos 
quadrados, subdomínios e o método de Galerkin. Represente graficamente as soluções 
aproximadas comparando com a solução exata da EDO. 
(a) 
216y'' 8y ' 0,150x  
 
0 x 10 
 
y(0) 2 
 e 
y'(0) 1
 
(b) 
ty'' 3y ' 4y 2e  
 
0 x 1 
 
y(0) 1
 e 
y'(0) 0
 
(c) 2
2
d y
4y 3sin 2t
dt
 
 
0 x 2 
 
y(0) 2 
 e 
y'(0) 1 
 
 
(4) Considere a equação diferencial que rege a distribuição da temperatura T(x), em uma 
barra trocando calor com o ambiente, cuja temperatura é de 25ºC. 
 
Sujeita as condições de contorno: 
T(0) 150
dT
(2) 0
dx




 
Proponha uma solução com um termo e outra com dois termos e ache os valores dos coefi-
cientes dessas soluções usando o método de colocação pontual, o método dos subdomínios, 
dos mínimos quadrados e o método de Galerkin. 
Compare a graficamente a solução com dois termos de cada método com a solução analíti-
ca e determine qual método mais preciso, neste caso. 
2
2
d T
3(T 25) 0
dx
  
0 x 2 
Profª Celme Torres 
 
39 
 
5. Introdução aos Métodos Variacionais 
 
 
A análise de problemas de engenharia envolve o isolamento de um elemento diferencial da 
região ou domínio onde o fenômeno está ocorrendo. 
 
MODELO MATEMÁTICO RESULTANTE  EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
 
Tipos de solução de uma Equação Diferencial 
1. Solução analítica ou Exata 
2. Solução aproximada ou solução numérica. 
 
A solução analítica é a ideal, pois ela se constitui de uma expressão (equação) que satisfaz 
a equação diferencial e suas condições de contorno, portanto para obtermos o valor exato 
da variável dependente da equação diferencial em qualquer ponto do domínio do problema, 
basta substituirmos as coordenadas desse ponto na equação solução. 
 
 
5.1.1. Cálculo variacional 
O cálculo variacional é uma parte da análise matemática que trata de problemas de máxi-
mos e mínimos de tipos especiais de funções, chamadas FUNCIONAIS. 
Vários são os motivos que tornam convenientes o estudo do cálculo variacional. O princi-
pal deles é que este se constitui em uma alternativa que permite definir com mais clareza 
os conceitos básicos que correspondem a problemasde engenharia governados por siste-
mas de equações diferenciais. 
O cálculo variacional é especialmente aplicável a problemas de mecânica dos meios contí-
nuos. Através do uso de princípios de energia, é possível formular os problemas na forma 
variacional. 
 
 
5.1.2. Máximo e mínimo de funções 
Suponha a seguinte função apresentada no gráfico. 
 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 40 
 
O domínio de F(x) é 
a bx x x 
. A relação funcional implica que, para cada valor da va-
riável x, um único valor será obtido para a função F(x), dentro do domínio. 
O menor valor de F(x) dentro do domínio é o mínimo absoluto da função F(xa) e o máxi-
mo absoluto é dado por F(xb). Além disso, podem existir valores mínimos e máximos rela-
tivos. 
 
 
Por exemplo; a função F(x) terá mínimo relativo ou um máximo relativo, para um certo 
valor da variável independente x, quando todos os valores de F(x) na vizinhança infinite-
simal de x: 
x x
, com 
x
tão pequeno quanto se queira, seja maior ou menor, respecti-
vamente, que F(x). Para estudar as condições que determinam os valores extremos relat i-
vos, é conveniente expandir F(x) em uma Série de Taylor em torno de x. 
 
2 3
2 3
2 3
x
dF 1 d F 1 d F
F(x x) F(x) x x x ...
dx 2! 3!dx dx
        
 (4.1) 
 
O incremento 
F
será dado por: 
 
2 3
2 3
2 3
x
dF 1 d F 1 d F
F(x x) F(x) x x x ...
dx 2! 3!dx dx
        
 (4.2) 
 
Observe que haverá um mínimo relativo quando: 
 F(x) é sempre menor que 
F(x x)
, não interessando o valor de 
x
, para 
F 0 
 
F
 positivo; 
 Para 
F 0 
  
F
 negativo  máximo relativo. 
 
F(x) 
x 
xb x2 x1 xa 
Profª Celme Torres 
 
41 
 
Como 
x
é infinitamente pequeno, 
x
 é sempre maior que 2x e que 3x e assim su-
cessivamente. 
Portanto, 
 Se 
x
dF
0
dx

, o sinal de 
F
 será indefinido, pois depende do sinal de 
x
; 
 Se 
x
dF
0
dx

, não teremos ponto de mínimo e de máximo. 
 
Então, para se garantir que a função terá pontos de mínimo e de máximo relativo a primei-
ra derivada obrigatoriamente será zero  
x
dF
0
dx

. 
Os pontos que satisfazem essa condição são chamados de pontos estacionários. Neste ca-
so, como 2x é sempre positivo, a característica de um ponto estacionário dependerá do 
sinal da 2ª derivada de F(x): 2
2
x
d F
dx
. 
 Se 2
2
x
d F
0
dx

  mínimo relativo 
 Se 2
2
x
d F
0
dx

  máximo relativo 
 
Se a derivada segunda for nula, haverá um ponto neutro. Neste caso, devem ser analisados 
os sinais das derivadas de ordem superior, para se determinar a natureza do ponto estacio-
nário. Se todas as derivadas até a ordem 
n 1
 forem nulas, a natureza do ponto estacioná-
rio dependerá do sinal da enésima derivada. 
Se n for par, será aplicado para o último termo da Série de Taylor o mesmo critério que se 
usa para a 2ª derivada. 
Se n for impar, o termo n
n
n
x
1 d F
x
n! dx

 , vaiará com o sinal de 
x
e não se terá um máximo 
ou mínimo relativo, e sim um ponto indefinido. 
 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 42 
 
No caso da 2ª derivada ser nula, tais pontos são denominados de pontos de sela ou pontos 
de inflexão. 
 
Uma análise prévia pode ser estendida a funções de mais de uma variável independente. 
Por exemplo, funções do tipo: 
F(x, y)
, com duas variáveis independentes. Ao se expandir 
esta função em uma Série de Taylor, temos: 
 
2 2 2
2 2
2 2
x,y x,y x,y x,y x,y
F F(x x, y y) F(x, y)
F F 1 F F F
F x y x 2 x y y ...
x x 2! x yx y
    
    
            
    
 (4.4) 
 
Como visto anteriormente, haverá um ponto estacionário quando: 
x,y x,y
F F
0
x y
 
 
 
 
E a característica do ponto estacionário será determinada, na forma: 
 
2 2
2
2 2 2
x,y x,y2 2
2 2 2 2
2x,y x,y x,y
2
x,y x,y
F F
x yx xF F F
x 2 x y y x y
yx yx y F F
y
x y y
  
 
      
           
       
 
    
 (4.5) 
 
A fórmula acima é quadrática e o sinal depende da natureza da matriz das derivadas de 2ª 
ordem, assim: 
 Quando a matriz é positiva definida, com autovalores positivos, tem-se um ponto 
de mínimo. 
 Quando a matriz é negativa definida, com autovalores negativos, tem-se um ponto 
de máximo. 
 
Exemplo 5.1 
 
Considere a função 
 
3 23f (x) x x 6x
2
  
 
Os pontos estacionários dessa função são dados por: 
Profª Celme Torres 
 
43 
 
 
2df 3x 3x 6 0
dx
   
 
A qual será definida para 
1
2
x 1
x 2


 
 
Ao se verificar a segunda derivada : 2
2
d f
6x 3 0
dx
  
 
Pode verificar que f(1) é um ponto de mínimo relativo e f(-2) é um ponto de máximo relati-
vo. 
 
 
Exemplo 5.2 
 
Considere a função 
 
2 2f (x, y) x 2xy 4y 2x 8y    
 
Haverá um ponto estacionário quando: 
 
f
2x 2y 2 0
x
f
2x 8y 8 0
y

   


   

 
Reescrevendo temos: 
 
2x 2 2
2x 8y 8
  

 
 
A matriz da 2ª derivada é dada por: 
2 2
2
2 2
2
F F
x y 2 2x
2 0F F
x y y
  
 
            
   
 
Cujos autovalores são positivos  ponto estacionário é um ponto de mínimo. 
 
 
5.1.3. Funcional 
A seção anterior tratava de determinar pontos estacionários de funções. O problema do cál-
culo variacional também se refere à determinação de pontos estacionários, mas definidos 
para funções especiais, chamadas funcionais. 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 44 
 
 
Por exemplo, seja a seguinte função: 
f (x, y,z,...)
 
Ao se dar valores às variáveis independentes, um valor numérico é obtido para a função f. 
Determina-se assim, um grupo de valores de x, y, z, ..., para o qual define-se um ponto es-
tacionário para f. 
 
O FUNCIONAL é um tipo especial de função, no qual as variáveis independentes não são 
simples números, mas funções desconhecidas. Ou seja, um funcional é um grupo (ou uma 
função) que depende de outras funções. Funcionais são chamados de F ou . 
 
 
1 2
2
0
1
x xx
0
3df 8d f
F (2f )dx
dx dx
F G(g,g ,g , x)dx
  



 
 
Onde, 
x
df
f
dx

 e 2
xx 2
d f
g
dx

 
 
Tanto F quanto G são considerados FUNCIONAIS. Quando se adota diferentes valores 
para as funções desconhecidas f, se obtém diferentes valores para os funcionais. 
Em geral um funcional pode depender de várias funções, as quais podem depender de uma 
ou mais variáveis independentes. 
 
 
5.1.4. Funcional de uma função 
Considere o funcional no domínio 
 
a bx x x 
 
 b
a
x
x
x
F G(g,g , x)dx 
 
Condições de contorno para g: 
a a
b b
g(x ) g
g(x ) g


 
 
Profª Celme Torres 
 
45 
 
Considere agora que g é uma função que faz o funcional F ser estacionário. 
Definindo um grupo de funções: 
 
g( ,x) g(x) (x)  
 
onde,  é um escalar infinitesimal e (x) é uma função conhecida com as seguintes condi-
ções: 
 
a
b
(x ) 0
(x ) 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podendo escrever então: 
 
f g g 
 
onde, 
g (x)  
 
Sendo  o símbolo variacional e significa a 1ª variação de g. 
 
No cálculo variacionalα corresponde a x da Série de Taylor. Dessa forma, o funcional é 
dado por: 
 b
a
x
x
xx
G G
F g g dx
g g
  
     
  

 (4.6) 
 
5.1.5. Propriedades de um Funcional: 
d( f ) (df )  
 
(f g) f g    
 
xa xb 
𝑛(𝑥) 
𝑓(𝑥) 
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑛(𝑥) 
𝛼𝑛(𝑥) 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 46 
 
(f.g) f g fg   
 
2
f f g fg
g g
   
  
 
 
n n 1(f ) nf f  
 
 
Pretende-se agora determinar as condições para que o funcional  seja estacionário através 
do estudo da variação de 
f f
. Isto é semelhante ao caso de funções onde a existência de 
um ponto estacionário é determinada para um certo valor de x através do estudo variacio-
nal de f(x) no ambiente 
x x
. 
 
Se considerarmos, 
 b
a
x
x x
x
(g) F(f , f , x)dx   
 (4.8) 
Onde f e 

 são conhecidos, portanto o funcional  só depende de α. 
Expandindo  em torno de f através de uma Série de Taylor, temos: 
 
 2 3
2 3
2 3
0 0 0
d 1 d 1 d
(g) (f ) ...
d 2! 3!d d  
  
       
  
 (4.9) 
 2 3
2 3
2 3
0 0 0
d 1 d 1 d
(g) (f ) ...
d 2! 3!d d  
  
        
  
 (4.10) 
 
Dessa forma é possível definir a variação do funcional , de acordo com a ordem da equa-
ção diferencial: 
 
 1ª ordem  
0
d
d 

  

 
 2ª ordem  2
2 2
2
0
d
d


   

 
Profª Celme Torres 
 
47 
 
 3ª ordem  3
3 3
3
0
d
d


   

 
 
A equação para variacional total  pode ser escrita na forma: 
 
 
2 31 1 ...
2! 3!
      
 (4.11) 
 
De maneira semelhante aos caso de funções, a natureza de ponto estacionário, isto é, se é 
um ponto de máximo, de mínimo ou de inflexão, dependerá do sinal da derivada de 2ª 
ordem. 
 
 
5.1.6. Determinação do Funcional - Equação de Euler 
Considere uma integral da forma: 
 (4.12) 
Com, 
 (4.13) 
Onde o integrando é uma dada função de x, h e hx. Tanto I(h) como F são 
chamados de funcional. A palavra funcional significa função de funções. 
 
Considere o funcional . Uma mudança de em h, onde é uma constante e 
w é uma função, é chamada de variação de h e é denominada: 
 (4.14) 
Onde é chamado de símbolo variacional. 
 
A primeira variação de F em h é definida por: 
 
 (4.15) 
b
x
a
I(h) F(x,h,h )dx 
h h(x)
x
dh
h
dx

xF(x,h,h )
xF(x,h,h )
w 
h w  

x
x
F F
F h h
h h
 
    
 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 48 
 
 
O símbolo age como um operador diferencial com respeito às variáveis dependentes, 
com a seguinte propriedade: 
 (4.16) 
Considere agora o problema de se determinar o mínimo do funcional: 
 (4.17) 
A condição necessária para minimizar esse funcional é que a primeira variação de I deve 
ser zero, ou: 
 (4.18) 
Usando a condição para o funcional ser estacionário, temos: 
 
 (4.19) 
Podemos ainda escrever: 
 (4.20) 
Assim, 
 (4.21) 
Usando integral por partes ( ) com, e 
 (4.22) 

b b
a a
dh d( h)
dx dx
h(x)dx h(x)dx
 
  
 
   
b
x
a
I(h) F(x,h,h )dx 
b
x
a
I F(x,h,h )dx 0   
b
x
x
a
F F
I h h dx 0
h h
  
      
  

x
dh d( h)
h
dx dx

   
b
x
a
F F d( h)
I h dx 0
h h dx
   
     
  

udv uv vdu  
v h 
x
F
u
h



b b
x x a
a
F d F F
I h h dx h
h dx h h
      
          
      

Profª Celme Torres 
 
49 
 
 (4.23) 
O que só pode ser verdade para qualquer variação de se: 
 
 (4.24) 
 
com, Essa expressão é gerada pela condição de contorno do problema. 
 
Este resultado é uma equação diferencial com h e hx como pseudovariáveis independentes. 
 
A equação 4.24 é chamada de Equação de Euler ou Euler-Lagrange. 
 
É importante salientar que, a função h(x) que minimiza o funcional I é a mesma função que 
satisfaz a equação diferencial de Euler. 
 
 
Exemplo 5.3 
 
Determine o funcional da equação diferencial: 
 
Sujeita as condições de contorno 
 e 
Como h é uma constante nos extremos do intervalo , a variação de é zero 
nestes pontos. Este tipo de condição de contorno é denominada essencial ou geométrica. 
 
Neste caso, 
 
b b
x x a
a
F d F F
I h dx h 0
h dx h h
      
          
      

h
x
F d F
0
h dx h
  
  
  
b
x a
F
0
h



2
2
2
d h
10x 0
dx
 
h(0) 0 h(1) 0
0 x 1  h
1
x 0
F
h 0
h
 
  
 
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 50 
 
Determinação do funcional F usando a equação de Euler: 
 
Assim, usando a equação (10), temos: 
 
Integrando a 2ª integral por partes e considerando e , temos: 
 (E.1) 
 
Analisando novamente a 2ª integral da expressão acima, usando 
d( h) (dh)   , a seguinte 
identidade é considerada: 
 
 
Se, na equação (E.1) assumirmos que, 
, teremos: 
 
Como a variação de x
2
 é zero, e usando , temos: 
 
 
Portanto, o funcional F associado à equação diferencial do problema é: 
2
2 2
2
F d F d h d dh
10x 10x
h dx x dx dxdx
    
       
    
1
2
0
1 1
2
0 0
d dh
I 10x hdx 0
dx dx
d dh
I 10x hdx hdx 0
dx dx
  
      
  
 
     
 

 
u h  dh
v
dx
 
1 11
2
0
0 0
d hdh dh
I 10x hdx h dx 0
dx dx dx

       
 
1 1 1 2
0 0 0
d hdh dh dh 1 dh
I dx dx dx
dx dx dx dx 2 dx
  
      
   
1
0
dh
h 0
dx
 
1 2
2
0
1 dh
I 10x h dx
2 dx
  
      
   

b b
a a
Fdx Fdx   
1 2
2
0
1 dh
I 10x h dx
2 dx
  
     
   

Profª Celme Torres 
 
51 
 
 
 
É bom enfatizar que a função h(x) que minimiza o funcional acima é também a solução da 
ED que rege o problema. O funcional acima é chamado de forma variacional ou forma 
fraca da ED. Lembrando que I não é uma solução, apenas o funcional da ED. 
 
 
 
5.1.7. Exercícios 
(1) Determine o funcional associado às equações diferenciais sujeita as condições de con-
torno apresentadas. 
a) sendo, 
x x
h(0) 0 h(5) 100
h (0) 1 h (5) 0
 

 
 
 
b) 2
2 2
2
d f
9f 5x
dx
 
 onde, 
0 x 5 
 sendo, 
f (0) 9
 e 
f (5) 0
 
 
c) 3
3
d f
5f 0
dx
 
 onde, 
0 x 4 
 sendo, 
df (0)
0
dx

 e 
f (4) 0
 
 
(2) Determine a equação de Euler associada ao funcional 
 
Sabendo que: 
 
1 2
2
0
1 dh
I 10x h dx
2 dx
  
   
   

4 2
4 2
d h d h
8 4h 10
dx dx
  
0 x 5 
b
x xx
a
I F(x,h,h ,h )dx 0 
b
x xx a
F d F
h 0
h dx h
   
    
   
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 52 
 
 b
x
x a
F
h 0
h
 
  
 
Profª Celme Torres 
 
53 
 
6. Métodos Variacionais 
 
 
6.1.1. Método deRitz 
O primeiro passo do método de Ritz é assumir uma solução aproximada para a equação 
diferencial na forma de uma série finita: 
 (6.1) 
 
Onde as constantes ai são chamadas coeficientes de Ritz e as funções Ni(x) são conhecidas 
como funções de aproximação. 
 
Como hn é uma solução da equação diferencial, hn deve satisfazer as condições de contorno 
essenciais. Qualquer condição de contorno natural já está incluída na formulação variacio-
nal. 
 
O passo seguinte no Método de Ritz usa o princípio de que a função que minimiza o 
funcional também é a solução da equação diferencial associada ao funcional, assim 
como: 
 (6.2) 
 
Após a substituição de em , este funcional se torna função dos parâmetros 
ou e a condição necessária para minimizar I será: 
 (6.3) 
n
n i i
i 1
h a N (x)


h(x)
I(x)
n
n i i
i 1
h a N (x)


nh I(h)
1 2 na ,a ,...,a 1 2 nI(a ,a ,...,a )
1
2
n
I
0
a
I
0
a
I
0
a









 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 54 
 
 
O que resultará em um sistema de n equações com n coeficientes a determinar 
. 
Uma vez conhecidos os valores desses coeficientes (conhecidos como coeficientes de 
Ritz), então a solução aproximada será conhecida. 
 
 
Exemplo 6.1 
 
Considere a equação diferencial: 
 
 
 
Sujeita as condições de contorno 
 
 e 
 
Como vimos o funcional associado a essa equação diferencial é: 
 
 
 
Usando o método de Ritz, vamos assumir a seguinte solução aproximada: 
 
 
 
Observe que h1 satisfaz as condições essenciais e de contorno, portanto: 
 
i(a ,i 1,2,...,n)
nh
2
2
2
d h
10x 0
dx
 
0 x 1 
h(0) 0 h(1) 0
1 2
2
0
1 dh
I 10x h dx
2 dx
  
   
   

1 1h a x(1 x) 
1 1
2
1 1
1
1
h a x(1 x)
h a (1x x )
dh
a (1 2x)
dx
 
 
 
Profª Celme Torres 
 
55 
 
Logo, 
 
 
Dessa forma: 
 
 
Minimizando então I: 
 
 
 
Portanto, 
 
 
Vamos agora usar a seguinte a solução aproximada: 
 
Usando os dois resultados acima, obtemos: 
 
Minimizando agora I com respeito a e obteremos o seguinte sistema de equações: 
2 2
21 1
1
dh a1
a (1 2x)
2 dx 2
 
  
 
   
1
2
23 4 1
1
0
a
I 10a x x 1 2x dx
2
 
    
  

1 14 5
2 2 3
1 1
0 0
2
1 1
x x 4
I 10a a x 2x x
4 5 3
a a
I
2 6
    
 
1
I
0
a



1a1 0
2 3
  1
3
a
2
 
 1
3
h x 1 x
2
 
2
2 1 2
22
1 2
h a x(1 x) a x (1 x)
dh
a (1 2x) a (2x 3x )
dx
   
   
2 2
1 1 2 1 2 2a a a a a aI
6 2 3 6 15
     
1a 2a
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 56 
 
 
Resolvendo o sistema acima para e , obtemos: 
 e, 
Dessa forma, 
 
 
A seguir faremos uma comparação gráfica, usando o Maple, entre e e a so-
lução exata: 
 
 
Figura 6.1 – Comparação gráfica entre as soluções encontradas 
utilizando o Método de Ritz e a solução exata. 
 
 
Verificamos que a função aproximada encontrada ao se usar o Método de Ritz através do 
método variacional coincidiu com a solução obtida aplicando o Método de Galerkin. Tal 
fato não foi uma coincidência. Considerando a equação resultante da minimização do fun-
cional I, 
 
1 2
1
1 2
2
a aI 1
0
a 2 3 6
a 2aI 1
0
a 3 6 15

   


   

1a 2a
1
3
a
2
 2
5
a
3

   22
2 5
h x 1 x x 1 x
3 3
   
1h (x) 2h (x)
 410h(x) x x
12
 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Solução h1
Solução h2
Solução Exata
Profª Celme Torres 
 
57 
 
 
 
Usando a solução aproximada, 
 
Onde, 
 
e, 
 
 
Neste caso, como as funções de aproximação são invariáveis, 
 
Substituindo a expressão acima na equação do funcional, temos: 
 
Como, não depende de x, 
 
Considerando que, é a equação diferencial associada ao funcional I, e que 
a solução aproximada foi usada, 
 
Teremos, 
 
Para a expressão acima ser verdadeira para qualquer valor de , 
b b
x x a
a
F d F F
I h dx h 0
h dx h h
      
          
      

n
T
m i i
i 1
h h (x) a N (x) [a][N]

  
1 2 n[a] [a ,a ,...,a ]
1 2 n[N] [N , N ,..., N ]
T[N]
Th [a][N]  
b b
T T
x x a
a
F d F F
I [a][N] dx [a][N] 0
h dx h h
      
          
      

[a]
b b
T T
x x a
a
F d F F
I [a] [N] dx [a][N]
h dx h h
      
        
      

x
F d F
h dx h
  
  
  
mh (x)
m x
F d F
dx R(x)
h dx h
  
  
  
b b
T T
x a
a
F
I [a] [N] R(x)dx [N]
h
        
   

[a]
 Introdução aos Métodos Numéricos 
 
 58 
 
 
O primeiro termo da expressão acima é o princípio básico do Método de Galerkin. O se-
gundo termo refere-se às condições de contorno naturais do problema. 
Podemos então concluir que havendo um princípio variacional para o problema, a solução 
através do uso do método de Galerkin coincide com a solução do método variacional. Essa 
é a razão pelo qual o Método de Galerkin é o escolhido como fundamento para o Método 
dos Elementos Finitos (MEF). 
 
 
6.1.2. Exercícios 
(1) Considere a seguinte equação diferencial 
 
Sujeitas as condições de contorno: 
 
a) Ache o funcional associado a essa equação diferencial 
b) Pode a seguinte equação 
1
x
T (x) sin
10


 ser usada na solução aproximada? Se puder, 
usando o Método de Ritz, ache a solução aproximada usando a função acima e compare 
graficamente com a solução exata. 
c) Usando a função aproximada , ache os coeficientes e 
. 
d) Faça um gráfico comparando as soluções (b) e (c) com a solução exata. 
 
(2) Dada a seguinte equação diferencial 
 
Sujeitas as condições de contorno: 
b b
T T
x a
a
F
[N] R(x)dx [N] 0
h
     
   

2
2
d T
100 0
dx
 
0 x 10 
T(0) 0
T(10) 0


2 1 2
x 3 x
T (x) a sin a sin
10 10
 
  1a
2a
2
2
d y
6y 10x
dx
 
0 x 2 
Profª Celme Torres 
 
59 
 
 
y(0) 1
y(2) 0


 
Encontre o funcional associado à equação diferencial e encontre uma solução aproxi-
mada usando o Método de Ritz. 
 
 
 
6.1.3. Método de Rayleigh-Ritz 
No método de Ritz apresentado anteriormente, as funções de Ni(x) eram válidas em todo o 
domínio do problema. No método de Rayleigh-Ritz, essas funções de aproximação são vá-
lidas apenas em trechos do problema. Portanto, o domínio do problema é dividido em ele-
mentos e as funções de aproximação são específicas para esses elementos. 
 
Vamos analisar agora como encontrar essas funções de aproximação Ni(x), também co-
nhecidas como funções de forma. 
 
Considere um problema cujo domínio é o intervalo que será dividido em M in-
tervalos ou elementos finitos. Nos limites de cada elemento, há dois nós – denominados 
genericamente de i e j. Como, nesse caso, cada elemento e tem dois nós, uma interpolação 
polinomial linear deve ser usada como função de interpolação no elemento, portanto: 
 
 
De acordo com a Figura 5.4, podemos constatar