Exercicios circuitos eletricos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
 
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS 
 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II (EL-415) 
 
Caderno de Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Período 2014-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÚMARIO 
 
 
Introdução.............................................. 3 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Módulo I ........................ 4 
 
 
 
 
Exercícios do Módulo II....................... 13 
 
 
 
 
Exercícios do Módulo III.......................24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
Prezados 
 
 
 
Os livros textos adotados para a disciplina EL-415, Circuitos 
Elétricos II apresentam uma lista bastante ampla de 
exercícios e possibilitam um aprendizado considerado básico 
para a disciplina. No caso particular da Engenharia Elétrica, 
contudo, exige-se um conhecimento bem mais aprofundado 
dos Circuitos Elétricos, uma vez que esta disciplina se 
constitui num dos pilares fundamentais para todos os demais 
componentes da grade curricular em vigor no DEE. 
O objetivo deste Caderno de Exercícios é, pois, prestar-se 
como um complemento aos problemas constantes dos livros 
textos, preparando o aluno para o tratamento de questões 
que serão, certamente, abordadas mais pormenorizadamente 
nas disciplinas dos períodos letivos vindouros. 
Por outro lado, considerando-se que a formação educacional 
brasileira apresenta, na atualidade, disparidades bastante 
acentuadas, as quais repercutem, inevitavelmente, no nível 
alcançado por cada aluno, este Caderno de Exercícios será 
sempre atualizado tendo em vista suprir as eventuais 
necessidades observadas em sala de aula. 
Os exercícios estão agrupados de conformidade com os 
módulos que compõem a disciplina e, dentro de cada 
módulo, classificados por temas específicos . 
 
Recife, Agosto de 2014 
 
Prof. Luiz Antônio Magnata da Fonte 
 
 
 
 3
 
 
MÓDULO I 
 
Sistemas Polifásicos 
 
 
Este módulo da disciplina aborda o regime permanente 
senoidal dos Sistemas Polifásicos Equilibrados de um modo 
geral com uma ênfase particular nos Sistemas Trifásicos. 
Também será objeto deste módulo, o estudo dos 
desequilíbrios provocados nos Sistemas Trifásicos pela 
ocorrência de falhas, sempre em estado estacionário. Os 
exercícios deste módulo estão, pois, agrupados conforme os 
tópicos apresentados a seguir: 
 
• Sistemas Polifásicos Equilibrados; 
 
• Sistemas Trifásicos Equilibrados (Correção do 
Fator de Potência e Regulação de Tensão); 
 
• Sistemas Trifásicos Desequilibrados (Resolução 
pelas Técnicas Clássicas, Deslocamento do Neutro 
e Componentes Simétricas); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
Sistemas Polifásicos Equilibrados 
 
1) Um engenheiro pretende utilizar um gerador pentafásico, senoidal e balanceado 
como uma fonte de seqüência positiva, porém não dispõe do diagrama de ligações dos 
seus enrolamentos. Determinou, com base em ensaios de continuidade, os terminais de 
cada bobina do gerador e numerou os mesmos numa seqüência crescente; 1-2 
(bobina#1), 3-4 (bobina#2) e assim por diante. Em seguida reuniu os terminais 2-4-6-7-
10 num ponto comum e procedeu às seguintes leituras de tensão com o gerador girando 
na velocidade nominal: 
 
TERMINAIS TENSÃO (Volts) 
1-2 100,00 
1-3 61,80 
1-5 190,21 
1-8 117,56 
1-9 161,80 
5-8 117,56 
 
 
a) Com base nessas leituras, determine as possíveis ligações dos enrolamentos 
do gerador para que se obtenha um sistema pentafásico de tensões em 
estrela. 
 
b) Descreva que teste adicional será necessário para estabelecer dentre as 
possibilidades levantadas no item anterior, aquela desejada pelo engenheiro. 
 
 
 
2) Um sistema pentafásico de fontes de 200 V cada uma deverá operar com uma 
ligação em malha, figura ao lado, porém apenas duas delas encontram-se interligadas 
corretamente em série, como também mostra a figura ao lado. Desde que se dispõe 
apenas de um voltímetro, estabeleça que medições permitirão a identificação das 
demais fontes para uma conexão correta do conjunto. 
 
 
 
 
 
 5
Sistemas Trifásicos Equilibrados 
Correção do Fator de Potência 
 
 
 
1) Uma carga industrial é especificada para consumir 5 kVA com um fator de potência 
de 0,8 indutivo quando alimentada por uma tensão de linha de 2400 V. A 
concessionária de energia supre essa carga através de um alimentador com uma 
reatância indutiva de 2 Ω. Considerando-se que: 
ƒ A tensão de linha na fonte de alimentação da concessionária está fixada em 2400 V; 
ƒ A potência ativa consumida pela carga permanece constante no valor nominal 
especificado; 
pede-se determinar a potência de um banco de capacitores que corrija o fator de 
potência da carga para o valor unitário, quando a mesma é suprida pela concessionária. 
 
 
 
2) A rede elétrica de uma concessionária de energia supre na freqüência de 60 Hz uma 
indústria por intermédio de uma linha de transmissão que apresenta, por fase, uma 
impedância formada por uma resistência de 0,1 Ω e uma indutância de 0,1326 mH. 
Essa rede elétrica pode ser considerada do tipo barra infinita, sendo representada por 
uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela com neutro aterrado por uma 
impedância de 10+j50 Ω. A indústria, por seu turno, possui uma carga equilibrada do 
tipo potência constante, ou seja, qualquer que seja a tensão de alimentação, as 
potências ativa e reativa solicitadas serão sempre as mesmas. Uma medição efetuada 
num determinado dia do ano constatou que, quando a tensão de linha na fonte era de 
380 V, a indústria operava com um fator de potência 0,7 indutivo e a tensão de fase na 
mesma era de 200 V. Pede-se: 
a)Determinar a potência de um banco trifásico de capacitores, conectados em 
triângulo, que instalado na indústria eleve o fator de potência da mesma para 0,92 
indutivo, valor prescrito pelas normas da ANEEL. 
b)Calcular a tensão de alimentação da indústria antes e após a instalação do banco 
de capacitores. 
c)Comparar as perdas na linha de transmissão antes e depois da instalação do banco 
de capacitores. 
 
 
 
3) Uma indústria possui uma carga trifásica equilibrada do tipo impedância constante 
conectada em estrela e que consome uma potência ativa de 16 kW sob um fator de 
potência de 0,8 indutivo, quando alimentada por uma tensão de linha de 380 V. 
Sabendo-se que uma fonte trifásica equilibrada de seqüência de fase positiva supre essa 
carga com uma tensão de linha de 400 V e 60 Hz, e considerando-se que a indústria 
dispõe de 3 capacitores de 32 μF cada um, pede-se determinar se o fator de potência 
dessa carga poderá ser elevado para 0,92 indutivo com o uso desses capacitores. 
 
 6
4) A rede elétrica de uma concessionária de energia supre com uma tensão de linha de 
380 V uma indústria por intermédio de uma linha de transmissão que apresenta, por 
fase, uma impedância formada por uma resistência de 0,1 Ω e uma reatância de 0,5 Ω. 
Essa rede elétrica pode ser considerada do tipo barra infinita, sendo representada por 
uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela com neutro aterrado. A indústria, 
por seu turno, possui uma carga equilibrada do tipo potência constante, ou seja, 
qualquer que seja a tensão de alimentação, as potências ativa e reativa solicitadas serão 
sempre as mesmas. Uma medição efetuada num determinado dia do ano constatou que 
a indústria operava com um fator de potência 0,8 indutivo e a tensão de fase na mesma 
era de 200 V. Pede-se: 
a) Determinar a potência de um banco trifásico de capacitores, que instalado 
na indústria eleve o fator de potência da mesma para 0,92 atrasado; 
b) Comparar as perdas na linha de transmissão antes e depois da instalação 
do banco de capacitores admitindo-seque a potência da carga corrigida 
permanece constante. 
 
 
5) Uma fonte trifásica de 60 Hz, seqüência positiva e conectada em estrela com o 
neutro aterrado alimenta, através de uma linha de transmissão com resistência de 0,1 Ω 
e reatância de 0,2 Ω, três cargas trifásicas assim discriminadas: 
Carga A – Consome uma potência de 150 kVA com fator de potência de 0,8 indutivo 
quando suprido por uma tensão de linha de 220 V. Essa carga comporta-se como uma 
impedância constante em qualquer tensão de trabalho. 
Carga B – Conectada em triângulo e cuja impedância atingiu 8∠-50º quando uma 
tensão de linha de 220 V foi aplicada. Essa carga consome sempre a mesma potência, 
ativa e reativa, qualquer que seja a tensão de alimentação da mesma. 
Carga C – Conectada em estrela, demanda na tensão de linha de 220 V uma potência 
de 38 kVA por fase com fator de potência de 0,6 indutivo. Essa carga mantém o mesmo 
consumo de potência ativa em qualquer tensão de operação, porém a potência reativa 
solicitada pela mesma varia linearmente com o quadrado da tensão. 
Quando a tensão de linha nessas cargas for de 200 V, pede-se determinar: 
a)A potência ativa, reativa e aparente consumida pelas três cargas; 
b)A potência do banco de capacitores que eleve o fator de potência das três cargas 
para 0,92 indutivo, considerando-se que a tensão de linha permanecerá inalterada; 
c)Na tabela abaixo, as características de três capacitores são fornecidas na tensão 
de 220 V. Pede-se selecionar as unidades que comporão o banco de capacitores 
especificado no item anterior quando os mesmos forem conectados em estrela e em 
triângulo. 
POTÊNCIA 
(kvar) 
CAPACITÂNCIA 
(μF) 
1,67 91,5 
2,50 137,0 
3,33 182,5 
 
d)A tensão, potência ativa, reativa e aparente na fonte de alimentação, bem como 
as perdas na linha de transmissão antes e após a instalação do banco de 
capacitores supondo-se que a tensão de linha na carga permanecerá constante em 
200 V. 
 7
6) Uma carga trifásica equilibrada, representada por um resistor de resistência 
constante em série com um indutor de reatância também constante, consome uma 
potência de 500 kVA com um fator de potência 0,8 indutivo quando alimentada por 
uma tensão de fase de 1000 V. Essa carga é suprida por uma fonte trifásica equilibrada 
e com seqüência de fase positiva através de uma linha de transmissão com reatância de 
2 Ω por fase. Sendo a tensão de fase da fonte de 1000 V, pede-se determinar a potência 
de um banco de capacitores capaz de elevar o fator de potência da carga para 0,92 
indutivo. 
 
 
7)Uma fonte trifásica equilibrada com tensão de linha de 13800 V, conectada em 
estrela com o neutro solidamente aterrado e do tipo barra infinita, supre uma carga 
através de uma linha de transmissão simétrica com impedância de 0,67+j8,72 Ω. 
Medições efetuadas nessas condições operacionais apontam que a carga é composta em 
cada fase por uma resistência de 35 Ω em série com um banco de capacitores de 26 Ω 
quando conectada em estrela com o neutro também aterrado diretamente. Essa carga 
demanda sempre a mesma potência ativa para qualquer tensão de trabalho e a reatância 
da mesma pode ser considerada constante. Com base nessas informações: 
a)Pede-se determinar o tipo e o valor da impedância de um elemento de circuito 
que conectado em paralelo com a carga reduza a magnitude da tensão de trabalho 
da carga em 5% e eleve o fator de potência da mesma para 0,90; 
b) Verifique se, de fato, o elemento acima especificado produzirá a redução 
esperada na tensão do sistema, promovendo, se necessário, ajustes nas condições 
operacionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
Sistemas Trifásicos Equilibrados 
Regulação de Tensão 
 
 
1) Uma carga trifásica equilibrada do tipo impedância constante possui os seguintes 
valores nominais: 
 Tensão de linha = 380 V 
 Potência ativa = 10 kW 
 Potência reativa capacitiva = 10 kvar 
Essa carga é suprida por intermédio de uma linha de transmissão com impedância por 
fase de 1+j2 Ω alimenta por uma fonte trifásica equilibrada que oferece uma tensão de 
linha de 380 V. Pede-se determinar a reatância de um indutor que conectado em 
paralelo com a carga reduza a tensão de trabalho da mesma em 5%. 
 
 
2) Uma carga trifásica do tipo potência constante absorve 15 kVA com fator de 
potência 0,8 atrasado quando alimentada por uma tensão de linha de 200 V. Esta carga 
foi suprida por uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva com 380 V de 
tensão de linha, através de uma linha de transmissão com impedância de 1+j4 Ω. 
Nessas condições, a queda de tensão observada na linha foi considerada exagerada e 
decidiu-se introduzir um banco de capacitores em série com a linha para reduzir em 
10% a magnitude desta grandeza. Considerando-se que a tensão na carga permanecerá 
no mesmo valor verificado antes da introdução dos capacitores, pede-se determinar a 
reatância e a potência deste banco de capacitores. 
 
3) Uma carga trifásica, equilibrada e conectada em triângulo consome uma potência de 
250 kVA por fase com fator de potência 0,96 atrasado quando alimentada por uma 
tensão de fase de 2.000 V. A fonte de suprimento desta carga é trifásica, equilibrada de 
seqüência positiva e conectada em estrela com neutro aterrado, gerando uma tensão de 
fase de 2.500 V e 60 Hz. O ramal de ligação desta fonte para a carga exibe uma 
impedância de 1+j8 Ω. A tensão na carga, quando alimentada da forma acima descrita 
(Fonte+ramal), apresenta um valor considerado insuficiente, Pede-se determinar o tipo, 
a impedância e a potência do elemento que, conectado em série com a carga, eleve a 
magnitude da sua tensão para o mesmo valor da fonte. Assuma que a carga é do tipo 
potência constante. 
 
4) Uma indústria possui uma carga trifásica equilibrada de impedância constante que 
consome em 2400 V, tensão de linha, uma potência de 500 kVA com fator de potência 
atrasado de 0,8. A alimentação dessa carga provém de um sistema trifásico equilibrado 
formado por uma linha de transmissão com impedância 0,2 +j2Ω conectada a um 
gerador trifásico do tipo barra infinita que mantém uma tensão de linha de 2400 V nos 
terminais. Como a queda de tensão na linha de transmissão tem sido a causa de 
inúmeros problemas na indústria, deliberou-se instalar em paralelo com a carga um 
banco de capacitores capaz de elevar a tensão na mesma para o valor da fonte, 2400 V. 
Pede-se determinar a potência desse banco de capacitores para que, na plena carga da 
indústria, esse valor de tensão seja alcançado 
 9
Sistemas Trifásicos Desequilibrados 
Resolução pelas Técnicas Clássicas 
(Tensão de Nó ou Corrente de Malha) 
 
 
1) Uma fonte trifásica equilibrada, conectada em estrela, alimenta diretamente na 
tensão de linha de 400 V duas cargas: 
Carga A – trifásica equilibrada, conectada em estrela com neutro interligado por 
uma impedância resistiva de 100 Ω ao neutro da fonte e que está especificada para 
consumir 20 kVA com fator de potência 0,8 indutivo quando alimentada por uma 
tensão de linha de 380 V; 
Carga B – trifásica equilibrada, conectada em triângulo e consumindo 30 kVA com 
fator de potência 0,65 indutivo quando suprido por uma tensão de linha de 380 V. 
Sendo a fase C da fonte aberta em decorrência de um defeito, pede-se determinar: 
a) As correntes e as tensões em cada uma das fases das duas cargas; 
b) A tensão e a corrente entre os neutros da fonte e da carga A. 
 
 
 
2) Uma carga trifásica é formada por três impedâncias exatamente iguais conectadas 
em delta, sendo a resistência da mesma de 3 Ω e a reatância indutiva de 15 Ω. Essa 
carga está conectada aos terminais de uma linha de transmissão perfeitamente 
equilibrada ecom impedância de 1 Ω. A fonte que alimenta essa linha exibe tensões de 
fase desequilibradas dadas por: 
o
aV 90200 −∠=
r
 
o
bV 180100∠=
r
 
o
cV 60100∠=
r
 
Pede-se determinar utilizando as técnicas clássicas de resolução de circuitos elétricos: 
a)As correntes nas três fases da linha de transmissão; 
b)As correntes nas três fases da carga; 
c)A tensão nos terminais da carga; 
d)A potência ativa, reativa e aparente solicitada pela carga; 
e)A potência ativa, reativa e aparente fornecida pela fonte; 
f)A potência ativa, reativa e aparente solicitada pela linha de transmissão. 
 
 
3) A rede elétrica tratada no exercício 2 do tópico Sistemas Trifásicos Equilibrados – 
Correção do Fator de Potência, após a correção da carga com a instalação do banco de 
capacitores experimentou um defeito na indústria, o qual não somente colocou as fases 
B e C em curto-circuito, como também levou a fase C diretamente para a terra. Para 
essas condições do defeito, pede-se determinar as correntes nas fases A, B e C da fonte 
e da carga. 
 
 
 
 10
4) Uma carga trifásica composta por um capacitor, um indutor e um resistor 
conectados em estrela é alimentada por uma fonte trifásica equilibrada de seqüência 
ABC e que apresenta uma tensão de fase de 220 V. Assumindo: 
Ω=== 10
3
RXX CL
))
 
a) Determine a tensão e a corrente em cada uma das fases da carga e a tensão 
existente entre o neutro da carga e o neutro da fonte de alimentação. Esboce o 
diagrama fasorial correspondente a essa situação operacional. 
b) Considere que o capacitor da fase B da carga é desconectado da fonte, 
permanecendo o resistor e o indutor alimentados pela mesma. Determine as 
grandezas solicitadas no item anterior e trace o diagrama fasorial dessa nova 
condição operativa da carga. 
c) Considere, agora, que, além do desligamento do capacitor, também o resistor da 
carga é desconectado da fonte de alimentação. Determine as mesmas grandezas 
solicitadas no item anterior e trace o diagrama fasorial correspondente. 
 
5) Uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela com tensão de linha de 220 V 
alimenta uma carga formada por três resistores iguais de 127 Ω ligados também em 
estrela e com neutros interligados. A carga possui três chaves instaladas nas posições 
indicadas na figura abaixo.Calcule as tensões de linha e de fase e as correntes de fase e 
de neutro na carga, e esboce o diagrama fasorial correspondente para cada uma das 
seguintes configurações operativas: 
a) Chaves 1 e 3 fechadas e chave 2 aberta. 
b) Chaves 1 e 2 abertas e chave 3 fechada. 
c) Chaves 1, 2 e 3 abertas. 
d) Chaves 1 e 2 fechadas e chave 3 aberta. 
e) Chaves 1 e 3 fechadas e chave 2 aberta, porém com a resistência da fase 
A substituída por um capacitor com reatância de mesma magnitude. 
6) Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência de fase negativa, ligada em estrela com 
neutro aterrado diretamente, alimenta uma carga formada pelas seguintes 
impedâncias; Ω= 101 jZˆ , Ω−= 102 jZˆ e Ω= 103Zˆ . Essa carga encontra-se 
conectada em estrela com neutro aterrado também diretamente. Sabendo-se que a 
impedância 1Zˆ é suprida pela fase A da fonte e que consome 5 A e que uma medição 
ada corrente no neutro da fonte alcançou 13,7 A, pede-se identificar: 
a)Quais as fases da fonte que suprem as impedâncias 32 ZˆeZˆ ; 
b)Se a seqüência de fase da fonte for positiva, que modificação experimentará a 
resposta anterior. 
 11
7) Uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela aterrada com tensão de linha de 
220 V alimenta uma carga formada por três resistores iguais de 381 Ω ligados em 
triangulo. A carga possui duas chaves instaladas nas posições indicadas na figura 
abaixo. Calcule as tensões de fase e de linha e as correntes de fase e de linha da carga, 
e esboce o diagrama fasorial correspondente para cada uma das seguintes 
configurações operativas: 
a) Chaves 1 e 2 fechadas. 
b) Chave 1 aberta e chave 2 fechada. 
c) Chaves 1 fechada e chave 2 aberta. 
d) Chaves 1 e 2 fechadas e a resistência Zb é substituída por um capacitor com 
reatância de mesma magnitude. 
 
 
. 
 8) Uma fonte trifásica, equilibrada, com seqüência ABC e com tensão de fase de 220 
V exibe uma conexão estrela com o neutro aterrado através de uma impedância de 3+j4 
Ω. Essa fonte alimenta uma carga trifásica, balanceada com fator de potência 
capacitivo, conectada em triângulo e que consome 52.272,0 W e 69.696,0 var. 
a) Considerando-se que o sistema opera nas condições acima descritas pede-se: 
a1) Determinar a corrente nas três fases da fonte e da carga; 
a2) Traçar o diagrama fasorial da tensão e da corrente em cada uma das 
fases da fonte. 
b) Considerando-se, agora, que uma falha ocorreu na carga e que a fase C da 
mesma foi solidamente aterrada, pede-se: 
b1) Determinar a corrente nas três fases da fonte e da carga nessa condição 
faltosa; 
b2) Traçar o diagrama fasorial da tensão e da corrente em cada uma das 
fases da fonte na condição do defeito especificado. 
 
9) Considere a carga trifásica formada por resistores de 
1 Ω conectados de conformidade com a figura ao lado. 
Demonstre se tal carga pode ser considerada 
equilibrada ou não. 
 
 
 
 
 12
Sistemas Trifásicos Desequilibrados 
Deslocamento do Neutro 
 
 
 
 
1) Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva, conectada em estrela com o 
neutro aterrado diretamente alimenta uma carga desbalanceada, também conectada em 
estrela, porém com o neutro isolado da terra. A carga é formada na fase A por um 
indutor, na fase B por um capacitor e na fase C por um resistor variável. A alimentação 
da fase A da carga é, então, interrompida pela abertura do disjuntor correspondente. 
Pede-se determinar o lócus do neutro da carga quando o resistor variar no intervalo 
[0,∝). 
 
 
 
2) Um sistema trifásico equilibrado de fontes de seqüência positiva conectada em 
estrela com neutro solidamente aterrado alimenta uma carga formada por um indutor 
em cada fase, também conectados em estrela, porém com o neutro isolado. Sabendo-se 
que Xa > Xb > Xc, pede-se delimitar no diagrama fasorial a região em que o neutro da 
carga deverá situar-se. 
 
 
 
3) Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva conectada em estrela com 
neutro aterrado diretamente alimenta uma carga trifásica formada pelos seguintes 
elementos conectados em estrela e com neutro isolado: 
ƒ Um capacitor de reatância Xc1 ohms; 
ƒ Um indutor de reatância XL ohms; 
ƒ Um capacitor de reatância Xc2 ohms. 
Pede-se determinar o comportamento do neutro dessa carga, utilizando somente 
diagramas fasoriais: 
a)Quando a reatância do indutor XL variar no intervalo [0,∞); 
b)Quando o indutor for desconectado da carga e a reatância do capacitor 
Xc1 variar no intervalo [0,∞). 
 
 
 
4) Uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela com o neutro aterrado 
diretamente alimenta uma carga trifásica formado pelos seguintes elementos, também 
conectados em estrela, porém com o neutro isolado da terra; Um capacitor de reatância 
variável e dois indutores fixos de mesma reatância. Pede-se determinar o 
posicionamento do neutro da carga com respeito ao neutro da fonte, quando a reatância 
do capacitor é variada. 
 
 
 
 13
5) Uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela e com neutro aterrado 
diretamente alimenta uma carga trifásica formada pelos seguintes elementos 
conectados em estrela e com neutro isolado: Um capacitor de reatância X ohms, um 
indutor de reatância X ohms e um resistor de resistência variável R. Determine a fase 
em que cada um dos componentes deverá ser ligado e a relação entre R e X para que a 
tensão entre os neutros da carga N’ e da fonte N seja: 
a) 0=N'NV
r
 
b) bNN'N VV
rr
2= 
c) cNN'N VV
rr
2
1−= 
 
 
 
6) Uma indústria possui uma fonte trifásicaequilibrada conectada em estrela com 
neutro aterrado diretamente, cuja marcação das fases foi perdida. Mostre como a 
seqüência de fase dessa fonte poderá ser determinada fazendo-se uso dos seguintes 
elementos conectados em estrela não aterrada: 
 
ƒ Duas lâmpadas incandescentes de mesma resistência ôhmica R; 
ƒ Um capacitor com uma reatância de magnitude igual à resistência das 
lâmpadas. 
 
 
7)Uma carga trifásica conectada em estrela não-aterrada é formada na fase A por um 
indutor de reatância X ohms, na fase B por um capacitor de reatância também de X 
ohms e na fase C por um resistor de R ohms. Essa carga é suprida por uma fonte 
trifásica equilibrada de seqüência abc e ligada em estrela aterrada. Utilizando apenas o 
recurso de diagramas fasoriais pede-se: 
a) Determinar a relação entre R e X para que os neutros da carga e da fonte 
coincidam; 
b) D escrever o comportamento da tensão do neutro da carga e das correntes 
circulando nas fases da mesma quando: 
b.1) 0→R
b.2) ∞→R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14
Sistemas Trifásicos Desequilibrados 
Componentes Simétricas 
 
 
 
 
1) Considere duas fontes de tensão bifásica e equilibrada formadas por: 
1aV
r
 e 1bV
r
, onde a primeira está 90º em avanço da segunda e, por isso, são denominadas 
de seqüência positiva; 
2aV
r
 e 2bV
r
, estando a segunda 90º em avanço com respeito a primeira e, assim, ditas de 
seqüência negativa; 
a) Construa uma matriz de transformação que permita expressar uma fonte de 
tensão bifásica desequilibrada qualquer em termos das fontes de seqüência positiva 
e negativa acima definidas. 
b) Mostre que essa transformação é única. 
 
2) Utilizando a definição de componentes simétricas, identifique no sistema trifásico da 
figura abaixo que componente de seqüência positiva, negativa e zero da tensão e da 
corrente de fase da carga está presente quando: 
a) A fonte é equilibrada e a carga é desequilibrada, sendo 0=NZ
)
; 
b) A fonte é equilibrada e a carga é desequilibrada com 0≠NZ
)
; 
c) A fonte é equilibrada e a carga é desequilibrada com ∞=NZ
)
. 
 
 
3) Uma fonte trifásica equilibrada com tensão de fase de 2000 V e seqüência de fase 
negativa, encontra-se conectada em estrela com neutro aterrado por uma resistência de 
10 Ω e alimenta diretamente uma carga desequilibrada ligada em triângulo comas 
seguintes impedâncias: , e . Pede-se 
determinar a corrente de seqüência zero na carga. 
Ω∠= oaZˆ 30100 Ω∠= obZˆ 30100 Ω∠= ocZˆ 3025
 
 
4) Resolver o exercício 2 do tópico Sistemas Trifásicos Desequilibrados-Resolução de 
Sistemas utilizando a técnica das componentes simétricas. 
 
 
 15
5) Considere um sistema formado por uma fonte trifásica conectada em estrela (Y) 
aterrada alimentando uma carga conectada em triangulo (Δ), conforme ilustração da 
figura abaixo. Utilizando a definição, identifique as componentes de seqüência 
positiva, negativa e zero da tensão de linha e da corrente de linha e de fase presentes na 
carga quando: 
a) A fonte é equilibrada e a carga é equilibrada; 
b) A fonte é equilibrada e a carga é desequilibrada; 
c) A fonte é desequilibrada e a carga é desequilibrada. 
 
 
6) Uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela com neutro francamente 
aterrado alimenta diretamente uma carga trifásica desequilibrada ligada em triângulo. 
Pede-se demonstrar utilizando a definição de componentes simétricas: 
a) Se existe corrente de seqüência zero na carga; 
b) Se existir, como justificar a ausência da componente de seqüência 
zero na tensão de alimentação dessa carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 16
 
 
MÓDULO II 
Técnicas Avançadas de Análise 
 
 
 
 
 
O módulo II da disciplina são introduzidas as ferramentas 
fundamentais para o estudo dos sistemas elétricos em 
regime estacionário não-senoidal (Série de Fourier) e em 
regime transitório (Transformada de Laplace e de Fourier). 
Os exercícios propostos para este módulo abordarão, 
portanto, os seguintes temas: 
 
• Série de Fourier; 
 
• Transformada de Fourier; 
 
• Transformada de Laplace. 
 
Dentro de cada tema, os exercícios serão agrupados de 
acordo com o tipo de análise exigida ou com a natureza do 
sistema tratado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17
Série de Fourier 
Questões Teóricas 
 
 
 
1) Examinar se a função abaixo atende aos requisitos de uma Série de Fourier: 
 
( ) ( ) ( )[ ]2523 tsentsentf += 
 
Em caso positivo, determinar a freqüência fundamental e a ordem das componentes 
harmônicas presentes na função. 
 
 
2) Uma função periódica é representada pela seguinte Série de Fourier na forma 
trigonométrica: 
( ) ( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++=
6
57
6
322442 ππ tcostsentsentcostf 
 
Determine a forma trigonométrica compacta para essa Série de Fourier. 
 
3) Um sinal possui a seguinte Série de Fourier expressa na forma exponencial: ( )tf
 ( ) jttjtjjttjtj ejeejejejetf 2222322 3333 −++++−= −−− 
 
a) Esboce os espectros de amplitude e de fase desse sinal; 
b) A partir dos espectros da parte anterior, estabeleça a Série de Fourier desse 
sinal na forma trigonométrica compacta. 
 
 
4) O levantamento efetuado em laboratório dos espectros de uma função real é 
apresentado na figura abaixo. 
Com base nesses dados, pede-se determinar: 
 
a)A Série de Fourier deste sinal na forma exponencial; 
b)A Série de Fourier deste sinal na forma trigonométrica compacta; 
c)A Série de Fourier deste sinal na forma trigonométrica. 
 18
5) A Série de Fourier da função triangular da figura abaixo é dada para n ímpar por: 
 
 
 
 
( )tnsen oω⎟⎠
⎞( ) nsen
n
Atf
n
π
π ∑
∞
=
⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
1
22 2
18 
 
 
 
Partindo-se dessa expressão, pede-se determinar a Série de Fourier da função da figura 
abaixo. 
 
 
 
6)A expansão em Série de Fourier da função triangular da figura abaixo é dada por: 
 
 
( ) ( )tnsennsen
n
Atf o
,,n
ωππ ∑
∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
531
22 2
18
 
 
 
Partindo-se dessa expressão, pede-se determinar a Série de Fourier de uma tensão que 
exibe a forma esboçada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 19
Série de Fourier 
Aplicação em Circuitos Monofásicos 
 
No circuito da figura abaixo, os elementos assumem as impedâncias assinaladas 
quando a freqüência é de 60 Hz. 
 
 
Este circuito é alimentado por uma fonte de tensão alternada e periódica com forma de 
onda dada pela figura abaixo. 
 
Considerando-se que a tensão da figura também apresentada a seguir está expressa em 
volts, pede-se determinar por intermédio da aplicação da Série de Fourier tomada até a 
segunda harmônica: 
 
a) O valor instantâneo e eficaz da corrente no circuito; 
 
b) O valor instantâneo e eficaz da tensão nos terminais do indutor XL2; 
 
c) O espectro de amplitude e de fase da tensão aplicada ao circuito e da 
tensão nos terminais do indutor XL2; 
 
d) A potência aparente, reativa e ativa solicitada pelo circuito; 
 
e) A potência instantânea consumida pelo circuito; 
 
f) O fator de potência do circuito. 
 20
Série de Fourier 
Aplicação em Sistemas Trifásicos Equilibrados 
 
1)Três fontes idênticas, que geram tensões de seqüência positiva defasadas de 120º e 
com a forma mostrada na figura abaixo, apresenta uma impedância interna de 0,1+ j1,0 
Ω e estão conectadas numa ligação estrela com neutro francamente aterrado. Esse 
sistema de suprimento alimenta duas cargas assim descritas: 
ƒ A primeira conectada em estrela aterrada por uma impedância de 10 Ω e com 
impedância por fase é de 5+j20Ω; 
ƒ A segunda carga está conecta em triângulo e possui impedância por fase de 
10+j40Ω; 
Pede-se determinar, considerando-se o harmônico até a ordem 5, o valor eficaz da 
tensão de fase e delinha nos terminais da carga e entre o neutro da carga e da fonte. 
 
2) Uma carga trifásica equilibrada formada por um indutor em série com um capacitor 
numa ligação estrela, figura abaixo, é alimentada por uma fonte de tensão trifásica 
periódica e não-senoidal, cuja forma de onda para a fase A, VaN (t), é dada na figura 
também abaixo. As fases B e C apresentam tensões exatamente com a mesma forma de 
onda da fase A, porém defasadas desta de 120o e 240o em atraso respectivamente. 
Utilizando, somente a componente fundamental e os dois primeiros harmônicos da 
Série de Fourier para essa tensão, pede-se: 
a) Com a chave S aberta, determinar o valor eficaz da corrente na carga, da tensão 
nos terminais do capacitor, e da tensão entre o neutro da carga e o neutro da fonte; 
b) Com a chave S fechada, determinar o valor eficaz da corrente na carga, da 
corrente no neutro e da tensão nos terminais do capacitor. 
Assuma que o indutor apresenta uma reatância de 1Ω e o capacitor exibe uma reatância 
de 10 Ω, ambas na freqüência fundamental. 
 
 
 21
3) Uma carga trifásica equilibrada formada por capacitores de 10Ω na freqüência 
fundamental é alimentada por fontes de tensão periódicas, seqüência positiva e 
defasadas entre si de 120º e com forma de onda dada pela figura abaixo para a fase A, 
Va. A impedância interna de cada uma dessas fontes é de j1Ω na freqüência 
fundamental e as mesmas, como a carga, estão conectadas em triângulo como mostra a 
figura. Utilizando apenas a componente fundamental e os dois primeiros harmônicos da 
Série de Fourier, pede-se para as fases: 
a) O valor eficaz da corrente no ramo da fonte, If ; 
b) O valor eficaz da corrente de linha, IL; 
c) O valor eficaz da corrente no ramo da carga IC ; 
d) O valor eficaz da tensão de linha na carga, VC ; 
 
 
 
4) Uma fonte trifásica equilibrada de freqüência fundamental de 60 Hz, impedância 
interna por fase de 1+j3Ω e conectada em triângulo produz uma tensão em volts na fase 
A dada pela seguinte Série de Fourier: 
 
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−+= ∑
∞
=1
12
12
11800300
n
oa tnsenn
tv ωπ 
 
Essa fonte alimenta por intermédio de uma linha de transmissão de impedância por fase 
de 1+j1Ω em 60 Hz, uma carga trifásica equilibrada conectada em triângulo que exibe 
uma impedância 3+j2Ω por fase também em 60 Hz. Considerando-se apenas as 
componentes da série até a harmônica de ordem 5, pede-se: 
 a) O valor eficaz da tensão e da corrente em cada fase da carga; 
 b) A potência aparente e ativa em cada fase da carga; 
 c) O valor eficaz da corrente em cada fase da fonte. 
 d) A potência aparente e ativa em cada fase da fonte. 
 e) A potência aparente e ativa por fase na linha de transmissão. 
 22
5) Uma fonte trifásica balanceada de seqüência positiva conectada em triângulo possui 
impedância interna por fase de 2+j2 Ω e alimenta uma carga trifásica equilibrada com 
impedância por fase de 4+j3 Ω e conectada em estrela com neutro aterrado por uma 
resistência de 10 Ω. A tensão gerada na fase A da fonte tem a forma mostrada na figura 
abaixo com freqüência fundamental de 60 Hz. 
 
Utilizando o resultado do problema 5 das Questões Teóricas para determinação da 
Série de Fourier da forma de onda acima, pede-se determinar, considerando-se as 
componentes harmônicas até n=5: 
 
 a) O valor instantâneo e eficaz da corrente e da tensão em cada fase da carga 
 b) O valor instantâneo e eficaz da corrente em cada fase da fonte; 
 c) A potência aparente e ativa por fase da fonte e da carga. 
 
 
6) Uma carga trifásica equilibrada de 2+j2 Ω por fase é conectada em estrela com 
neutro aterrado por uma impedância de j2 Ω. Essa carga é alimentada por uma fonte 
trifásica equilibrada de seqüência positiva através de um ramal com impedância de 
0,5+j1 Ω por fase. A fonte possui uma impedância de 0,5+j0,5Ω por fase, está 
conectada em estrela com neutro aterrado diretamente e exibe, para a fase A, a forma 
de onda da figura abaixo. 
 
 
Utilizando o resultado do problema 5 das Questões Teóricas para determinação da 
Série de Fourier da forma de onda acima, pede-se determinar utilizando-se até o 
harmônico de ordem 5: 
 
a) A tensão de fase e de linha, a corrente, a potência trifásica aparente e ativa na 
carga; 
b) A tensão de linha, a potência trifásica aparente e ativa na fonte; 
c) A tensão e a corrente nos neutros da carga e da fonte. 
 23
7) Três fontes monofásicas possui a mesma impedância interna, 0,1+j1,0 Ω em 60 Hz, 
e geram, quando desconectadas da carga, tensões trifásicas equilibradas de seqüência 
positiva, cuja forma de onda para a fase A é mostrada na figura abaixo. Tais fontes 
monofásicas são conectadas em triângulo (Δ) formando, assim, um sistema trifásico 
equilibrado. Pede-se determinar o valor eficaz da tensão na saída da montagem trifásica 
descrita considerando-se as componentes da Série de Fourier até o harmônico de 
 
ordem cinco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24
Série de Fourier 
Aplicação em Sis esequilibrados 
 
1) Uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela com neutro francamente 
 
 
orma de onda para a fase A é mostrada na figura
ngulo (Δ) formand
temas Trifásicos D
aterrado gera uma tensão de seqüência abc na forma triangular simétrica com respeito 
ao eixo das abscissas com valor de pico de 400 V, figura abaixo. Essa fonte supre 
através de uma linha de transmissão com resistência de 4 Ω uma carga trifásica 
desequilibrada conectada em triângulo com as impedâncias indicadas na figura abaixo. 
Pede-se determinar a corrente que circula nessa carga tendo-se em conta as 
componentes harmônicas até a 5ª ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Três fontes monofásicas possuem a mesma impedância interna por fase de 1+j2Ω 
em 60 Hz e geram, quando desconectadas da carga, tensões trifásicas equilibradas de 
seqüência positiva, cuja f abaixo. Tais 
fontes monofásicas são conectadas em triâ o, assim, um sistema 
trifásico equilibrado e supre uma carga conectada em estrela (Y) com as seguintes 
impedâncias por fase: Ω+=Ω+=Ω+= 222221 jZejZ,jZ ba .O neutro da c
carga é aterrado através de uma impedância Ω+= 200100 jZ N .Pede-se determinar a 
tensão instantânea e eficaz nos terminais de cada uma das fases dessa carga 
considerando-se os harmônicos até a ordem cinco. 
 
 
 25
 
Transformada de Fourier 
 
1) Use a propriedade da derivação no tempo para obter a Transformada de Fourier do 
sinal da figura abaixo. 
2) A Transformada de Fourier do sinal da figura abaixo é dado por: 
 
 
 
( )
Questões Teóricas 
 
 
 
 
( )1−ω 12 −= ω ωωω jj ejeF 
 
 
Com ades, pede-se determinar a 
Transform is esboçados nas figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 base nessa informação e fazendo-se uso das propried
ada de Fourier dos sina
 
 
 26
Transformada de Fourier 
Transitórios em Circuitos CC 
) Os elementos do circuito da figura abaixo encontram-se sem qualquer energia 
armazenada no e S2 são fechadas. 
Determine o com ra t≥0 s utilizando, 
para isso, a Tran
 
 
3) o a Transformada de Fourier, determine a tensão vs(t) nos terminais do 
capacitor do circuito da figura abaixo, quando, em t=0 s, um degrau unitário de 
 
 
1
instante t=0 s e, nesse momento, as chaves S1 
30 mHportamento da corrente no indutor de pa
sformada de Fourier. 
 
2) No circuito da figura abaixo o capacitor e o indutor não exibem qualquer energia 
armazenada pata t<0 s. Pede-se determinar uma expressão para a corrente no indutor 
após o fechamento da chave, t≥0 s, utilizando a Transformada de Fourier.. 
 
Utilizand
corrente ie(t) for aplicado aos terminais de entrada do circuito. Considere que a carga 
do capacitor nula até o instante de aplicaçãodo degrau (t=0-) e a direção positiva 
indicada para a tensão e corrente no circuito. Verifique se a resposta obtida concorda 
com o comportamento físico esperado para a tensão nos terminais do capacitor. 
4) O circuito da figura abaixo encontra-se em repouso (Condições iniciais nulas no 
 27
capacitor e no indutor). Determine a Transformada de Fourier da tensão nos terminais 
 
 
 
 
 
 
 
 
do capacitor, Vc(ω) (Use superposição). 
 
 
5) As chaves do circuito da figura abaixo foram manobradas no instante t=0 s, sendo 
uma aberta e a outra fechada conforme as indicações. Pede-se determinar a corrente 
através do capacitor utilizando a Transformada de Fourier. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28
Transformada de Laplace 
Transitórios em Circuitos CC 
) No circuito da figura abaixo, a chave S encontra-se aberta por um tempo longo e no 
stante t=0 s a mesma é fechada. Pede-se determinar o comportamento da corrente no 
dutor de 2 H para t≥0 s utilizando, para isso, a Transformada de Laplace. 
) No circuito da figura abaixo, para t<0 s, o capacitor e o indutor não exibem qualquer 
nergia armazenada. Pede-se determinar uma expressão para a corrente no indutor após 
 fechamento da chave, t≥0 s, utilizando a Transformada de Laplace. 
 
 
) As chaves do circuito da figura abaixo foram manobradas no instante t=0 s, sendo 
uma aberta e a inar a corrente 
através do capac
 
 
 
 
1
in
in
 
2
e
o
3
outra fechada conforme as indicações. Pede-se determ
itor utilizando a Transformada de Laplace. 
 
 29
4) Utilizando a Transformada de Laplace, determine a tensão vs(t) nos terminais do 
capacitor do circuito da figura abaixo, quando, em t=0 s, um degrau unitário de 
a)Capacitor sem qualquer carga no instante imediatamente antes da aplicação 
da fonte de corrente (t=0-); 
 
erifique se as respostas reproduzem o comportamento físico esperado para o circuito 
em cad
 
 
5) A ch
na posi
No ins s, essa chave é manobrada para a posição b. Determine a corrente 
através do resistor de 70 Ω para t≥0 utilizando a Transformada de Laplace. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
corrente ie(t) for aplicado aos terminais de entrada do circuito e considerando duas 
condições de carregamento inicial para o capacitor: 
 
b)Capacitor com uma carga de 37,5 C no instante imediatamente antes da 
aplicação da fonte (t=0-), tal que produz uma tensão negativa nos terminais do 
mesmo. 
 
V
a caso. 
ave no circuito da figura abaixo permaneceu um tempo suficientemente longo 
ção a, de modo que o regime permanente foi estabelecido no circuito para t<0 s. 
tante t=0 
 
 30
Transformada de Laplace 
Transitórios em Circuitos CA 
 
 
) O circuito da figura abaixo encontra-se em estado nulo, quando a chave é fechada 
introduzindo a fonte de corrente para alimentação do mesmo. Pede-se, fazendo uso da 
ransformada de Laplace, a tensão nos terminais do resistor de 400 Ω. 
) Considere o circuito da figura ao lado formado por um resistor de R ohms em série 
om um indutor de L henrys sem qualquer energia armazenada. No instante t=0s, a 
have S é fechada, conectando ao circuito uma fonte de 
nsão alternada com a forma de onda
1
T
 
 
2
c
c
te ( ) ( )θω += tsenVtv m
aplace, determine a relação entre a fase da tensão
o u
. Utilizando Transformada de 
L na 
f ito 
p
a) A componente transitória da corrente no circuito alcançará o valor 
máximo no instante inicial; 
b) A componente transitória da corrente no circuito será nula no instante 
inicial. 
 
3) Num sistem a fonte perfeitamente 
senoidal de tensão m /s encontra-se 
alimentando um
entre os terminais 
foi, então, aberta pela ação da p
 instante t=0 s como o momento de abertura da chave, pede-se demonstrar, utilizando 
 Transformada de Laplace, que o comportamento da tensão nos terminais do capacitor 
nte, θ, e o ângulo do fator de potência ϕ do circ
ara a qual: 
a elétrico, representado pelo diagrama ao lado, um
áxima em volts Vm e freqüência angular ω em rad
a carga através da chave S, 
quando um curto-circuito franco ocorreu 
a e b da carga. A chave 
roteção 
quando a corrente de falta passava pelo 
valor nulo. Assumindo que o chaveamento 
é ideal (Tensão de arco nula) e tomando-se 
o
a
para t≥0 s será dado por: 
 
 
 
 31
4) No circuito da figura abaixo, um curto-circuito tomou lugar entre os terminais a e b 
assinalados e a chave S foi aberta no instante em que a corrente na mesma era nula. 
Pede-se de
tensão nos ara t≥0s, considerando que a chave S foi aberta 
em t=0s. 
 
dmita que a tensão na fonte exibia um valor V no instante da abertura da chave e que, 
terminar, fazendo uso da Transformada de Laplace, uma expressão para a 
 terminais do capacitor C2 p
A
sendo o intervalo de tempo de interesse muito pequeno, essa tensão permanecerá 
constante para efeito da presente análise. Admita também que a reatância de C1 é muito 
maior que as reatâncias de L1 e L2 para efeito do estabelecimento das condições 
iniciais. 
Faça uso das expressões; 
11
1
1
CL
=ω 
22
2
1
CL
=ω 
 
( )( ) ⎟⎟⎠⎝ ooo
 
Nota: A tensão nos terminais da chave recebe a designação de Tensão Transitória de 
Restabelecimento (TRT) e se constitui num importante parâmetro para especificação 
deste tipo de equipamento. 
 
⎞
⎜⎜
⎛
+−+−=++ 2222222222
1
s
s
s
s
ss
s
ωωωωωω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32
 
 
 
 
 
 
MÓDULO III 
 
Tópicos Especiais 
 
 
 
 
 
 
 
O módulo III da disciplina trata de alguns tópicos 
considerados especiais, desta ando-se o uso da Integral de 
Convolução para a resolução de circuitos lineares 
alimentados por sinais de qualquer natureza, o estudo dos 
fenômenos de ressonância e a análise do comportamento 
dos filtros passivos. Os exercícios propostos para este 
módulo serão reunidos, portanto, de conformidade com tais 
temas. 
 
c
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33
Ressonância em Circuitos 
 
 
1) Para o
 
 circuito mostrado na figura ao lado pede-se determinar: 
c) Uma expressão para a freqüência de ressonância; 
 
d) Sob que condição será impossível a ocorrência de uma 
ressonância nesse circuito (Parâmetros diferentes de 
zero). 
2) Deseja-se determinar a freqüência de ressonância de um circuito formado por 
resistores, indutores e capacitores, mas cujas reatâncias são desconhecidas. Dispõe-se 
para esse fim de um gerador de freqüência variável munido de medidores de tensão, 
freqüência, potência ativa e aparente. Alimentando o circuito por esse gerador e 
fazendo variar a freqüência da tensão aplicada, como determinar a freqüência de 
ressonância? Se o circuito não possuísse qualquer resistor, esse procedimento mudaria? 
 
 
3) Determine a freqüência de ressonância do circuito da figura abaixo. 
 
 
4) Demonstre que a freqüência de ressonância dos circuitos abaixo são dadas por: 
 
 
 
 
2
2
1
22
1
111
L
R
LCCRLC
oo −=−= ωω 
 
 
 
 
 34
5) O indutor do circuito da figura ao lado suporta uma corrente máxima de 10 A. A 
nte de alimentação deste circuito pode operar em qualquer freqüência no intervalo 
,∝].Indaga-se se o indutor poderá experimentar algum dano nestas condições 
20 V 
 a tensão eficaz da fonte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Para que o circuito da figura ao lado experimente o fenômeno da ressonância, pede-se 
determinar os valores dos seguintes parâmetros: 
 
a) XL quando R e XC forem fornecidos; 
 
Com a pede-se determinar: 
 
d) Quais dos circuitos abaixo experim qüência indicada? 
 
e) Que ajustes serão n os os circuitos entrem 
emfo
[0
operacionais. Os valores das reatâncias estão expressos na freqüência de 60 Hz e 1
é
 
b) XC quando R e XL forem fornecidos; 
c) R quando XL e XC forem fornecidos. 
 
 base nos resultados acim
entarão ressonância na fre
ecessários nos parâmetros para que tod
 ressonância na freqüência assinalada? 
 35
Filtros Passivos 
 
 
1) O Considerando-se que a tensão Vs nos terminais do resistor de 
saída do ar: 
 
a) cuito exerce o papel de um filtro e, 
em caso positivo, de que tipo; 
ência desse circuito; 
c) O comportamento gráfico do módulo e da fase da função de transferência; 
 
 
) Pretende-se utilizar o circuito da figura abaixo para servir como filtro com a 
guinte finalidade: bloquear os sinais de entrada com freqüência de 400 kHz e permitir 
 passagem de sinais com 800 kHz. Sendo Ve a tensão de entrada e Vs a tensão de saída, 
pede-se determinar: 
a) O valor das indu ivo seja atendido; 
b) A função de transferência e a freqüência de corte do filtro. 
 
 
3)
 
 
1 Ω é o sinal de 
circuito da figura abaixo, pede-se determin
 Por uma análise qualitativa, se esse cir
b) Uma expressão para a função de transfer
d) A freqüência de corte do filtro. 
2
se
a
tâncias L1 e L2 para que esse objet
 Proceda uma análise qualitativa dos circuitos abaixo e determine para que tipo de 
filtro os mesmos se prestam. 
 36
4) O circuito da figura abaixo é utilizado como um filtro quando alimentado por uma 
fonte de corrente cuja freqüência varia de 0 até 100 rad/s e tendo, como saída, a tensão 
 
5) Determ circuito da figura abaixo funciona como 
passa-faixa, sendo V à tensão de saída. Expresse os limites da 
banda de freqüência em
 
 
6) Dete o abaixo possa 
funcionar, no que diz resp s a-faixa, rejeita-
faixa e passa-baixas a depender da faixa de freqüência da tensão de entrada Ve. 
Assinale quais as faixas de freqüência em a dessas 
condições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) O circuito ao lado é utilizado para filtrar a tensão Ve, fornecendo como a saída a 
tensão Vs. Pede-se: 
a) esmo se 
presta; 
b)
parâm
filtrag
mes
 
nos terminais do resistor. Pede-se determinar: 
a) Por uma análise qualitativa, o tipo desse filtro; 
b) A função de transferência e a freqüência de corte desse filtro. 
 
ine a banda de freqüência em que o 
e a tensão de entrada e Vs
 função dos parâmetros do circuito. 
rmine a relação entre as indutâncias L1 e L2 para que o circuit
eito a tensão de saída V , como um filtro pass
 esse filtro funcionará para cada um
Identificar por uma análise qualitativa o tipo de filtro para que o m
Analisar se existe restrições nos valores dos 
etros desse circuito para que o tipo de 
em identificada em a ocorra ou se os 
mos podem assumir qualquer valor. 
 37
8) Um filtro formado por um resistor R1, um indutor L e dois capacitores C1 e C2, 
conectados conforme a figura abaixo, é alimentado por uma fonte de tensão ve(t), cuja 
a) C <C 
 
 
 
 
9) Seja o circuito da figura abaixo, onde Vs é o sinal de saída. 
Estabelecer o comportame o a freqüência do sinal de 
entrada varia no intervalo . 
1
se determ ento da tensão nos terminais do 
corte e o fator de qualidade desse filtro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
freqüência varia no intervalo [0,∝]. Esse filtro supre uma carga constituída pelo resistor 
R2, sendo a tensão nos terminais da mesma vs(t), o sinal de saída. Descreva o 
comportamento deste filtro para: 
1 2
b) C1=C2 
c) C1>C2 
Ve é o sinal de entrada e 
nto da saída desse circuito quand[ )∞,0
 
 
 
0) No circuito abaixo, a fr ∝]. Pede-
inar o comportam resistor, as freqüências de 
eqüência da tensão de entrada varia no intervalo [0,
 38
Integral de Convolução 
 
 
1) A corrente de entrada do circuito da figura abaixo, Ie, tem a forma indicada. Pede-se 
determinar utilizando-se a integral de convolução: 
a) A corrente Is através do resistor de 5 Ω; 
b) A tensão Vs nos terminais do indutor de 25 mH. 
 
 
2) Analise os três circuitos abaixo e determine, a luz da Integral de Convolução, qual 
dentre eles reproduzirá fielmente o sinal de entrada e qual fornecerá o sinal de saída 
no diagrama como
 
 
 
3) Utilizando a Integral de Convolução, determine o comportamento da tensão nos 
terminais do capacitor do circuito abaixo, quando este circuito é excitado por uma 
tensão dada por: 
 
 
mais distorcido. Considere a tensão y como o sinal de entrada e a variável x indicada 
 
 o sinal de saída. 
 
 ( ) ( ) ( )[ ] V,tutu 10tv 102 −− 
 
 
 
=
 
 
 
 39
4) Um circuito oferece como resposta ao impulso aplicado na origem, h(t), a função 
triangular da figura abaixo. Se o sinal de entrada nesse circuito for o pulso retangular 
da figu sse circuito utilizando a integral de 
convolu
 
 
 
5) Utiliz o 
Vs
 
 
 
 
 
6)
 
 
ra abaixo, x(t), determine a resposta y(t) de
ção. 
 
ando a Integral de Convolução obtenha a resposta do circuito abaixo (Tensã
) quando a entrada (Tensao Ve) exibir a forma indicada na figura. 
 O circuito R-L-C da figura abaixo é alimentado por uma fonte, ve(t), que gera uma 
tensão com a forma também indicada na figura abaixo. Utilizando a Integral de 
Convolução, pede-se determinar o comportamento da tensão nos terminais do 
capacitor, vs(t). 
 
 
 
 
 
 40
7) A Integral de Convolução, na su ( ) ( ) ( )∞a forma mais geral, 
∞−
, é 
licada quando os sistemas e sinais são de natureza não-causais. Quando, por outro 
lado, os sistemas e sinais são causais, os limites dessa integral são alterados para 
quando o sistem
por exem
 
 
 
 
 
 
 
τττ dthfty ⋅−⋅= ∫
ap
( ) ( ) ( ) τττ dthfty t ⋅−⋅= ∫
−0
. Pede-se estabelecer os limites da Integral de Convolução 
a (Circuito) é causal, mas o sinal de entrada é do tipo não-causal, como, 
plo, aquele mostrado na figura abaixo. 
 
 41