08 Flexão Parte II

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1Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Discutiremos aqui as deformações que
ocorrem quando uma viga prismática, feita
de material homogêneo, é submetida à
flexão.
Serão tratadas vigas com área de seção transversal
simétrica em relação a um eixo, nas quais o momento fletor é
aplicado em torno de um eixo perpendicular ao de simetria.
6.3 Deformação por flexão de um elemento reto
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Considerando uma barra de borracha, é possível observarmos o comportamento de
suas retas após a aplicação de um momento fletor.
A reta superior comprime-se, a
reta central permanece com o
mesmo comprimento e a reta
inferior estica-se.
Além disso, as retas
verticais giram mas
permanecem retas.
Antes da deformação
Após a deformação
3Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Então, para a barra de seção
transversal quadrada com uma malha
de retas longitudinais e transversais,
o momento fletor aplicado tende a
distorcer as retas.
Antes da deformação
Após a deformação
Como resultado, as retas
longitudinais tornam-se curvas e as
retas transversais permanecem retas,
mas sofrem rotação.
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O comportamento de qualquer
barra deformável sujeita a um
momento fletor como este, faz o
material da parte inferior esticar-
se e o da parte superior
comprimir-se.
Antes da deformação
Após a deformação
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Consequentemente, entre as duas
regiões deve existir uma superfície,
chamada superfície neutra, na qual as
fibras longitudinais do material não
sofrem mudança de comprimento. Superfície 
neutra
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Com base nessas observações serão estabelecidas três hipóteses
que relacionam a maneira como a tensão deforma o material.
1 - O eixo longitudinal x, que fica na superfície
neutra, não sofre qualquer mudança de
comprimento.
superfície neutra
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Em vez disso, o momento
tenderá a deformar a viga
de modo que a reta torna-
se uma curva localizada
no plano de simetria x-y.
eixo localizado no plano da
seção transversal e em torno do
qual a seção transversal gira
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2 – Todas as seções transversais
da viga permanecem planas e
perpendiculares ao eixo
longitudinal durante a
deformação
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Antes da deformação
Após a deformação
3 – Qualquer deformação da
seção transversal em seu próprio
plano será desprezada
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Então, para mostrar como a
distorção deformará o
material, isolaremos um
elemento da viga localizado
a uma distância x ao longo
do comprimento da viga
com espessura não
deformada ∆x.
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Comparando as configurações não-
deformada e deformada do elemento, é
possível observar que qualquer segmento de
reta ∆x localizado na superfície neutra não
muda de comprimento.
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E que qualquer segmento de reta ∆s, localizado a uma
distância arbitrária y acima da superfície neutra,
contrai-se e torna-se ∆s’ após a deformação.
Por definição, a deformação normal
ao longo de ∆s é determinada por:
0
'lim
s
s s
s∆
∆ ∆
ε
∆→
−
=
Agora representaremos a deformação em termos da
ordenada y do segmento e do raio de curvatura ρ do eixo
longitudinal do elemento.
Antes da deformação, ∆s é igual a ∆x. Após a
deformação, ∆x tem raio de curvatura ρ, com centro de
curvatura no ponto O’.
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Como ∆θ define o ângulo entre os lados da seção transversal do elemento,
∆x=∆s=ρ∆θ.
Da mesma maneira, o comprimento deformado de ∆s torna-se ∆s’=(ρ-y)∆θ.
Substituindo pela equação anterior, obtemos:
( )
0
lim
y
∆θ
ρ ∆θ ρ∆θ
ε
ρ∆θ→
− −
=
y
ε
ρ
= −
Esse resultado indica que a deformação normal longitudinal de
qualquer elemento da viga depende de sua localização na seção
transversal e do raio de curvatura do eixo longitudinal da viga nesse
ponto.
Em outras palavras, para qualquer seção transversal específica, a
deformação normal varia linearmente com y a partir do eixo neutro.
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Ocorre contração (– ε) nas fibras localizadas acima do eixo neutro (+ y),
enquanto ocorre alongamento (+ ε) mas fibras localizadas abaixo do eixo
neutro (– y).
y
ε
ρ
= −
Assim, a variação da
deformação na seção
transversal é como
mostra a figura.
A deformação máxima (εmax) ocorre na fibra mais 
externa, localizada à distância c do eixo neutro.
Podemos relacionar 
ε e εmax por:
max
y
c
ε ρ
ε ρ
−
=
obtendo:
max
y
c
ε ε
 
= − 
 
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A equação da Flexão relaciona a distribuição de tensão longitudinal
de uma viga ao momento fletor resultante interno que atua na seção
transversal dessa viga.
Para deduzir esta equação, vamos supor que o material comporta-se
de maneira linear-elástica de modo que a lei de Hooke é válida, isto
é,
6.4 A fórmula da flexão
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εσ .E=
Uma variação linear da deformação normal deve
ter como consequência uma variação linear na
tensão normal.
Assim como a variação da deformação, a tensão
normal σ varia de 0 no eixo neutro do elemento a
um valor máximo σmax, na distância c mais
afastada do eixo neutro.
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Então, devido à proporcionalidade dos
triângulos, ou usando a lei de Hooke,
podemos escrever:
Essa equação representa a distribuição de
tensão sobre a área da seção transversal.
max
y
c
σ σ
 
= − 
 
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Cabe destacar que a convenção de sinal
estabelecida é significativa e deve ser obedecida.
No caso de M positivo, que atua na direção
+z, valores positivos de y resultam em
valores negativos para σ, ou seja, em uma
tensão de compressão, visto que atua na
direção negativa de x.
De modo similar, valores negativos de y resultam em
valores positivos ou valores de tração para σ.
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Portanto, se um elemento de volume do material for selecionado em um
ponto específico da seção transversal, apenas as tensões normais de
tração ou compressão atuarão sobre ele.
Elemento localizado em
+y sofrendo compressão.
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Podemos ainda localizar a posição do eixo neutro
da seção transversal satisfazendo a condição de
que a força resultante FR produzida pela
distribuição de tensão sobre a seção transversal
deve ser igual a zero.
R xF F= ∑
Sendo dF = σdA, temos:
max
max 0
A A A A
ydF dA dA ydA
c c
σ
σ σ
− 
= = − = = 
 
∫ ∫ ∫ ∫
E como σmax/c é diferente de zero 0
A
ydA =∫
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Em outras palavras, o momento de
primeira ordem da área da seção
transversal do elemento deve ser nulo.
Essa condição só é satisfeita se o eixo neutro passar pelo centróide
da seção transversal.
0
A
ydA =∫
Consequentemente, uma vez determinado o centróide da seção
transversal, a localização do eixo neutro será conhecida.
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Podemos determinar a tensão na viga pelo requisito
de que o momento interno resultante M sejaigual ao
momento produzido pela distribuição de tensão em
torno do eixo neutro.
O momento de dF em
torno do eixo neutro
é dM = ydF.
Esse momento é positivo visto que, pela regra da mão direita, o polegar
está direcionado no sentido positivo do eixo z quando os dedos são
fechados no sentido da rotação provocada por dM.
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Então temos para toda a seção:
Esta integral representa o
momentomomento dede inérciainércia dada áreaárea de
seção transversal calculado
em torno do eixo neutro.
( )R zzM M= ∑( ) max
A A A
yM ydF y dA y dA
c
σ σ = − = − = − − 
 
∫ ∫ ∫
2max
A
M y dA
c
σ
= ∫
2
A
I y dA= ∫
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Portanto, a Fórmula da Flexão em sua 
forma geral pode ser escrita como:
max
Mc
I
σ =
onde:
σmax → tensão normal máxima no elemento, que ocorre no 
ponto da área da seção transversal mais afastado do eixo 
neutro;
M → momento interno resultante, determinado pelo método das 
seções e pelas equações de equilíbrio, e calculado em torno do 
eixo neutro da seção transversal;
c → distância perpendicular do eixo neutro ao ponto mais 
afastado desse eixo, no qual σmax atua;
I → momento de inércia da área de seção transversal calculado 
em torno do eixo neutro.
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E como σmax/c = –σ/y, a tensão normal na
distância intermediária y pode ser
determinada pela equação:
Observar que o sinal negativo é necessário, pois está
de acordo com o estabelecido para os eixos x, y e z.
Pela regra da mão direita, M é
positivo ao longo do eixo +z, y é
positivo para cima e, portanto, σ deve
ser negativo (compressão), pois atua
na direção negativa de x.
I
My
−=σ
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Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, foi imposta a condição de que a área da
seção transversal fosse simétrica em relação a um eixo perpendicular ao eixo neutro.
Além disso, o momento interno M deveria atuar ao longo desse mesmo eixo
neutro.
Esse é o caso
das seções em
T ou em U.
6.5 Flexão Assimétrica
33Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Porém, a fórmula da flexão também pode ser aplicada tanto a
uma viga com área de seção transversal de qualquer formato
como a uma viga que tenha momento interno resultante
atuando em qualquer direção.
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Vamos considerar que a seção transversal da viga tenha um perfil assimétrico como a da
figura.
O sistema de coordenadas x, y, z tem origem no centróide C da seção transversal e o
momento interno resultante M atua ao longo do eixo +z.
A distribuição de tensão que atua sobre toda a área
da seção transversal precisa ter força resultante
nula, momento interno resultante em torno do eixo y
nulo e momento interno resultante em torno do eixo
z igual a M.
Momento aplicado ao longo do eixo principal
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Essas três condições podem ser expressas matematicamente se
considerarmos a força que atua sobre o elemento infinitesimal
dA localizado em (0, y, z).
;R xF F= ∑ 0 A dAσ= ∫
( ) ;R yyM M= ∑ 0 A z dAσ= ∫
( ) ;R zzM M= ∑ AM y dAσ= −∫
Essa força é dF = σdA e temos, portanto:
(A)
(C)
(B)
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A Eq. (A) é satisfeita pois o eixo z passa pelo centróide da área da seção transversal.
Além disso, como o eixo z representa o eixo neutro da seção transversal, a deformação
normal variará linearmente de zero, no eixo neutro, ao máximo em um ponto localizado na
maior distância, y = c, da coordenada y do eixo neutro.
37Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Desde que o material tenha comportamento linear-elástico, a
distribuição de tensão normal sobre a seção transversal também será
linear, de modo que:
Quando se substitui essa equação pela Eq. (C) e integra-se, obtemos a
fórmula da flexão :
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máx
c
y
σσ 





−=
I
cM
máx
.
=σ
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Se substituirmos σ = – (y/c)σmax na Eq. (B), obtemos:
0
A
yzdA =∫que requer:
Essa integral é chamada produto de inércia da área. 
Ela será nula se os eixos y e z forem escolhidos como eixos de inércia principais da área.
max0
A
yzdA
c
σ−
= ∫
39Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Em uma área de formato arbitrário é sempre possível determinar a orientação dos eixos
principais usando, por exemplo, as equações de transformação (Apêndice A, Seção A.4).
No entanto, se a área tiver um eixo de simetria, os eixos principais poderão ser facilmente
estabelecidos, pois eles são sempre orientados ao longo do eixo de simetria e
perpendicularmente a ele.
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Resumindo: as Eqs. (A), (B) e (C) serão sempre satisfeitas,
independentemente da direção do momento M aplicado, se
forem utilizados os eixos de inércia principais da seção.
Como exemplo, vamos considerar os elementos abaixo. Em cada caso, y e z estabelecem que
a origem dos eixos principais de inércia da seção transversal está localizada no centroide da
área.
41Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Nos casos (a) e (b), os eixos principais são localizados por simetria; e nos casos (c) e (d) a
orientação dos eixos principais é determinada pelos métodos do Apêndice A.
Como M é aplicado em torno de um dos eixos principais (eixo z), a distribuição de tensão é
determinada pela fórmula da flexão, , e mostrada para cada caso.
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z
I
yM .
−=σ
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Algumas vezes um elemento é carregado de tal modo que o momento
interno resultante não atua em torno de um dos eixos principais da seção
transversal.
Quando isso ocorre, o momento deve ser primeiro decomposto em
componentes direcionados ao longo dos eixos principais.
Então a fórmula da flexão é usada para determinar a tensão normal sobre
cada momento componente.
Finalmente, usando o princípio da superposição, podemos determinar a
tensão normal resultante.
Momento aplicado arbitrariamente
43Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Para isso, vamos considerar que a viga tem seção transversal retangular e
está sujeita ao momento M, que forma um ângulo + θ com o eixo principal z.
= +
Decompondo M em componentes, ao longo dos eixos z e y, temos
Mz=Mcosθ e My=Msenθ, respectivamente.
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As distribuições de tensão normal que M e seus componentes Mz e My
produzem estão representadas abaixo.
= +
É assumido que (σx)max > (σ’x)max.
Por inspeção, as tensões máximas de tração e compressão [(σx)max + (σ’x)max]
ocorrem em dois cantos opostos da seção transversal
45Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Aplicando a fórmula da flexão a cada momento componente
(Mz e My), podemos expressar a tensão normal resultante em
qualquer ponto da seção transversal, em termos gerais,
como:
yz
z y
M zM y
I I
σ = − +
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yz
z y
M zM y
I I
σ = − +Na equação , temos:
σ → tensão normal no ponto.
y, z → coordenadas do ponto medidas nos eixos x, y, z, as quais tem origem no centroide da área daseção transversal e formam um sistema de coordenadas mão direita; o eixo x é direcionado para fora da 
seção transversal, e os eixos y e z representam, respectivamente, os eixos principais do momento de 
inércia mínimo e máximo da área.
My, Mz → componentes do momento interno resultante direcionados ao longo dos eixos principais y e z; 
são positivos se direcionados ao longo dos eixos +y e +z, caso contrário são negativos. Em outras 
palavras, My = Msenθ e Mz = Mcosθ, onde θ é positivo no sentido do eixo +z para o eixo +y.
Iy, Iz → momentos de inércia principais calculados, respectivamente, em torno dos eixos y e z (ver 
Apêndice A).
47Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
O ângulo α do eixo neutro é determinado fazendo 
σ = 0 na equação anterior, pois, por definição, 
nenhuma tensão atua sobre o eixo neutro. 
Portanto: 0yz
z y
M zM y
I I
σ = − + = y z
z y
M I
y z
M I
=
Como Mz = Mcosθ e
My = Msenθ, então:
z
y
Iy tg z
I
θ
 
=   
 
Orientação do Eixo Neutro
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A equação anterior é a equação da reta que
define o eixo neutro da seção transversal.
Como o declive é tg α = y/z, então:
z
y
I
tg tg
I
α θ=
Essa equação mostra que na flexão
assimétrica o ângulo θ (define a
direção do momento M), não é igual ao
ângulo α (define a inclinação do eixo
neutro), a menos que Iz = Iy.
49Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Porém, se o eixo y for escolhido como eixo principal do momento de inércia
mínimo, e o eixo z for escolhido como eixo principal do momento de inércia
máximo, de modo que Iy < Iz, poderemos concluir que o ângulo α, medido
como positivo no sentido do eixo +z para o eixo +y, localiza-se entre a reta
de ação de M e o eixo y, isto é, θ ≤ α ≤ 90º.
z
y
I
tg tg
I
α θ=
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São vigas construídas com dois ou mais materiais.
Como exemplo temos as vigas
feitas de madeira com tiras de aço
nas partes superior e inferior.
Ou, mais comumente, as vigas 
reforçadas com barras de aço.
6.6 Vigas Compostas
53Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Os engenheiros projetam vigas dessa maneira propositadamente, a fim de
criar um modo mais eficiente de suportar as cargas aplicadas.
Por exemplo: sabemos que o concreto é
excelente para suportar esforços de
compressão, mas resiste pouco aos de tração.
Por este motivo as barras de aço foram
colocadas na viga, a fim de resistir aos
esforços de tração que resultam do momento
M.
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A Fórmula da Flexão foi desenvolvida para materiais homogêneos, e por isso
não pode ser aplicada diretamente para determinar a tensão normal de uma
viga composta.
Entretanto, será desenvolvido um método para “transformar” a 
seção transversal, de modo que ela pareça ser feita de um único 
material.
O Método da Seção Transformada torna possível a
utilização da Fórmula da Flexão
55Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Para entender o Método da Seção
Transformada vamos considerar a viga
composta feita de dois materiais 1 e 2,
com as seções transversais mostradas
na figura.
Se um momento fletor M atuar nessa viga, assim como ocorre na
viga homogênea, a área total da seção transversal permanecerá
plana após a flexão.
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E, portanto, as deformações
normais variarão linearmente de
zero no eixo neutro ao máximo no
material mais afastado desse eixo.
Desde que o material tenha comportamento linear-elástico, a tensão do
material 1 será dada por σ = E1ε. Da mesma forma, a distribuição de tensão no
material 2 será determinada por σ = E2ε.
57Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Obviamente, se o material 1 for mais
rígido que o material 2, a maior parte
da carga será suportada por ele, visto
que E1 > E2.
1
2
1
2
Observar o salto na tensão que
acontece na junção dos materiais.
Como a deformação é a mesma, essa
variação na tensão ocorre devido a
mudança súbita do módulo de
elasticidade ou rigidez dos materiais.
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30
Para localizar o eixo neutro e determinar a tensão máxima na
viga, com base nessa distribuição de tensão, usamos o
procedimento de tentativa e erro.
Isso requer 
a satisfação 
de duas 
condições:
Uma maneira de satisfazer a essas duas condições consiste
em transformar a viga de modo que ela pareça ser feita de um
único material.
a distribuição de tensão deve produzir uma força
resultante nula na seção transversal
o momento da distribuição de tensão em torno do
eixo neutro deve ser igual a M
59Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Por exemplo: se a viga consistir inteiramente
do material 2 (menos rígido), a seção
transversal terá a aparência mostrada na
figura.
Nesse caso, a altura h da viga permanecerá a
mesma, uma vez que a distribuição da
deformação deve ser preservada.
60Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
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Entretanto, a porção superior da viga se
alargará a fim de suportar uma carga
equivalente à suportada pelo material 1 (mais
rígido).
A força dF é dada por:
( )1dF dA E dzdyσ ε= =
A largura necessária é determinada
considerando a força dF que atua na área
dA = dzdy da viga.
61Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
E, considerando um elemento correspondente na viga
transformada, com altura dy e largura ndz, a força dF’ é
dada por:
Calculando essas forças de modo que
produzam o mesmo momento em torno
do eixo z, temos:
1
1 2
2
'
EdF dF E dzdy E ndzdy n
E
ε ε= = =
( )2' ' 'dF dA E ndzdyσ ε= =
O número adimensional n é chamado de Fator de TransformaçãoFator de Transformação.
62Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
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32
O Fator de Transformação indica que a
seção transversal de largura b na viga
original deve ser aumentada para a largura
b2 = nb na região em que o material 1 está
sendo transformado em material 2.
63Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
A largura do material 2 mudou para b1 = n’b, onde n’ = E2 / E1
De maneira similar, se o material 2 (menos rígido),
for transformado em material 1 (mais rígido) a
seção transversal terá a aparência mostrada na
figura.
Observar que, nesse caso, o fator de transformação n’ deve ser menor
que um, pois E1 > E2. Em outras palavras, precisamos de menos material
mais rígido para suportar um determinado momento.
64Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
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Como a viga de material
composto foi transformada
em uma viga de material
único, a distribuição de
tensão normal sobre a seção
transversal transformada
será linear.
65Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Consequentemente, o centróide (eixo neutro) e o momento de inércia da
área transformada podem ser determinados e a fórmula da flexão aplicada
de maneira usual, determinando assim a tensão em cada ponto da viga
transformada.
Notar que a tensão na viga transformada é
equivalente à tensão no mesmo material da viga
verdadeira.
Porém, para o material transformado a tensão encontrada na seção
transformada tem que ser multiplicada pelo fator de transformação n (ou n’).
66Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
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34
Isso é necessário pois a área do material transformado dA’ é n vezes a
área do material verdadeirodA.
dA dzdy=
'dA ndzdy=
'dA ndA=
Portanto, temos que:
' 'dF dA dAσ σ= =
'dzdy ndzdyσ σ=
'nσ σ=
67Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira 68
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Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira 69
Transformando a 
seção toda em aço:
Momento de inércia 
entorno do eixo 
neutro:
Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira 70
Resultado:
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36
Vigas submetidas a flexão pura devem resistir
aos esforços de tração e compressão.
O concreto, entretanto, é muito suscetível a fraturas quando está sob
tração e, portanto, por si só não seria adequado para resistir a um
momento fletor.
O concreto pode ser 12,5 vezes mais O concreto pode ser 12,5 vezes mais 
resistente na compressão do que na tração.resistente na compressão do que na tração.
6.7 Vigas de Concreto Armado
71Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Para contornar essa deficiência,
os engenheiros colocam barras
de aço para reforço no interior
da viga de concreto, no local
onde o concreto está sob tração.
Para melhores resultados, estas barras são colocadas o mais longe
possível do eixo neutro da viga, de modo que o momento criado pelas
forças nelas desenvolvidas seja maior em torno do eixo neutro.
72Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
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37
Por outro lado, é preciso cobrir as barras de
concreto, para protegê-las contra corrosão ou
perda de resistência em caso de incêndio.
No projeto, a capacidade do concreto para
suportar carga de tração é desprezada, uma vez
que sua possível fratura é imprevisível.
Como consequência, supõe-se que a distribuição
da tensão normal que atua sobre a área da seção
transversal de uma viga de concreto armado
tenha a aparência mostrada na figura.
73Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Então, para analisarmos a tensão em uma viga de concreto armado, é
necessário localizar o eixo neutro e determinar a tensão máxima no
aço e no concreto.
Assim, a área do aço Aaço é transformada em área equivalente de 
concreto, por meio do fator de transformação n = Eaço/Econ.
Essa relação, que dá n > 1, foi escolhida porque é necessária uma
quantidade de concreto maior para substituir o aço.
74Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
20/10/2017
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A área transformada é nAaço, e a seção
transformada tem a aparência mostrada
na figura.
Onde d representa a distância da parte superior da viga até o aço
(transformado), b é a largura da viga e h’ é a distância, ainda
desconhecida, da parte superior da viga até o eixo neutro.
75Resistência dos Materiais I - Prof. Eng. José Pedreira
Podemos obter h’ usando o fato de que o
centroide C da área da seção transversal
da seção transformada fica no eixo
neutro.
Portanto, em relação ao eixo neutro, o
momento das duas áreas deve ser
nulo, visto que:
0
yA
y yA
A
= → =∑ ∑
∑
%
%
Então: ( )'' ' 0
2 aço
hbh nA d h  − − = 
 
2
' ' 0
2 aço aço
b h nA h nA d+ − =
Determinando h’, a solução
prossegue da maneira usual
para obter a tensão na viga.