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06/10/2017 1 1Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 6. Flexão 2Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 2 6. Flexão 6.1 Diagrama de força cortante e momento fletor; 6.2 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e momento fletor; 6.3 Deformação por flexão de um elemento reto; 6.4 A fórmula da flexão; 6.5 Flexão assimétrica; 6.6 Vigas compostas; 6.7 Vigas de concreto armado. 3Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira � Determinar a tensão provocada em vigas e eixos (importantes elementos estruturais usados em projetos de engenharia) por conta da flexão; � Explicar a construção dos diagramas de força cortante e de momento fletor para estes elementos; � Inicialmente serão considerados elementos retos, com seção transversal simétrica e feitos de materiais homogêneos lineares elásticos. Após, discutiremos casos especiais envolvendo flexão assimétrica e elementos feitos de materiais compósitos. OBJETIVOS: 4Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 3 Madeira Concreto Metálica Estruturas sob esforço de flexão 5Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Elementos estruturais que suportam cargas aplicadas perpendicularmente ao seu eixo longitudinal Em geral, são barras compridas e retas com área de seção transversal constante. VIGAS São classificadas conforme seus apoios. 6.1 Diagrama de força cortante e momento fletor; 6Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 4 Viga Simplesmente Apoiada Tem um apoio fixo em uma extremidade e um apoio móvel na outra 7Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Viga em Balanço É engastada em uma extremidade e livre na outra. 8Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 5 Viga Apoiada com Extremidade Livre Tem uma ou ambas as extremidades em balanço. 9Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira As vigas certamente podem ser consideradas ENTRE os mais importantes de todos os elementos estruturais Podem por exemplo ser utilizadas para apoiar o piso de um edifício 10Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 6 No tabuleiro das pontes 11Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Nas asas de aviões 12Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 7 Nas lanças dos guindastes e nas pontes rolantes. 13Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Normalmente estas solicitações variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga. Devido às cargas aplicadas, as vigas desenvolvem força cortante (cisalhamento) e momento fletor. Então, para o projeto adequado de uma viga, é necessário determinar a força cortante e o momento fletor máximos atuantes. 14Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 8 Um modo de fazer isso é expressar V e M como funções de uma posição arbitrária x ao longo do eixo da viga. Essas funções de força cortante e de momento são então aplicadas e representadas por gráficos denominados: Diagrama de Momento Fletor Diagrama de Força Cortante MM VV 15Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Assim, a partir destes diagramas, é possível obter os valores máximos de V e M que atuam na viga. Além disso, estes diagramas fornecem informações detalhadas sobre a variação de V e de M ao longo da viga. MM VV 16Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 9 Para determinarmos V e M internos como função de x ao longo da viga usaremos o Método das Seções. Será necessário localizar o corte imaginário a uma distância arbitrária x da extremidade da viga e definir V e M em função de x. É comum localizarmos a origem na extremidade esquerda da viga e a direção positiva da esquerda para a direita. 17Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Em geral, as funções de esforço cortante e de momento fletor obtidas em função de x são descontínuas ou seu declive é descontínuo nos pontos em que a carga distribuída muda ou onde estão aplicadas forças concentradas ou conjugados. Por essa razão, estas funções devem ser determinadas para cada região da viga localizada entre quaisquer duas descontinuidades da carga. 18Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 10 Por exemplo, as coordenadas x1, x2 e x3 devem ser usadas para descrever a variação de V e de M em todo o comprimento da viga. Essas coordenadas são válidas apenas nas regiões de A a B, no caso de x1; de B a C no caso de x2; e de C a D no caso de x3. 19Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Co n v en çã o de Si n al de Vi ga É necessário definirmos uma convenção de sinal para a força cortante e o momento fletor que atuam na viga. As direções positivas são: A carga distribuída atua sobre a viga no sentido de cima pra baixo. 20Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 11 A força cortante interna provoca rotação no sentido horário do segmento de viga em que atua. O momento fletor interno provoca tração nas fibras inferiores do segmento em que atua. As cargas opostas a essas direções são consideradas negativas. 21Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 22 06/10/2017 12 Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 23 Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 24 O diagrama tensão representa as equações 1 e 3 � O diagrama de momento representa as equações 2 e 4 � 06/10/2017 13 Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 25 Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 26 06/10/2017 14 Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 27 O diagrama de força cortante representa as equações 1 e 3 � O momento fletor das equações 2 e 4 � Se a viga estiver submetida a vários carregamentos diferentes, determinar V e M como funções de x e depois esquematizar graficamente estas equações se torna uma tarefa cansativa. Aqui, será apresentado um método mais simples para construir os diagramas de V e M, baseado em duas relações infinitesimais que existem entre carga distribuída, cisalhamento e momento. 6.2 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e momento fletor; 28Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 15 Então, considerando a viga submetida a um carregamento arbitrário. É escolhido um segmento ∆x da viga, em uma posição x onde não há carga concentrada ou conjugado. 29Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Além disso, a força cortante interna e o momento fletor interno que atuam sobre a face direita do segmento devem sofrer uma pequena alteração finita, para manter o segmento em equilíbrio. Observar que todas as cargas mostradas no segmento atuam na direção positiva (convenção de sinal). 30Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 16 A carga distribuída foi substituída pela força resultante w(x)∆x que atua a uma distância k(∆x). O valor de k varia entre 1 e 0, de modo que se w(x) for uniforme, k=1/2. 31Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 0Fy+ ↑ =∑ ( ) ( ) 0V w x x V V∆ ∆− − + = ( )V w x x∆ ∆= − ( ) ( )( ) 0V x M w x x k x M M∆ ∆ ∆ ∆ − − + + + = ( ) 2M V x w x k x∆ ∆ ∆= − 0Mo+ =∑ Então, aplicando as equações de equilíbrio ao segmento, temos: 32Resistência dos Materiais I - Prof.José Antônio Pedreira 06/10/2017 17 ( )dV w x dx = − dM V dx = E se dividirmos as duas equações anteriores por ∆x e calcularmos o limite quando ∆x→0, obtemos: Declive do diagrama de força cortante em cada ponto Declive do diagrama de momento fletor em cada ponto – intensidade da carga distribuída em cada ponto Força cortante em cada ponto. 33Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira ( )dV w x dx = − Por exemplo, na viga ao lado, a carga distribuída é positiva e aumenta de 0 até wB. Portanto, o diagrama de força cortante será uma curva com inclinação negativa, aumentando de 0 até –wB. E as declividades específicas são: wA=0, –wC, –wD e –wB. 34Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 18 dM V dx = Já o diagrama de momento fletor começa com uma inclinação de +VA, decresce para 0, torna-se negativo e decresce até um declive de –VB. Apresentando as seguintes declividades específicas: VA, VC, VD, 0 e –VB. 35Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira ( )dV w x dx = − dM V dx = Estas equações também podem ser escritas como: ( )dV w x dx= − dM Vdx= Observar que w(x)dx e Vdx representam áreas infinitesimais sob a carga distribuída e o diagrama de força cortante, respectivamente. 36Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 19 Então podemos integrar as áreas entre quaisquer dois pontos C e D da viga e escrever: ( )V w x dx∆ = −∫ ( )M V x dx∆ = ∫ A mudança de força cortante entre os pontos C e D é igual a área (negativa) sob a curva da carga distribuída entre esses pontos. A mudança de momento fletor entre os pontos C e D é igual a área sob o diagrama de força cortante entre esses pontos. 37Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Regiões de Força Concentrada e Momento Fletor Agora vamos analisar um pequeno segmento localizado sob uma das forças concentradas. Onde o equilíbrio de forças mostra que: ( ) 0V F V V∆− − + =0Fy+ ↑ =∑ V F∆ = − 38Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 20 Assim, quando F atua de cima para baixo na viga, ∆V é negativo e a força cortante “salta” para baixo. E quando F atua de baixo para cima na viga, ∆V é positivo e a força cortante “salta” para cima. 39Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Já o equilíbrio de momento requer que a mudança de momento seja: 0M M Mo V x M∆ ∆+ − − − = M Mo∆ = 0Mo+ =∑ Fazendo ∆x→0, obtemos: 40Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 21 Nesse caso, se Mo for aplicado no sentido horário, ∆M será positivo, de modo que o diagrama de momento “saltará” para cima. E se Mo atuar no sentido anti-horário, ∆M será negativo, e o “salto” no diagrama de momento será para baixo. 41Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Nesta tabela são mostrados os casos mais comuns para as equações apresentadas anteriormente 42Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 06/10/2017 22 43Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 44 Exemplo 6.7 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 06/10/2017 23 Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 45 Solução: As reações foram determinadas e são mostradas no diagrama de corpo livre: A inclinação do diagrama de força cortante irá variar de zero em x = 0 a –2 e em x = 4,5. O ponto zero pode ser encontrado por m 6,20 5,4 2 2 1 ,51 ;0 =⇒= −=↑+ ∑ xxxFy A inclinação do diagrama de força cortante começará em +1,5 e então se torna positiva decrescente até chegar a zero em 2,6 m. Em seguida, torna-se negativa crescente e alcança –3 em x = 4,5 m. Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 46 06/10/2017 24 FIM 47Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
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