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07 Flexão Parte I

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06/10/2017
1
1Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
6. Flexão
2Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
2
6. Flexão
6.1 Diagrama de força cortante e momento fletor;
6.2 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e 
momento fletor;
6.3 Deformação por flexão de um elemento reto;
6.4 A fórmula da flexão;
6.5 Flexão assimétrica;
6.6 Vigas compostas;
6.7 Vigas de concreto armado.
3Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
� Determinar a tensão provocada em vigas e eixos (importantes elementos
estruturais usados em projetos de engenharia) por conta da flexão;
� Explicar a construção dos diagramas de força cortante e de momento fletor para
estes elementos;
� Inicialmente serão considerados elementos retos, com seção transversal simétrica
e feitos de materiais homogêneos lineares elásticos. Após, discutiremos casos
especiais envolvendo flexão assimétrica e elementos feitos de materiais
compósitos.
OBJETIVOS:
4Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
3
Madeira Concreto Metálica
Estruturas sob esforço de flexão
5Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Elementos estruturais que suportam
cargas aplicadas perpendicularmente
ao seu eixo longitudinal
Em geral, são barras compridas e
retas com área de seção transversal
constante.
VIGAS
São classificadas conforme seus apoios.
6.1 Diagrama de força cortante e momento fletor;
6Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
4
Viga Simplesmente Apoiada 
Tem um apoio fixo em uma extremidade 
e um apoio móvel na outra 
7Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Viga em Balanço
É engastada em uma extremidade e 
livre na outra. 
8Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
5
Viga Apoiada com Extremidade Livre
Tem uma ou ambas as 
extremidades em balanço. 
9Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
As vigas certamente podem ser consideradas
ENTRE os mais importantes de todos os
elementos estruturais
Podem por exemplo ser
utilizadas para apoiar o
piso de um edifício
10Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
6
No tabuleiro das pontes
11Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Nas asas de aviões
12Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
7
Nas lanças dos guindastes e nas pontes rolantes.
13Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Normalmente estas solicitações variam de ponto para ponto ao
longo do eixo da viga.
Devido às cargas aplicadas, as vigas desenvolvem força cortante
(cisalhamento) e momento fletor.
Então, para o projeto adequado de uma viga, é necessário
determinar a força cortante e o momento fletor máximos
atuantes.
14Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
8
Um modo de fazer isso
é expressar V e M
como funções de uma
posição arbitrária x ao
longo do eixo da viga.
Essas funções de força
cortante e de momento
são então aplicadas e
representadas por
gráficos denominados: Diagrama de Momento Fletor
Diagrama de 
Força Cortante
MM
VV
15Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Assim, a partir destes
diagramas, é possível obter os
valores máximos de V e M que
atuam na viga.
Além disso, estes diagramas
fornecem informações
detalhadas sobre a variação de
V e de M ao longo da viga. MM
VV
16Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
9
Para determinarmos V e M internos como
função de x ao longo da viga usaremos o
Método das Seções.
Será necessário localizar o corte imaginário a
uma distância arbitrária x da extremidade da
viga e definir V e M em função de x.
É comum localizarmos a origem na
extremidade esquerda da viga e a
direção positiva da esquerda para a
direita.
17Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Em geral, as funções de esforço cortante e
de momento fletor obtidas em função de x
são descontínuas ou seu declive é
descontínuo nos pontos em que a carga
distribuída muda ou onde estão aplicadas
forças concentradas ou conjugados.
Por essa razão, estas funções devem ser
determinadas para cada região da viga
localizada entre quaisquer duas
descontinuidades da carga.
18Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
10
Por exemplo, as coordenadas x1, x2 e x3 devem ser usadas para
descrever a variação de V e de M em todo o comprimento da
viga.
Essas coordenadas são válidas apenas nas regiões de A a B,
no caso de x1; de B a C no caso de x2; e de C a D no caso de x3.
19Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Co
n
v
en
çã
o
 
de
 
Si
n
al
 
de
 
Vi
ga
É necessário definirmos uma convenção de sinal para a força 
cortante e o momento fletor que atuam na viga.
As direções positivas são:
A carga distribuída atua sobre a viga no sentido 
de cima pra baixo.
20Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
11
A força cortante interna
provoca rotação no sentido
horário do segmento de viga
em que atua.
O momento fletor
interno provoca tração 
nas fibras inferiores do 
segmento em que atua.
As cargas opostas a essas direções 
são consideradas negativas.
21Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 22
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12
Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 23
Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 24
O diagrama tensão representa as equações 1 e 3 �
O diagrama de momento representa as equações 2 e 4 �
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13
Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 25
Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 26
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14
Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 27
O diagrama de força cortante representa as equações 1 e 3 �
O momento fletor das equações 2 e 4 �
Se a viga estiver submetida a vários carregamentos diferentes,
determinar V e M como funções de x e depois esquematizar graficamente
estas equações se torna uma tarefa cansativa.
Aqui, será apresentado um método mais simples para construir os
diagramas de V e M, baseado em duas relações infinitesimais que
existem entre carga distribuída, cisalhamento e momento.
6.2 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e 
momento fletor;
28Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
15
Então, considerando a 
viga submetida a um 
carregamento arbitrário.
É escolhido um segmento
∆x da viga, em uma posição
x onde não há carga
concentrada ou conjugado.
29Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Além disso, a força cortante interna e
o momento fletor interno que atuam
sobre a face direita do segmento
devem sofrer uma pequena alteração
finita, para manter o segmento em
equilíbrio.
Observar que todas as cargas
mostradas no segmento atuam
na direção positiva (convenção
de sinal).
30Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
16
A carga distribuída foi substituída
pela força resultante w(x)∆x que atua
a uma distância k(∆x).
O valor de k varia entre 1 e
0, de modo que se w(x) for
uniforme, k=1/2.
31Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
0Fy+ ↑ =∑
( ) ( ) 0V w x x V V∆ ∆− − + =
( )V w x x∆ ∆= −
( ) ( )( ) 0V x M w x x k x M M∆ ∆ ∆ ∆ − − + + + = 
( ) 2M V x w x k x∆ ∆ ∆= −
0Mo+ =∑
Então, aplicando as equações de 
equilíbrio ao segmento, temos:
32Resistência dos Materiais I - Prof.José Antônio Pedreira
06/10/2017
17
( )dV w x
dx
= −
dM V
dx
=
E se dividirmos as duas equações anteriores por ∆x e calcularmos o limite
quando ∆x→0, obtemos:
Declive do 
diagrama de 
força cortante 
em cada ponto
Declive do diagrama 
de momento fletor
em cada ponto
– intensidade da 
carga distribuída 
em cada ponto
Força 
cortante em 
cada ponto.
33Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
( )dV w x
dx
= −
Por exemplo, na viga ao lado, a
carga distribuída é positiva e
aumenta de 0 até wB.
Portanto, o diagrama de força
cortante será uma curva com
inclinação negativa, aumentando
de 0 até –wB.
E as declividades específicas são:
wA=0, –wC, –wD e –wB.
34Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
18
dM V
dx
=
Já o diagrama de momento fletor
começa com uma inclinação de
+VA, decresce para 0, torna-se
negativo e decresce até um
declive de –VB.
Apresentando as 
seguintes declividades 
específicas: 
VA, VC, VD, 0 e –VB.
35Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
( )dV w x
dx
= − dM V
dx
=
Estas equações também podem ser escritas como:
( )dV w x dx= − dM Vdx=
Observar que w(x)dx e Vdx representam
áreas infinitesimais sob a carga
distribuída e o diagrama de força
cortante, respectivamente.
36Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
19
Então podemos integrar as áreas entre quaisquer dois pontos C
e D da viga e escrever:
( )V w x dx∆ = −∫
( )M V x dx∆ = ∫
A mudança de força cortante
entre os pontos C e D é
igual a área (negativa) sob a
curva da carga distribuída
entre esses pontos.
A mudança de momento
fletor entre os pontos C
e D é igual a área sob o
diagrama de força
cortante entre esses
pontos.
37Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Regiões de Força Concentrada e Momento Fletor
Agora vamos analisar um pequeno
segmento localizado sob uma das
forças concentradas.
Onde o equilíbrio de 
forças mostra que: 
( ) 0V F V V∆− − + =0Fy+ ↑ =∑
V F∆ = −
38Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
20
Assim, quando F atua de cima para
baixo na viga, ∆V é negativo e a
força cortante “salta” para baixo.
E quando F atua de baixo para cima
na viga, ∆V é positivo e a força
cortante “salta” para cima.
39Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Já o equilíbrio de
momento requer
que a mudança de
momento seja:
0M M Mo V x M∆ ∆+ − − − =
M Mo∆ =
0Mo+ =∑
Fazendo ∆x→0, obtemos:
40Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
06/10/2017
21
Nesse caso, se Mo for aplicado no
sentido horário, ∆M será positivo, de
modo que o diagrama de momento
“saltará” para cima.
E se Mo atuar no sentido anti-horário,
∆M será negativo, e o “salto” no
diagrama de momento será para baixo.
41Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Nesta tabela são mostrados os casos mais comuns
para as equações apresentadas anteriormente
42Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
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43Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira
Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 44
Exemplo 6.7
Represente graficamente os diagramas de força cortante
e momento fletor para a viga.
06/10/2017
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Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 45
Solução:
As reações foram determinadas e são 
mostradas no diagrama de corpo livre:
A inclinação do diagrama de força cortante irá variar de zero em x = 0 a –2 e em x = 4,5. 
O ponto zero pode ser encontrado por
m 6,20
5,4
2
2
1
,51 ;0 =⇒=











−=↑+ ∑ xxxFy
A inclinação do diagrama de força cortante começará em +1,5 e então se torna positiva 
decrescente até chegar a zero em 2,6 m. 
Em seguida, torna-se negativa crescente e alcança –3 em x = 4,5 m.
Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira 46
06/10/2017
24
FIM
47Resistência dos Materiais I - Prof. José Antônio Pedreira

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