Exercícios Sequências e Séries

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECOˆNCAVO DA BAHIA - UFRB
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS - CETEC
Ca´lculo Diferencial e Integral III - 2017.1
Aluno(a):
Professor: Jarbas Alves Fernandes
Lista de Exercı´cios 01 - Sequeˆncias e Se´ries Nume´ricas
Atualizada em 10/06/2017
(1) Em cada caso abaixo, encontre os quatro primeiros termos da sequeˆncia:
(a) (an)∞n=1, sendo an =
1
2n−1
(b) (bn)∞n=1, sendo bn =
√
n+ 1−√n
(c) ((−1)nn)n∈N
(d)
(
3(−1)n
n!
)
n∈N
(2) Expresse pelo termo geral cada sequeˆncia abaixo:
(a) 1, 12 ,
1
3 ,
1
4 , ...
(b) 12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , ...
(c) 0, 2, 0, 2, 0, ...
(d) 1,− 23 , 49 ,− 827 , ...
(e) 1,−1, 1,−1, ...
(3) Classifique as sequeˆncias a seguir quanto a limitac¸a˜o e monotonia:
(a) 12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , ...
(b) 1,−1, 1,−1, ...
(c)
(
n
n2+1
)
n∈N
(d)
(
n
∑
k=0
(
1
3
)k)
n∈N
(e) (2n)n∈N
(4) Use a definic¸a˜o de limite de uma sequeˆncia para mostrar os seguintes limites:
(a) lim
n→∞
n
n+ 1
= 1 (b) lim
n→∞
2n2
n2 − 4 = 2, n ≥ 3.
(5) (a) Prove que, se (an)n∈N e´ convergente, enta˜o limn→∞ an+1 = limn→∞ an
(b) Seja a sequeˆncia (an)n∈N, com an > 0 para todo natural n. Sabe-se que limn→∞ an = k, k real, e
que an+1 = 11+an para todo n. Calculo k.
(6) (a) Mostre que se lim
n→∞ an = 0 e {bn} e´ limitada, enta˜o limn→∞(an · bn) = 0.
(b) Seja a sequeˆncia (xn)n∈N, com xn =
sen(npi+3)
n +
5
2n , verifique se a sequeˆncia e´ convergente.
(7) Determine se a sequeˆncia converge ou diverge:
1
2
(a)
(
n2+2
2n3+n−1
)
n∈N
(b)
(
2n+1
3n+2
)
n∈N
(c) (an)∞n=1, sendo an =
1
2n−1
(d)
(√
n2 + 1−√n
)∞
n=1
(e)
(
1√
n2+1−√n
)∞
n=1
(f)
(
1
2n+3
)
n∈N
(g)
(
2−3n2
5n3+4n
)
n∈N
(h)
(
2n+3
n2+n sen(npi)
)
n∈N
(i)
(
(1 + 5n )
n)
n∈N
(j)
(
(1 + 15n )
n
)
n∈N
(k)
(
(1 + 1n )
2n
)
n∈N
(l)
(√
n+ 1−√n)n∈N
(m)
(
n5
en
)
n∈N
(n)
(
1
n sen(n)
)
n∈N
(o) (ln(en + 2)− n)n∈N
(p)
(
n!
nn
)
n∈N
(q)
(
2n
n2
)
n∈N
(r) (sn)n∈N, sendo sn =
n
∑
k=0
1
2k
(s) (sn)n∈N, sendo sn =
n
∑
k=1
1
k
(8) Calcule pelo menos as dez somas parciais de cada se´ries:
(a)
+∞
∑
n=1
1
n
(b)
+∞
∑
n=1
1
n2
(c)
+∞
∑
n=0
(−1)n
2n
(d)
+∞
∑
n=2
1
n(n− 1)
(9) Seja an = 2n5n+1 . Determine se:
(a) a sequeˆncia (an)n∈N e´ convergente.
(b) a se´rie
+∞
∑
n=1
an e´ convergente.
(10) (a) Mostre que se a se´rie
+∞
∑
n=0
an e´ convergente, enta˜o limn→∞ an = 0
(b) Enuncie o crite´rio de divergeˆncia para uma se´rie.
(11) Encontre a soma da se´rie 4− 83 + 169 − 3227 + ....
(12) Use a se´rie geome´trica para expressar o nu´mero 6, 254 como uma raza˜o de inteiros.
(13) Seja a se´rie
+∞
∑
n=0
an com limn→∞ an = s. Definimos Rn = s− sn o erro feito quando sn, a soma dos n
primeiros termos, e´ utilizada como uma aproximac¸a˜o da soma total.
Mostre que se f (n) = an, onde f (x) e´ uma func¸a˜o continua, positiva, decrescente para x ≥ n
e
+∞
∑
n=0
an e´ convergente, enta˜o∫ ∞
n+1
f (x)dx ≤ Rn ≤
∫ ∞
n
f (x)dx (1)
e conclua que
sn +
∫ ∞
n+1
f (x)dx ≤ s ≤ sn +
∫ ∞
n
f (x)dx (2)
.
3
(14) (a) Encontre a soma parcial s10 da se´rie
+∞
∑
n=1
1
n2
. Utilize a desigualdade (1) do item anterior para
estimar o erro envolvido nessa aproximac¸a˜o.
(b) Utilize a desigualdade (2) para dar uma estimativa melhorada da soma.
(c) Encontre o valor de n tal que sn represente a soma com precisa˜o de 0,00001.
(15) Uma se´rie
+∞
∑
n=1
an e´ uma se´rie telesco´pica quando an = bn − bn+1, n ≥ 1 e mostre que:
(a) sn = b1 − bn+1.
(b)
+∞
∑
n=1
1
n(n+ 1)(n+ 2)
e´ uma se´rie telesco´pica e sua soma e´ igual a 14 .
(16) (a) Enuncie o crite´rio de convergeˆncia para se´ries alternadas
(b) Verifique se a se´rie
+∞
∑
n=1
(−1)n+1n2
n3 + 1
e´ convergente ou divergente.
(17) Mostre que se
+∞
∑
n=1
an e´ absolutamente convergente, enta˜o ela e´ convergente.
(18) Determine se as se´ries a seguir sa˜o convergentes ou divergentes:
(a)
+∞
∑
n=1
n2
n2 + 3
(b)
+∞
∑
n=2
1
n ln n
(c)
+∞
∑
n=1
1
n3
(d)
+∞
∑
n=1
1√
n
(e)
+∞
∑
n=1
n sen
1
n
(f)
+∞
∑
n=1
1
n2n
(g)
+∞
∑
n=3
n− 3√
n3 + 5
(h)
+∞
∑
n=3
n2 + 2
n5 + 2n+ 1
(i)
+∞
∑
n=0
2n
n!
(j)
+∞
∑
n=1
1.4.7...(3n+ 1)
n5
(k)
+∞
∑
n=1
nn
n!
(l)
+∞
∑
n=1
(
1
4n
+
2
n2 + n
)
(m)
+∞
∑
n=1
(−1)nn3
3n
(n)
+∞
∑
n=1
(
n2 + 1
2n2 + 1
)n
4
Respostas
(1) (a) 1, 13 ,
1
5 ,
1
7 , ...
(b)
√
2− 1,√3−√2,√4−√3,√5−√4, ...
(c) −1, 2,−3, 4, ...
(d) −3, 32! ,− 33! , 34! , ...
(2) (a)
(
1
n
)
n∈N
(b)
(
1
2n
)
n∈N
(c) (1 + (−1)n)n∈N
(d)
(e)
(
(−1)n−1 ( 23)n−1)n∈N
(f) ((−1)n)n∈N
(3) (a) limitada e mono´tona decrescente.
(b) limitada e na˜o mono´tona
(c) limitada e mono´tona decrescente.
(d) limitada (convergente) e mono´tona cres-
cente.
(e) Limitada inferiormente, ilimitada superi-
ormente e mono´tona crescente.
(4) Use a definic¸a˜o de limite.
(5) (a) A sequeˆncia (an+1)n∈N e´ uma subsequeˆncia da sequeˆncia (an)n∈N , enta˜o limn→∞ an+1 =
lim
n→∞ an
(b) k =
√
5−1
2 .
(6) (a)
(b) lim
n→∞
sen(npi + 3)
n
+
5
2n
= 0, logo a sequeˆncia e´ convergente.
(7) (a) 0
(b) 0
(c) 0
(d) 1
(e) 0
(f) 0
(g) 0
(h) 0
(i) e5
(j) e
1
5
(k) e2
(l) 0
(m) 0
(n) 0
(o) 0, use n = ln en
(p) 0, determine
(n+1)!
(n+1)n+1
n!
nn
=
( n
n+1
)n e use
lim
n→∞
(
n
n+ 1
)n
=
1
e
< 1
(q) +∞
(r) 2
(s) +∞
(8) (a) s1 = 1, s2 = 1, 5, s3 = 1, 8333..., s4 = 2, 08333..., s5 = 2, 28333.., s6 = 2, 45, s7 = 2, 592857143,
s8 = 2, 717857143, s9 = 2, 828968254, s10 = 2, 9228968254.
(b)
(c)
5
(d)
(9) (a) convergente
(b) divergente
(10) (a) sugesta˜o: calcule o limite sn − sn−1.
(b)
(11) a soma da se´rie e´ 2,4.
(12) 6, 254 = 34455
(13)
(14) (a) 1, 54977, erro ≤ 0, 1.
(b) 1, 64522, erro ≤ 0, 005.
(c) n > 1000.
(15) (a)
(b)
(16) (a)
(b) a se´rie e´ convergente pelo crite´rio da se´rie alternada.
(17)
(18) (a) divergente
(b) divergente
(c) convergente
(d) divergente
(e) divergente
(f) convergente
(g) divergente
(h) convergente
(i) convergente
(j) divergente
(k) divergente
(l) convergente
(m) convergente
(n) convergente
Bom Estudo!