Guia de Estudos da Unidade 2 Geometria Analítica

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Geometria Analítica 
UNIDADE 2
2
UNIDADE 2 - RETAS E PLANOS
GEOMETRIA ANALÍTICA
Para início de conversa
Olá, estudante! Como vão os estudos? Espero que esteja tudo bem!
Seja bem-vindo(a) a nossa II unidade, conto com seu comprometimento nesta nova jornada de estudos!
orientações da disciPlina
Antes de iniciar a leitura deste guia de estudo, faça a leitura de seu livro-texto, ela irá nortear seus estu-
dos. Utilize também a nossa biblioteca virtual, busque novos conhecimentos. Assista a nossa videoaula 
ela foi elaborada com o objetivo de facilitar seu aprendizado. Ao final da nossa II unidade, acesse ao 
ambiente e responda a atividade e, em caso de dúvidas, não perca tempo e envie uma mensagem para 
seu tutor!
Nesta unidade o seu livro-texto (BUP – Boris Junior), páginas 37 a 58, apresenta uma exposição dos 
princípios conceitos, propriedades e equações de Retas e Planos que iremos trabalhar neste momento.
Inicialmente, você refletirá e procurará entender um conceito de reta, a partir de uma conceituação geo-
métrica baseada na Geometria Euclidiana.
Esse conceito euclidiano, agora, é reforçado por uma análise algébrica que atinge os objetivos surgindo 
às equações de reta. Posteriormente, você fará uma comparação do estudo de reta e poderá avançar 
ampliando os conceitos para o estudo do plano. 
Espero que você faça uma proveitosa leitura no seu livro-texto. Nesta primeira parte da unidade II, leia 
as páginas 37, 38, 39, 40, 41 e 42, observe a exposição dos conceitos e as conclusões necessárias para 
chegar às diferentes equações da reta.
3
reta
Palavras do Professor 
E aí? Aproveitou a leitura? Agora você entende a reta de um modo mais amplo no 
espaço – IR3.
Acredite, para todo o tratamento da Reta no plano – IR² não apresenta novidade, pois 
estes conceitos e fundamentos são do cotidiano no ensino fundamental e médio. Agora 
você está conhecendo a reta em verdadeira grandeza, no IR³. Por quê? Está complican-
do a reta no IR3? 
Você deve ter entendido que o nosso estudo está avançando com a compreensão do vetor, estudado na 
unidade II.
equação vetorial da reta
Vamos interpretar o traçado acima. Usamos um sistema de coordenadas cartesianas x, y e z no espaço 
IR³. Então, consideramos a reta no IR³ passando por um ponto conhecido A (x1, y1, z1). Você sabe que por 
um ponto passam infinitas retas, então você precisa dar uma orientação, ou seja, uma direção para que 
a reta passando pelo ponto A seja única. É ai que entra a necessidade de considerar o vetor V = (a, b, c) 
responsável pela direção da reta.
Você pode até dizer tudo bem, estou entendendo que a reta agora está identificada no espaço. Porém, e 
esse K? Ora, na unidade anterior falamos de combinação linear. Então, consideramos um ponto genérico 
P pertencente à reta r. Para que isso possa acontecer, lembre-se, = , ou seja, existe um número 
real K de modo que = .
Finalmente, você deve concluir neste item:
 = , é a equação vetorial da reta r. ok!
dica
O K pode assumir qualquer valor no conjunto dos números reais, e é geralmente deno-
minado de parâmetro.
O Vetor V é denominado vetor diretor, pois realmente este determina a orientação de 
retas.
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leitura comPlementar
Se você ainda não aceitou plenamente as ideias que culminaram com a conclusão da 
equação vetorial da reta r, = , retorne as páginas 37, 38, 39 e 40 do livro-texto 
e resuma o seu entendimento para a compreensão da equação vetorial trabalhada com 
a anotação utilização.
Então? Vamos fazer um exemplo para verificarmos o aprendizado e dirimir as possíveis dúvidas.
exemPlo
1 - Imagine um ponto A (3 ,-2, 3) e um vetor diretor .
Determine um ponto da reta acima definida.
Solução: consideremos um ponto genérico P (x, y, z) da reta definida na questão, um parâmetro K e escre-
vemos a equação vetorial na forma como aprendemos:
= : . P - A= 
Guarde essa ideia!
(lembre-se que o vetor = P - A, ponto final menos ponto inicial).
P - A = : . P = A + (Substituindo)
(x, y, z) = (3, -2, 3) + K ( -2, 2 ,-2)
Logo, como K é um número real, ele pode variar de (-∞,+∞), ou seja, K é um número real, sendo assim um 
ponto P genérico pode descrever a reta r.
Se fizermos K = 2 (é um valor real arbitrário).
Guarde essa ideia!
(x, y, z) = (3, -2, 3) + 2 (-2, 2, -2) (lembre como trabalhar as operações indicadas no 2° membro; temos que 
considerar as operações com as coordenadas de mesmo nome).
(x, y, z) = (3, -2, 3) + (-4, 4, -4)
(x, y, z) = (-1, 2, -1)
Então, o ponto de coordenadas (-1, 2, -1) é um ponto pertencente à reta r.
5
exemPlo
2 - Imagine o ponto A (1, 0, 1) e o vetor diretor . Determine um ponto pertencente 
à reta definida pelo vetor diretor e o ponto dado, usando o parâmetro K = 2.
Fica este para o aluno exercitar. A resposta encontrada para o ponto procurado com K = 2 é (-3, 4, -3).
Muito bem! Acertou na mosca!
Agora, consulte novamente o seu livro-texto e faça uma nova leitura das páginas 40, 41 e 42. Ok!
equações da reta na forma paramétrica
Palavras do Professor 
Caro(a) aluno(a), já que você acompanhou a construção da equação vetorial da reta, ficou mais fácil para 
entender as equações paramétricas.
Considere agora um sistema de coordenadas e volte a observar a figura que fizemos no início do item 2 
(Equação Vetorial da Reta). Utilizando a mesma anotação escreva a equação vetorial que lá obtivemos:
= 
P - A= (substituindo)
P = A + 
(x, y, z) = (x1, y1, z1)
Multiplique o parâmetro K por cada coordenada correspondente do vetor V = (a, b, c). (x, y, z) = (x1, y1, z1) 
+ (ka, kb, kc).
Sendo assim, separando para cada coordenada x, y, z, obtemos:
Que lindo! Um sistema de equação com o mesmo parâmetro K.
Vamos entender como isso acontece na prática?
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Explorando inclusive a construção da equação anterior (equação vetorial) neste mesmo problema, imagi-
ne a situação que segue:
exemPlo
1 - São dados dois pontos distribuídos no espaço IR3, A e B com A (3, -2,
3) e B (1, 0, 1). 
Determine:
1. Equações da reta na forma vetorial, definidas por estes pontos.
2. Equações da reta na forma paramétrica.
3. Se os pontos C (-1, 2, -1) e D (5, 1, 5) pertencem à reta r definida por A e B.
4. O valor de K para que o ponto E (1, 0, 1) pertença à reta r.
Soluções:
Equações Vetoriais:
E agora? Você pode ter estranhado, pois esperavam que tivesse sido dado na questão apenas um ponto e 
vetor diretor para poder começar escrevendo a equação vetorial.
Ok! Observe que você tem dois pontos dados, podendo optar por um ou outro na construção das equações;
Assim: = ou = 
Poderá representar numa equação vetorial da reta.
•	 Mas... Professor? Tudo bem! Posso escolher o ponto A ou B, porque da Geometria Euclidiana 
conhecemos as postulado de reta:
Por um ponto passam infinitas retas.
Por dois pontos distintos, passa uma única reta.
Então utilizamos um ponto A ou B. E o vetor diretor para saber a direção da reta ?
Ok! Novamente lembro os pontos A e B pertencem à mesma reta, logo o vetor diretor V pode ser deter-
minado por:
 = B – A = V (substituindo)
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= (1, 0, 1) – (3, -2, 3) : . = (-2, 2, -2).
Agora substituindo na respectiva equação vetorial temos.
 = ou P – A = K . , sendo assim com os valores dados e obtidos abaixo:
a) - (x, y, z) = (3, -2, 3) + (3, -2, 3) + K (-2, 2, -2)
b) - Para escrever as equações da reta na forma paramétrica retornamos à equação vetorial no item aci-
ma: (x, y, z) = (3, -2, 3) + (-2K, 2K, -2K) e separando os valores por respectivas coordenadas ; E separado os 
valores por respectivas coordenadas;
x = 3 – 2k (lembrete: = V, da maneira que procuramos resolver).
y = -2 + 2k
z = 3 – 2k
Ótimo! Assim ficou fácil?
c) - Para verificarmos se um ponto dado pertence à reta r, você substitui cada coordenada do ponto dado 
pela respectiva coordenada na equação paramétrica, e assim, encontrará o valor do parâmetro K. Encon-
trando o mesmo valor de K em todas as equações, você irá concluir que o ponto pertence à reta, por outro 
lado se o valor de K falha, em pelo menosuma vez você poderá dizer que o ponto não pertence à reta.
•	 O	ponto	C	(-1,	2,	-1)	substituído	nas	equações:	(veja	a	equação	acima).
Para x = -1, x = 3 – 2K : . -1 = 3 – 2K : . -2K = -4 : . K = 2
Para y = 2, y = - 2 + 2K : . 2 = -2 + 2K : . 2K = 4 : . K = 2
Para z = 2, z = 3 – 2K : . -1 = 3 – 2K : . -2K = -4 : . K = 2
O valor de K em todas as equações paramétricas que substituímos foi sempre o mesmo K = 2. Concluímos 
que o ponto C pertence à reta r.
O ponto D (5, 1, 5) substituído nas equações paramétricas:
Para x = 5, x = 3 – 2k : . 5 = 3 – 2k : . – 2k = 5 – 3 : . -2k = 2 : . k = -1
Para y = 1, y = -2 + 2k : . 1 = -2 + 2k : . k = 
Como o valor de K já não é o mesmo encontrado na primeira equação, podemos parar e concluir que o 
ponto D não pertence à reta r.
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Que bom! Tenho certeza que você entendeu direitinho!
d) Você agora vai dizer: Peguei o avião.
O ponto E (1, 0, 1)
Para x = 1 : . 1 = 3 – 2k : . k = 1
Para y = 0 : . 0 = -2 +2k : . k = 1
Para z = 1 : . 1 = 3 – 2k : . k = 1
Conclusão:
O valor de K para que o ponto E pertença à reta r é K = 1.
Obs.: Por coincidência, verifique que este ponto E tem as mesmas coordenadas do ponto B (1, 0, 1) dado 
no problema ao definir a reta. Isto reforça que estamos no caminho certo!
equações simétricas da reta
leitura comPlementar
É bom você dar uma passada nas páginas 40 e, principalmente, 41 e 42 do seu livro- texto.
Leu as páginas indicadas? Entendeu o conceito de simetria que o autor quer passar? Espero que sim!
Então, na prática, você escreve as equações paramétricas da reta da mesma forma que fizemos para 
chegarmos a elas, veja lá na página 4?
x = x1 + ka
y = y1 + kb (K IR) z = z1 + kc
Um ponto A (x1, y1, z1) e um vetor diretor V = ( a, b, c). Observou a página? Conferiu?
Tire o valor do parâmetro K em todas as equações.
Se: 
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E como cada ponto corresponde a um único valor de K, temos:
Estas são as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A (x1, y1, z1) e tem direção do vetor V = 
(a,b,c).
Vale lembrar que é necessário apenas que ao menos uma das coordenadas do vetor diretor seja diferen-
te de zero.
exemPlo
Considere uma reta r passando pelo ponto A (1,0,1) e direção dada pelo vetor V = (-2, 2, -2); 
Determine:
a) O conjunto das equações simétricas.
b) Se o ponto P (-9, 10, -9) pertence à reta acima definida.
c) Se o ponto Q (-1, -2, -1) pertence à reta.
Solução:
a) Como você observou na exposição feita acima, as equações simétricas da reta r que passam 
por um ponto dado A (x1, y1, z1) e vetor diretor V = (a, b, c)
 (Substituindo)
 (Só isso? Beleza!) ou 
b) Para saber se o ponto (-9, 10, -9) pertence à reta, substitua as coordenadas de um ponto gené-
rico x, y, z nas equações simétricas.
Então substitua; x = -9, y = 10 e z = -9 nas equações simétricas.
Ou ainda, 5 = 5 = 5, o ponto dado pertence à reta r.
c) Faça o mesmo para o ponto Q ( -1, -2, -1)
, com A (1, 0, 1)
e vetor diretor V = (-2,2,-2).
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Finalmente, 1 = -1 = 1 é uma sentença falsa!
O ponto Q não pertence à reta r.
condição para alinhamento de três pontos
Dados três pontos A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2) e C (x3, y3, z3), a condição para que estes pontos estejam ali-
nhados é que os vetores e sejam colineares.
Palavras do Professor 
Que condição é essa? Volte ao guia da unidade I, e consulte no final da página. 3 e início da 4 o item 5. 
Tipos de vetores: mais em baixo, no final da página 3 você encontrará: Condições de paralelismo entre 
vetores.
Sejam V e U dois vetores: V = KU, (nestas condições, os vetores v e u são paralelos ou colineares) para K 
 IR.
Faça: = e = , então = K
Guarde essa ideia!
Os vetores e são colineares. Certo? Verificou isso lá no guia da unidade I? Essa condição de pa-
ralelismo e/ou alinhamento entre vetores é muito importante. Esquecer jamais! = K .
Então, para os pontos A, B, C alinhados
 = K é o mesmo que = K
, (separando as coordenadas de mesmo nome).
11
exemPlo
Dados os pontos A (5, 2, -6), B (-1, -4, -3) e C (7, 4, -7) verifique se estes pontos estão alinhados.
Solução: encontramos a condição acima que substituindo temos:
Realmente os pontos dados são colineares.
interseção entre retas
leitura comPlementar
Antes de iniciarmos os comentários deste item, recomendo uma breve leitura no seu 
livro-texto – BUP, páginas 44, 45 e 46.
Entendeu? Achou fácil? Realmente! Você aprendeu ainda no ensino fundamental que duas retas distintas 
são concorrente quando possuem um único ponto em comum.
Considerando as equações de duas retas, basta igualar as coordenadas x, y, z de cada uma delas.
Observe que ao igualar as coordenadas x, y, z das duas retas forma um sistema linear, obtendo 3 equações 
com 2 incógnitas.
Ao resolvermos o sistema, obtemos sua solução ou verificamos que não existe solução.
Praticando
Resolva agora está bronca:
Você então pode duvidar: Quando resolvemos o sistema, encontramos os valores de dois parâmetros nas 
duas equações iniciais que trabalhamos.
E você pergunta: Estes valores para os parâmetros que foram encontrados são a solução do sistema?
Ainda não! (Eu respondo)
E agora, que faço? (Você pergunta)
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De posse dos dois valores encontrados para os parâmetros (lembre-se: você os encontrou quando tra-
balhou com as duas primeiras equações, não tendo trabalhado com a terceira equação) substitua-os na 
equação não trabalhada.
Se ao substituir os parâmetros anteriormente encontrados satisfazer a equação restante, você irá concluir 
que o sistema tem solução, caso contrário, o sistema não tem solução.
Complicou? Vamos acompanhar o raciocínio através de um exemplo!
exemPlo
Considere as retas de equações:
Determine:
a) Os parâmetros K e L que podem tornar as retas concorrentes.
b) O ponto de interseção destas retas se existirem.
Solução:
(a)
Tornando agora as duas primeiras equações:
Que são os parâmetros.
Verificando se a solução obtida satisfaz a equação restante, ou seja, a terceira equação:
Segue,
- 3 + 2 = -1 :. -1 = -1.
Concluímos que o sistema possui solução única.
(b) O ponto de interseção fica determinado quando substituímos os parâmetros encontrados K=1 na reta 
R ou L= -1/2 na reta S.
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Por exemplo, substitua K=1 na reta R:
O ponto de interseção das retas é (2, 1, -2)
ÂnGulo entre retas
leitura comPlementar
Leia o texto no guia, em produto escalar de dois vetores unidade I página 10 no seu 
livro-texto – BUP e utilize os mesmos princípios, a mesma fórmula para determinar o 
ângulo entre duas retas.
exemPlo
1. Volte à página 10 do guia e faça novamente o exercício resolvido.
2. Leia e faça o exercício resolvido na página 46 do seu livro-texto – BUP.
Plano 
Palavras do Professor 
Vamos continuar a nossa viagem percorrendo conceitos da Geometria Analítica. Antes 
de iniciarmos alguns comentários sobre plano, postulados e equações do plano, é con-
veniente que você pegue seu livro-texto – BUP e faça uma leitura das páginas 52 a 56.
Aproveitou bem a leitura? Que bom!
Então, deu para entender que o princípio fundamental é o postulado geométrico euclidiano que diz:
Três pontos distintos e não alinhados determinam um único plano.
A partir deste princípio, vamos explorar as ideias que nos levam a conhecer as diferentes equações do 
plano.
Já imaginou por que se diz?
Uma mesa com três pés está numa posição de melhor equilíbrio que outra com quatro pés.
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equação vetorial do plano
Seja A um ponto de um plano e um par de vetores = (a, b, c) e = (e, f, g); vetores diretores. Um ponto 
“P” pertence ao plano se o conjunto ( , ) é LD, ou seja, um dos vetores é uma combinação linear dos 
outros dois.
Considere:
Considere:
exemPlo
Dado o ponto A (1, 2, 1) e os vetores diretores = (1,-4,5) e = (2, 1, 3), determine duas equações veto-
riais do plano assim definido.
Solução: Usando A, u e v obtemos uma equação vetorial.
P = (x1, y1, z1) + K (a, b, c) + L (e, f, g)
P = (1, 2, 1) + K (1, -4, 5) + L (2, 1, 3
Para obter outras equações vetoriais podemos adotar como vetores diretores( + ) e ( - ), que ficaria 
assim:
P = (1, 2, 1) + K ( + ) + L ( - ),
Sendo:
 + = ( 3, -3, 8) - 
 = (-1, -5, 2)
→ →
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Substituindo:
P = (1, 2, 1) + K (3, -3, 8) + L (-1, -5, 2)
eQuações ParamÉtricas
Sendo P (x, y, z) um ponto genérico, na equação vetorial substituímos as coordenadas de P e do ponto 
dado A (x1, y1, z1)
P = A + K (a, b, c) L (e, f, g).
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + K (a, b, c) + L (e, f, g)
Separando as coordenadas temos as equações paramétricas.
x = x1 + Ka + Lc
y = y1 + Kb + Lf
z = z1 + Kc + Lg ; K e L E R.
exemPlos
1- Obtenha as equações paramétricas do plano definido pelo ponto A (1, 2, 1) e os vetores diretores = 
(1, -4, 5) e = (2,1,3)
Solução: Substituindo A, e nas equações paramétricas:
2- Considere as equações paramétricas obtidas no exemplo 1 (exemplo anterior) e verifique se o ponto B 
(-1, -8, 5) e C (1, 0, -2) pertencem ao plano definido pelo ponto
A (1, 2, 1) e os vetores diretores = (1, -4, 5) e = (2, 1, 3)
Solução: Substituindo A, e nas equações paramétricas:
Verificando se o ponto B pertence à reta:
Devemos substituir as coordenadas de B, x = -1 , y = -8 e z = 5 nas equações paramétricas:
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Trabalhando com as duas primeiras equações, ficam:
Temos, somando as equações acima e à direita:
9L = -18, donde L = -2
Substituindo para encontrar K, temos:
4K + 8L = -8, onde 4K + 8 (-2) = -8, então, 4K = -8 + 16, onde K = 2
Usando finalmente a equação n. 03
z = 1 + 5K + 3L, onde 5 = 1 + 5 (2) + 3 (-2)
Verificamos a igualdade;
5 = 1 + 10 – 6, onde 5 = 5.
Conclusão: O ponto B (-1, -8, 5) pertence ao plano.
O ponto C (1, 0, -2), fica como exercício.
Resposta: Você vai encontrar que o ponto C não pertence ao plano cartesiano.
equação Geral do plano
Esta é também uma importante equação do plano.
Esta equação como também as equações anteriores são muito importantes no estudo do cálculo veto-
rial.
Seja A (x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano e = (a, b, c) um vetor não nulo, o plano agora 
definido é o conjunto de pontos P ( x, y, z) do espaço tais que:
Lembre que esta operação é um produto interno de vetores ortogonais que vimos na unidade I (produto 
escalar de vetores).
Dois vetores são ortogonais quando o produto interno destes é igual à zero.
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Acompanhe o desenvolvimento a seguir aplicando o produto interno de vetor.
Organizando e separando os termos genéricos dos termos que são constantes
ax + by + cz - ax1 - by1 – cz1 = 0, observe que; - ax1 – by1 – cz1 = d, pois todo este termo é constante.
Logo, teremos ax + by +cz + d = 0, conhecida como equação cartesiana ou equação geral do plano.
Espero que você esteja acompanhando as informações para a construção das equações do plano.
Vamos exercitar mais uma vez com números? Você quer tirar as dúvidas? Quando usamos o produto de 
vetores?
Procure rever produtos de vetores no guia da unidade I, páginas 8 a 12. E, mais precisamente, o produto 
interno. Você também tem outra opção: consultar o seu livro-texto – BUP, páginas 27 a 31, e mais preci-
samente as páginas 27 e 28 que se referem a produto escalar, pois estamos usando agora nesta nossa 
exposição.
Exemplos: 1 - Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A ( 2, -1, 3 ) e tem o vetor = ( 3, 
2, -4) como vetor normal ao plano.
Solução: A equação geral é ax + by + cz + d = 0, onde a, b, c, são as coordenadas do vetor , substituindo-
-as; 3x + 2y – 4z + d = 0.
Precisamos encontrar o valor de “d” que tem valor;
d = - ax1 - by1 – cz1 donde d = - (3) . (2) – (2) . (-1) – (-4) . (3), ou seja, d = - 6 + 2 + 12, onde d = 8, então a 
equação do plano fica, 3x + 2y – 4z + 8 = 0.
2 – Determine a equação do plano que passa por A (1, 3,-2) e que tem vetor ortogonal = (2, -3, 2)
Solução: Pode fazer tomando os mesmos princípios usados no problema anterior, ou seja, assim como em 
 .
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Substituindo os valores do ponto e do vetor fica:
2 (x – 1) + 3 (y – 3) + 2 (z + 2) = 0
3 – Considere a equação de um plano dada por x – y + 3z + 7 = 0
Verifique se os pontos A (-8, 8, 3) e B (1, 0, 5)
Solução: O ponto A pertence à reta, pois: -8 –(8) + 3 . 3 + z = 0 ou - 8 – 8 + 9 + 7 = 0 é uma identidade.
Para resumir
O que tem de mais importante nesta unidade?
•	 Equação vetorial da reta.
•	 Equação da reta na forma paramétrica.
•	 Equações simétricas da reta.
•	 Equação vetorial do plano.
•	 Equação paramétrica do plano.
•	 Equação Geral do plano.
•	 Intersecção de planos.
Guarde para você trabalhar com vetores:
Operações – Resultado 
 vetor x vetor = vetor.
 vetor – vetor = vetor.
n. real x vetor = vetor.
Operações – Resultado
ponto + vetor = vetor. 
ponto – vetor = ponto. 
ponto – ponto = vetor.
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Palavras do Professor 
Prezado(a) aluno(a), chegamos ao final da nossa II unidade. Chegou o momento de colocar em prática os 
seus conhecimentos, acesse o ambiente virtual e responda as atividades. Caso tenha alguma dúvida, 
pergunte ao seu tutor.
Bons estudos e até a próxima unidade!