Lista 3 Derivadas exercicios com respostas

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Universidade Federal de Lavras
Departamento de Ciências Exatas
Cálculo I - GEX 104
Lista 3 - Derivadas
1. Calcule a derivada de cada função usando a Regra da Cadeia.
(a) F (x) = (x3 + 4x)7
(b) F (x) = 4
√
1 + 2x+ x3
(c) g(t) =
1
(t4 + 1)3
(d) y = cos(a3 + x3)
(e) y = xe−kx
(f) g(x) = (1 + 4x)5(3 + x− x2)8
(g) y = (2x− 5)4(8x2 − 5)−3
(h) y =
(
x2 + 1
x2 − 1
)3
(i) y = ex cos x
(j) F (z) =
√
z − 1
z + 1
(k) y =
r√
r2 + 1
(l) y = tg cosx
(m) y = 2senpix
(n) y = sec2 x+ tg 2x
(o) y = cos
(
1− e2x
1 + e2x
)
(p) y = cotg2 (sen θ)
(q) f(t) = tg (et) + etg t
(r) f(t) = sen2(esen
2 t)
(s) g(x) = (2rarx + n)p
(t) y = cos
√
sen (tg pix)
2. Calcule a primeira e segunda derivadas das funções abaixo.
(a) h(x) =
√
x2 + 1 (b) y = eaxsenβx
3. Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
(a) y =
8√
4 + 3x
, (4, 2) (b) y = sen (senx), (pi, 0)
4. Determine todos os pontos sobre o gráfico da função f(x) = 2senx+sen2 x
nos quais a reta tangente é horizontal.
5. Se F (x) = f ◦ g(x), sendo f(−2) = 8, f ′(−2) = 4, f ′(5) = 3, g(5) = −2 e
g′(5) = 6, encontre F ′(5).
6. Suponha que f seja derivável em R e sejam F (x) = f(ex) e G(x) = ef(x).
Determine:
(a) F ′(x); (b) G′(x).
7. Mostre que a função y = Ae−x + Bxe−x satisfaz à equação diferencial
y′′ + 2y′ + y = 0.
1
RESPOSTAS
1. Vide abaixo.
2. (a) h′(x) = x√
x2+1
;
h′′(x) = 1
(x2+1)
3
2
(b) eαx(β cosβx+ asenβx);
eαx((α2 − β2)sen βx+ 2αβ cos βx)
3. (a) y = − 3
16
x+ 11
4
(b) y = −x+ pi
4.
(
pi
2
+ 2npi, 3
)
,
(
3pi
2
+ 2npi,−1),
n é inteiro.
5. 24
6. (a) F ′(x) = exf ′(ex)
(b) G′(x) = ef(x)f ′(x)
7.
1. (a) F ′(x) = 7(x3 + 4x)6(3x2 + 4)
(b) F ′(x) = 2+3
2
4(1+2x+x3)
3
4
(c) g′(t) = − 12t3
(t4+1)4
(d) y′ = −3x2sen (a3 + x3)
(e) y′ = e−kx(−kx+ 1)
(f) g′(x) = 4(1+4x)4(3+x−x2)7(17+
9x− 21x2)
(g) 8(2x−5)3(8x2−5)−4(−4x2+30x−5)
(h) y′ = − 12x(x2+1)2
(x2−1)4
(i) y′ = (cosx− xsenx)ex cos x
(j) F ′(z) = 1
(z−1)
1
2 (z+1)
3
2
(k) y′ = (r2 + 1)−
3
2
(l) y′ = −senx sec2(cosx)
(m) y′ = 2senpix(pi ln 2) cospix
(n) y′ = 4 sec2 xtg x
(o) y′ = 4e
2x
(1+e2x)2
sen 1−e
2x
1+e2x
(p) y′ = −2 cos θcotg (sen θ)cossec2 (sen θ)
(q) f ′(t) = sec2(et)et + etg t sec2 t
(r) f ′(t) = 4sen
(
esen
2 t
)
cos
(
esen
2 t
)
sen t cos tesen
2 t
(s) g′(x) = 2r2p(ln a)(2rarx+n)p−1arx
(t) y′ = −pi cos(tg pix) sec
2 pixsen
√
sen (tg pix)
2
√
sen (tg pix)
2