Módulo 3 Círculo de Mohr Estado de tensões efetivas e resistência

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Mecânica dos Solos II
Profa MSc Paula de Carvalho Palma Vitor
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Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Bibliografia desta aula:
Software Mdsolis®
CAPUTO, H. P; CAPUTO, A.N. Mecânica dos solos e suas
aplicações: fundamentos. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. V. 1,
256 p.
PINTO, Carlos de Sousa. Curso Básico de Mecânica dos Solos
em 16 aulas. 3. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2006. 355p.
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Estado de tensões efetivas
O estado de tensões pode ser determinado em termos de
tensões totais (𝜎𝑣) e tensões efetivas (𝜎′𝑣) .
Tensões principais:
𝜎1 e 𝜎3 ou 𝜎′1 e 𝜎′3
Pressão neutra: 𝑢
- O círculo das tensões efetivas
está deslocado para
esquerda, em relação o
círculo das tensões totais de
um valor igual a pressão
neutra ( 𝑢 atua
hidrostaticamente reduzindo
em igual valor as tensões
normais em todos os planos)
- 𝜏 : em qualquer plano são
independentes da pressão
neutra ( a água não
transmite esforços de
cisalhamento).
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Ruptura dos solos
Ruptura dos solos geralmente ocorre por cisalhamento
Resistência ao cisalhamento
Máxima tensão de cisalhamento que o solo pode suportar sem
sofrer ruptura=tensão de cisalhamento do solo no plano que a
ruptura ocorrer
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Resistência ao cisalhamento
Componentes da resistência ao cisalhamento dos solos:
 Atrito ( principal)
 Coesão
Atrito
Esquema de atrito entre dois corpos
N: força vertical transmitida pelo
corpo.
T: força horizontal necessária para
fazer o corpo deslizar=f x N
f: coeficiente de atrito
 Proporcionalidade entre a força
tangencial T e a força normal N
𝑇 = 𝑁 × 𝑡𝑔 𝜑
𝜑: ângulo de atrito ( formado pela
resultante das duas forças com a
força normal)
𝜑: ângulo máximo que a força transmitida pelo corpo à superfície pode fazer com a
normal ao plano de contato sem que haja deslizamento.
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Atrito
O deslizamento também pode ser provocado pela inclinação do
plano de contato, que altera as componentes normal e
tangencial ao plano do peso próprio
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Atrito
A resistência ao cisalhamento é diretamente proporcional à
tensão normal.
𝜏 =
𝑇
𝐴
𝜎 =
𝑁
𝐴
𝑇 = 𝑁 × 𝑡𝑔 𝜑
Logo:
𝜏 = 𝜎 × 𝑡𝑔 𝜑
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Atrito nos solos
 No fenômeno de atrito nos solos o deslocamento envolve um
grande número de grãos ( deslizar entre si, rolar uns sobre
os outros) que se acomodam em vazios.
 Diferença entre o atrito entre grãos de areia e grãos de
argila.
Areia: as forças
transmitidas são
suficientes grandes
para expulsar a
água da superfície
( contato entre os
grãos)
Argila: >>>nº 
de partículas e a 
parcela de força 
transmitida em 
cada contato é 
reduzida. 
Partículas de 
argila são 
envolvidas por 
moléculas de 
água. 
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Coesão
 A atração química entre as partículas pode produzir uma
resistência independente da tensão normal atuante no plano
( coesão real).
Cola entre os dois corpos
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Coesão
 Coesão real: parcela da resistência ao cisalhamento de solos
úmidos, não saturados, devido à tensão de atração entre
partículas.
 Coesão aparente: Resultado da tensão superficial da água nos
capilares do solo, formando meniscos de água entre as partículas
dos solos parcialmente saturados, que tendem a aproximá-las
entre si.
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Critérios de ruptura
 Critério de Coulomb: não há ruptura se a tensão de cisalhamento
não ultrapassar.
𝜏 = 𝑐 + 𝑓 × 𝜎
Onde:
𝑐: coesão ( constante do material);
𝑓: coeficiente de atrito interno ( constante do material);
𝑓 = 𝑡𝑔 𝜑 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
𝜎: tensão normal existente no plano de cisalhamento
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Critérios de ruptura
 Critério de Mohr: não há ruptura enquanto o círculo representativo
do estado de tensões se encontrar no interior de uma curva, que é
a envoltória dos círculos relativos a estados de ruptura, observados
experimentalmente para o material.
Semicírculo B: Estado
de tensões sem
ruptura
Semicírculo A (
tangente à
envoltória): Estado de
tensões na ruptura
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Critérios de ruptura
 Critério de Mohr-Coulomb: Envoltória curva é substituída por uma
reta
Plano de ruptura:
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼 𝑐𝑜𝑚 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝜎 = 𝐴𝐵
𝜏 = 𝐵𝐶
𝜏 < 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝐷𝐸
No plano de máxima tensão cisalhante
(DE), a tensão normal (AD) proporciona
uma resistência ao cisalhamento maior
que a tensão cisalhante atuante.
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Critérios de ruptura
 Critério de Mohr-Coulomb: Envoltória curva é substituída por uma
reta
Plano de ruptura:
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼 𝑐𝑜𝑚 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
Do centro do círculo de Mohr (D) traça-
se uma paralela a envoltória
2𝛼 = 𝜑 + 90°
𝛼 =
𝜑
2
+ 45°
𝑠𝑒𝑛𝜑 =
𝜎1 − 𝜎3
𝜎1 + 𝜎3
𝜎1 = 𝜎3
1 + 𝑠𝑒𝑛𝜑
1 − 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝜎1 − 𝜎3 = 𝜎3
2𝑠𝑒𝑛𝜑
1 − 𝑠𝑒𝑛𝜑
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Ensaios para determinar a resistência dos solos ao cisalhamento
 Ensaio de cisalhamento direto: Baseia-se no critério de Coulomb
 Aplica-se uma tensão normal num plano e verifica-se a tensão
cisalhante que provoca a ruptura de uma amostra de solo
colocada dentro de uma caixa composta de duas partes
deslocáveis entre si;
 Duas pedras porosas ( superior e inferior) permitem a
drenagem da amostra quando essa for a técnica utilizada;
 Pode ser executado sob tensão controlada ou sobre
deformação controlada;
 O ensaio é realizado em várias amostras de um mesmo solo e
assim são obtidos vários pares (𝜎, 𝜏);
 Os pares (𝜎, 𝜏) são marcados em um sistema cartesiano 𝜎 x 𝜏
onde são obtidos 𝜑 e 𝑐
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Ensaio cisalhamento direto
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Ensaio cisalhamento direto
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Exemplo numérico 1
Em uma caixa de cisalhamento direto, com 3,6 x 10-3 m2 de
área, foram obtidos os valores a seguir, durante os ensaios de
uma amostra indeformada de argila arenosa.
Determine a coesão e o ângulo de atrito interno do solo:
Força vertical (N)
Força de cisalhamento 
máxima (N)
90 125
180 155
270 185
360 225
450 255
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Exemplo numérico 1
Resolução:
1º: Calcular as tensões normais e tangenciais:
𝜏1 =
𝑇
𝐴
=
90
3 × 10−3
= 25000 𝑁/𝑚2
Tensão de 
cisalhamento 
máxima 
(kN/m2)
35
43
51
63
71
Tensão vertical 
(kN/m2)
25
50
75
100
125
270
360
450
125
155
185
225
255
Força vertical 
(N)
Força de 
cisalhamento 
máxima (N)
90
180
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Exemplo numérico 1
Resolução:
2º: Traça-se o gráfico para determinar coesão (c) e o ângulo de
atrito ⱷ:
Reta de 
Coulomb
𝑡𝑔 𝜑 =
11,22
30
𝜑 = 20,5°
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Ensaio de compressão triaxial: Mais utilizado
 O ensaio é realizado utilizando aparelhos constituídos por uma
câmara cilíndrica, de parede transparente, no interior da qual se
coloca a amostra, envolvida por uma membrana de borracha
muito delgada. A base superior do cilindro é atravessada por um
pistão, que, por intermédio de uma placa rígida, aplica uma
pressão na amostra.
 A câmara cilíndrica é cheia de líquido ( água) que podese
submeter a uma pressão 𝜎3.
 A tensão devido ao carregamento vertical é a diferença entre as
tensões principais (𝜎1 − 𝜎3 ): acréscimo de tensão vertical ou
tensão desviadora.
 Com os pares de tensões (𝜎1 𝑒 𝜎3) correspondentes a ruptura de
diversas amostras ensaiadas traça-se os respectivos Círculos de
Mohr.
 A envoltória dos círculos de Mohr são assimilados à reta de
Coulomb para determinação de 𝜑 e 𝑐
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Ensaio de compressão triaxial
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Ensaio de compressão triaxial
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Ensaios triaxiais convencionais
 Ensaio adensado drenado (CD, consolidated drained) ou
ensaio lento (S, slow):
 Ensaio em que há permanente drenagem do corpo
de prova;
 Aplica-se a tensão confinante (𝜎3) e a pressão neutra
se dissipa;
 Tensão axial (𝜎1) é aumentada lentamente para que
a água sobre pressão possa sair;
 Pressão neutra durante o carregamento é nula;
 Tensões totais aplicadas indicam as tensões efetivas.
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Ensaios triaxiais convencionais
 Ensaio adensado não drenado (CU, consolidated
undrained) ou ensaio rápido (R, rapid):
 Aplica-se a tensão confinante lentamente ( 𝜎3 ) e
deixa-se dissipar a pressão neutra correspondente;
 A seguir rapidamente carrega-se axialmente (𝜎1) sem
drenagem;
 Pressão neutra não é nula;
 Permite determinar a envoltória de resistência em
termos de tensão efetiva em um prazo menor que o
ensaio CD.
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Ensaios triaxiais convencionais
 Ensaio não adensado não drenado (UU, unconsolidated
undrained) ou ensaio rápido (Q, quick):
 Aplica-se a tensão confinante lentamente (𝜎3) e a
tensão axial ( 𝜎1 ) com a válvula fechada ( sem
drenagem).
 O ensaio é interpretado em termos de tensões totais.
Estado de tensões e critérios de 
ruptura
Ensaio de compressão simples: 𝜎3=0
 A amostra cilíndrica é colocada entre dois pratos de uma prensa.
 Amostra: ℎ = 2𝐷.
 Carga aplicada progressivamente.
 Traça-se a curva tensão-deformação.
 O circulo de Mohr é traçado (𝜎1 = 𝑅).
 Coesão 𝑐 =
𝑅
2
=
𝜎1
2