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Disciplina: Geometria analítica e álgebra linear Professora: Alessandra Pereira da Silva Unidade 1 – Álgebra Matricial Situação Problema Proponha uma maneira eficiente de organizar os seguintes produtos, onde os números entre parênteses indicam a quantidade do reagente em estoque em um determinado laboratório, nos meses de janeiro, fevereiro, março e abril, respectivamente: _ Ácido Clorídrico (23, 10, 17, 32); _ Hidróxido de amônia (42, 13, 44, 27); _ Sulfato de alumínio (12, 15, 7, 16); 1) Matriz 2) Representação genérica Uma matriz A é dada por com e , isto é, 3) Tipos de Matrizes A) Matriz Quadrada B) Matriz Diagonal C) Matriz Transposta Definição: A transposta de uma matriz é a matriz , definida por e obtida escrevendo-se as linhas de A como colunas, e as colunas de A como linhas. D) Matriz nula E) Matriz Identidade ou matriz unidade Operações elementares sobre as linhas de uma matriz para transformá-la em uma matriz unidade 1) 2) 3) Exemplo 1 – Transforme a matriz a seguir em uma matriz unidade, aplicando as operações elementares. 5) Igualdade de matrizes Definição: Duas matrizes A e B são iguais se apresentarem o mesmo tamanho e se, além disso, seus termos correspondentes forem iguais. Exemplo 2 Dadas as matrizes e , calcular x e y para que 6) Operações com matrizes A) Adição Definição: A adição de duas matrizes e é a matriz dada por , sendo e . Exemplo 3 Dadas as matrizes e , determine (quando possível): A + C A+ B A+ B + C B) Multiplicação de um número real por uma matriz Definição: O produto k.A de um número k por uma matriz é a matriz , na qual para quaisquer e . Exemplo 4 Dadas as matrizes e , determinar a matriz X tal que . C) Multiplicação de matrizes Definição : Se A for uma matriz m x r e B a matriz r x n, então o produto AB será a matriz m x n cujos termos são determinados da seguinte maneira: para se achar o termo da linha i e coluna j de AB, deve-se destacar a linha i da matriz A e a coluna j da matriz B. A seguir, multiplicam-se os termos correspondentes da linha i de A e da coluna j de B e, em seguida, somam-se todos os produtos resultantes. Exemplo 5 Dadas as matrizes , , , e . A x C A x B B x A C x D A x I3 OBS: Propriedades válidas para números reais, mas que não se aplicam a matrizes: 7) Matriz inversa Definição: Dada uma matriz quadrada A, se pudermos encontrar uma matriz B de mesmo tamanho tal que AB = BA = I, então diremos que A é inversível e que B é uma inversa de A e indicaremos . Se não puder ser encontrada uma tal matriz B, então diremos que A é não- inversível ou singular. Assim, Exemplo 6 Verifique que B = é a matriz inversa de . 8) Potências de uma matriz Se A é uma matriz quadrada e inversível, então valem as seguintes regras para os expoentes: a) b) c) d) e) Exercícios 1) Considere a matriz . Responda: Qual é a ordem de A? Qual é o elemento ? Quais são os elementos da segunda linha? 2) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz de ordem 4, em que . 3) Uma indústria possui 3 fábricas: I, II e III, que produzem por mês 30, 40 e 60 unidades, respectivamente, do produto A, e 15, 20 e 10 unidades do produto B. a) Determinar a matriz fábricas x produtos. b) Escrever o tipo da matriz anterior. 4) Dada a matriz , a) calcular x e y para que A seja diagonal. b) determinar os elementos de A. 5) Qual é a transposta de uma matriz diagonal? Justifique a sua resposta. 6) Aplicando as operações elementares , transforme cada matriz a seguir em uma matriz unidade, se possível. a) b) c) �� EMBED Equation.3 7) Sendo com e , determine x, y, z e w para que A = B. 8) Sejam A e B matrizes 4 x 5 e C, D e E matrizes 5 x 2, 4 x 2 e 5 x 4, respectivamente. Determinar quais das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as definidas, dar o tamanho da matriz resultante. a) BA b) AC + D c) AE + B d) AB + B e) E(A + B) f) E(AC) 9) Considere as matrizes , , , , Calcule quando possível: a) D + E b) 4E – 2D c) - 3(D +2E) d) e) f) g) (3E)D h) i) 10) Dadas as matrizes A e B, calcule a matriz X tal que 2X – (A + B) = 3B + A 11) Sejam A, B e C matrizes n x n. É verdade que ? E se AB=BA? Justifique? 12) Sejam , , , a = - 3 e b = 2. Mostrar que: a) A + (B+C) = (A + B) + C b) a (B – C) = aB - aC 13) Sabendo-se que e , obter as matrizes M e N tais que 14) Resolva a equação . Respostas 1) a) 3x4 b) 32 c) -5, 49, , 7 2) Soma = 0 3) a) b) Tipo 2 x 3 4) a) x = -3 e y = 3 b) 5) 6) a) b) não é possível c) não é possível 7) ; ; ; 8) a) Não está definido b) 4 x 2 c) Não está definido d) Não está definido e) 5 X 5 f) 5 x 2 9) a) b) c) d) e) f) g) h) i) 10) 11) Não. Apenas se AB = BA. 12) Exercício de demonstração 13) e 14) �PAGE � �PAGE �2� _1326131681.unknown _1326991419.unknown _1326991435.unknown _1327086505.unknown _1422500885.unknown _1422626773.unknown _1422627033.unknown _1422627154.unknown _1422627249.unknown _1422626889.unknown _1422625899.unknown _1358682053.unknown _1422498235.unknown _1327087621.unknown _1358681936.unknown _1327086759.unknown _1327084534.unknown _1327086318.unknown _1327086481.unknown _1327086328.unknown _1327085694.unknown _1327082509.unknown _1327082609.unknown _1327082782.unknown _1327083120.unknown _1327082722.unknown _1327082561.unknown _1326991436.unknown _1326991425.unknown _1326991430.unknown _1326991434.unknown _1326991426.unknown _1326991421.unknown _1326991422.unknown _1326991420.unknown _1326311744.unknown _1326313658.unknown _1326313775.unknown _1326991417.unknown _1326991418.unknown _1326991415.unknown _1326991416.unknown _1326991414.unknown _1326313747.unknown _1326313555.unknown _1326313600.unknown _1326313089.unknown _1326135864.unknown _1326135981.unknown _1326310846.unknown _1326135887.unknown _1326135391.unknown _1326135555.unknown _1326132264.unknown _1326130104.unknown _1326130515.unknown _1326130839.unknown _1326131070.unknown _1326131657.unknown _1326130881.unknown _1326130577.unknown _1326130810.unknown _1326130631.unknown _1326130371.unknown _1326130410.unknown _1326130436.unknown _1326130289.unknown _1326130334.unknown _1326130251.unknown _1326129252.unknown _1326129807.unknown _1326129928.unknown _1326130063.unknown _1326129883.unknown _1326129745.unknown _1326129767.unknown _1326129453.unknown _1326129479.unknown _1326129319.unknown _1326045966.unknown _1326050419.unknown _1326050554.unknown _1326093953.unknown _1326128730.unknown _1326128787.unknown_1326096974.unknown _1326050626.unknown _1326050532.unknown _1326048912.unknown _1326050141.unknown _1326050306.unknown _1326048996.unknown _1326050080.unknown _1326048970.unknown _1326046175.unknown _1326048449.unknown _1326046065.unknown _1326045121.unknown _1326045427.unknown _1326045593.unknown _1326045190.unknown _1326044916.unknown _1326045039.unknown _1326044724.unknown
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