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Disciplina: Geometria analítica e álgebra linear
 
 Professora: Alessandra Pereira da Silva
 
Unidade 1 – Álgebra Matricial
Situação Problema
Proponha uma maneira eficiente de organizar os seguintes produtos, onde os números entre parênteses indicam a quantidade do reagente em estoque em um determinado laboratório, nos meses de janeiro, fevereiro, março e abril, respectivamente:
_ Ácido Clorídrico (23, 10, 17, 32);
_ Hidróxido de amônia (42, 13, 44, 27);
_ Sulfato de alumínio (12, 15, 7, 16);
1) Matriz
 
 
2) Representação genérica
Uma matriz A é dada por 
 com 
 e 
, isto é,
3) Tipos de Matrizes
A) Matriz Quadrada
B) Matriz Diagonal
 
C) Matriz Transposta
	Definição: A transposta de uma matriz 
 é a matriz 
, definida por 
e obtida escrevendo-se as linhas de A como colunas, e as colunas de A como linhas.
 
D) Matriz nula
 
E) Matriz Identidade ou matriz unidade
 
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz para transformá-la em uma matriz unidade
1) 
2) 
3)
Exemplo 1 – Transforme a matriz a seguir em uma matriz unidade, aplicando as operações elementares.
5) Igualdade de matrizes
	Definição: Duas matrizes A e B são iguais se apresentarem o mesmo tamanho e se, além disso, seus termos correspondentes forem iguais.
Exemplo 2
Dadas as matrizes 
 e 
, calcular x e y para que 
6) Operações com matrizes
A) Adição
	Definição: A adição de duas matrizes 
 e 
é a matriz 
 dada por 
, sendo 
 e 
.
Exemplo 3
Dadas as matrizes 
 
 e 
, determine (quando possível):
A + C
A+ B
A+ B + C
B) Multiplicação de um número real por uma matriz
	Definição: O produto k.A de um número k por uma matriz 
 é a matriz 
, na qual 
para quaisquer 
 e 
.
Exemplo 4
Dadas as matrizes 
 e 
, determinar a matriz X tal que 
.
C) Multiplicação de matrizes 
	Definição : Se A for uma matriz m x r e B a matriz r x n, então o produto AB será a matriz m x n cujos termos são determinados da seguinte maneira: para se achar o termo da linha i e coluna j de AB, deve-se destacar a linha i da matriz A e a coluna j da matriz B. A seguir, multiplicam-se os termos correspondentes da linha i de A e da coluna j de B e, em seguida, somam-se todos os produtos resultantes.
Exemplo 5
Dadas as matrizes 
, 
, 
, 
 e 
.
A x C
A x B
B x A
C x D
A x I3
OBS: Propriedades válidas para números reais, mas que não se aplicam a matrizes: 
7) Matriz inversa
	Definição: Dada uma matriz quadrada A, se pudermos encontrar uma matriz B de mesmo tamanho tal que AB = BA = I, então diremos que A é inversível e que B é uma inversa de A e indicaremos 
. Se não puder ser encontrada uma tal matriz B, então diremos que A é não- inversível ou singular. Assim, 
Exemplo 6
Verifique que B = 
 é a matriz inversa de 
.
8) Potências de uma matriz
	Se A é uma matriz quadrada e inversível, então valem as seguintes regras para os expoentes:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Exercícios
1) Considere a matriz 
. Responda:
Qual é a ordem de A?
Qual é o elemento 
?
Quais são os elementos da segunda linha?
2) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz 
 de ordem 4, em que 
.
3) Uma indústria possui 3 fábricas: I, II e III, que produzem por mês 30, 40 e 60 unidades, respectivamente, do produto A, e 15, 20 e 10 unidades do produto B.
a) Determinar a matriz fábricas x produtos.
b) Escrever o tipo da matriz anterior.
4) Dada a matriz 
, 
a) calcular x e y para que A seja diagonal.
b) determinar os elementos de A.
5) Qual é a transposta de uma matriz diagonal? Justifique a sua resposta.
6) Aplicando as operações elementares , transforme cada matriz a seguir em uma matriz unidade, se possível.
 
a) 
 b) 
	 c) 
�� EMBED Equation.3 
7) Sendo 
 com 
 e 
, determine x, y, z e w para que A = B.
8) Sejam A e B matrizes 4 x 5 e C, D e E matrizes 5 x 2, 4 x 2 e 5 x 4, respectivamente. Determinar quais das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as definidas, dar o tamanho da matriz resultante.
a) BA b) AC + D c) AE + B
d) AB + B e) E(A + B) f) E(AC)
9) Considere as matrizes 
 , 
, 
, 
, 
Calcule quando possível:
a) D + E b) 4E – 2D c) - 3(D +2E) d) 
 e) 
 f) 
 g) (3E)D h) 
 i) 
10) Dadas as matrizes A e B, calcule a matriz X tal que 2X – (A + B) = 3B + A
 
 
11) Sejam A, B e C matrizes n x n. É verdade que 
? E se AB=BA? Justifique?
12) Sejam 
, 
, 
 , a = - 3 e b = 2. Mostrar que:
a) A + (B+C) = (A + B) + C
b) a (B – C) = aB - aC 
13) Sabendo-se que 
 e 
, obter as matrizes M e N tais que 
14) Resolva a equação 
.
Respostas
1) a) 3x4	b) 32	 c) -5, 49, 
, 7
2) Soma = 0
3) a) 
 b) Tipo 2 x 3
4) a) x = -3 e y = 3
b) 
5) 
6) a) 
 b) não é possível c) não é possível
7) 
; 
; 
; 
8) a) Não está definido
b) 4 x 2		c) Não está definido	d) Não está definido	e) 5 X 5		f) 5 x 2
9) a) 
		b) 
		c) 
d) 
		e) 
	f) 
		g) 
h) 
	i) 
10) 
11) Não. Apenas se AB = BA.
12) Exercício de demonstração
13) 
 e 
14) 
�PAGE �
�PAGE �2�
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